几类特殊四面体外接球半径求解的策略
高中数学外接球解题技巧
高中数学外接球解题技巧高中数学外接球解题技巧在高中数学中，外接球是一道常见的几何题，其目的是求出几何体 (如正方体、长方体等) 的外接球半径或直径，进而求解几何体的体积或表面积。
下面将介绍一些外接球解题技巧。
1. 熟悉常见几何体的外接球公式对于正方体、长方体等常见几何体的外接球，可以使用以下公式计算其半径或直径:正方体外接球半径 = √3/3 ×正方体边长长方体外接球半径 = √3/3 ×长方体边长×√2球体外接球半径 = 圆周率×球体直径其中，√表示开根号运算，√2 表示圆周率乘以 2。
2. 利用对称性求解外接球半径在某些情况下，几何体的外接球半径可以通过对称性得到求解。
例如，对于正方体，可以利用其对称性求解外接球半径。
正方体有六个等效面，每个面都是一个等边三角形，这些等效面都是正方体的外接球球面的一部分。
因此，可以利用对称性计算出正方体的外接球半径，进而求解其他几何体外接球半径。
3. 利用三角函数求解外接球半径对于一些较为复杂的几何体，可以利用三角函数求解外接球半径。
例如，对于正八面体，其外接球是一个正十二面体，可以利用正弦定理求解外接球半径。
具体而言，正八面体的每个面都是一个等腰三角形，相邻面的夹角为 30 度，正十二面体的每个面都是一个等边三角形，相邻面的夹角为 60 度。
因此，可以利用正弦定理计算正十二面体的外接球半径。
拓展:除了上述技巧外，还有一些其他的技巧可以用来求解外接球半径，例如用极坐标方程求解、用向量法求解等。
此外，外接球问题也与物理学中的牛顿第二定律、圆周运动等问题密切相关。
因此，对于外接球问题，需要从不同角度进行思考，灵活运用各种技巧和方法，以达到求解的目的。
探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解
探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=， 即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==， 在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==， 在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。
四面体外接球的球心、半径求法(经典)
四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
第一节 原理部分一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
几何体的外接球问题8大模型
几何体的外接球问题8大模型以几何体的外接球问题8大模型为标题，写一篇文章。
一、立方体：立方体是一种拥有六个相等正方形面的几何体，它的外接球是一个与立方体六个顶点相切的球体。
外接球的半径等于立方体的对角线长度的一半。
立方体的外接球不仅可以帮助我们计算立方体的对角线长度，还可以作为一个几何体之间的联系，帮助我们理解其他几何体的外接球问题。
二、正四面体：正四面体是一种拥有四个全等的三角形面的几何体，它的外接球是一个与正四面体的四个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正四面体的边长的一半乘以根号6除以4。
正四面体的外接球是一个特殊的几何体，它具有对称性，可以帮助我们理解其他几何体的外接球问题。
三、正六面体：正六面体是一种拥有六个全等的正方形面的几何体，它的外接球是一个与正六面体的八个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正六面体的边长的一半。
正六面体的外接球是一个与立方体外接球相似的几何体，它们具有相同的形状和性质，只是大小不同。
四、正八面体：正八面体是一种拥有八个全等的正三角形面的几何体，它的外接球是一个与正八面体的六个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正八面体的边长的一半乘以根号2。
正八面体的外接球是一个与正四面体外接球相似的几何体，它们具有相似的形状和性质，只是大小不同。
五、正十二面体：正十二面体是一种拥有十二个全等的正五边形面的几何体，它的外接球是一个与正十二面体的二十个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正十二面体的边长的一半乘以根号3除以2。
正十二面体的外接球是一个与正八面体外接球相似的几何体，它们具有相似的形状和性质，只是大小不同。
六、正二十面体：正二十面体是一种拥有二十个全等的正三角形面的几何体，它的外接球是一个与正二十面体的十二个顶点相切的球体。
外接球的半径等于正二十面体的边长的一半乘以根号5除以4。
正二十面体的外接球是一个与正十二面体外接球相似的几何体，它们具有相似的形状和性质，只是大小不同。
七、正二十四面体：正二十四面体是一种拥有二十四个全等的正六边形面的几何体，它的外接球是一个与正二十四面体的二十四个顶点相切的球体。
四面体存在外接球及其半径的应用
四面体存在外接球及其半径的应用
作者：邓建祥
来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第24期
摘要：高考数学中四面体的外接球问题始终是学生学习及教师教学中的一个难点问题，其主要难点集中在四面体的多样性上，但同时中学数学中的四面体往往具有一定的特殊性。
数学家波利亚说过：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比。
”由于三角形是平面中最简单的多边形，四面体是空间中最简单的多面体，因此，可以从三角形的外接圆类比推广四面体的外接球，并利用中学数学中四面体的特殊性简化外接圆半径公式，从而将此类问题由特殊求解过程转化为一般求解过程。
关键词：四面体；外接球；半径公式
众所周知，任意一个三角形都存在外接圆。
由于三角形和四面体分别在二维空间和三维空间中具有同等的地位，因此，我们可以类比得到：任意四面体都存在外接球。
但通过这样的类比得到的也只是一个猜想，要验证这一猜想的正确性，就要对其进行证明。
一、任意四面体都有外接球
二、四面体外接球的半径
三、特殊四面体外接球半径的应用
评述：通过上面四个例题我们可以发现，在解决这一类具有特殊性的四面体外接球问题的时候，很好的避免了常规解法中的各种变化以及一些技巧性的构图，而这恰恰是学生在解决该类问题时的难点所在。
通过对于该类问题的公式化，能够使学生比较快速和简洁的解决该类问题，同时对数学中的一些复杂问题进行一般到特殊再导出公式最后回归到基本问题的逐步分解，以达到更为直观的理解与应用的效果。
参考文献：
1.陈金辉.四面体的求积公式[J].数学通报，1985（3）.
2.李湘江.四面体的“三球”的半径公式[J].数学通讯，2013（1）.。
外接球半径求法
外接球半径求法
外接球半径是指一个几何体的外接球的半径，它可以通过该几何体的某些特征来求解。
以下是几种常见的求解方法：
1. 对于正四面体、正六面体、正八面体等正多面体，其外接球半径可以直接通过公式计算得出。
例如，对于正四面体，其外接球半径R等于边长a乘以根号2除以4，即R=a√2/4。
2. 对于任意三角形ABC，其外接圆的半径R可以通过三角形的三边长度a、b、c来计算。
具体而言，可以使用海伦公式计算三角形的面积S，然后通过公式R=abc/4S求解外接圆半径R。
其中a、b、c分别为三角形的三边长度。
3. 对于任意四面体ABCD，其外接球半径可以通过四个顶点之间的距离来计算。
具体而言，假设四个顶点分别为A、B、C和D，则可以先计算出任意两个顶点之间的距离（如AB、AC等），然后使用这些距离来计算四面体各个侧面上三角形的面积，并使用这些面积来计算四面体总表面积S。
最后使用公式R=abc/4S求解出外接球半径R。
以上是几种常见的求解外接球半径的方法，不同的几何体可能需要使
用不同的方法来求解。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来计算外接球半径。
四面体外接球半径的常规求法
教学参谋解法探究2018年9月四面体外接球半径的常规求法⑩湖北省武汉市第四十三中学卢伟近几年来，随着三视图的引人，使得立体几何客观 题的考查形式趋于多样化，这其中表现突出的就是四面 体外接球球心在哪里的问题.下面结合具体例题的分 析，归纳，并得出结论，以期能够对这一类问题有一个较 为广泛的认识.（以下例题均只求取四面体外接球的半 径"）一、定义法球心到球面上各点的距离相等，即为半径.下面通过对两大类型的分析，从而确定相关特征的 四面体外接球球心的位置.第一类型：“垂直+条件”型（有一条侧棱与底面垂直的四面体）例i在四面体中，丄平面&'(，"&'(为 边长是3的正三角形，且&4)6，求".解析：首先找到的外心G，作OG丄面&'(，且使得〇*)丄$4,则满足条件的02即为该四面体外接球的球心，再取$4的中点，，连接0，，如图1所示，经计算知")2#3.小结:这里不妨设A')-，4S).，V3 4例2在四面体中，S4丄平酿'（，&'丄B(，S()2,求".解析：如图2,易证'（丄邠，由直角三角形斜边的中线等于斜边 '图2的一半知SC的中点0即为球心，故 w")i.(事实上，这里与例i的解题思想是一致的y 例3在四面体中，S4丄平面4'(，120"，4')4()4S)2,求".$S去.在双曲线^#02)1中，过右焦点（左焦点对称可得) a1〇的两条垂直相交弦4'与C1，有如下结论：结论4:当(.222-a2)(.2-a222)>0时，|其中2=^ —&=la2-.2l■2a.22-a222)<0时，=la2-.2l2a.2结论5 :当(.222-a2)(. 2-a222)>0时，当(.222-a2)(. 2-a222)<0 时，114'卜1(11丨>-$^.la2- .2l结论6:若4'与（1的中点分别记为,，7,则直线,7结论7:丄+丄=丄.l4'l l(1l2p结论 8:l4'l+l(1l'8p.结论9:若4'与C1的中点分别记为,，7,则直线,7恒过定点|%，0&.五、结语限于篇幅，上述对双曲线与抛物线的证明过程都没 有给出来，感兴趣的读者可以验证一下.至此，我们感叹 于圆锥曲线内部的和谐与统一，同时也激起我们对未知 领域的向往.我们相信如果能够把这样的一种追求与探 索的情感融入到平时的教学中去，感染学生，使之成为 他们学习与成长中的一道风景，帮助学生领悟数学的魅 力所在.l4'l+ l(1l 当（222-a2l4'l l(1l恒过定点(%2,0).在抛物线02=29中，过焦点的两条垂直相交弦4'与 (1,有如下结论：参考文献：1.钟长彬，杨苍洲，圆锥曲线两垂直焦点弦的一组 结论[J].中学数学研究，2014(6).|!94十•？•!{：，■?高中2018年9月解法探究解析：根据例1的作图，结合正弦定理知，2!= —isin 30o !!=2,其中!为外接圆的半径，则可知&=#T .小结:这3个例题都是属于“垂直+条件”型的四面体 外接球球心的问题.根据例1的作图方式我们知道，关键 是先找到底面A #$C 的外心，这里是分别以特殊三角形 (等边三角形，直角三角形h 与一般三角形(利用正弦定 理)为背景，寻找突破口，则可以得到这类问题的统一计算公式这里底面三角形的外接圆半径，*为垂线段#+的长）第二类型：“等腰+条件”型（定义一类特殊的四面体---等腰四面体：三条侧棱相等的四面体）例4已知在四面体+-#$%"， ++#)+$)+%)2，$ $#%)30。
几类特殊的多面体的外接球问题
几类特殊的多面体的外接球问题沈清臣(湖南省长沙市长郡中学㊀４１００００)摘㊀要:本文主要通过空间球体的截面性质引入ꎬ介绍几类锥体㊁柱体的外接球问题的求解策略.关键词:多面体ꎻ外接球ꎻ截面ꎻ补体中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００６１－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:沈清臣(１９７９.１１－)ꎬ男ꎬ湖南省沅陵人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系长沙市教育科学规划重点资助课题«高中数学必修模块易错点提前干预策略的研究»成果.㊀㊀空间几何体与球的组合问题是近几年高考中的一个频考点ꎬ且考查形式灵活多样ꎻ要正确求解此类问题ꎬ学生必须通过读㊁想㊁画㊁转㊁算五个基本环节ꎬ找准熟悉的基本几何模型及相应的求解策略.此类问题可划分为旋转体㊁多面体的内切㊁外接球问题ꎻ而旋转体的内切㊁外接球问题ꎬ通过轴截面可转化为平面几何问题求解ꎻ多面体的内切球问题ꎬ利用等体法可直接求解.因此ꎬ本文主要介绍多面体(棱柱㊁棱锥)的外接球问题ꎬ在此之前ꎬ我们先熟悉空间球体的截面性质及其应用.㊀㊀一㊁球的截面性质及其应用如图１ꎬ空间球体有如下性质:(１)用一个平面去截球ꎬ所得截面是一个圆面ꎻ(２)球心与截面圆心的连线与截面垂直ꎬ且满足:Ｒ２＝ｒ２＋ｄ２(其中Ｒ表示球的半径ꎬｒ表示截面圆的半径ꎬｄ表示球心到截面的距离).图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２例１㊀(２０１８年全国卷Ⅲ理第１０题)设ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是同一个半径为４的球的球面上四点ꎬәＡＢＣ为等边三角形且其面积为９３ꎬ则三棱锥Ｄ－ＡＢＣ体积的最大值为(㊀㊀).Ａ.１２３㊀Ｂ.１８３㊀Ｃ.２４３㊀Ｄ.５４３分析㊀如图２ꎬ设等边三角形әＡＢＣ外接圆圆心为Ｏ１ꎬ则易知当Ｏ１㊁Ｏ㊁Ｄ共线ꎬ即ＤＯ１为高时ꎬ棱锥体积最大.又由等边三角形әＡＢＣ的面积可求得边长ＡＢ＝６ꎬ所以ＡＯ１＝１２ ＡＢｓｉｎ６０ʎ＝２３ꎬ所以ＯＯ１＝ＡＯ２－ＡＯ２１＝２ꎬ即可得三棱锥Ｄ－ＡＢＣ体积的最大值为１３ＳΔＡＢＣ ＤＯ１＝１３ˑ９３ˑ(４＋２)＝１８３ꎬ故选答案Ｂ.上例的求解过程ꎬ充分利用球体的截面性质ꎬ即球心与截面圆圆心的连线与截面垂直ꎬ使得求解难度大大降低.类似的问题还在高考试题中曾多次出现ꎬ如２０１３年新课标Ⅰ(理)第６题㊁２０１３年新课标Ⅰ卷(文)第１５题㊁２０１３年大纲卷(文)第１６题㊁２０１３年大纲卷(理)第１６题等.其实ꎬ更多几何体的外接球问题的求解均需要利用到球体的截面性质ꎬ在后面的问题中将作介绍.㊀㊀二㊁棱柱的外接球问题此处我们主要介绍直棱柱(侧棱垂直于底面)的外接球问题.因为正方体㊁长方体的外接球直径即为体对角线ꎬ因此遇到直棱柱的外接球问题ꎬ首先可以考虑将该直棱柱补体为长方体或正方体ꎻ若不能补体ꎬ再考虑利用球体的截面性质确定球心位置ꎬ再由勾股定理求解.图３如图３ꎬ设直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１上㊁下底面的外接圆圆心分别为Ｈ１㊁Ｈꎬ连接Ｈ㊁Ｈ１ꎬ则易知ＨＨ１的中点Ｏ即为该棱柱外接球的球心ꎬＡＨ即为底面外接圆的半径ꎬＡＯ即为球的半径Ｒ.利用平面几何知识求出ＡＨꎬ再结合球的截面性质可直接求解.例２㊀(２０１３年辽宁文㊁理第１０题)已知三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的６个顶点都在球Ｏ的球面上ꎬ若ＡＢ＝３ꎬＡＣ＝４ꎬＡＢʅＡＣꎬＡＡ１＝１２ꎬ则球Ｏ的半径为(㊀㊀).１６Ａ.３１７２㊀㊀Ｂ.２１０㊀㊀Ｃ.１３２㊀㊀Ｄ.３１０分析１㊀由题设条件ꎬ可将该三棱柱补成长㊁宽㊁高分别为３ꎬ４ꎬ１２的长方体ꎬ则长方体的对角线长为１３ꎬ即外接球的直径为１３ꎬ半径为１３２ꎬ故选答案Ｃ.分析２㊀易知底面әＡＢＣ为Ｒｔәꎬ所以其外接圆半径ｒ＝ＢＣ２＝５２ꎬ球心到底面的距离ｄ＝ＡＡ１２＝６ꎬ因此由球的截面性质可得所求球的半径Ｒ＝ｒ２＋ｄ２＝１３２ꎬ故选答案Ｃ.直接考查正方体㊁长方体的外接球问题ꎬ在高考试题中曾多次出现ꎬ如２０１３年天津文第１０题㊁２０１４年陕西理第５题㊁２０１６全国Ⅱ文第４题㊁２０１７年天津文㊁理第１０题㊁２０１７年全国Ⅱ文第１５题等ꎬ此类问题难度不大.补体的策略在后面的锥体的外接球问题中将进一步详细介绍.㊀㊀三㊁棱锥的外接球问题球与锥体的组合问题ꎬ在高考真题及各地的模拟试题中出现频率最高ꎬ试题形式多样ꎬ灵活多变.类似于柱体的求解策略ꎬ我们首先考虑补体ꎬ再者利用截面性质确定球心ꎬ进而可得解.下面将按四种类型进行详细阐述.１.有条侧棱垂直于底面的棱锥若棱锥的一条侧棱垂直于底ꎬ则补体为直棱柱求解ꎬ如图４ꎬ三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬ侧棱ＳＡʅ底面ＡＢＣꎬ则可补体成直棱柱ＳＱＰ－ＡＢＣ(如图５)ꎬ即转化为直棱柱的外接球问题.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５例３㊀(２０１９年全国Ⅰ理第１０题)已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的四个顶点在球Ｏ的球面上ꎬＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣꎬәＡＢＣ是边长为２的正三角形ꎬＥꎬＦ分别是ＰＡꎬＡＢ的中点ꎬøＣＥＦ＝９０ʎꎬ则球Ｏ的体积为(㊀㊀).Ａ.８６π㊀Ｂ.４６π㊀Ｃ.２６π㊀Ｄ.６π分析㊀如图６ꎬ易知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ为正棱锥ꎬ故对棱相互垂直ꎬ即ＰＢʅＡＣꎬ又由题设条件知ＥＦʅＥＣꎬＰＢʊＥＦꎬʑＰＢʅＥＣꎬ即ＰＢʅ平面ＰＡＣ.结合正三棱锥的结构特征ꎬ可知ＰＡꎬＰＢꎬＰＣ两两垂直ꎬ且ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝２.将三棱锥Ｐ－ＡＢＣ补成正方体ꎬ如图７.所以外接球的半径Ｒ＝３２ˑ２＝６２ꎬ体积为Ｖ＝４３πＲ３＝４３π(６２)３＝６πꎬ故选答案Ｄ.图６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７在三棱锥中ꎬ若共顶点的三条棱两两垂直ꎬ则将棱锥补体为正方体或长方体ꎬ可迅速求解.类似问题再如ꎬ２０１２年辽宁文理第１６题.２.对棱相等的锥体正方体或长方体中ꎬ相对面的对角线相等ꎬ因此当三棱锥的对棱相等的时候ꎬ可以将该三棱锥放于正方体或长方体内ꎬ即补体为正方体或长方体.例４㊀三棱锥Ｄ－ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝ＣＤ＝６ꎬ其余四条棱均为２ꎬ则三棱锥Ｄ－ＡＢＣ的外接球的表面积为.图８分析㊀如图８ꎬ将三棱锥Ｄ－ＡＢＣ放入到长方体中ꎬ并设该长方体的长㊁宽㊁高分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则ａ２＋ｂ２＝６ꎬｂ２＋ｃ２＝４ꎬｃ２＋ａ２＝４{⇒ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝７ꎬʑ球的半径Ｒ满足４Ｒ２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝７ꎬ故表面积为Ｓ＝４πＲ２＝７π.本例也可以取ＡＢ或ＣＤ的中点ꎬ作出截面ꎬ根据几何体的对称特征ꎬ确定球心的位置ꎬ利用球的截面性质列出方程组求解.但两种解法对比ꎬ可体现上述解法的简便快捷.特别是准确熟悉正四面体与正方体之间的联系ꎬ可快速解决正四面体的外接球问题ꎬ比如下面的例题.３.正棱锥(底面为正三角形ꎬ顶点在底面的射影为底面的中心)由正棱锥的结构特征可知ꎬ其外接球的球心一定在图９其高线上.如图９ꎬ在正三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬ设底面边长为ａꎬ侧棱长为ｂꎬ高为ｈꎬ外接球球心为Ｏꎬ半径为Ｒꎬ则ＡＨ即为底三角形的外接圆半径ꎬ且ＡＨ＝３３ａꎬｈ＝ｂ２－(３３ａ)２ꎬ再由ＡＯ２＝ＡＨ２＋ＯＨ２得ꎬＲ２＝(３３ａ)２＋(ｈ－Ｒ)２ꎬ即可求出外接球半径Ｒ的值.２６例５㊀(２０１４年大纲文第１０题㊁理第８题)正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为４ꎬ底面边长为２ꎬ则该球的表面积为(㊀㊀).Ａ.８１π４㊀Ｂ.１６π㊀Ｃ.９π㊀Ｄ.２７π４图１０分析㊀如图１０ꎬ正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的高为ＰＥꎬ则ＰＥ＝４ꎬＡＢ＝２ꎬＡＥ＝１２ＡＣ＝２.设外接球的球心为Ｏꎬ半径为Ｒꎬ连接ＡＯꎬ则在ＲｔәＡＯＥ中ꎬ有ＡＯ２＝ＡＥ２＋ＯＥ２ꎬ即Ｒ２＝(２)２＋(４－Ｒ)２ꎬ解得Ｒ＝９４.ʑ球的表面积为Ｓ＝４πＲ２＝４πˑ(９４)２＝８１４πꎬ故选择答案Ａ.上述例题的求解过程ꎬ还是利用球体的截面性质.前述例３(２０１９年全国Ⅰ理第１０题)亦可利用上述方法求解.４.有两个面垂直的棱锥如图１１ꎬ已知球Ｏ１㊁Ｏ２的两个截面圆所在平面垂直ꎬ则四边形ＯＯ１ＨＯ２为矩形ꎬ且әＯＡＯ１ꎬәＯＢＯ２均为ＲｔәꎬＡＯ＝ＢＯ＝Ｒ.利用勾股定理结合已知条件列出方程组ꎬ即可求解.例６㊀四面体Ａ－ＢＣＤ中ꎬøＡＢＣ＝øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＣＢ＝ＤＢ＝３ꎬ则此四面体外接球的表面积为(㊀㊀).Ａ.１９π２㊀Ｂ.１９３８π２４㊀Ｃ.１７π㊀Ｄ.１７１７π６图１１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２分析㊀如图１２ꎬ由题设条件知әＢＣＤ是边长为３的正三角形ꎬ设Ｅ为其外接圆圆心ꎬ则其外接圆半径ｒ１ＢＥ＝２３ＢＦ＝２３３ꎬ且ＥＦ＝３３.又ȵøＡＢＣ＝øＡＢＤ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＣＢ＝ＤＢ＝３ꎬ由余弦定理可得ＡＤ＝ＡＣ＝７ꎬＣＤ边上高ＡＦ＝６ꎬ则ＡＦ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２ꎬʑＡＦʅＢＦꎬ即可得ＡＦʅ平面ＢＣＤꎬ即有平面ＡＣＤʅ平面ＢＣＤ.设әＢＣＤꎬәＡＣＤ的外接圆圆心分别为Ｅ㊁Ｈꎬ四面体Ａ－ＢＣＤ的外接球球心为Ｏꎬ则ＯＥʅ平面ＢＣＤꎬＯＨʅ平面ＡＣＤꎬＯＥＦＨ为矩形ꎬʑＯＥ＝ＨＦꎬＯＨ＝ＥＦ.连接ＡＯ㊁ＢＯꎬ并设外接球半径为ＲꎬＯＥ＝ＨＦ＝ｘꎬ则分别在ＲｔәＢＯＥꎬＲｔәＡＯＨ中可得:ＢＯ２＝ＢＥ２＋ＯＥ２ꎬＡＯ２＝ＡＨ２＋ＯＨ２ꎬ{即Ｒ２＝(２３３)２＋ｘ２ꎬＲ２＝(６－ｘ)２＋(３３)２ìîíïïïï解得Ｒ２＝１９８.ʑ四面Ａ－ＢＣＤ的外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝１９π２ꎬ故选答案为Ａ.上述例题的求解过程ꎬ还是利用球的截面性质(过截面圆圆心且与截面垂直的直线一定过球心)ꎬ通过两个截面来确定球心的位置ꎬ再利用勾股定理求解.其实ꎬ一般情况下ꎬ并要求两个截面圆所在平面垂直.如下例:例７㊀(２０２０年广州市一模文第１２题)在三棱锥Ａ－ＢＣＤ中ꎬәＡＢＤ和әＣＢＤ均为边长为２的等边三角形ꎬ且二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角为１２０ʎꎬ则此三棱锥的外接球的表面为(㊀㊀).Ａ.７π㊀㊀Ｂ.８π㊀㊀Ｃ.１６π３㊀㊀Ｄ.２８π３图１３分析㊀如图１３ꎬ取ＢＤ的中点为Ｅꎬ并连结ＡＥꎬＣＥꎬ易知øＡＥＣ＝１２０ʎ.设әＡＢＤ和әＣＢＤ的外心分别为Ｈ２ꎬＨ１ꎬ并过Ｈ２ꎬＨ１作平面ＡＢＤ和平面ＣＢＤ的垂线交于点Ｏꎬ则Ｏ即为三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的球心ꎬ且ＥＨ１＝ＥＨ２＝１３ＣＥ＝３３ꎬʑＲｔәＯＥＨ１≅ＲｔәＯＥＨ２ꎬøＯＥＨ１＝øＯＥＨ２＝１２øＡＥＣ＝６０ʎꎬＯＥ＝２ＥＨ１＝２３３ꎬ故所求外接球半径为Ｒ＝ＯＢ＝ＯＥ２＋ＢＥ２＝２１３.ʑ三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝２８π３ꎬ故选答案Ｄ.以上内容是对常见的棱柱㊁棱锥的几类外接球问题及其求解策略的归纳.因为题型可以灵活多变ꎬ问题的求解途径多种多样ꎬ以上肯定有阐述不全面不到位的地方ꎬ期盼读者去补充完善.㊀㊀参考文献:[１]周瑜芽.对一道三棱外接球高考题的解法探究[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２０(０２):５７－５９.[２]熊向前ꎬ杨墁.例析破解三棱锥外接球问题的六种方法[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(０３上):３８－４０.[责任编辑:李㊀璟]３６。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几类特殊四面体外接球半径求解的策略摘要：立体几何是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要学科，本文通过探求几类特殊四面体的几何特征，归纳出它们的外接球半径公式或求解策略，并通过高考题（含质检题、模拟题等）和竞赛题进行运用和检验，进一步发展学生的数学核心素养。
关键词：四面体；外接球；半径球问题可以综合考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，与球相关的计算问题在高考、各类模拟考甚至竞赛试题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多。
三棱锥外接球问题题型丰富、灵活多变，此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题。
本文基于课堂教学，立足基础和基本技能，谈谈几类特殊四面体外接球的求解方法，以供参考。
1.易补形为长方体模型下的四面体（1）直角四面体（墙角型）的外接球半径从一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。
该三棱锥的特点为一顶点处引发的的三条棱两两互相垂直，将该三棱锥补形为以三条棱分别为长、宽、高的长方体，如图1.1所示。
则该三棱锥外接球半径即为长方体的外接球半径，因此不难得到该三棱锥的外接球半径 .例1（2008年高考数学福建卷第15题）若三棱锥三个侧面两两垂直，侧棱长均为，则外接球的表面积为_______.解：由于三棱锥三个侧面两两垂直，则这个三棱锥为直四面体。
由于三个侧棱长都等于，则外接球半径所以此三棱锥外接球的表面积 .点评：当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体的一角，进（ 2）等腰四面体的外接球半径三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体。
该三棱锥的特点为三组相对的棱与、与、与分别相等。
可将该三棱锥补形为如图1.2所示的长方体，其中三组相对的棱分别位于长方体的六个面的对角线上。
不妨长方体的长、宽、高分别为，则由勾股定理可知，故可得所以此三棱锥外接球的半径.例2（2018年全国高中数学联赛浙江省预赛第10题）在四面体中，已知则四面体的外接球的半径为_______.解：由于三棱锥三组对棱相等，则这个三棱锥为等腰四面体。
可将该三棱锥补形为如图所示的长方体，设长方体的长宽高分别为，则所以此四面体外接球半径点评：本题在求解过程中需要从边长关系出发来认识三棱锥模型，抓住三组相对的棱分别相等这一信息，将三棱锥补形为长方体，体现了转化与化归思想，实现复杂问题简单化，从而使得问题迎刃而解。
（3）正四面体的外接球半径四个面都是全等的正三角形的四面体称为正四面体。
该三棱锥的特点是所有棱长都相等，可将该三棱锥补形为如图1.3所示的正方体。
设正四面体的棱长为，则正方体的边长为，所以该三棱锥的外接球半径为例3（2003年全国卷理科第12题）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）解:由于三棱锥棱长都为，则此三棱锥为正四面体。
将该三棱锥补形为边长为1的正方体，所以其外接球半径故其外接球的表面积为 .点评:正四面体所有棱长都相等，它不仅有外接球和内切球，而且球心是重合的，恰好是正四面体的中心。
本题将三棱锥补形为正方体可有效简化求解过程。
（4）鳖臑外接球的半径鳖臑：四个面都为直角三角形的四面体。
此四面体的特征是有两个共斜边的直角三角形（斜边长相等）拼接而成，这条斜边称为三棱锥的长棱。
如图1.4，三棱锥中，平面 ,可将此三棱锥补形为以底面的两条直角边和垂线分别为长、宽、高的长方体，长方体的对角线的中心即为球心。
例4（2018年福州市高三质检文科第10题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。
已知四面体为鳖臑，平面 ,，且该鳖臑的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_______.解：如图4-1，平面，所以，,又，为直角三角形，所以，从而平面，为和的公共边，所以中点为球心 .， .故球的表面积为 .点评：本题中，三棱锥的底面为直角三角形，过顶点的侧棱与底面垂直，具备此几何特征的三棱锥（四个面均为直角三角形），即可补形为长方体。
若过底面三角形的直角顶点的侧棱垂直于底面，则此模型即为例1中的三棱锥。
2.易补形为直三棱柱模型下的四面体（1）一条棱垂直底面的三棱锥外接球半径有一条棱垂直于底面的三棱锥可以补成直棱柱。
如图，在棱锥中，平面 ,设，底面的外接圆半径为。
把这个三棱锥补成一个三棱柱，则外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，则外接球半径为例5：（2008年高考浙江卷理科第14题）如图，已知四点在球的表面，平面，则球的体积等于____.解由于平面，所以这个三棱锥是直三棱锥。
因为且 ,所以 ,底面外接圆半径，所以三棱锥外接圆半径,所以球的体积 .（另外，此题亦可补成长方体求解。
）例6：（2016-2017学年广东省佛山市高二上学期教学质量检测理科第16题）四面体中,则四面体外接球表面积是_________.解：由题设，可得所以同理，所以底面。
因为故底面为等边三角形，由正弦定理可得底面的外接圆半径所以此四面体外接球半径故四面体外接球的表面积点评:一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心垂直于这个面的直线上。
例5、例6通过构造之三棱柱来求解，其球心是两底面三角形中心连线的中点。
3.正三棱锥的外接球半径如图3,正三棱锥中，顶点在底面的射影是底面的中心，则外接球球心一定在顶点到底面中心的连线上。
不妨设正三棱锥的高为，，底面边长为，外接球球心为 ,半径为 ,由正弦定理可得的外接圆半径。
在中，由勾股定理得得例7（2019年全国Ι卷理科第12题）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（）A. B. C. D.解：由题知此三棱锥为正三棱锥，不妨设，则可得因为又即，解得故三棱锥外接球的半径所以三棱锥的体积为另解：因为且，易知两两相互垂直，故亦可补成正方体，故三棱锥的外接球的体积为点评：在计算侧棱长时，要注意结合几何图形及余弦定理求解。
3.具有特殊二面角的四面体若四面体涉及特殊的二面角，设过二面角两个半平面所在三角形外心且垂直所在平面的直线为则球心为的交点。
例7（2018年全国高中数学联赛福建省预赛第6题）在三棱锥中，都是边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的面积为_______.解：如右图，三棱锥外接球的球心在过底面外心且垂直面的直线上，也在过侧面外心且垂直面的直线上，设两垂线交于 ,由和确定的平面交于，则，所以为中点，因为和都是正三角形，连结 , 则， ,故三棱锥外接球的面积为4.特殊筝形（菱形、正方形）翻折而成的三棱锥的外接球筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形。
近几年高考不乏出现以筝形为背景的精彩考题，此类考题图形美观、简洁，充满新意，尤其是对特殊四面体的考查，重点考查了学生的直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养。
若四面体由特殊的筝形翻折而成且涉及特殊的二面角，设过二面角两个半平面所在三角形外心且垂直所在平面的直线为则球心为的交点。
如图，四面体中，，,则此四面体可看做将筝形中的半平面沿着对角线翻折到空间中一定位置而得到。
设过两个半平面所在三角形外心且垂直所在面的直线分别为，则球心为交点 .例8（2018年全国高中数学联赛福建省预赛第6题）在三棱锥中，都是边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的面积为_______.解：如右图，三棱锥外接球的球心在过底面外心且垂直面的直线上，也在过侧面外心且垂直面的直线上，设两垂线交于 ,由和确定的平面交于，则，所以为中点，因为和都是正三角形，连结 ,则， ,故三棱锥外接球的面积为例9（高考模拟卷改编）在三棱锥中，， ,平面平面，则该多面体的外接球的表面积为.解:此三棱锥可看作由特殊筝形（边长为的正方形）沿着对角线翻折而得到，因平面平面 ,其外接球的球心为过和的外心且垂直所在平面的直线交点。
由题易求得所以三棱锥外接球的半径故此三棱锥外接球的表面积为点评:若多面体涉及特殊的二面角且是特殊筝形（菱形、正方形）对称翻折得到的，则这类四面体以正三角形、直角三角形、等腰三角形为底面，这样比较容易确定外心位置，进而求解外接球半径。
如例8，为全等的直角三角形，其所在平面相互垂直，这有利于分析外心位置，确定线面位置关系。
上面探求了几种特殊四面体的外接球半径的求解，并通过实例运用检验。
为了很好地使用这些方法，首先要深入理解题目中的条件，清楚题目所述的是哪类特殊四面体，然后才能准确使用公式。
若能理解以上几个公式的推导过程，熟练掌握补形法、转化法、轴截面法和向量法等解题方法，不仅能解决特殊四面体的外接球问题，也能解决一般四面体的外接球的问题，以此类推，还能解决其他的锥体、多面体和旋转体的外接球的问题。
参考文献[1]朱贤良.如何确定外接球球心的位置[J].理科考试研究,2019(10):30-34.[2]李昭辉,童新安.可补形为长方体计算的棱锥外接球问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2017(21):1-2+53.[3]荆志强.多面体外接球问题处理的策略探究[J].理科考试研究,2019(07):15-21.[4]余敦群.几类特殊四面体外接球半径公式的推导及应用[J].中学数学教学参考(下旬)2016(06):68-69.[5]武增明.确定简单多面体外接球的球心的策略[J].中学数学杂志,2013(01):36-37.6。