费马小定理的几个推论

合集下载

费马小定理

费马小定理费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成这个书写方式更加常用。

（符号的应用请参见同余。

）证明若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。

取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A 中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。

因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B 中的任何两个元素之差也不能被p整除。

因此即在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：广义费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么这里φ(n)是欧拉商数。

欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。

假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。

在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法；尽管它是错误。

神奇的费马小定理(1)——从实验、观察、发现到猜想和证明谢国芳（Roy Xie）Email: **************章节目录1. 费马的惊人断言——费马小定理的原始表述2. 我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明2.1 费马指数和最小费马指数2.2 “普通版费马小定理”和“加强版费马小定理”2.3 对最小费马指数更深入的探究3. 费马小定理的证明1.费马的惊人断言——费马小定理的原始表述十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马(Pierre de Fermat，1601～1665）在 1640 年10 月 18 日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科·德·贝西（Frénicle de Bessy, c. 1605～1675）的信中，写下了这样一段话（原文是法语）：« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances - 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné - 1 »[拙译]“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。

费马定理推论

费马定理推论费马定理是数学中的一个重要定理，它与整数解方程有关。

具体而言，费马定理指出对于任何大于2的整数n，不存在三个整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。

这个定理虽然是由法国数学家费马在17世纪提出的，但直到近400年后才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

费马定理的证明过程非常复杂，但它的推论却可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。

我们来看费马定理的一个推论：费马小定理。

费马小定理指出，对于任何素数p和整数a，a^p mod p ≡ a mod p。

这里的“mod”表示取模运算，即求余数。

这个推论的意义在于，它可以帮助我们在计算中简化运算步骤。

例如，如果我们要计算7^100 mod 13，根据费马小定理，我们可以将7^100 mod 13简化为7^4 mod 13，然后再逐步计算得到最终结果。

这样就大大简化了计算的复杂度。

费马小定理的另一个推论是欧拉定理。

欧拉定理指出，对于任何正整数a和模数n，满足a与n互质（即最大公因数为1），则a^φ(n) mod n ≡ 1 mod n。

这里的φ(n)表示欧拉函数，表示小于n且与n 互质的正整数的个数。

欧拉定理的应用非常广泛，尤其在密码学领域中扮演着重要角色。

例如，RSA加密算法就是基于欧拉定理的原理设计的，它能够实现安全的信息传输。

另一个与费马定理相关的推论是勾股定理。

勾股定理指出，对于任何正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2的三个整数存在。

这个推论可以通过费马定理进行推导。

假设存在正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2。

我们可以将这个等式进行变形，得到a^2 = c^2 - b^2，进一步变形得到a^2 = (c + b)(c - b)。

由于c、b为正整数，所以c + b和c - b也都是正整数。

根据费马定理，我们知道a^2不可能是两个正整数的乘积，因此假设不成立。

因此，勾股定理得证。

除了以上推论，费马定理还有一些其他的推论和应用。

第六节费马小定理

回溯密码学的历史（7）
1918年，德国电子工程师亚瑟·谢尔比乌斯（Authur Scherbius,1878-1929）发明了转轮密码机（Enigma机），密码学进入了机械化时代。
回溯密码学的历史（8）
次第转轮幻无穷，展化密字亿万千。此谜只合天上有，缘何飞落人世间！
回溯密码学的历史（9）
凯撒（J. Caesar, 前102-前44年）通过将每一个拉丁字母按字母表上的顺序向后移3位的方法来给自己写的军事信函加密。
回溯密码学的历史（5）
ATTACK TOMORROW →ATTAC KTOMO RROW →0 17 →3 20 19 17 22 20 19 14 22 17 3 25 0 22 5 13 22 17 15 17 2 10 19 14 12 14
第六节费马小定理
费马小定理
如果p是素数，并且正整数a和p 没有公约数，那么 a p −1 − 1 能被p整除，换言之， a p −1 除以p后余数必为1，用同余符号表示，就是
a p−1 − 1 ≡ 0 ( mod p ) , ( a, p ) = 1
例如，p=7，a=4整除。后人为了将这个定理和费马大定理区
A.M.Turing（1912-1954）
整个战争期间，据说有数十万份德军密电被英国人成功破译！
回溯密码学的历史（12）
借助于密钥来编制的密码无论怎样高明，总有一个致命的弱点：一旦加密密钥被人知道，那么解密密钥就不难被找出来，密文也就不再秘密了。因此，加密密钥本身在传输过程中的安全至关重要。为了避开密钥安全问题，20世纪 70年代末，美国数学家R.L.Rivest、A. Shamir和L.M.Adleman发明了一种全新的加密方法——公钥密码系统。欧拉定理闪亮登场。

费马小定理的证明

费马小定理的证明摘要：1.费马小定理的概述2.费马小定理的证明方法3.费马小定理的实际应用4.结论正文：1.费马小定理的概述费马小定理，又称费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马于1637 年提出的一个著名数学定理。

该定理的陈述如下：对于任意大于2 的自然数n，方程x^n + y^n = z^n 不存在正整数解。

换句话说，费马小定理表明当n 大于2 时，没有三个正整数x、y 和z 可以满足该方程。

对于n=1 和n=2 的情况，该方程有解，分别对应勾股定理中的直角三角形和平方数之和等于平方数的情形。

2.费马小定理的证明方法费马小定理的证明并不简单，费马本人声称已经找到了一个惊人的证明，但由于篇幅有限，并未公布。

长达358 年的时间里，许多数学家都尝试证明这一定理，但一直无法找到确凿的证据。

直到1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功证明了费马小定理。

怀尔斯利用了代数几何和数论领域的深入理论，经过数十年的研究，终于解决了这个难题。

3.费马小定理的实际应用虽然费马小定理看起来只是一个关于整数解的简单定理，但它在数学领域具有广泛的应用。

在代数几何、数论、组合数学等学科中，费马小定理都起着关键性的作用。

此外，费马小定理还对计算机科学有重要意义。

在密码学和计算机图形学等领域，费马小定理可以帮助简化算法和提高计算效率。

4.结论费马小定理的证明经历了漫长的历程，从费马提出到怀尔斯证明，历经了358 年。

这个定理不仅展示了数学家们在追求真理过程中的坚持和毅力，同时也体现了数学知识的深度和广度。

费马小定理(算法)

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马小定理的历史皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。

在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。

与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p)，p是一个质数。

假如p是一个质数的话，则2^(p-1)≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。

但反过来，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。

因此整个来说这个猜想是错误的。

一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。

费马小定理的证明一、准备知识：引理1．剩余系定理2若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m 个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。

取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。

费马三大定理

费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n. 无正整数解。

费马小定理：是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马平方和定理费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出证明后成为定理。

内容费马平方和定理的表述是：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。

欧拉的证明欧拉在1747年证明了费马平方和定理，当年他四十岁。

他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信，讲述这个定理的证明。

该证明分五步，且用到了无穷递降法；由于信中没有把第五步讲清楚，因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信，详细讲述第五步的证明。

第一步、“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。

”第二步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。

”假设a2 + b2能被p2 + q2整除，且后者为素数。

则p2 + q2能整除(pb −aq)(pb + aq) = p2b2 −a2q2 = p2(a2 + b2) −a2(p2 + q2).由于p2 + q2是素数，因此它能整除两个因子之一。

假设它能整除pb −aq。

由于可推出p2 + q2能整除(ap + bq)2。

于是等式能被p2 + q2的平方整除。

两边除以(p2 + q2)2得：因此其商能表示为两个平方数之和。

如果p2 + q2能整除pb + aq，则利用等式同样可证。

第三步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。

奥林匹克数学题型费马小定理与欧拉函数

奥林匹克数学题型费马小定理与欧拉函数奥林匹克数学题型：费马小定理与欧拉函数在奥林匹克数学竞赛中，费马小定理和欧拉函数是两个经常出现的题型。

本文将介绍费马小定理和欧拉函数的概念、性质以及它们在竞赛中的应用。

一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费尔马在17世纪提出的，它是数论中的一条重要定理。

费马小定理表述如下：若p是一个素数，a是任意整数，那么a^p与a在互质模p的情况下相等。

根据费马小定理，我们可以得出以下推论：1. 若a是任意整数，p是一个素数，则a^p - a能够被p整除。

2. 若a是任意整数，n是一个正整数，则a^n - a能够被n整除。

费马小定理在奥林匹克数学竞赛中的应用非常广泛。

例如，当需要计算一个大数的幂模某个数时，可以利用费马小定理进行简化计算。

二、欧拉函数欧拉函数是数论中的一个重要概念，用φ(n)表示。

欧拉函数的定义如下：对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

欧拉函数具有以下性质：1. 若p是一个素数，则φ(p) = p - 1，因为小于p的正整数都与p互质。

2. 若a和b互质，则φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

3. 对于任意正整数n，都有∑[d|n]φ(d) = n，其中∑表示求和，d表示n的正因数。

欧拉函数在奥林匹克数学竞赛中的应用也非常广泛。

例如，求解一个数的模反元素时，可以利用欧拉函数的性质进行计算。

三、费马小定理与欧拉函数在竞赛中的应用1. 求解模幂问题在奥林匹克竞赛中，常常会遇到求解一个数的幂模某个数的问题。

通过利用费马小定理的推论，可以大大简化计算。

具体步骤如下：（1）根据题目给定的数和模数，确定底数和指数。

（2）利用费马小定理，对底数进行化简，得到新的底数。

（3）对新的底数进行指数运算。

（4）将运算结果对模数取余，得到最终答案。

2. 求解模反元素在奥林匹克竞赛中，经常需要求解一个数在模某个数下的逆元。

利用欧拉函数的性质，可以简化计算过程。

欧拉-费马小定理定理（证明及推论）

欧拉-费马⼩定理定理（证明及推论）欧拉定理：若正整数a , n 互质，则aφ(n)≡1(mod n)其中φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与n 互质的数。

证明如下：不妨设X1，X2 ...... Xφn是1~n与n互质的数。

⾸先我们先来考虑⼀些数：aX1，aX2 ...... aXφn 这些数有如下两个性质：　（1）任意两个数模n余数⼀定不同：（反证）若存在aX1≡aX2（mod n），则 n |（ aX1 - aX2 ），⽽a，n互质且（X1 -X2）< n，所以n不可能整除（ aX1 - aX2 ），也就是说不存在aX1≡aX2（mod n）。

归纳法：对于任意的与n互质的X i均成⽴。

故得证。

那么因为有φn个这样的数，X i mod n（i=1~φn）所以就有φn 个不同的余数，并且都是模数⾃然是（0~n-1）。

　（2）对于任意的aX i（mod n）都与n互质。

这不难想，因为a与n互质这是欧拉函数的条件，X i是（1~n）与n互质的数的集合中的元素。

所以如果a*X i做为分⼦，n做为分母，那么他们构成的显然就是⼀个最简分数，也就是aX i和n互质。

接下来就可以⽤欧⼏⾥得算法：因为：gcd（aX i，n）==1所以：gcd（aX i，n）== gcd（n，aX i%n）== 1 这样，我们把上⾯两个性质结合⼀下来说，aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）构成了⼀个集合（性质1证明了所有元素的互异性），并且这些数是1~n与n互质的所有数构成的集合（性质1已说明）。

这样，我们巧妙的发现了，集合{ aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）}经过⼀定的排序后和集合{ X1，X2 ...... Xφn }完全⼀⼀对应。

那么：aX1（mod n）* aX2（mod n）* ...... * aXφn（mod n）= X1 * X2 * ...... * Xφn 因此：我们可以写出以下式⼦：aX1 * aX2 * ...... * aXφn ≡ X1 * X2 * ...... * Xφn（mod n），即：（aφn -1）X1 * X2 * ...... * Xφn≡ 0 （mod n）⼜因为X1 * X2 * ...... * Xφn与n互质，所以，（aφn -1）| n，那么aφn ≡ 1（mod n）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

费马小定理的几个推论
张祖华平阴县职业教育中心山东济南 250400
摘要：本文发现了费马小定理的几个推论。

关键词：费马小定理
费马，业余数学家之王；费马小定理，数论上的著名定理。

本文发现了费马小定理的几个推论。