四面体外接球地球心、半径求法
四面体外接球的球心、半径求法之欧阳地创编
四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量A CP知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB=距离公222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法【作者简介】张秀洲（1987.06），江苏滨海人，毕业于湖南师范大学，中学数学一级教师，省先进工作者，州、县优秀班主任，州先进个人，县优秀教师，县优秀教育工作者，县教师培训师团队成员，县“国培计划”(A307)指导教师，吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。
2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号，2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。
如果一个球与多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。
有关多面体外接球与内切球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法：正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合．分析：如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等．又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中，有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上；同理：球心O也在其它面的高线上．图1又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD，得：点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心．这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．已知正四面体ABCD棱长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为O ，则正四面体的高h即34R h =即14r h =．外接球半径是内切球半径的3倍．下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）如图2，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以O 1D． 因为OO 1⊥平面BCD ，O 1D ⊂平面BCD ， 所以OO 1⊥O 1D .所以，在Rt △OO 1D 中，由勾股定理，得22211OD OO O D =+，即222R R ⎫⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解得R =，所以r R =-．． 知识联系：正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合，半径之比为1：2；正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合，半径之比1：3．方法二：（三角正切倍角公式）如图3，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以OO 1⊥平面BCD ，O 1D，高1h AO =． 1,,2.OA OD ADO DAO DOO θθ=∴∠=∠=∠= 在1Rt ADO ∆中，11tan DO AO θ===2222tan 2tan 21tan 1θθθ∴===--⎝⎭在1Rt ODO ∆中，113tan 2DO OO r θ====r ∴=，R h r =-==． 图2图3． 方法三：（平行线法）如图4，连接DO 并延长交平面ABC 于点G ，则G 为△ABC 的中心.连结DO 1并延长交BC 于中点E ，则A ，G ，E 三点共线，113EO EGED EA==； 再连接1GO ，则1GO ∥AD ，从而有1113O O O G EG AO AD EA ===，所以134AO AO =，1114OO AO ==．． 方法四：（分割体积法）如图5，记正四面体ABCD 的体积为V ，每个面的面积为S ，高为h ，内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，则O ABC O BCD O ACD O ABD V V V V V ----=+++，所以11433Sh Sr =⋅，从而13,.44r h R h ====． 【方法拓展延伸】1.多面体的体积为V ,表面积为S ,利用体积分割法,可得其内切球的半径为3Vr S=； 2.高为h ,各面面积均为S 的棱锥内的任意一点到各面的距离之和为定值h .方法五：（补形法）以正四面体的各棱为正方体的面对角线，将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球，所以正四面体的外接球也是正方体的外接球.设正方体的棱长为x，则2R =且a ,所以R =，从而13r R =．． 【方法拓展延伸】1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,若设其三条侧棱长分别为,,,a b c 则易得外接球的半径为R =． 2.若点P 到两两垂直的三个面的距离分别为,,,a b c 点O 为它们的公共点,则图4图5图6PO =22212a b c ++． 3.若点P 到两两垂直且共点于O 的三条直线m ,n ,l 的距离分别为x ,y ,z ,则PO =2222()2x y z ++．方法六：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD ∆于1O ，则1O 为BCD ∆的外心，求得1163,,33AO a DO a == 由相交弦定理得2663(2).333a R a a ⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭解得64R a =． 666633412r a R a a a ∴=-=-= 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ． 方法七：（坐标法）如图6, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则6333(0,0,),(0,,0),(,,0),(,,0)332626a a A a B a C a D a -- 设球心O 的坐标为(,,)x y z ，则由OA OB OC OD R ====，得2222OA OB OC OD ===，即22222222222263()()333()()263()()26x y z a x y a z ax y a z ax y a z ++-=+++=-+-+=++-+解得60,.12x y z a ===所以66,.124r z a R a ∴=== 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ． 方法八：（相似法）（侧棱、高相似）如图7, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设M 是AB 的中点，连结OM ，OB ，BO 1，AO BO OM AB =∴⊥190AMO AO B ∴∠=∠=，又1MAO O AB ∠=∠，AMO ∴∆∽1AO B ∆， 1AM AO AO AB ∴=，即2,63aRa a = 6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-=方法九：（相似法）（斜高、高相似）如图8, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设E 为BC 中点，连结AE ,EO 1，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC ∆中心，N 是AE 的三等分点， ON ABC ON r 平面，是内切圆半径,⊥且Rt ANO ∆∽1Rt AEO ∆1AN AO AO AE ∴=， 即336332aR a a =，6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。
四面体外接球地球心、半径求法
四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为ACA CDBEABCP取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y xABCDzxy所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
四面体外接球的球心、半径求法(经典)
四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
第一节 原理部分一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
正四面体的外接球和内接球的半径求法
正四面体的内切球及外接圆的半径及其求法
对于棱长为a 的正四面体，有：
1、侧面高为a 3/2（）
2、高为a 6/3（）
3、内切球半径a 6/12（）
4、外接球半径a 6/4（） 内切球根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成三个正三棱锥,首先计算出整体的体积V 然后根据三个三棱锥的体积相等得v=V/3，又有三棱锥的体积计算公式有：1Sh 3则有求出的h 即为内切球的半径.
外接球的半径算法我们可以很容易的知道外接球的球心至正四面体的每一个顶点的距离是相等的,所以继计算出内切球半径后再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可
内切球与外接球半径的联系：内切球半径+外接球半径=正四面体的高即6/12（）+a 6/4（）=6/3（）。
四面体外接球的球心、半径求法2017完美打印版
四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==AC所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
四面体外接球的球心半径求法
四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。
本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。
解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。
【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。
解:且,,,,因为 所以知所以 所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心A C所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、解:由已知建立空间直角坐标系解得所以半径为【结论】:空间两点间距离公式:四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接"问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。
作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥得内切、外接球问题例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。
四面体外接球的球心、半径求法之欧阳语创编
四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，A C︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
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四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．正四面体的表面积223434a a S =⨯=表． 正四面体的体积22221234331BE AB a AE a V BCDA -=⨯⨯=- ABCDzxy图1322212233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= BCD A V r S -=⋅表31，a aaS V r BCD A 12631223323=⨯==∴-表在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。
例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ∆及内切圆O不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ∆的内心. 设球O 的半径为r ，则MFEM EF S r MEF++=∆2，设a EF AD ==,1=∆AMD S .222,2⎪⎭⎫⎝⎛+==∴a a MF a EM ,12222222222-=+≤⎪⎭⎫⎝⎛+++=a a a a r当且仅当aa 2=，即2=a 时，等号成立. ∴当2==ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。
（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。
二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然图2球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.解：由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线a CD 3=223234a a S ⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∴ππ球表面积练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
（答案为()3326243a a V ==） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=，正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中，得 22222221125633333a a a R a R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，图6a R 1251=∴ 1:5::222121==∴R R S S ，1:55:21=V V 练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。
（答案为：224R ）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
平面向量重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。
22a x y =+；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6．向量的基本运算（1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2) (2) 平面向量的数量积 ： a ∙b=ab cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a ∙b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥x 1y 2-x 2y 1=0（4）．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥x 1x 2+y 1y 2=0.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a + (-b )；差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a - b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。