费马原理
费马原理
则易知当i’=i时，QO+OP为光程最短的路径。
§4 费马原理
Q
第一章 光和光的传播
h1
i1
x
p x n1
O
折射定律
过Q、P点作与Σ面 垂直的平面Π 平面Π内的光程比该 平面外的光程短
Q’ M
h i2 2
P
P’
n2
2
QP p
2
(QOP ) n1QO n2OP n1 h1 x 2 n2 h2 ( p x) 2
2
l
光程差
l n2l2 n1l1
§4 费马原理
二 费马原理的表述
第一章 光和光的传播
（1）定义：两点间的实际路径就是光程(或所需传 播时间)平稳的路径 极小值(常见)
(QP ) ndl 0
( L)
P
Q
极大值(个别) 常数值(物—象等光程性)
l1
（2）由费马原理推导几何 光学三定律
① 直线传播定律 ② 反射定律
Q
N l 2
M l3
介质1 n1
介质2 介质3 n2 n3
P
③ 折射定律
§4 费马原理
第一章 光和光的传播
• （1）光的直线传播定律 在均匀介质中，两点间光程最短的路径 是直线。
§4 费马原理
第一章 光和光的传播
Q点发出的光经 反射面Σ到达P点 P’ 是 P 点关于 Σ 面的对称点。 直线QP’与反射 面Σ交于O点。 P，Q，O三 点确定平面Π。
费马原理的内容
费马原理的内容
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理。
费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）
光程 s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和
l=vt 所以得到 s=ct. 由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程。
费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的。
费马原理为几何光学中的基本原理，费马原理也被称为最短时间原理。
通过费马原理可以推导斯涅尔定律、反射定律和光线传播定律。
以及有关各种光学器件的定理也可以从费马原理或上述定律中推导出来。
费马原理的精确表示：在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播。
这种表述较最短时间原理相比更为准确，在反射定律的例子中，光沿着入射角等于出射角的路径传播。
可是依据最短时间，光线并没有沿着最短的路径传播，毕竟两点之间线段最短。
因此在存在约束的条件下，“在光运动的各种情形下，光会沿着一阶变量为0的路径传播”此表述更为精确。
通过费马原理可以推导出光沿着直线传播，因为相同的一束光在同一种介质内的传播速度相同，所以若这一束光要从点A传播至点B，则根据两点之间线段最短得到光线将沿着此先短传播。
费马原理
t [l] nl [l] ct cc
2. 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
◆ 分区均匀介质:
k
[l] 1 k
[l] nili
i 1 nili
◆ 连续介质:
[l] ndl (l)
二.费马原理的表述及讨论
空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径
即
[ A1P1F ] [ A2P2F ]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点 O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面
利用梯度折射率介质中光线的弯曲,可以表解释蜃景的 现象
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射后，
会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程相等。
分析：
M
A1 A2
P1
Q1
P2
Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
F
抛物线性质
N
P1F P1Q1 P2F P2Q2
则 A1P1 P1F A2P2 P2F
三.费马原理的应用
1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空 或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的 传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的 光程也取极值——包含了光的可逆性。
3. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
(x n2d )2 n1 n2
d 2n12 /(n1 n2 )2
费马最短时间原理
费马最短时间原理
费马最短时间原理，又称费马原理、最短时间原理，是物理学中的一个重要原理。
该原理由法国数学家和物理学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出。
费马最短时间原理的核心思想是：光在介质中传播时，总是选择用时最短的路径。
换句话说，光在从一个点到另一个点的传播过程中，会选择一条路径，使得光在该路径上所花费的时间最短。
这个原理可以通过折射和反射来解释。
假设有一个光线从一个介质射入另一个介质中，当光线经过折射或者反射后到达另一个点，光线会选择使得总用时最短的路径。
这可以用以下实例来说明：
想象一个光线从空气中射入水中，光线将发生折射。
现在我们需要找到光线经过的路径，使得从起点到终点的总用时最短。
根据费马最短时间原理，光线在空气和水之间的界面上会以使得折射定律（即斯涅耳定律）成立的角度入射和折射，进而选择使得总用时最短的路径。
此外，费马最短时间原理还可以应用于其他领域，如声波、电磁波等的传播。
原理的基本思想是找到一条路径，使得传播过程中所花费的时间最少。
总之，费马最短时间原理是基于光在介质中传播的最短时间选
择性来构建的原理。
它在物理学中有着广泛的应用，帮助我们理解光和其他波动现象的传播过程。
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马定理
三.费马原理的应用
光程最小即为路程最短,根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,对于真空或均匀介质,费马原理 可直接得到光线的直线传播定律. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向.若路径AB的光程取极值,则其逆路径BA
的光程也取极值——包含了光的可逆性.
11
光程为极值的例子
6
1.均匀介质中光程
l nl
2.如果光从A点出发,经过 k 种不同的均匀介质
而到达B点,则总光程为：
l1
A v1
l2 v 2
l3 v 3
li v i
lk v k
B
l ni li
i 1
k
7
3.若由A到B充满着折射律连续变化的介质, 则光由A到B的总光程为
[ L]
B
A
实像和虚像
1.单心光束：凡具有单个顶点的光束.
发散单 心光束
会聚单 心光束
16
光线经反射或折射后,如果光束的单心性没有 2.像：
被破坏,即虽然光线的方向改变了,但光束中仍
能找到一个顶点,这个顶点就叫做发光点的像.
实像
反射和折射后实际光线的汇聚点.
虚像
反射和折射后实际光线的反向延长线的汇聚点.
17
复 习
几何光学的基本实验定律
1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光在两种介质分解面的反射定律和折射定律 3.光的独立传播定律和光路可逆原理
1
§1.2 费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理.
光
程
费马原理的表述 费马原理的应用
2
一. 光 程
定义：
l nl
fermat原理
fermat原理费马原理是由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的一条重要定理，它在数学领域中具有广泛的应用。
费马原理从数学的角度解释了很多实际问题，并且对于现代科学的发展也起到了积极的推动作用。
本文将从费马原理的基本概念、应用领域和研究意义等方面进行阐述。
我们来介绍一下费马原理的基本概念。
费马原理是指当存在一个最小值点或最大值点时，该点的导数为零。
简单来说，就是在一条曲线上寻找极值点时，可以通过求导数并令导数为零来找到这些点。
费马原理可以用公式的形式表示，但在本文中我们不输出公式，而是通过文字来进行描述。
费马原理在几何光学、力学、最优化问题等领域中有着广泛的应用。
在几何光学中，费马原理可以用来解释光的传播路径。
光线在两个介质之间传播时，会选择一条路径使得传播时间最短。
这就是费马原理在光的传播中的应用。
在力学中，费马原理可以用来求解物体的最速下降路径。
当物体从一点出发，受重力作用滑动到另一点时，其滑动路径应该使得滑动时间最短。
这也是费马原理在力学中的应用之一。
在最优化问题中，费马原理可以用来求解函数的极值点。
通过费马原理，可以找到函数的极值点从而得到函数的最优解。
费马原理在科学研究中具有重要的意义。
首先，费马原理为解决实际问题提供了一种数学工具。
通过费马原理，可以将实际问题转化为数学问题，从而进行求解。
其次，费马原理提供了一种优化方法。
通过费马原理，可以求解函数的极值点，从而得到函数的最优解。
这对于现代科学研究和工程设计都具有重要的意义。
此外，费马原理的提出也推动了数学研究的发展。
费马原理是微积分的重要应用之一，而微积分又是现代数学的重要分支之一。
因此，费马原理的提出对于数学的发展起到了积极的推动作用。
费马原理是一条重要的数学定理，它在数学领域中具有广泛的应用。
费马原理的基本概念是当存在一个最小值点或最大值点时，该点的导数为零。
费马原理在几何光学、力学、最优化问题等领域中有着广泛的应用。
简述费马原理的内容
简述费马原理的内容
费马原理是光的传播路径的最小时间理论，描述了光线在两点之间传播时所采取的最经济路线。
该原理由法国数学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出，被认为是光的最速传播原理。
费马原理的核心思想是：光在传播过程中通常会选择用时最短的路径。
这意味着光线在空间中传播时会遵循一定的规律，使得从发光点到达接收点的传播路径总是使光程取得极小值。
这一原则被认为能够解释光的折射、反射、衍射等现象，并用于研究光学器件的设计与光的传播途径的确定。
费马原理可以通过尺度变分方法进行推导。
在具体推导中，以两个不同介质的分界面上的光线为例，光线的折射原理（即斯涅尔定律）可以描绘为光线在两个介质中行进时路径的变化。
费马原理通过选择最短时间路径，以精确推导光线在界面上的折射、透镜的成像和光的传输等光学过程。
需要注意的是，费马原理是一个原则性的假设，不一定在所有情况下都成立。
在一些特殊情况下，如存在反射、多次折射或衍射等现象时，费马原理的应用可能会有所限制。
此外，费马原理的应用也不仅限于光学领域，还可以用于其他物理学和工程领域中光的传播问题的分析和设计。
综上所述，费马原理描述了光的最小时间传播路径，指导了光学器件的设计和光的传播路径的确定。
通过优化光线的路径，费马原理为光学领域的研究和应用提供了重要的理论基础。
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费马原理的运用
王瑞林（03010425）
（东南大学能源与环境学院，南京 210010）
摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。
并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。
关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理
The use of Fermat’s principle
Wangruilin
(The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 )
Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle.
key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action
我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。
费马原理简介
一、费马定理的表述
关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。
”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。
”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。
费马原理的数学表述形式为
其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。
我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。
费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。
”其实就是把光程换成了时间t
这两种表述其实具有等价性，因为
费马原理被认为是物理学基本定律——最小作用量原理在几何光学中的特例，被誉为是几何光学的基础，更有人说有了费马定理便有了几何光学的全部，下面，我们将运用费马定理对几个几何定理重新进行梳理。
二、波动光学角度对费马定理的解释
费恩曼在他的物理学讲义中从波动光学的角度上对费马定理的正确性进行了论证：“要是他遵循一条需要不同时间的路径，则当它到达时就有不同相位。
而在某一点上的总振幅等于光能到达的所有不同路径振幅贡献的总和。
所有那些提供相位差异很大的路径将不会合成任何东西。
但如果你能找出一整序列路径，他们都具有几乎相同的相位，则小小的贡献便将加在一起而在到达之处得到一个可观测的总振幅。
因此，重要路径就成为许多能给出相同相位彼此靠近的路径。
”而只有时间取极值的那条路径，才能保证路径有微小变化时时间保持不变（再次与导数类比，函数取极值的那个点，当x有微小变化Δx时，Δy=Δx*y’=0，其余的点Δy都是一个不为0的数）。
因此，时间取极值的路径被叠加了，成为了实际路径，而其余的任何可能路径都被不同的相位给抵消没了。
”
其实就是光在每一条路程中都进行了传播，而真正形成“路径”的只有最短的一条，那一条便是费马原理中变分为零的那一条。
费马原理的运用
由费马原理我们可以推到出几何光学中的三大定律：（1）光在均与介质中沿直线传播（2）光在介质间传播的折射定律（3）光在介质界面的反射定律。
定律一非常直观我们不予证明，定律二我们给出直接证明，定律三我们将以圆锥曲线的光学性质证明替代。
同时我们还会对费马定理的一些推论和其他运用进行介绍。
1.1光线的折射定律
如图所示，假设光从介质1以速度V1进入介质2且速度变为V2，路径为从A至P再到B，按照图中记号，经过整个路程所用时间为
若要用时最小，则dt/dx=0, 得出
由此，我们的由费马定理推出了我们一般所说的折射定律，即光在两种介质之间传播时，入射角与折射角之比等与一个常数，等于光在两种介质中传播速度大小之比。
1.2圆锥曲线的光学性质
(1)从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆的反射，会汇集到另一个焦点上。
证明：根据椭圆的定义，F1P+PF2=定值，根据费马原理，光的实际路径是光程极小、极大或定值的路径，所以F1到圆锥曲线上任意一点再到F2是光走的实际路径，所以从F1发出的光经过圆锥曲线反射会汇集到F2
（2)从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。
证明：做出抛物线的准线，F1P 等于P到准线的距离，即这两段光程相等。
光的实际路径至于光程的取值有关，所以从F1发出的经过抛物线反射的光和直接从准线向右发出的光完全等效，因此从F1发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。
(3)从双曲线的一个焦点发出的经过双曲线反射形成的光，好像是从双曲线的另一个焦点直接发出的。
证明：因为F1P-F2P=定值，所以对极值的取得没有影响，即从F2发出的经过P反射的光与从F1直接发出的经过P的光取极值的路径相同，即路径是一样的。
故证明了双曲线的光学性质。
我们知道，从数学角度上证明圆锥曲线的光学性质即为繁琐，然而运用费马定理来证明则即为简洁，这不单体现了费马定理在几何光学中的普适性，同时也体现了他在概括及检验物理规律上的简洁性。
1.3 费马原理解释光的衍射
从费尔曼物理学讲义上从波动光学角度对费马原理的解释上来看，我们甚至可以试着用费马定理来理解光的衍射现象：当我们用一个很细的狭缝来挡住一部分光时，时间不取极值的
某些路径也因为有一部分光被挡住
而不能很好的叠加为零，因此这种
情况下光并不是总衍直线传播，而
是产生了光可以绕到障碍物后面的
的现象，即衍射现象
1.4 利用费马原理求解最速降线
利用费马原理，我们得到了折射定律，即
如果光线穿越多重介质，在交界处无疑是满足折射定律的，即
当层数越变越多，厚度越来越厚时，在极限情况下，速度大小及方向自然会联系变化，且变化满足：
由费马原理，遵循这一规律的路径是行走最快最简洁的路径，若以小球沿此路径无摩擦的从A至B，用时无疑是最小的。
而这样的一条路径便是我们所求的最速降线，假设小球在A处速度大小为零，以A为原点建立直角坐标系，
则小球在不同高度的速度大小满足
利用几何关系，我们可知：
综合上述公式，我们可知
变换该式，得
记,我们得
此即摆线的标准方程，由此我们了解了无摩擦的最速降线为摆线，与其他方法所得结果相合。
总结
费马定理是法国业余数学家发现的一条十分重要的定理，是最小作用量原理在几何光学上的体现，是几何光学的基本定理，几乎概括了几何光学的全部内容，而已然学习过几何光学的我们对此则知之甚少，本文介绍了费马原理的科学表述及其在几何光学三大定律证明上的运用，并且运用波动光学对费马原理的正确性做出论证还介绍了利用费马原理解最速降线的巧妙解法。
从中我们看到了费马原理的普适性、简洁性与正确性。
同时对于最小作用量原理有了一些感悟。
参考文献：
[1]最小作用量原理与物理之美3——费马原理
/archives/124
[2]《最小作用量原理与物理学的发展》（许良著）
[3]《费恩曼物理学讲义第二卷》（R·P·费恩曼著
[4]《可怕的对称》（阿·热著）
[5]献给业余数学之王：澄清对费马原理的误解.
/article/59377/
[6] 尤明庆《最速降线和摩擦力影响的研究》。