§34欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用
费马定理推论
费马定理推论费马定理是数学中的一个重要定理，它与整数解方程有关。
具体而言，费马定理指出对于任何大于2的整数n，不存在三个整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。
这个定理虽然是由法国数学家费马在17世纪提出的，但直到近400年后才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马定理的证明过程非常复杂，但它的推论却可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
我们来看费马定理的一个推论：费马小定理。
费马小定理指出，对于任何素数p和整数a，a^p mod p ≡ a mod p。
这里的“mod”表示取模运算，即求余数。
这个推论的意义在于，它可以帮助我们在计算中简化运算步骤。
例如，如果我们要计算7^100 mod 13，根据费马小定理，我们可以将7^100 mod 13简化为7^4 mod 13，然后再逐步计算得到最终结果。
这样就大大简化了计算的复杂度。
费马小定理的另一个推论是欧拉定理。
欧拉定理指出，对于任何正整数a和模数n，满足a与n互质（即最大公因数为1），则a^φ(n) mod n ≡ 1 mod n。
这里的φ(n)表示欧拉函数，表示小于n且与n 互质的正整数的个数。
欧拉定理的应用非常广泛，尤其在密码学领域中扮演着重要角色。
例如，RSA加密算法就是基于欧拉定理的原理设计的，它能够实现安全的信息传输。
另一个与费马定理相关的推论是勾股定理。
勾股定理指出，对于任何正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2的三个整数存在。
这个推论可以通过费马定理进行推导。
假设存在正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2。
我们可以将这个等式进行变形，得到a^2 = c^2 - b^2，进一步变形得到a^2 = (c + b)(c - b)。
由于c、b为正整数，所以c + b和c - b也都是正整数。
根据费马定理，我们知道a^2不可能是两个正整数的乘积，因此假设不成立。
因此，勾股定理得证。
除了以上推论，费马定理还有一些其他的推论和应用。
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
费马小定理及应用
费马小定理及应用知识定位费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。
要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p nαn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ ②若p 为素数，则1()1,()(1),kk p p p pp ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ； ④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n dϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系，∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k)，特别地，a u≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡.用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq r a a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡， 由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡（2）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k模m 互不同余.（3）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. （4）设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, ado −1对模p两两不同余.特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系.定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 3、费尔马小定理若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 4、证明费马小定理的预备定理定义1：设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。
欧拉的定理
欧拉定理是数学中的一个重要定理，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
在数论中，欧拉定理是关于同余的性质，也称为费马-欧拉定理或欧拉函数定理。
复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。
具体来说，对于任何自然数n和实数x，有φ(n)=n(1−1/2+1/3−1/4+1/5−...+(-1)^(r)(r+1)/r)，其中φ(n)表示欧拉函数，即小于n且与n互质的正整数的个数。
这个公式可以用来计算φ(n)的值。
此外，在平面几何中，欧拉定理表述的是给定一个简单多边形的顶点数和边数时，其内部点的数目等于边数和顶点数之差加二再除以二。
这个定理可以用于计算多边形的内角和、外角和等。
此外，还有多面体欧拉定理，它表述的是在任意一个凸多面体中，顶点数、棱边数和面数之间存在一个恒定的关系，即顶点数-棱边数+面数=2。
这个定理可以用于计算多面体的各种性质，如外角和、内角和等。
在组合数学中，欧拉定理可以用于求解一些组合问题，例如计算组合数的性质和公式。
在图论中，欧拉定理可以用于求解图的边数和顶点数之间的恒定关系。
此外，欧拉定理还可以用于求解一些物理问题，例如弹性力学和流体动力学中的问题。
在经济学中，欧拉定理可以用于求解一些最优化的数学问题，例如最优价格设置和资源分配等问题。
此外，欧拉定理还有一些有趣的延申和推广。
例如，在复数域中，欧拉定理可以推广为欧拉公式，即e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中i是虚数单位。
这个公式可以用于求解一些复数问题，例如求解复数函数的积分和微分等。
另外，欧拉定理还可以推广到一些更复杂的数学结构和物理现象中，例如量子力学和相对论中的时空结构。
在这些领域中，欧拉定理的一些性质和结论可以用于描述和解释一些非常抽象和复杂的现象和规律。
总之，欧拉定理是一个非常重要的数学定理，具有广泛的应用价值，同时也有很多有趣的延申和推广。
无论是在数学还是物理等领域中，欧拉定理都是一个重要的工具，可以帮助我们求解一些复杂的问题和探索一些抽象的规律。
费马定理、欧拉定理、威尔逊定理(讲稿)
欧拉定理、费马定理、威尔逊定理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ②若p 为素数，则1()1,()(1),k k p p p p p ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ；④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()ndϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；例1、证明：φ(n )＝14n 不可能成立.不可能成立假设不成立上式不成立，左边是一个奇数，上式右边是一个偶数，又即：即：为奇质数，则：设成立，则证：若不可能成立；【练习】证明：n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n p p p p p p n n n n k k k k k kk k k k k k k k k k 41)4()1()1)(1(4)1()1)(1(22)1()1)(1(2241)(,,),2(,2|441)4(41)4(212121112112122211212121212121212121=∴∴∴---=---=---==≥===----ϕϕαϕϕααααααααααααααααααααΘΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ例2、证明：数列{2n －3}中有一个无穷子数列，其中任意两项互质.}{}32{1,,,1),(mod 1321),(mod 122)(32,,,,}32{}32{21211)()((()(1)(12121212121i n k k i u u u i u u u u u u u u u k k n n u k u u u u ki u ki u x u u u u k k k k k 互素的无穷子数列中一定有一个任意两项数列依此方法一直下去项两两互素的子数列，是、数列＝理有：是欧拉函数，由欧拉定其中作项是两两互素的，记为中已有证明：设数列其中任意两项互素；中有一个无穷子数列，、证明：数列例））-+∴≤≤-≡-∴≤≤≡-=--++++ΛΛΛΛΛΛϕϕϕϕϕϕϕ例3、已知p 为质数，在1, 2, …, p α中有多少个数与p α互质？并求φ(p α). 直接用性质②例4 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项.解：1~105的所有正整数中共有(105)(3)(5)(7)48ϕϕϕϕ==个与105互素，他们从小到排列为：12345481,2,4,8,11,,104a a a a a a ======L . 对于任一的n a ，由带余除法存在唯一的q , r 使得 105,0,0105n a q r q r =+≥≤<，由(a n ，105)＝1，可得(r ，105)＝1，即1248{,,,}r a a a ∈L .反之，对于任意固定非负整数q , 1248{,,,}r a a a ∈L 有(105q ＋r ，105)＝1，于是105q ＋r 都是数列的项， 从而存在正整数n ，使得105n a q r =+. 因此数列{}n a 仅由105(1,2,,48)n q a n +=L 的数由小到大排列而成的.因为2010＝48*41＋42，所以有2010424842201010541,104,89,4394a a a a a =⨯+===而由求得所以. 2、(欧拉定理) 若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ).证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )，又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 注：这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题. 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).2、(定义1) 设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )， 我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： ⑴ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k )， 特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )ua a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡. 用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kqra a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡，由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡⑵ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ， 而k 个数a , a 2,…, a k 模m 互不同余.⑶ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. (4) 设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, a do −1对模p 两两不同余. 特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系. 定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 例5、设a 和m 都是正整数，a ＞1. 证明：).1(|-ma m ϕ证明：实上，显然1-m a a 与互素，且1-m a a 模的阶是m ，所以由模阶的性质③导出).1(|-ma m ϕ 例6：设m , a ,b 都是正整数，m ＞1，则(.1)1,1),(-=--b a bam m m证明：记).1,1(--=bam m d 由于(a , b )|a 及(a , b )|b ，易知1|1),(--a b a m m及1|1),(--b b a m m ，故d mb a |1),(-， 另一方面设m 模d 的阶是k ，则由)(m od 1),(m od 1d m d m b a ≡≡推出，k |a 及k |b ，故k |(a ，b ). 因此.1|),(m od 1),(),(-≡b a b a m d d m 即综合两方面可知，.1),(-=b a md 证毕.3、(费尔马小定理) 若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 证明：设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p≡≡.若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由欧拉定理得：)(mod 1,1)()(p ap p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得.4、(威尔逊定理) p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,-Λ中，必然有一个数除以p 余1， 这是因为x p x x )1(,,2,-Λ则好是p 的一个剩余系去0. 从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ΛΛ，使得)(mod 1p xy ≡；若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，这不可能. 故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y Λ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ， 即1,,2,1-p Λ中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对， 这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！ ∴p 为质数.5、算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数， α1、α2、…、αk 都是正整数.①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1) ③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )④ n 的正约数的积为T (n )＝1()2r n n⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.(2) 判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数. (3) n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p pnp n p n p n n P Λ 从而可以写出n !的标准分解式.例7、证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1.1|2401|531653161|51|31),5(,1),3(16422)1)(1)(1(1111,1,1)1)(1)(1(1,72401744442242244-∴-⋅⋅--∴==⋅⋅++-=-+-++-++-=-∴≥-≥p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 两两互素，则与，又费马小定理有：又整除＝能被是相邻的偶数，则：和均为偶数，且又是奇数素数证：整除；能被时，、证明当素数例ΘΘΘΘ例8、求20052003被17除所得的余数.解：()2005200520052003171141414(mod17),=⨯+≡因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16141(mod17),≡ 故()()()()()5420052005161255520031414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡所以20052003被17除所得的余数是14.变式拓展：已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字.解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数，∴a 20＝a φ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)， 又∵(25, 4)＝1，∴a 20≡1(mod 100)，∴a 20的末两位数字01.例9、证明：方程325y x =+无整数解.解：若y 是偶数，则8 |3y ，x 2≡3(mod 8)不可能. 故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 36422232++=+, 知t 是偶数，令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3) 由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 21212)1()(---≡p p s (mod p )，于是 1-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.例10、 试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 证明：若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1， 则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n －n 被p 整除例11、设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n na nb n ++，则a ＝b . 证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡- 由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1(mod ),nk p a aa p -+=≡所以0(mod ),n a n p +≡也即,(mod )n n p b n bn ba p ++≡-再由费马定理，所以pb a -，矛盾. 例12、设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数.证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p≡知k |p ，故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素).显然k ≠1，否则),(m od 121q ≡这不可能，因此k ＝p .由费马小定理)(mod 121q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).例13、设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数.证明： 因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1101(mod ),p p -≡故对每一个正整数l 有()11010(mod ),l p p --≡ 而()()(){1111019999111,l p l p l p ----==⨯L L 123个个因()1(,9)1,101,l p p p -=- 故(){111 1.l p p -L 个例14、证明：若0(mod ),ppm n p +≡则20(mod ),ppm n p +≡这里p 是奇素数.证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).ppm m p n n p ≡≡于是，(mod ).ppm n m n p +≡+ 故可由已知条件0(mod )ppm n p +≡得0(mod ).m n p +≡故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此()()()()()()()12122111210(mod ).p p p p p p p p p rp rrrp p ppm n m pk m pk C pk m C pk m Cpk m Cpk m p -----+=+-=-+++-++≡LL例15、(2004第36届加拿大奥林匹克) 设p 是奇质数，试证：∑-=-+≡11212)(mod 2)1(p k p p p p k例16、(第44届IMO ) 设p 是质数，试证：存在一个质数q ，使对任意整数n ，数n p −p 不是q 的倍数.例17、已知p是给定的质数，求最大正整数m满足：⑴1≤m≤p−1；⑵∑-=≡11) (modpkm p k.例18、(2006国家集训队测试题) 求所有的正整数对(a, n)，使得n|(a＋1)n−a n课外练习题：1、①证明：f (x )＝15x 5＋13x 3＋715x 是一个整值多项式. ②求证：f (n )＝15n 5－32n 2＋1310n －1被3除余2.①则只需证=)(15x f x x x 75335++是15的倍数即可. 由3，5是素数及Fetmat 小定理得)5(mod 5x x ≡，)3(mod 3x x ≡，则)5(m od 07375335≡+≡++x x x x x ；)3(m od 0275335≡+≡++x x x x x而(3，5)＝1，故)15(mod 075335≡++x x x ，即)(15x f 是15的倍数, 所以)(x f 是整数. 2、 证明：2730|n 13－n (n ∈N *))(|2730137532),(137532)(|2),(|3),(|5),(|7)(,)(,)(,)(,)()1)(1)(1)(1)(1()1)(1)(1()1)(1(),(|13),(,)(1375322730)(,|273043212433527162263366131313n f n f n f n f n f n f n f n n n f n n n f n n n f n n n f n n n n n n n n n n n n n n n n n n f N n n n n f N n n n 两两互素，故，，，，且均整除，，，，即由费马小定理可知：的因式都是故由于可知则由费马小定理，，若记＝证明：【练习】证明：-=-=-=-=++-+++-=++-=+-=-∈-=⋅⋅⋅⋅∈-Θ3、 已知有正整数b a b a ab ba b a ++++的最大公约数不超过与是整数，求证：使得11,.证明：由于a ＋1b ＋b ＋1a ＝a 2＋b 2＋a ＋b ab……①，设(a , b )＝d ，则d 2|a 2＋b 2，显然d 2|ab ，由①得，d 2|a ＋b于是a ＋b ≥d 2，a ＋b ≥d ，即 (a , b )≤a ＋b .4、求最小的正整数k ，使得存在非负整数m ，n 满足k ＝19m －5n5、将与105互素的所有正整数从大到小排列，试求出这个数列的第1000项；法一：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－17)=48个.1000=48×20＋48－8， 105×20=2100. 而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186. 法二：6．设n m ,为正整数，具有性质：等式(171,)(171,)k m k n -=-对所有的正整数k 成立. 证明：17rm n =，其中r 是某个整数.。
数论费马小定理
数论费马小定理数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它是由法国数学家费马在17世纪提出的。
费马小定理给出了一种判断一个数是否为素数的方法，它为数论研究提供了一个重要的工具。
本文将详细介绍数论费马小定理的原理和应用。
1. 费马小定理的原理费马小定理是关于模运算的一个定理。
模运算是指在数学中，把一个数除以另一个数，求出余数的运算。
例如，当我们说“7除以3等于2，余1”时，2就是商，1就是余数。
费马小定理的原理是：如果p是一个素数，a是一个整数，那么a 的p次方减去a，再除以p，所得的余数一定是0。
换句话说，a的p次方与a取模p的结果是0。
2. 费马小定理的应用费马小定理在密码学领域有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在RSA加密算法中。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用了大素数的乘积来加密和解密数据。
RSA加密算法的安全性依赖于两个大素数的乘积难以分解成其素因子。
费马小定理可以用来检测一个数是否为素数，从而在RSA加密算法中选择合适的素数。
费马小定理还可以用来求解模线性方程。
模线性方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m都是整数。
费马小定理可以帮助我们在模运算中求解这类方程。
3. 费马小定理的例子为了更好地理解费马小定理，我们来看一个例子。
假设我们要判断数17是否为素数，我们可以选择一个整数a，比如2，然后计算2的17次方除以17的余数。
根据费马小定理，我们知道2的17次方与2取模17的结果应该为0。
具体计算过程如下：2^17 ≡ 2 (mod 17)上述计算结果为2，不等于0。
因此，我们可以得出结论，17不是一个素数。
4. 总结数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它可以用来判断一个数是否为素数，求解模线性方程等。
在密码学领域，费马小定理被广泛应用于RSA加密算法中。
通过了解和掌握费马小定理的原理和应用，我们可以更好地理解数论的基础知识，并应用于实际问题中。
数论费马小定理的研究对于数学学科的发展具有重要的意义，它不仅为数论研究提供了有力的工具，也为密码学和模运算等相关领域的研究提供了理论基础。
费马小定理内容
费马小定理内容费马小定理是一种数学定理，它可以用于帮助我们在数论运算中解决许多问题。
它被广泛应用于密码学和其他领域，因为它可以解决一些重要的计算问题。
在本文中，我们将分步骤阐述费马小定理的内容，以便更好地理解它的应用。
1. 定理内容费马小定理指出，如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a 的p次方减去a都能被p整除，也就是说，a的p次方与a除以p的余数相等。
或者另一种表达方式：对于任意整数a，如果p不能整除a，那么a的（p-1）次方减去1都能被p整除。
这个定理可以很容易地理解，因为对于任意整数a，p都是其模数。
那么，当我们计算模数时，取余数的结果和模数相等。
因此，在这种情况下，费马小定理表述的内容非常合理。
2. 定理证明费马小定理的证明比较简单，我们只需要运用一些基本的数学原理即可。
假设a和n是两个互质的整数。
那么，我们可以将a的p次方进行分解，得到如下等式：a^p ≡ a (mod p)接着，我们将a乘以a的p-1次方，得到如下等式：a^p ≡ a^(p-1)·a (mod p)根据模运算的定义，我们可以将a的p-1次方模p，得到以下等式：a^p ≡ a^(p-1)·a mod p ≡ a^(p-2)·a^2 mod p ≡ a^(p-2)·a·a mod p这个过程可以一直继续下去，直到变成以下等式：a^p ≡ a (mod p)因此，我们可以得出结论，即在质数p的情况下，费马小定理是成立的。
3. 应用举例费马小定理的应用非常广泛，其中最重要的应用之一就是用于RSA密码算法。
RSA密码是一种公钥密码体制，它利用了费马小定理的性质。
在RSA密码算法中，我们需要生成两个大质数p和q，然后计算它们的积n。
我们还需要选择两个整数e和d，它们满足以下两个条件：- e和(p-1)·(q-1)互质- e·d ≡ 1 (mod (p-1)·(q-1))然后，我们将n和e设置为公钥，将n和d设置为私钥。
(完整版)费马定理及其应用
(完整版)费马定理及其应用费马定理是数论中的一个经典问题，由法国数学家皮埃尔·费马在17世纪前半所提出。
这个定理与勾股定理之间有着密切的联系，费马定理被认为是勾股定理的一般情况。
费马定理的表述为：对于任何大于2的整数n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
费马定理在当时提出后引起了广泛的关注和研究，但直到数学家安德鲁·怀尔斯于1994年证明该定理才告一段落。
怀尔斯的证明借助了现代数论中的一些高深理论和方法，使得这个问题得到了完全的解决。
然而，费马定理的证明非常复杂，需要高深的数学知识和技巧。
因此，费马定理的证明过程并不适合在这个文档中进行详细阐述。
而本文档的重点主要是介绍费马定理及其应用。
费马定理作为一个经典问题，其应用广泛存在于数学和计算机科学的各个领域。
其中，一个重要的应用是在密码学中。
费马定理的一个推论是费马小定理，它为密码学中的一些算法提供了重要的依据。
根据费马小定理，如果p是一个素数，a是不可被p整除的整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理在RSA加密算法中起到了关键作用。
除了密码学，费马定理还有其他一些应用。
例如，在代数几何中，费马定理的一个推论被用于解决一些几何问题。
在概率论和组合优化中，费马定理也有一些应用。
此外，费马定理及其证明还对数学史的发展产生了深远影响，推动了数学中一些重要的研究方向。
综上所述，费马定理作为一项经典的数学问题，在数学和计算机科学中具有广泛的应用。
虽然费马定理的证明非常复杂，但其应用却可以在各个领域中找到。
费马定理的研究不仅扩展了我们对数学和计算机科学的认识，也促进了相关领域的发展。
参考文献：1. Andrew Wiles. "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem." Annals of Mathematics, Vol. 141, No.3, 1995.2. George E. Andrews. "Number Theory." Dover Publications, 1994.3. Harold M. Edwards. "Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory." Springer Science & Business Media, 2012.。
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bq.
但a,b 1，故
b 10t 1,10t 1modb,10,b 10t ,b 1,b 1.
注：也可根据b 10t 1及反证法证明b,10 1. （ⅱ）若b,10 1，则由欧拉定理，10b 1modb.令
故ar1,ar2,L ,arm也是模的一个简化剩余系.于是
ar1 ar2 L arm r1r2L rm mod m,
amr1r2 L rm r1r2 L rm mod m ,
am 1mod m.
返回
推论（费马定理）若p是质数，则对任意整数a，总有
a p amod p. 证 因p为质数，故a, p 1或p a.若a, p 1,则由
§4 欧拉定理·费马定理及其对 循环小数的应用
欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它
们在数论中的应用非常广泛.本节应用简化剩余系的理论，
推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理.最后还要把
欧拉定理应用于循环小数.
定理（1 欧拉定理）设m 1,a,m 1，则
am 1mod m.
证 设r1,r2,L ,rm是模m的一个简化剩余系，因a,m 1，
因此
2 a b1M a1,0 a1 b1.
10 a M a1 .
b
b1
易知0 M 10 ,a1,b1 2 a Mb1,b1 2 a,b1 1.
由定理2，可以把 a1 表示为循环小数：
b1
返回
a1 b1
0.c&1L
c&t .
设M m1101 L m 0 m 9 ,则
环小数. 如循环小数0.3214139139139L 最小的t 3，其循环节是
1,3,9. 最小的s 0，故该循环小数是纯循环小数.
定理2 有理数 a 0 a b,a,b 1可以表示为纯循环 b
小数的充分必要条件是b,10 1.
证（ⅰ）若 a 0 a b,a,b 1可以表示为纯循环小 b
由带余除法，
q1 10q2 at1,0 at1 10,
q 10q1+at ,0 at 10, q2 10q3 at2 ,0 at2 10,
L
qt1 10qt a1,0 a1 10,
返回
则 q 10t qt 10t1a1 10t2 a2 L 10at1 at .
易知q为正整数，故q1, q2,L , qt都为非负整数.若qt 1，则
表示为循环小数，其中不循环的位数是 max, .返回
证 我们只证明 的情形，至于 的情形，可类
似证明.若 ，则 .故
10 a 10 a 2 a .
b
b b1
因a,b 1,b1 b,故a,b1 1.又b1,10 1,故b1,2 1, b1,2
1.因此b1不整除2 a.由带余除法，存在整数M ,a1使得
0.a1a2 L as a&s1L a&st . 对于循环小数来说，满足上述性质的s,t不唯一. 如对于 循环小数0.3214139139139L ,可取s 4,t 3，则该循环小 数可简写为0.32141&39&，也可以取s 5,t 6,则该循环小数可
返回
以简写为0.321413&91391&，等等. 如t是最小的，则称as1, as2,L ,ast为循环节，而把t称为循环节的长度；若最 小的s 0，则称该循环小数为纯循环小数，否则称为混循
p p 1及欧拉定理得
返回
a p1 1mod p,a p amod p.
若p a，则显然有a p amod p.
以上两个定理对数论的应用是非常多的.下面仅说明欧拉
定理对无限循环小数的应用. 任何一个有理数都可以表示为 a ，这里a,b都为整数，且 b
a 0.由带余除法，存在整数q,r 0 r b使得b aq r，
t b,则t为正整数，且b 10t 1.从而存在正整数q使得
10t 1 bq,10t a bqa a.
返回
令q qa，则
10t a qb a,
0 q
10t 1
a b
10t
a b
10t
b 1 b
10t
1
1 b
10t
1,
10t
a b
q
a,a bb
q 10t
1 10t
a. b
a b
0.m1L
m c&1 L
c&t .
下证不循环的位数不能小于.假设 a 还可以表示为
则由定理2，
a b
0.m1L
mvc&1L
b
c&s ,v ,
10v
a b
10v
a b
0.c&1L
c&s
a1 , b1其中b1,10Fra bibliotek1.令a
a1
b1
10v
a b
,则
10v ab1 ab.
返回
10v ab1 ab. 上式右边可被5 5 整除，而左边a及b1都与5互质，故
q 10t，这与q 10t 1矛盾.故qt 0, q 10t1a1 10t2 a2 L
10at1 at ,从而
a b
0.a1a2 L
at
1 10t
a. b
反复应用上式，即得
a b
0.a&1a2 L
a&t .
b1,1定0 理 13,b若1 ba1是,有, 理都数为，非其负中整0数，a 但 b不,全a,b为 零 1，,b则 2ba可5以b1,
0.a1a2 L asas a 1 s2 L astas1as2 L ast L .
定义 若对无限小数0.a1a2L an L （, ai是0,1,L ,9中的一个 数码，i 1,2,L ,并且从任何一位以后不全是0）来说，存在
非负整数s及正整数t使得，对任意正整数n s 1，都有an
ant，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写 为
5 10v,5 5v .这与 v矛盾.
故
a bq r b r ,0 r 1.
bb
bb
故以下只讨论开区间0,1中的分数与小数互化.
若对无限小数0.a1a2L an L （, ai是0,1,L ,9中的一个数码，
i 1,2,L ,并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整
返回
数s及正整数t使得，对任意正整数n s 1，都有an ant， 则该无限小数可以写为