费马原理
费马原理的内容
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费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理。
费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）
光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和
l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程。
费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的。
费马原理为几何光学中的基本原理，费马原理也被称为最短时间原理。
通过费马原理可以推导斯涅尔定律、反射定律和光线传播定律。
以及有关各种光学器件的定理也可以从费马原理或上述定律中推导出来。
费马原理的精确表示：在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播。
这种表述较最短时间原理相比更为准确，在反射定律的例子中，光沿着入射角等于出射角的路径传播。
可是依据最短时间，光线并没有沿着最短的路径传播，毕竟两点之间线段最短。
因此在存在约束的条件下，“在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播”此表述更为精确。
通过费马原理可以推导出光沿着直线传播，因为相同的一束光在同一种介质内的传播速度相同，所以若这一束光要从点A传播至点B，则根据两点之间线段最短得到光线将沿着此先短传播。
费马原理
t [l] nl [l] ct cc
2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
◆ 分区均匀介质:
k
[l] 1 k
[l] nili
i 1 nili
◆ 连续介质:
[l] ndl (l)
二.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，
会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
分析：
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
F
抛物线性质
N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
三.费马原理的应用
1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
3. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
费马最短时间原理
费马最短时间原理
费马最短时间原理，又称费马原理、最短时间原理，是物理学中的一个重要原理。
该原理由法国数学家和物理学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出。
费马最短时间原理的核心思想是：光在介质中传播时，总是选择用时最短的路径。
换句话说，光在从一个点到另一个点的传播过程中，会选择一条路径，使得光在该路径上所花费的时间最短。
这个原理可以通过折射和反射来解释。
假设有一个光线从一个介质射入另一个介质中，当光线经过折射或者反射后到达另一个点，光线会选择使得总用时最短的路径。
这可以用以下实例来说明：
想象一个光线从空气中射入水中，光线将发生折射。
现在我们需要找到光线经过的路径，使得从起点到终点的总用时最短。
根据费马最短时间原理，光线在空气和水之间的界面上会以使得折射定律（即斯涅耳定律）成立的角度入射和折射，进而选择使得总用时最短的路径。
此外，费马最短时间原理还可以应用于其他领域，如声波、电磁波等的传播。
原理的基本思想是找到一条路径，使得传播过程中所花费的时间最少。
总之，费马最短时间原理是基于光在介质中传播的最短时间选
择性来构建的原理。
它在物理学中有着广泛的应用，帮助我们理解光和其他波动现象的传播过程。
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用
费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用费马、帕斯卡排列组合原理是数学中常用的排列组合方法，它们在生活中有很多应用。
1. 费马原理：费马原理也被称为鸽巢原理或抽屉原理。
它指出，如果有n+1个物体放入n个容器中，那么至少有一个容器会放置两个或更多的物体。
这个原理在生活中的一个应用是抽屉中的袜子。
假设你有10只袜子，但只有9个抽屉可供放置袜子，根据费马原理，至少有一个抽屉中会有两只袜子。
2. 帕斯卡原理：帕斯卡原理是组合数学中的一个重要原理，它描述了二项式系数的性质。
根据帕斯卡原理，对于任意非负整数n和k，二项式系数C(n, k)等于C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
帕斯卡原理在生活中的一个应用是计算排列组合的方式。
例如，在一场比赛中，有10名选手参加，需要选出3名获奖者。
根据帕斯卡原理，可以使用组合数C(10, 3)来计算不同获奖者的组合方式。
除了以上两个原理，排列组合在生活中还有很多其他应用，例如：
3. 人员安排：在组织活动或制定班级课程表时，需要考虑不同人员的排列组合方式，以确保每个人都有机会参与或轮流担任某个职务。
4. 随机选择：排列组合方法可以用于随机选择物品。
例如，在抽奖活动中，通过排列组合可以计算出每个人中奖的概率。
5. 地址编码：在邮政编码系统中，不同的数字或字母组合可以用于表示不同的区域或地址。
总之，费马、帕斯卡排列组合原理在生活中有广泛的应用，帮助我们解决各种排列组合问题，优化资源利用和决策。
费马定理
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理 可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]
B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单 心光束
会聚单 心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复 习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述 费马原理的应用
2
一. 光 程
定义：
l nl
fermat原理
fermat原理费马原理是由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的一条重要定理，它在数学领域中具有广泛的应用。
费马原理从数学的角度解释了很多实际问题，并且对于现代科学的发展也起到了积极的推动作用。
本文将从费马原理的基本概念、应用领域和研究意义等方面进行阐述。
我们来介绍一下费马原理的基本概念。
费马原理是指当存在一个最小值点或最大值点时，该点的导数为零。
简单来说，就是在一条曲线上寻找极值点时，可以通过求导数并令导数为零来找到这些点。
费马原理可以用公式的形式表示，但在本文中我们不输出公式，而是通过文字来进行描述。
费马原理在几何光学、力学、最优化问题等领域中有着广泛的应用。
在几何光学中，费马原理可以用来解释光的传播路径。
光线在两个介质之间传播时，会选择一条路径使得传播时间最短。
这就是费马原理在光的传播中的应用。
在力学中，费马原理可以用来求解物体的最速下降路径。
当物体从一点出发，受重力作用滑动到另一点时，其滑动路径应该使得滑动时间最短。
这也是费马原理在力学中的应用之一。
在最优化问题中，费马原理可以用来求解函数的极值点。
通过费马原理，可以找到函数的极值点从而得到函数的最优解。
费马原理在科学研究中具有重要的意义。
首先，费马原理为解决实际问题提供了一种数学工具。
通过费马原理，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行求解。
其次，费马原理提供了一种优化方法。
通过费马原理，可以求解函数的极值点，从而得到函数的最优解。
这对于现代科学研究和工程设计都具有重要的意义。
此外，费马原理的提出也推动了数学研究的发展。
费马原理是微积分的重要应用之一，而微积分又是现代数学的重要分支之一。
因此，费马原理的提出对于数学的发展起到了积极的推动作用。
费马原理是一条重要的数学定理，它在数学领域中具有广泛的应用。
费马原理的基本概念是当存在一个最小值点或最大值点时，该点的导数为零。
费马原理在几何光学、力学、最优化问题等领域中有着广泛的应用。
费马原理的发现过程
费马原理的发现过程及基本原理解释1. 引言费马原理是一个重要的物理学原理，用于描述光的传播路径。
这个原理最早由法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在17世纪提出，并被称为费马最小时间原理或费马法则。
费马原理对于光的折射、反射以及干涉等现象都有重要的应用。
2. 发现过程费马最早提出这个原理是在解决一道几何问题时。
他考虑了一种情况：如果一个光线从一个点A出发，经过一个介质，在另一个点B折射出来，那么光线所经过的路径是怎样的呢？费马通过研究这个问题，得出了一个结论：光线所经过的路径是使得从A到B所需时间最短的路径。
简单来说，当光传播时，它会选择花费最少时间的路径。
3. 基本原理解释费马原理可以通过以下几个方面来解释和说明：3.1 光程首先，我们需要了解什么是光程。
在空间中，从点A到点B沿着某条路径传播的光线，所经过的路径长度就是光程。
光程可以用符号S表示。
3.2 光程最小费马原理认为，当光从一个点A出发，经过介质传播到另一个点B时，光线所经过的路径是使得光程最小的路径。
也就是说，在所有可能的路径中，光会选择那条使得光程最小的路径。
3.3 光速不变费马原理还假设了一个重要的条件：在同一介质中，光的传播速度是不变的。
也就是说，在同一介质中，无论光线传播的方向如何，它都会以相同的速度进行传播。
3.4 反射和折射定律费马原理还可以用来推导反射和折射定律。
根据费马原理，我们可以得出以下结论：•反射定律：当一束光线从一个介质射入另一个介质时，在界面上反射出去的角度等于入射角。
•折射定律：当一束光线从一个介质射入另一个介质时，在界面上折射出去的角度满足斯涅尔定律。
这些定律都可以通过费马原理推导得出。
3.5 光的传播路径费马原理还可以用来解释光的传播路径。
根据费马原理，当光传播时，它会选择一条使得光程最小的路径。
这就解释了为什么光在直线上传播、折射时会遵循特定的规律。
4. 应用费马原理在物理学和光学中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：4.1 光的反射和折射费马原理可以用来推导反射和折射定律。
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sin i
3. 由费马原理导出折射定律
P ( x , y ,0 ) A( x1 ,0, z1 ) B ( x2 ,0, z 2 )
[ APB ] n1l1 n2l2 l1 z1 ( x x1 ) 2 y 2 l2 z 2 ( x x2 ) 2 y 2
2
2
z
P
A M
椭圆的几何参量：
Q
O
Q
O N
中心 [n2 d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a 2 b 2 2n2 d /(n1 n2 )
s
C
n1
n2
N
S 是一个焦点
n2 偏心率e 1 n1
[l ] ndl 0
A
B
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
三.费马原理的应用 1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空
或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
2
0
[l ] n1 z n1 z 0 2 2 z ( x x1 ) 2 y1 z 2 ( x x2 ) 2 y 2 z 2 z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M ( x,0, z ) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
费马原理的解释 描述光线传播行为的原理
一.光程 在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： [l ] nl
[l ] l n c c [l ] l t c
1. 通过光程，可直接用真空中的光速来计算光在不同 介质中通过一定几何路程所需要的时间。 [l ] nl t [l ] ct c c 2. 光程等于光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
n1 sin i1 n2 sin i2
4. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的
光程也取极值——包含了光的可逆性。
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射 后，会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程 相等。
M
A1 A2
F
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点
O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面 波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z
P
A M
Q
O
Q
O N
s
C
n1
n2
N
z
P
] n1 AM n2 M B n1 ( x x1 ) 2 y1 z 2 n1 ( x x2 ) 2 y2 z 2
光程取极值
[l ] 1 x n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y1 z 2
2
n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 z 2
P1
P2
Q1 Q2
N
分析：
M
A1 A2
F
P1
P2
Q1 Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
抛物线性质
N
P 1F P 1Q1 P 2F P 2Q2 则 A1P 1P 1 F A2 P 2 P 2F
即
[ A1P 1 F ] [ A2 P 2F]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
由光程取极值:
(n1l1 n2l2 ) y
(n1l1 n2l2 ) y
(n1l1 n2 l2 ) 0 0 x
n1 y n2 y 0 l1 l2
(n1l1 n2 l2 ) x x1 x2 x n1 n2 0 x l1 l2
x x1 x2 x sin i1 sin i2 l1 l2
◆ 分区均匀介质:
[l ] 1 k [l ] ni li , t ni li c c i 1 i 1
k
◆ 连续介质:
[l ] ndl
(l )
二.费马原理的表述及讨论 空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径 平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。 换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
光程[l]取极小值
z0
有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) y
2 2 1
n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
面波，各折射光线路径是等光程。
Q
O
Q
O N
s
C
n1
n2
N
P( x, z )
n1SP n2 PQ n1SO
上式化为 n1 ( x 2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d n2 d 2 (x ) z2 n1 n2 1 2 2 2 2 d n1 /(n1 n2 ) (n1 n2 )d /(n1 n2 )