证明费马最后定理
费马大定理的证明及其在数学学科中的意义解读
费马大定理的证明及其在数学学科中的意义解读一、费马大定理费马大定理是数学中比较有名的未解之题之一，又称为费马最后的定理。
费马大定理的具体内容是，在自然数n≥3情况下，对于x^n + y^n = z^n，没有正整数x、y、z能够同时满足该等式。
所以，费马大定理可以简单地表述为：对于自然数n≥3，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
二、费马大定理的证明费马大定理的证明经历了漫长的400多年。
1640年，数学家费马提出了这个问题，但他只在文献中留下了一行字：我真的找到了一个美妙的证明，但这个框子太小，放不下。
这使得后来人们长期以来都在为找到证明而努力。
直到1994年，安德鲁·怀尔斯在通过数学软件的计算得到了证明。
为了证明费马大定理，怀尔斯使用了一个名为“倒推追溯”的方法。
该方法在本质上是利用了特殊情况中间存在的对称性和期望的一些性质，将问题大大简化。
为此，怀尔斯被授予了菲尔兹奖（Fields Medal），这是数学界最高的奖项之一。
三、费马大定理的意义和启示费马大定理在数学中拥有重要的地位和意义。
它不仅是一个数学难题，更是数学领域的一个经典问题。
一方面，费马大定理的证明为数学界提供了一个重要的思考方法和解题思路。
另一方面，费马大定理的证明也预示着数学的发展方向和潜力。
在此基础上，我们可以深入思考费马大定理的意义和启示，以及它推动数学学科发展的重要作用。
1. 建立了数学理论的基石费马大定理作为一道典型的数学难题，它的证明历程充分表明了数学理论的建立和发展是需要千锤百炼的。
过程中，数学家使用了不同的思考和研究方法，提出了各种可能的证明方案，从而建立了一系列数学理论基础和推动数学学科的进步。
这一点在数学中具有重要的意义，表示着数学建立领域的数学理论的牢固基础。
2. 推动数学学科的发展费马大定理的证明推动了数学学科的发展。
在证明费马大定理过程中，怀尔斯不仅提出了“倒推追溯”这一思路，更为后来的数学研究提供了很多启示和思路。
费马点结论及其详细证明过程
费马点结论及其详细证明过程
费马点定理（Fermat's Point Theorem）是指，当一个三角形的边都是整数时，它的内切圆必然有一个圆心位于三角形的三个顶点上。
证明过程：
假设ABC是一个边长都为整数的三角形，O是内切圆的圆心，令AB=a, AC=b, BC=c，
（1）由三角形外接圆的性质可知，三条边的中点到圆心的距离之和等于三条边的长度的一半，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=R$$
（2）根据勾股定理，三条边的中点到圆心的距离之和也等于圆心到三个顶点的距离之和，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=OA+OB+OC$ $
将（1）、（2）式代入得：
$$R=OA+OB+OC$$
又有 $OA^2+OB^2=a^2$ 、$OB^2+OC^2=b^2$ 、
$OC^2+OA^2=c^2$
将此三式相加得：
$$OA^2+OB^2+OC^2=a^2+b^2+c^2$$
将此式与（3）式相减得：
$$OA+OB+OC=\sqrt{a^2+b^2+c^2-
2(a^2+b^2+c^2)}=0$$
可知OA=OB=OC=0，即圆心O位于三角形ABC的三个顶点上。
证毕。
费马定理证明
费马定理证明费马定理又称费马大定理，是由18世纪德国数学家费马于1768年提出的能够证明任何一个自然数都可以表示为4个方平方数之和的定理。
费马定理非常重要，被誉为数论界最重要的大定理，被用作数论里最简单的证明之一，且由此衍生出众多的定理，是数学发展史上不可磨灭的脚印。
费马定理的具体内容可以表述为：任何一个正整数都可以表示为4个正整数的方平方和，即：对任意正整数N，都存在正整数 a、b、c、d 使得 N=a^2+b^2+c^2+d^2，这里^2表示平方。
费马定理十分重要，因为它打开了数论界的大门，提出了一种全新的证明方法，激发了许多数学家的灵感，从而大大推动了数学的发展，费马定理的推导过程也是数学研究的一部分，为了证明费马定理，必须在数学的诸多基本概念上做出合理的假设。
证明费马定理有两种方法：一种是基于数论的证明，特别强调费马定理之后的其他定理；另一种则是基于几何的证明，它依赖于几何学及其证明原理，从而进行类似几何图形或几何空间的复杂计算，以证明费马定理。
首先，我们来看基于数论的证明方法。
首先，我们以一个正整数N作为开始，然后将N分解为一系列的平方数的和：N=a^2+b^2+c^2+……+n^2，其中a，b，c是正整数，这里^2表示平方。
接下来，分析这些方平方数之间的关系，来确定它们之间的联系程度，即取决于它们之间的差值。
如果这些差值是不同的，则这些方平方数互异，如果它们差值相同，则这些方平方数是相同的。
这就是费马定理的证明方法。
其次，我们来看基于几何的证明方法。
首先，我们可以假设有N 个正整数点构成了一个正整数边长的正方形，每个点的坐标都是a^2+b^2+c^2+d^2，其中a，b，c，d是正整数，^2表示平方。
接下来，用这N个点构成一个四边形，然后证明四边形实质性的几何规律，用这种几何规律可以了解四边形的变化规律，从而得出费马定理。
最后，无论采用基于数论的证明还是基于几何的证明，费马定理都是一个强大的重要定理，其中蕴含着巨大的数学智慧，它也是数学史上开创性的结果，拉开了数论和几何学的大门，激发了许多数学家的灵感，推动了数学的发展。
费马大定理—数学史上著名的定理
— 数学史上著名的定理
中文名： 外文名： 费马大定理 Fermat’ s Last Theorem
别 称： 表达式：
费马最后的定理 x n y n z n (n 2时， 无正整数解)
提出者： 皮耶 • 德 • 费马(法国) 提出时间： 1637年左右 证明者： 安德鲁 • 怀尔斯(英国) 证明时间： 1995年彻底证明
历史研究
莫德尔猜想
1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫 做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、 有理系数的二元多项式，当它的 “亏格” 大于或等于 2 时，最 多只有有限个解。记这个多项式为f ( x ， y )，猜想便表示：最 多存在有限对数偶 xi ， yi Q ，使得 f ( xi ， yi ) 0。后来，人们 把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象 代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。 ( n 1)( n 2) n n 而费马多项式 x y 1没有奇点，其亏格为 。 2 当 n ≥ 4 时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如 果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 x n y n z n 本质上最多有有限多个整数解。
历史研究
接力证明
1844年，库默尔提出了 “理想数” 概念，他证明了：对于 所有小于100的素指数 n ，费马大定理成立，此一研究告一阶 段。但对一般情况，在猜想提出的头两百年内数学家们仍对 费马大定理一筹莫展。 1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家 拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称 证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔 则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯 入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了 德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数 系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅 和柯西的证明都是错的。
费马大定理
费马大定理Fermat's last theorem定理简介费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.的整数解都是平凡解，即当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
研究历史1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cui us rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。
但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
证明费马引理
证明费马引理费马引理是由法国数学家费马在17世纪提出的一个命题，后被称为费马大定理或费马最后定理。
该定理的内容是：对于任何大于2的整数n，方程 x^n+y^n=z^n在整数集上没有非平凡整数解。
要证明费马引理，我们可以分情况讨论。
对于n=1的情况，明显方程成立。
而对于n大于2的情况，我们可以利用反证法进行证明。
假设存在一组非平凡整数解(x, y, z)，使得 x^n+y^n=z^n。
我们可以假设这组解已经被约分，并且它们的最大公约数为1。
即(x, y, z) 是互素的整数。
由于x^n+y^n=z^n，我们可以将其变形为 x^n = z^n - y^n。
我们可以观察到 z^n - y^n 是一个完全平方数（或是更高次的幂），因此可以表示为m^2或 m^k（k>2）。
考虑到x^n是完全平方数，我们可以得到 x^n = (m^k)^n =m^{kn}，其中k>1。
而m、x均为整数，得到x=m^k 的形式。
接下来，我们将x的表达式带入原方程，得到 (m^k)^n + y^n = z^n。
我们可以将其变形为 y^n = z^n - (m^k)^n。
继续按照上述步骤，我们可以推出 y=m^k 的形式。
现在，我们已经得到了x、y的表达式，即 x=m^k 和 y=m^k，其中m、k均为正整数。
由于(x, y, z)是互素的整数，我们得到m^k 的k次幂与(x, y, z)的k次幂相等，即 m=1。
因此，我们得到了 x=y=z=1 的解。
这与非平凡解的前提条件相矛盾。
因此，我们可以得出结论：对于任何大于2的整数n，方程x^n+y^n=z^n在整数集上没有非平凡整数解。
这就证明了费马引理。
费马最后的定理：费马大定理
费马最后的定理费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。
大约1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
证明完成定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。
接下来的要将二种“排队”序列对应配对，这一步他二年无进展。
此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。
费马大定理证明过程中文版怀尔斯
费马大定理证明过程中文版怀尔斯答案：1.若a,b,c都是大于0的不同整数,m是大于1的整数,如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方幂关系成立,则a,b,c,d,e增比后,同方幂关系仍成立。
证：在定理原式a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中,取增比为n,n＞1,得到：（na）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m原式化为：n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m）两边消掉n^m后得到原式。
所以,同方幂数和差式之间存在增比计算法则,增比后仍是同方幂数。
2.若a,b,c是不同整数且有a^m+b=c^m关系成立,其中b＞1,b不是a,c的同方幂数,当a,b,c同比增大后,b仍然不是a,c的同方幂数。
证：取定理原式a^m+b=c^m取增比为n,n＞1,得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m原式化为：n^m（a^m+b）=n^mc^m两边消掉n^m后得到原式。
由于b不能化为a,c的同方幂数,所以n^mb也不能化为a,c的同方幂数。
所以,同方幂数和差式间含有的不是同方幂数的数项在共同增比后,等式关系仍然成立。
延伸：费马大定理证明过程中文版是费马大定理证明过程原命题Xn+Yn=Zn（其中X、Y、Z都是非零数）当n为大于2的正整数时X、Y、Z，不可能都是正整数。
证明步骤我们只要证明当n为大于2的正整数时，X、Y、Z，不可能都是非零的有理数，原命题自然成立。
费马大定理把几百年前的猜想和最先进的数学思想惊人地联系起来了。
费马大定理，又被称为费马最后的定理，由法国数学家费马提出。
它断言当整数n>2时，关于x，y，z 的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1993年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股數組
求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。
解 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u > v > 0。
v 1 2 3 4 5 u 2 (3 , 4 , 5) --------3 4 (8 , 6 , 10) (15 , 8 , 17) (5 , 12 , 13) (12 , 16 , 20) --(7 , 24 , 25) --------5 (24 , 10 , 26) (21 , 20 , 29) (16 , 30 , 34) (9 , 40 , 41) --6 (35 , 12 , 37) (32 , 24 , 40) (27 , 36 , 45) (20 , 48 , 52) (11 , 60 , 61)
費馬提出：那麼當 n > 2 時，方程 x n + y n = z n 又有沒有整數解呢？
費馬的「解答」
將一個立方數分成兩個立方數，一個四 次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一 個高於二次冪的數分成兩個相同次冪， 這是不可能的。我對這個命題有一個美 妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個「美妙 證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！
則 x2 = a2 - b2 ; y 2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a > b > 0， HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。 由於 x2 = a2 - b2 是奇數，得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。 另外，亦得 x2 + b2 = a2，再從此得 x = c2 - d 2 ; b = 2cd ; a = c2 + d 2，其中 c > d > 0， HCF(c , d) = 1，c、d 的奇偶性相反。 因而 y2 = 2ab = 4cd(c2 + d 2)，
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話：
將一個立方數分成兩個立方數，一個四次 冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高 於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不 可能的。我對這個命題有一個美妙的證明， 這裏空白太小，寫不下。
費馬最後定理
當整數 n > 2 時， 方程 x n + y n = z n 無正整數解。
勾股數組的通解
《算術》第 II 卷命題 8： 將一個平方數分為兩個平方數。 即求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 費馬利用他發明的「無窮遞降法」來解此 題，得到以下結果：
若 HCF(x , y) = 1，y 為偶數， 則 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2 ； பைடு நூலகம்裡 u > v > 0，HCF(u , v) = 1，u、v 奇偶 性相反。
費馬 Pierre de Fermat (1601 - 1665)
法國人
律師，1631年出任圖盧茲 議院顧問。 業餘研究數學 他是幾何學、坐標幾何、 概率論、微積分、數論等 學問的先驅。
大約 1637 年，當費馬閱讀古希臘名著《算術》時，在 書邊的空白地方，他寫下了以下的一段說話： Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infintum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exguitas non caperet.
到底費馬的說法是否正確呢？
「費馬最後定理」名稱的確立
問 甚麼叫「定理」？ 答 曾經被證實為正確無誤的數學命題。 問 既然費馬的命題又未被證明為正確，為甚麼 又叫做「定理」呢？ 答 因為經過 300 多年，都沒有人能作出反例， 所以人們相信是它是正確的，是一個定理。 問 費馬提出這命題後 30 年才去世，為甚麼會叫 這命題做「最後定理」呢？ 答 因為費馬曾經提出過的命題，都已經被證實 或否定，祇剩下這「最後」一題，未能獲證。
n = 4 的證明
費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證 明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的 證明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，給出這 個情形的證明。 證明步驟主要使用了「無窮遞降法」。
費馬的證明
定理 方程 x 4 + y 4 = z 2 沒有正整數解。
解 假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，
勾股定理及勾股數組
勾股定理 在 ABC 中，若 C 為直角， 則 a2 + b2 = c2。
留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13) … 等等為方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為「勾股數組」。
由此得 c、d 和 c2 + d 2 為平方數。
於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。
換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。 但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 > g 4 > g > 0。 即是說如果我們從一個 z 值出發，必定可以找到一個更小 的數值 g 使它仍然滿足方程 x 4 + y 4 = z2。如此類推，我 們可以找到一個比 g 更小的數值，同時滿足上式。 但是，這是不可能的！因為 z 為一有限值，這個數值不能 無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。 所以，方程 x 4 + y 4 = z2 沒有正整數解。（證畢） 推論 方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。 解 假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方 程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）