1-1 几何光学的基本定律和费马原理
第1章 几何光学的基本原理1
二、费马原理的原始表述： 光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着
光程为极值的路径传播的。或者说，光沿着光 程为极大、极小或者常量的路径传播。
B
( AB) A n dl 0
在光线的实际路径上，光程的变分为0。
16
如果ACB代表光线的实际路径，如图,光线ACB 的光程（或者说所需的时间）与邻近的任何可能路 径 AC'B 相比为极值（极大、极小或常数）。
25
• 物空间和像空间不仅一 一对应，而且根据光的可 逆性，如果将物点移到原来像点的位置上，使光 线沿反反向射入光学系统，则它的像将成在原来 的物点上。这样的一对相应的点称为共轭点。
• 由费马原理可以得出一个重要结论：物点A和像 点 之间各光线的光程都相等，这便是物像之间的 等光程性。这里所说的像点是指完善像点。
当光线经过几个折射率为 n1, n2, n3, n4 的不同介质， 在各介质中经过的路程为l1, l2, l3, l4 ，从A，B，C，
D到达E时所需的时间为
tAE
i
li vi
i
nili ( ABCDE )
c
c
（ABCDE）称为光线ABCDE的光程，简写为(AE)。
( AE) ( ABCDE ) nili tAE c
28
•这一角度大于入射光线在斜面上的入射角45°所 以入射光线在斜面上不能全反射，如图所示，在斜 面AC上入射点 D处将有折射光线进入水中，其折 射角为
I2
sin
1
1.50sin 45 1.33
sin
1
0.797488
52.89096
29
第一章 作业
几何光学的基本定律和费马原理
主要内容一、几何光学的三个基本定律二、光路可逆原理三、全反射、光学纤维四、费马原理光线：空间的几何线。
各向同性介质中，光线即波面法线。
光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。
几何光学是关于光的唯象理论。
对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。
几何光学实验定律成立的条件：1.被研究对象的几何尺寸D远大于入射光波波长λD/ λ>>1 衍射现象不明显，定律适用。
D/ λ～1 衍射现象明显，定律不适用。
2.入射光强不太强在强光作用下可能会出现新的光学现象。
强光：几何光学的基本实验定律有一定的近似性、局限性。
一、几何光学的三个基本定律1.光的直线传播定律在真空或均匀介质中，光沿直线传播，即光线为2.光的独立传播定律自不同方向或由不同物体发出的光线在空间相交后，对每一光线的独立传播3.光的反射和折射定律3.1 反射定律G 3.2 折射定律入射面n光线在梯度折射率介质中的弯曲nn 5n 1n 3n 2n 4n 6海市蜃楼：沙漠中海面上光线在梯度折射率介质中的弯曲二、光路可逆原理在弱光及线性条件下，当光的传播方向逆转时，•光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q三、全反射、光学纤维1.全反射原理。
继续增大入射角，，而是按反射定律确定的方向全部反射。
全反射的应用：增大视场角毛玻璃r rr2.光纤的基本结构特性(1)光纤的几何结构光纤的几何结构(2)光纤分类①按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。
(3)光纤的传光条件i cn 0n 2n 1(4)光纤的数值孔径四、费马原理物质运动的趋势：达到一种平衡状态或极值状态费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间取极值。
1说明：费马原理是光线光学的理论基础。
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
第一章_费马原理1-1(10)
（传光束） （传像束）
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤
(c) 光通信优点： 1) 低损耗 窗玻璃 几千分贝/公里 光学玻璃 500分贝/公里 雨后清澄的大气 1分贝/公里 石英光纤 0.2分贝/公里
liyuhong
2) 信带宽、容量大、速度快 3) 电气绝缘性能好 无感应 无串话 4) 重量轻 线径细 可绕性好 5) 耐火 耐腐蚀 可用在许多恶劣环境下 6) 资源丰富 价格低
δ min + α
2
由折射定律可得
n=
liyuhong
sin
δ +α
min
sin
α
2 2
§1-1 几何光学/基本规律/棱镜与光纤 2. 光学纤维(optical fibers)
(a) 原理
光进入光学纤维后,多次 在内壁上发生全内反射, 光从纤维的一端传向另 一端.
liyuhong
光学纤维:中央折射率 大,表层折射率小的透 明细玻璃丝.
35
A
B
(3) 光程为最大值
M
D D′ M′
A
B
liyuhong
§1-2 几何光学/费马原理
(4) 光程为拐点
A
B
由于实际光线相应于光程拐点这种情况在实际中较少遇 到；费马原理也常粗略地表示为： 空间中两点间的实际光线路径，与其他相邻的可能路 径相比较，其光程（或传播时间）取极值——光程 （时间）极值原理
3
§1-1 几何光学/基本规律 1-1-1 几何光学的实验定律
1. 光的直线传播(rectilinear propagation)定律 在均匀的各向同性透明介质中，光沿直线传播。 现象： (1) 投影(shadow);
1.1_几何光学的基本定律
1.1_几何光学的基本定律第一节几何光学的基本定律几何光学是以光线的概念为基础，采用几何的方法研究光在介质中的传播规律和光学系统的成像特性按几何光学的观点，光经过介质的传播问题可归结为四个基本定律：光的直线传播定律、光的独立传播定律、光的反射定律和折射定律ref: 几何光学的发展先秦时代《墨经》330-260BC 欧几里德《反射光学》965-1038AD 阿勒·哈增《光学全书》十七世纪开普勒、斯涅尔、笛卡儿、费马折射定律的确立，使几何光学理论得到很快的发展。
1.光波、光线、光束light waves、raysand beams·光波光波是一种电磁波，是一定频率范围内的电磁波，波长比一般的无线电波的短可见光：400nm-760nm紫外光：5-400nm红外光：780nm-40μm近红外：780nm-3μm中红外：3μm－6μm远红外：6μm－40μm·光源light sources光源：任何能辐射光能的的物体点光源：无任何尺寸，在空间只有几何位置的光源实际中是当光源的大小与其辐射光能的作用距离相比可忽略不计，则视为点光源光学介质optical mediums光学介质：光从一个地方传至另一个地方的空间。
空气、水、玻璃?各向同性介质:光学介质的光学性质不随方向而改变各向异性介质：单晶体（双折射现象）均匀介质：光学介质的不同部分具有相同的光学性质均匀各向同性介质·波前wave front波前：某一瞬间波动所到达的位置构成的曲面波面：传播过程中振动相位相同的各点所连结成的曲面在任何的时刻都只能有一个确定的波前；波面的数目则是任意多的?球面波：波面为球面的波，点光源平面波：无穷远光源柱面波：线光源光线：传输光能的有方向的几何线在各向同性介质中，光沿着波面的法线方向传输，所以波面的法线就是光线光束光束：具有一定关系的光线的集合同心光束：同一个发光点发出或相交于同一点平行光束：发光点位于无穷远，平面光波像散光束：既不相交于一点，又不平行，但有一定关系的光线的集合，与非球面的高次曲面光波相对应同心光束平行光束ref: 像散光束·光线既不平行，又不相交，波面为曲面。
几何光学(费马原理)传播规律
n1 sin ic n2 sin 90
ic
arc sin
n2 n1
？？发生全反射的两个条件
*全反射的应用
c
o
1
2
3
3 2
c l
L
y 1
1
z x 纤芯n1
包层n2
突变型多模光纤的光线传播原理
数值孔径(Numerical Aperture, NA)：临界角θc的正弦
si
1 2
k i1 i
因为介质的折射率 ni c i ,
所以上式可写为
t
1 c
ik i 1
ni si
ik
nisi ct
i 1
光程
光程定义: 光在介质中的光程 L 为介质的折射率与
光在介质中所走的几何路程之积. L ns
光在介质中走过的光程，等于以相同的时间在真空 中走过的距离.
光学的发展历史
1、牛顿提出 光的粒子性
2、惠更斯、 胡克提出光 的波动性
3、托马斯杨 发现了光的 干涉现象
6、赫兹从实 验上证明了 光是电磁波
5、麦克斯韦 提出电磁波 理论并预言 光是电磁波
（建立起光的经典模型： 光是一种电磁波，且是横波）
4、菲涅耳提 出了完整的 光的干涉衍 射理论
（建立起光的波动学说）
光学是物理学的一个重要组成部分，也是与其他 应用技术紧密相关的学科。
5
经典光学的研究内容
通常把光学分成几何光学、物理光学（波动光学）和量子光学 三个大类。
几何光学是从几个由实验得来的基本原理出发，来研究光的传 播问题的学科。它利用光线的概念、折射、反射定律来描述光 在各种媒质中传播的途径，它得出的结果通常总是波动光学在 某些条件下的近似或极限。
用费马原理推导光学三大定律
证明反射定律
我们来试着求下列问题的解，在图中画了A、B两点和一平面镜M。哪 一条是在最短时间光从A碰到镜面M再返回B的路径？ 首先相对于M取B点的对称点B'，取从A到B的 任一路径ADB，由于△DBM'≌△DB'M'，因 此DB=DB',AD+DB=
显然 直线ACB'是从A到B'路径中最短的一条。所以， 过C点的线段ACB为我们要求的路径。 因 为 △ CBM≌△CBM' ， 所 以 ∠ BCM=∠B'CM ， 又 因 为 ACB' 为 直 线 ， ∠ACD=∠B'CM,既而∠ACD=∠BCM',过C点作平面镜M的法线。因此，
入射角等于反射角的这种说法与光射向镜面沿着需时 最短的路径返回到BFra bibliotek说法是等效的。
在Ⅱ平面内，令QQ'=H1，PP=H2，Q'P'=p，Q'M=x，
则（QMP)=N1·QM+N2·MP
=
N1 H12 x2 N 2 H 22 ( p x)2
式中 ， 为Ⅰ两边媒质的折射率，取上式对x的微商，得：
d
N1 x
N 2 ( p x)
(QMP)
dx
H12 x2
H 22 ( p x)2
光 学 基 础 知 识
光学基础知识
第二章
用费马原理推导—— 几何光学的三大定律
一、几何光学的三大定律
光的直线传播定律：光在均匀媒介里沿直线传播
光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一 平面上；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角 等于入射角。
第一章 几何光学
以光线概念为基础研究光的 传播和成像规律
§1.1 光线传播的基本定律
一.几何光学的实验定律
1.光的直线传播定律。（各向同性介质中）
共面
2.反射定律和折射定律：
分于法线两侧 角度关系
3.光的独立传播定律和光路可逆原理（各向同性介质中）
几何光学中常用的器件-----棱镜
作用：改变光路 色散分光
s
2 2 2
n (s r)
n
s
/2
/2
0
/ 2
(s r )
1 n (s r )
2
n
1
/2
0
(s r)
/
求出上两式联立方程的解，可得一对特殊的共轭点， 称为球面折射的齐明点或不晕点 对一对齐明点，宽光束经球面折射仍能成像。
（二）把光束限制在傍轴区，即
则有：
2
cos 1
共轴球面系统的基点基面
(1) 焦点与焦平面
焦平面的普遍意义：顶点位于焦平面上的光束，其共轭光束为平行光束； 顶点位于焦点上的光束，其共轭光束与主光轴平行。 物（像）方焦点F（ F'）：与无限远处像（物）点共轭的轴上物（像）点。 物（像）方焦平面：过物（像）方焦点F（ F' ）的垂轴平面。
2
在傍轴区d<<s，s/，|r|；略去二阶以上无穷小量得
d (r s) PM s 1 2 s
d (r s' ) M P s ' 1 2 s'
因此，光程
d (r s) d (r s' ) [ PMP ' ] ns 1 2 2 ns ' 1 s s'
几何光学基本原理证明反射定律符合费马原理证明费马
第三章 几何光学基本原理1．证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。
⎰=BAnds或恒值max .min ，在介质n 与'n 的界面上，入射光A 遵守反射定律11i i '=,经O 点到达B 点，如果能证明从A 点到B 点的所有光程中AOB 是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。
设C 点为介质分界面上除O 点以外的其他任意一点，连接ACB 并说明光程∆ ACB>光程∆AOB由于∆ACB 与∆AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB 与AOB 的大小。
从B 点到分界面的垂线，垂足为o '，并延长O B '至 B ′，使B O B O '=''，连接 B O '，根据几何关系知B O OB '=，再结合11i i '=，又可证明∠180='B AO °，说明B AO '三点在一直线上，B AO ' 与AC 和B C '组成ΔB AC '，其中B C AC B AO '+〈'。
又∵CBB C AOB OB AO B O AO B AO ='=+='+=',ACB CB AC AOB =+〈∴即符合反射定律的光程AOB 是从A 点到B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。
2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。
证明：由QB A ～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s同理，得OA\BA=f '\s ',BO\BA=f\s由费马定理：NQA+NQ A '=NQ Q '结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证 3．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmnd p p 10)321(30)11(=-=-='，即像与物的距离为cm 10题3.3图4．玻璃棱镜的折射棱角A 为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.解：由最小偏向角定义得 n=sin2A0+θ/sin 2A,得θ0=46゜１６′由几何关系知，此时的入射角为:i=2A0+θ=５３゜８′当在C 处正好发生全反射时：i 2’= sin-16.11=38゜41′,i 2=A- i 2’=21゜19′∴i 1= sin -1(1.6sin 21゜19′)= 35゜34′ ∴ｉmin ＝３５゜３4′５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果2sin 1n=θ则12θθ=，且光束i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解： i nsin sin 11=θ若θ1sin = 2n , 则 sini 1 = 21, i 1=30。
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过去表述：光沿所需时间为极值的路径传播。
现在表述：光沿光程取极值的路径传播。
［注］极值：极小值、极大值、恒定值
每一可能路径都是空间的 坐标函数,而光程又随路
数学表述：（由变分原理）
ò d
[l]
=
d
B
òA
n dl
=
0
或dt
=
1 c
B
ndl = 0
A
径而变化,是函数的函 数——泛函*,其改变称为 变分，数学过程是相应的 求导。 *泛函与复合函数（附录4）
6、折、反射在大气现象中的应用
虹、霓（副虹）、日食、月食、海市蜃楼（见 附录2）
10
三、费马原理
光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费 马借助光程的概念，回答了该问题。
1.光程——在均匀介质中，光在介质中通过的几何路程
l 与该介质的折射率n 的乘积：
l nl
r
介质中
n c l l t
A B
［析］椭圆上任意一点到 两焦点距离之和为常数
13
(3) 光程为极大值 A. 回转抛物凹面镜
焦点发出的光，反射 后变为平行光，会聚 在无穷远处，光程为 极大值。
B
A
应用：汽车前照灯
B. 内切于回转椭球面的凹球面镜
由A点发出过D点符合 反射定律的光线，必 过椭球另一焦点B，光 线的光程ADB比任何路 径的光程ACB都大.
¶[l ] = n(x - x1) + -n(x2 - x) = 0
(1)
ï ¶x AC
CB
í ï îï
¶[l] = nz + nz = 0
¶z AC CB
(2)
由(2)知，z=0，说明入射点C一定在
xoy平面内，即D(x,0,0)，由此入射光
实例：夏日柏油路上的 倒影、海市蜃楼
5
2、光的独立传播定律和光路可逆原理:
➢ 来自不同方向的光线在介质中相遇后，各保持原来的传 播方向和强度继续传播。
➢ 光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在几何光学 中，任何光路都是可逆的。
［注］适用于强度不太大， 相干性较差的光线传播
6
3、反射定律：
入射光线、反射面的法线和反射光 线三者处在同一平面上，入射光线和 反射光线分居于入射点界面法线的两 侧，入射角等于反射角。
v cv
nr
折合到真空中
物理意义：光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在
真空中所能传播的路程。
k
分区均匀介质: l nili
i 1
折射率连续变化介质:
l
B
A
ndl
11
2.费马原理
1658年法国数学家费马（P. Fermat 1601-1665) 概括了光线传播的三定律，发表了“光学极短时 间原理”，经后人修正，称为费马原理。
en
S i i' R
界面
i i'
漫反射 （故，我们才能在各个 角度看见物体）
7
4、折射定律
入射光线、折射光线和分界面的 法线en三者同处在一个平面上，入射角
i 和折射角 有下述关系：
sin i
sin
n2 n1
n21 ——斯涅耳公式，1621（见附录1）
入射光线
其 中 ： n21 称 为 介 质 2 相 对 于 介 质1的相对折射率
②无数光线构成光束。
③光沿光线方向传播时，位相不断改变。
2.波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。 ［注］ ① 波面即等相位面，也是一种抽象的数学模型。
② 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球 面的称为球面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称 为柱面光波（如缝光源所发光波）
D C
A
B
14
3. 由费马原理导出几何光学定律
1) .直线传播定律：
在均匀介质中折射率为常数
B
B
ndl n dl
A
B
A
A
而由公理：两点间直线距离最短
B
dl 的极小值为直线AB A
所以光在均匀介质中沿直线传播
15
2) 反射定律
设从A点发出的光线入射到分界 面xoz，在C点反射到B点
lABC n AC nCB
n ( x x1)2 y12 z2 z n ( x2 x)2 y22 z2
y A(x1,y1,0) B(x2,y2,0)
i i’
x
D(x,0,0)
C(x,0,z)
由费马原理知，
l
x
n(x x1) AC
n(x2 CB
x)
0
(1)
l nz nz
z
0 AC CB
(2)
16
ì ï
第一章 几何光学
几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多 情况下的传播规律。这种情况下，波长趋近于零。可以 不必考虑光的波动性质，仅以光直线传播性质为基础.
若研究对象的几何尺寸远远大于所用光波波长，则 由几何光学可以得到与实际基本相符的结果。反之， 当几何尺寸可以与光波波长相比时，则由几何光学获 得的结果将与实际有显著差别，甚至相反。
分界面
en i 入射角 n1
［注］绝对折射率：一种介质相 对于真空的折射率
折射角
n2折射光线8源自 95、几何光学定律成立的条件
（1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相等，折 射率不是位置的函数。 （2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各个方向 的折射率相等，折射率不是方向的函数。 （3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理 不再成立而出现非线性情况。 （4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否则不能把光 束简化为光线。
几何光学是波动光学在一定条件下的近似。
11
§1-1 几何光学的基本定律和费马 原理
一．光线与波面 二．几何光学的基本实验定律 三．费马原理
2
一、光线与波面
1.光线：形象表示光的传播方向的几何线。 ［注］① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数 学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗 细之分，仅代表光的传播方向。
3
3.光线与波面的关系
波面
光线
波面
光线
球面波
平面波
在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。
即光线与波面总是垂直的。
4
二、几何光学的基本实验定律
1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质 中沿直线传播。
实例：物体的影子、针孔成 象、日食、月食
［注］：非均匀介质中， 光以曲线传播，向折射率 增大方向弯曲
［联系］高等数学中的费马引理：设 f ( x)在点 x0处具
有导数,且在 x0处取得极值,那么必定 f (x0 ) 0 .
12
光程为极值的例子:
(1) 光程为极小值——直线传播定律、反射定律、折射定律 （后做证明）
(2) 光程为恒定值——回转椭球凹面镜
自其一个焦点发出、经 镜面反射后到达另一焦 点的光线，其光程相等。