费马小定理
鸽巢问题的三个公式
鸽巢问题的三个公式
1、费马小定理：如果一个正整数a和正整数b及正整数n满足gcd （a，n）=1并且a^b =1 (mod n )，那么称满足该关系的三元组（a，b，n）为一个费马小定理。
2、鸽巢定理：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么存在必然存在某个鸽巢容纳至少两只鸽子。
3、贝祖定理：在满足费马小定理的情况下，若a^(b/2)=1(mod n)，那么该关系称为贝祖定理，并且有a^b=1 (mod n)^2 成立。
费马小定理是一种数论中最古老、最重要的定理，由18世纪意大利数学家费马发现，属于完全平方定理中的一种。
它做出了结论：如果p 是大于零的奇素数，且a是整数，且两者的积不能被p整除，那么a的p次方与a的模p相等。
鸽巢定理又称鸽笼定理，也叫鸽笼原理或卡塔尔定理，是一种数学定理，它主要用于推论系统的存在性，它的陈述是：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么有必然会有某个鸽巢容纳至少两只鸽子，也就是，鸽子至少有一个巢里有两只或以上。
贝祖定理指出，如果a是一个整数，b是一个正整数，n是一个正奇数，满足费马小定理的关系，当且仅当a的b的二分之一的模n的等式为余数1时，该定理用于计算指数为奇数的费马定理，此时，a^b
=1(mod n2)成立。
如果指数为偶数，则不具有贝祖定理。
费马小定理的证明
费马小定理的证明
（最新版）
目录
1.费马小定理的概述
2.费马小定理的证明方法
3.费马小定理的应用
4.结论
正文
1.费马小定理的概述
费马小定理，又称费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马于1637 年提出的一个数学定理。
该定理的陈述如下：对于任意大于 2 的自然数 n，方程 x^n + y^n = z^n 不存在正整数解。
换句话说，费马小定
理表明当 n 大于 2 时，没有三个正整数 x、y 和 z 可以满足该方程。
对于 n=1 和 n=2 的情况，该方程有解，分别对应勾股定理中的直角三角形和平方数之和等于平方数的情形。
2.费马小定理的证明方法
费马小定理的证明方法并不简单，历经了几百年的探索。
直到 1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功地证明了费马小定理。
怀尔斯利用了代数几何、数论和代数的高级理论，将费马小定理与椭圆曲线之间建立了联系。
他证明了椭圆曲线上的点加法和费马小定理之间存在深刻的关系，从而证明了费马小定理的正确性。
怀尔斯的证明被认为是数学史上的杰作之一。
3.费马小定理的应用
虽然费马小定理看似简单，但它在数学领域具有广泛的应用。
在代数几何、数论、密码学等领域，费马小定理都发挥了重要作用。
例如，在密
码学中，费马小定理可以用来构建公钥密码系统，如 RSA 加密算法，从而保证信息的安全传输。
4.结论
费马小定理从提出到证明，历经了几百年的探索。
怀尔斯的成功证明不仅为这个古老的问题画上了句号，还揭示了数学领域不同分支之间的深刻联系。
费马小定理 威尔逊定理 洛谷
费马小定理（Fermat's Little Theorem）、威尔逊定理（Wilson's Theorem）以及洛谷（Luogu）是数学领域中常见的概念和工具。
它们在数论、离散数学等领域中有着重要的应用和意义。
接下来，我将分别介绍这三个概念，并阐述它们的相关内容和特点。
一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）于17世纪提出的一条基本定理。
该定理是关于整数的一个重要性质，其内容可以用如下的形式来表述：1.1 定理内容如果p是一个质数，a是任意一个整数且a与p互质（即a与p没有公约数），则有如下等式成立：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)其中，a^(p-1) 表示a的p-1次方，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
1.2 定理应用费马小定理在密码学、离散数学等领域有着广泛的应用。
在密码学中，费马小定理常用于快速计算模幂运算，以及构造和破解RSA公钥密码系统。
在离散数学中，费马小定理可以用来证明一些数论性质，推导一些数论定理等。
二、威尔逊定理威尔逊定理是由英国数学家约翰·威尔逊（John Wilson）于18世纪提出的一条关于质数的定理。
它的内容可以用如下的形式来表述：2.1 定理内容对于任意一个正整数p，p是质数当且仅当：(p-1)! ≡ -1 (mod p)其中，(p-1)!表示(p-1)的阶乘，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
2.2 定理应用威尔逊定理在数论中有着重要的应用。
它可以用来判定一个数是否为质数，也可以用来证明一些数论性质和定理。
威尔逊定理还与费马小定理有一定的通联，可以互相补充和应用。
三、洛谷洛谷（Luogu）是一个面向中学生和高中生的上线OJ（Online Judge）系统，提供有关基于计算机编程的竞赛和练习评台。
它起源于我国大陆，为用户提供了一系列的习题和比赛，涵盖了多种编程语言和算法题型。
洛谷的主要特点包括：3.1 提供多种编程语言的支持，如C/C++、Java、Python等，让用户可以根据自己的喜好和实际需要选择合适的编程语言进行练习和比赛。
费马小定理简单证明
费马小定理简单证明
费马小定理是数论中的重要定理之一，它提供了一种通过取模运算来简化指数幂计算的方法。
下面给出费马小定理的简单证明。
假设a是一个整数，而p是一个质数，且a不是p的倍数。
费马小定理表述如下：
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明：
根据费马小定理，我们需要证明a^(p-1)与1在模p下是同余的，即它们具有相同的余数。
首先考虑a的倍数的情况，如果a是p的倍数，则对于任意的整数k，有a ≡ 0 (mod p)，即a的p次方与0模p同余。
此时，等式a^(p-1) ≡ 1 (mod p)不成立。
现在假设a不是p的倍数，根据欧拉定理，对于任意的整数a和正整数n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，
其中φ(n)表示小于等于n的与n互质的正整数的个数。
由于p是一个质数，所以与p互质的正整数个数为p-1，即φ(p) = p-1。
将欧拉定理中的n替换为p，我们得到
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
综上所述，当a不是p的倍数时，费马小定理成立，即
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这就是费马小定理的简单证明过程。
费马小定理在数论和密码学等领域有广泛的应用，可以简化很多指数幂的计算。
费马小定理简单证明
费马小定理简单证明【最新版】目录1.费马小定理的概述2.费马小定理的证明方法3.费马小定理的应用正文【费马小定理的概述】费马小定理是数论中的一个重要定理，由法国数学家皮埃尔·德·费马于 17 世纪提出。
该定理的全称是“费马小定理：对于任意大于 2 的整数 n，方程 x^n + y^n = z^n 不存在正整数解”。
简单来说，费马小定理表明当 n 大于 2 时，没有三个正整数 x、y 和 z 可以满足该方程。
【费马小定理的证明方法】费马小定理的证明方法有很多，其中比较简单的证明方法是使用代数方法。
以下是一种简单的证明方法：假设存在正整数 x、y 和 z 满足方程 x^n + y^n = z^n，那么我们可以将方程两边同时除以 z^n，得到：(x^n / z^n) + (y^n / z^n) = 1因为 x、y 和 z 都是正整数，所以 x^n / z^n 和 y^n / z^n 都是小于 1 的正有理数。
根据有理数的性质，我们可以将这两个正有理数表示为 p/q 的形式，其中 p 和 q 是互质的整数，且 q 不为零。
将这两个有理数代入上式，得到：(p1 / q1) + (p2 / q2) = 1移项并通分，得到：(p1 * q2 + p2 * q1) / (q1 * q2) = 1因为 p1 * q2 + p2 * q1 是整数，所以 q1 * q2 必须是整数。
然而，根据辗转相除法，我们知道当 n 大于 2 时，q1 和 q2 一定互质，所以q1 * q2 不可能是整数。
因此，假设不成立，费马小定理得证。
【费马小定理的应用】费马小定理在数论中有着广泛的应用，其中最著名的应用之一是费马小定理在密码学中的应用。
基于费马小定理，我们可以构造一种加密方法，即公钥加密。
在这种加密方法中，加密者选择一个大于 2 的整数 n，然后将要加密的信息转换成数字，再将这些数字按照费马小定理的规则组合成一个数字。
数论费马小定理
数论费马小定理
数论费马小定理是数学中的一个重要定理，它是由法国数学家费马在
17世纪提出的。
该定理表明，如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a，一定是p的倍数。
也就是说，a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有着广泛的应用。
例如，在RSA加密算法中，就是利用了费马小定理。
RSA算法的核心是选择两个大质数p和q，然
后计算它们的乘积n=pq。
接着，选择一个整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质。
然后，选择一个整数d，使得ed ≡ 1 (mod (p-1)(q-1))。
最后，将n和e公开，而将d保密。
这样，任何人都可以使用公钥(n,e)对消息进行加密，但只有持有私钥d的人才能解密。
RSA算法的安全性基于一个假设，即分解n=pq是困难的。
因此，如
果有人能够分解n，就可以轻松地破解RSA加密。
费马小定理提供了
一种方法来验证n是否为质数。
如果n不是质数，那么就可以轻松地
分解n。
因此，费马小定理在RSA算法中起到了重要的作用。
除了在密码学中的应用，费马小定理还有许多其他的应用。
例如，在
组合数学中，费马小定理可以用来证明组合恒等式。
在计算机科学中，费马小定理可以用来加速模幂运算。
在数论中，费马小定理可以用来
证明欧拉定理和威尔逊定理等重要定理。
总之，费马小定理是数学中的一个重要定理，它在密码学、组合数学、计算机科学和数论等领域都有着广泛的应用。
无论是在理论研究还是
在实际应用中，费马小定理都发挥着重要的作用。
费马小定理证明过程
费马小定理证明过程费马小定理是数论中的一条重要定理，它是欧拉定理的一个特例。
在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍费马小定理的证明过程。
一、费马小定理的表述费马小定理是指：对于任意质数p和整数a，如果a不是p的倍数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
二、证明过程为了证明费马小定理，我们需要用到以下两个引理：引理1：如果p是质数，a是p的倍数，则a^p ≡ a (mod p)。
证明：根据费马小定理，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，两边同时乘以a得到：a^p ≡ a (mod p)因此引理1成立。
引理2：如果p是质数，a不是p的倍数，则存在整数b使得ab ≡ 1 (mod p)。
证明：考虑所有形如{0, 1, 2, ..., p-1}中与a互素的元素ai。
这样一来，我们可以构造一个新序列b_i = ai*a^-1(mod p)，其中a^-1表示模p意义下的逆元。
由于ai与a互素，因此b_i必然也与a互素。
又由于b_i都是{0, 1, 2, ..., p-1}中的元素，因此它们构成了{0, 1, 2, ..., p-1}的一个置换。
因此必然存在一个b_i使得b_i ≡ 1 (mod p)，即有ab ≡ 1 (mod p)。
有了这两个引理，我们就可以证明费马小定理了。
假设a不是p的倍数，则根据引理2，存在整数b使得ab ≡ 1 (mod p)。
因此有：a^(p-1) ≡ a^(p-1)*1 ≡ a^(p-1)*ab ≡ a^p*b ≡ a*b (mod p)又由于a不是p的倍数，因此a与p互素。
因此根据引理1，有a^p ≡ a (mod p)。
将其代入上式得到：a^(p-1) ≡ a*b*a^(p-2) (mod p)由于a与p互素，因此根据欧拉定理，有：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)将其代入上式得到：a*b*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)两边同时乘以a^-2得到：b ≡ a^(-2) (mod p)即存在整数b使得ab ≡ 1 (mod p)，证毕。
费马小定理举例
费马小定理举例
一、费马小定理是什么呢？
费马小定理可是数论里超有趣的一个定理哦。
简单来说呢，如果p是一个质数，a是一个整数，并且a和p互质（就是除了1之外没有其他的公因数啦），那么a的(p - 1)次方除以p的余数就等于1。
这听起来是不是有点神奇？就像是数学世界里的一个小魔法一样。
二、费马小定理的举例
1. 当p = 5，a = 2的时候
首先呢，我们按照费马小定理的规则来计算。
这里p = 5，那么p - 1 = 4。
接着计算2的4次方，2的4次方等于16。
然后16除以5呢，16÷5 = 3余1，你看，余数正好是1呢，完全符合费马小定理。
2. 再看p = 7，a = 3的情况
p - 1 = 6。
3的6次方等于729。
729除以7呢，729÷7 = 104余1，又一次符合了费马小定理。
3. 还有当p = 11，a = 5的时候
p - 1 = 10。
5的10次方等于9765625。
9765625除以11呢，9765625÷11 = 887784余1。
三、费马小定理举例的意义
这些例子可不是随便举着玩的哦。
通过这些具体的例子，我们能更好地理解费马小定理这个有点抽象的概念。
就像我们认识一个新朋友，一开始可能觉得很陌生，但是通过一起做一些事情（就像这些举例的计算），就会越来越熟悉啦。
而且在密码学等很多领域，费马小定理都有着很重要的应用呢。
比如说在一些加密算法里，就会用到这种数学原理，来保证信息的安全和准确传输。
是不是感觉数学一下子变得很厉害又很有趣呢？。
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费马小定理费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成这个书写方式更加常用。
（符号的应用请参见同余。
）证明若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。
取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A 中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。
因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B 中的任何两个元素之差也不能被p整除。
因此即在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：广义费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么这里φ(n)是欧拉商数。
欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。
假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法；尽管它是错误。
神奇的费马小定理(1)——从实验、观察、发现到猜想和证明谢国芳（Roy Xie）Email: **************章节目录1. 费马的惊人断言——费马小定理的原始表述2. 我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明2.1 费马指数和最小费马指数2.2 “普通版费马小定理”和“加强版费马小定理”2.3 对最小费马指数更深入的探究3. 费马小定理的证明1.费马的惊人断言——费马小定理的原始表述十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马(Pierre de Fermat，1601～1665）在 1640 年10 月 18 日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科·德·贝西（Frénicle de Bessy, c. 1605～1675）的信中，写下了这样一段话（原文是法语）：« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances - 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné - 1 »[拙译]“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。
”费马的原话有点晦涩难懂，把它翻译成“大白话”（通用的数学语言）是这样的：设a 是任意一个整数[1]，考虑以它为底的几何级数即 a 的各次方幂构成的数列：a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, .....费马断言，给定任何一个质数p ，在上述数列中一定能找到一个数a n，它减去1后是p 的倍数，并且n 是p - 1的因子。
2.我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明下面，让我们先用实验的方法来检验费马的断言, 同时切身感受一下费马所揭示的神奇规律的魔力。
作为好消息提前预告一声，在接下来我们的实验和探索中，我们将会发现比费马陈述的更多的东西，最终将导出一个“升级版的”或者说“加强版的费马小定理”，它比通常大家所说的费马小定理内容更丰富、更深刻，威力更强大。
2.1费马指数和最小费马指数为了方便记录我们的观察结果，我们先引入一个定义：定义1（费马指数）给定质数p和整数a，若a n- 1 能被p整除，称n为“费马指数”，更具体地说是“以a为底、关于p 的费马指数”。
应该补充说明的是，我们定义的费马指数是正整数，不包括0（当n = 0时，a0- 1 = 1-1 = 0 恒能被p整除）。
费马的断言意味着对于任意的整数a [1]和质数p 都能找到费马指数，我们先来看a = 2的特殊情形[2]，2 的几何级数即 2 的各次方幂是大家非常熟悉的[3]：21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 =16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 =512, 210 = 1024, .....现在，就让我们动手来寻找隐藏在上面数列中的费马指数，对于较小的质数来说[4]，这是容易找到的，而且我们很快发现它还还不止一个，似乎有无穷多个：☆p = 322 - 1 = 3, 24 - 1 = 15 = 3×5, 26 - 1 = 63 = 3×21, 28 - 1 = 255 =3×85, 210 - 1 = 1023 = 3×341, ...费马指数：2，4，6，8，10, ......☆p = 524 - 1 = 15 = 5×3, 28 - 1 = 255 = 5×51, 212 - 1 = 4095 = 5×819, 216- 1 = 65535 = 5×13107, ...费马指数：4，8，12，16, ......☆p = 723 - 1 = 7 = 7×1, 26 - 1 = 63 = 7×9, 29 - 1 = 511 = 7×73, 212 - 1 =4095 = 7×585, ...费马指数：3，6，9，12, ......☆p = 11210 - 1 = 1023 = 11×93, 220 - 1 = 1048575 = 11×95325, 230 - 1 =1073741823 = 11×797612893, ...费马指数：10，20，30, ......观察上面的费马指数序列，你发现了什么规律？规律是如此地明显，相信你一定看出来了，我们可以把它概括为下面这两个猜想（注意，在证明它们之前，我们所发现的“规律”只能称之为猜想）：猜想Ⅰ若 n 为费马指数，则 n 的任何倍数都是费马指数。
猜想Ⅱ所有的费马指数都是某个最小费马指数的倍数。
思考题1. 在上面这两个猜想中，哪一个更容易证明？2. 试证明上面的猜想Ⅰ。
稍加尝试你就会发现，猜想Ⅰ比猜想Ⅱ更容易证明，军事中的原则“避实击虚”、“先歼灭弱敌”也同样适用于数学，所以我们先来证明猜想Ⅰ，证明了之后它就升级为一个“引理”（lemma），因为它可以引导出某个更重要的更有价值的东西（它被称为“定理”）。
引理1若 n 为费马指数，则 n 的任何倍数都是费马指数。
换言之，对于给定的质数p和整数a，若a n- 1 能被p整除，则a mn- 1 （m为正整数）也能被p整除。
另一个证明参见注[6].如此轻松地证明了我们的第一个猜想（现在已经“升级”为引理1）让我们欢欣鼓舞，士气大振，带着这一辉煌的战果“乘胜追击”，猜想Ⅱ似乎也马上可以“拿下”了。
思考题试问能否由引理1证明我们前面的猜想Ⅱ——“所有的费马指数都是某个最小费马指数的倍数”，若能请给出证明，若不能请给出一个反例，并思考还需要再加上什么样的条件才能证明猜想Ⅱ成立。
以为有了引理1就可以证明猜想Ⅱ成立是一种错觉，很容易构造出反例，比如考虑2的倍数和3的倍数合在一起构成的集合：{2, 4, 6, 8, 10, ...} ∪ {3, 6, 9, 12, 15, ...} = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, ...}显然，该集合中的每个数的倍数都在该集合中，但并不是该集合中的所有数都是某个最小的数（2）的倍数。
看来，要证明猜想Ⅱ光靠引理1是不够的，我们还需要知道关于费马指数更多一点的信息，准确的说是加法方面的性质[6]，我们可以把它归纳为下面这两个引理（是否和你料想的一样？）：引理2若m, n 为费马指数，则m + n 也是费马指数。
换言之，对于给定的质数p和整数a，若a m- 1 和a n- 1 能被p整除，则a m+n- 1 也能被p整除。
引理3若m, n 为费马指数且m > n ，则m - n 也是费马指数。
换言之，若a m- 1 和a n- 1 都能被p整除（m > n），则a m - n- 1 也能被p整除。
有了上面这三个引理，我们已经扫清了通向猜想Ⅱ的所有外围障碍，将它左右夹击，前后包抄，团团围住，可以发起最后的总攻了。
思考题试利用引理1-3证明猜想Ⅱ，证明了之后它就同样晋升为引理，它是上面我们得到的所有结果的结晶：引理4 所有的费马指数都是某个最小费马指数的倍数。
有了引理4，全部的问题就归结为确定最小费马指数，鉴于其重要性，下面我们再重申一下它的定义，并引入相应的记号：定义2（最小费马指数）给定质数p和整数a，称使得a n- 1 能被p整除的最小的指数n为“最小费马指数”，更具体地说是“以a 为底、关于p 的最小费马指数”，用 F(a, p) 记之。
[8]前面我们已经找到了以 2 为底，p = 3, 5, 7, 11 时的各个最小费马指数：☆p = 3, 22 - 1 = 3 = 3 ×1, 最小费马指数F (2, 3) = 2☆p = 5, 24 - 1 = 15 = 5 × 3, 最小费马指数F (2, 5) = 4☆p = 7, 23 - 1 = 7 = 7 × 1, 最小费马指数F (2, 7) = 3☆p = 11, 210 - 1 = 1023 = 11 × 93, 最小费马指数F (2, 11) = 10接下来让我们看更多的质数，考察其最小费马指数的规律：☆p = 13, 212 - 1 = 4095 = 13 × 315, 最小费马指数F (2, 13) = 12☆p = 17, 28 - 1 = 255 = 17 × 15, 最小费马指数F (2,17) = 8☆p = 19, 218 - 1 = 262143 = 19 × 13797, 最小费马指数F (2, 19) = 18☆p = 23, 211 - 1 = 2047 = 23 × 89, 最小费马指数F (2, 23) = 11☆p = 29, 228 - 1 = 268435455 = 29 × 9256395, 最小费马指数F (2, 29) = 28☆p = 31, 25 - 1 = 31 = 31 × 1, 最小费马指数F (2, 31) = 5☆p = 37, 236 - 1 = 68719476735 = 37 × 1857283155, 最小费马指数F (2, 37) = 36☆p = 41, 220 - 1 = 1048575 = 41 × 25575, 最小费马指数F (2, 41) = 20☆p = 43, 214 - 1 = 16383 = 43 × 381, 最小费马指数F (2, 43) = 14☆p = 47, 223 - 1 = 8388607 = 47 × 178481, 最小费马指数F (2, 47) = 23思考题观察上面的各个最小费马指数，你发现了什么规律？相信目光锐利的读者一定发现了这个规律：有时候最小费马指数F (2, p) 就等于p - 1 ，而当它不等于p - 1 的时候，它的某个倍数一定等于p - 1 ，用更精炼的语言，我们可以把它概括为：猜想Ⅲ最小费马指数 F (2, p) 是p - 1 的因子。