正四面体外接球和内切球的半径的九种求法

正四面体外接球和内切球的半径的九种求法
【作者简介】张秀洲（1987.06），江苏滨海人，毕业于湖南师范大学，中学数学一级教师，省先进工作者，州、县优秀班主任，州先进个人，县优秀教师，县优秀教育工作者，县教师培训师团队成员，县“国培计划”(A307)指导教师，吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。

2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号，2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。

如果一个球与多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。

有关多面体外接球与内切球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。

研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。

本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法：
正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合．
分析：如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等．
又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，
所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中，有AO1⊥
平面BCD，
所以球心O在高线AO1上；
同理：球心O也在其它面的高线上．
图1又正四面体ABCD中各面上的高都相等，
所以，由OA=OB=OC=OD，得：点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心．
这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
已知正四面体ABCD棱长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为O ，则正
四面体的高h
即34R h =
即14
r h =．外接球半径是内切球半径的3倍．
下面从不同角度、用不同方法进行探求：
方法一：（勾股定理）如图2，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以O 1D
． 因为OO 1⊥平面BCD ，O 1D ⊂平面BCD ， 所以OO 1⊥O 1D .
所以，在Rt △OO 1D 中，由勾股定理，得22211OD OO O D =+，
即22
2R R ⎫⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭．
解得R =
，所以r R =-．
． 知识联系：正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合，半径之比为1：2；正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合，半径之比1：3．
方法二：（三角正切倍角公式）如图3，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以OO 1⊥平面BCD ，O 1D
，高1h AO =． 1,,2.OA OD ADO DAO DOO θθ=∴∠=∠=∠= 在1Rt ADO ∆
中，11tan DO AO θ===
2222tan 2tan 21tan 1θ
θθ
∴=
=
=--⎝
⎭
在1Rt ODO ∆
中，113tan 2DO OO r θ====
r ∴=
，R h r =-==． 图
2
图
3
． 方法三：（平行线法）如图4，连接DO 并延长交平面ABC 于点G ，则G 为△ABC 的中心.连结DO 1并延长交BC 于中点E ，则A ，G ，E 三点共线，
113EO EG
ED EA
==
； 再连接1GO ，则1GO ∥AD ，从而有111
3
O O O G EG AO AD EA ===，
所以134AO AO =
，1114OO AO ==．
． 方法四：（分割体积法）如图5，记正四面体ABCD 的体积为V ，每个面的面积为S ，高为h ，内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，则
O ABC O BCD O ACD O ABD V V V V V ----=+++，
所以11
433
Sh Sr =⋅
，从而13,.44r h R h ====
． 【方法拓展延伸】
1.多面体的体积为V ,表面积为S ,利用体积分割法,可得其内切球的半径为3V
r S
=； 2.高为h ,各面面积均为S 的棱锥内的任意一点到各面的距离之和为定值h .
方法五：（补形法）以正四面体的各棱为正方体的面对角线，将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球，所以正四面体的外接球也是正方体的外接球.
设正方体的棱长为x
，则2R =
且a ,
所以R =
，从而13r R =．
． 【方法拓展延伸】
1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,若设其三条侧棱长分别为,,,a b c 则易得外接球的半径
为
R =
． 2.若点P 到两两垂直的三个面的距离分别为,,,a b c 点O 为它们的公共点,则
图
4
图5
图6
PO =
2
2212
a b c ++． 3.若点P 到两两垂直且共点于O 的三条直线m ,n ,l 的距离分别为x ,y ,z ,则
PO =2222()2
x y z ++．
方法六：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD ∆于1O ，则1O 为BCD ∆的外心，求得1163
,,33
AO a DO a =
= 由相交弦定理得2
66
3(2).333a R a a ⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭解得64R a =． 6666
33412
r a R a a a ∴=
-=-= 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为
64a 和6
12
a ． 方法七：（坐标法）如图6, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则6333
(0,0,
),(0,,0),(,,0),(,,0)332626
a a A a B a C a D a -- 设球心O 的坐标为(,,)x y z ，则由
OA OB OC OD R ====，得2
2
2
2
OA OB OC OD ===，即
22222
222
222
263()()333()()263()()2
6
x y z a x y a z a
x y a z a
x y a z ++-
=+++=-+-
+=++-
+
解得60,.12x y z a ===
所以66,.124
r z a R a ∴=== 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和6
12
a ． 方法八：（相似法）（侧棱、高相似）
如图7, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高16
3
h AO a ==
，设O 为球心，则1.O AO ∈设M 是AB 的中点，连结OM ，OB ，BO 1，
AO BO OM AB =∴⊥190AMO AO B ∴∠=∠=，
又1MAO O AB ∠=∠，AMO ∴∆∽1AO B ∆， 1AM AO AO AB ∴=
，即2,63
a
R
a a = 6666,.43412R a r h R a a a ∴=
=-=-=
方法九：（相似法）（斜高、高相似）
如图8, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高16
3
h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设E 为BC 中点，连结AE ,EO 1，
作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC ∆中心，N 是AE 的三等分点， ON ABC ON r 平面，是内切圆半径,⊥且Rt ANO ∆∽1Rt AEO ∆
1AN AO AO AE ∴=
， 即3
363
32
a
R a a =，
6666,.43412
R a r h R a a a ∴=
=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。