费马最後定理_A. Wiles的解决方法
费马最后定理数学概念
费马最后定理数学概念
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理.费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）光程s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和 l=vt 所以得到 s=ct.由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程.费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的.。
初中数学 费马大定理的证明过程是怎样的
初中数学费马大定理的证明过程是怎样的费马大定理是数学史上最著名的问题之一，它是由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的。
费马大定理的表述是：当n大于2时，方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。
这个问题在当时就引起了数学家们的极大兴趣，然而费马本人并没有公开他的证明方法，导致了这个问题一直成为数学界的一个悬案。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在历时多年的努力下，终于给出了费马大定理的完整证明。
本文将介绍费马大定理的证明过程，以及怀尔斯是如何解决这个经典问题的。
怀尔斯的证明方法基于代数几何和椭圆曲线的理论，他建立了一个数学框架，通过对一个特定类型的方程进行研究，最终得出了费马大定理的证明。
这个方程是一个模型方程，它可以表示为：x^n + y^n = z^n其中n是大于2的正整数，x、y、z是未知整数。
这个方程的解对应于费马大定理的解。
怀尔斯的证明方法涉及到了许多深奥的数学理论和技巧，下面将逐步介绍他的证明过程。
1. 代数几何的初步建立怀尔斯的证明方法基于代数几何，他首先建立了一套几何框架，用于描述方程的解的性质。
这个几何框架是基于一个叫做椭圆曲线的数学对象的。
椭圆曲线是一种特殊的代数曲线，它可以用二次方程表示为：y^2 = x^3 + Ax + B其中A、B是常数。
椭圆曲线具有一些重要的性质，如切线和法线的交点等，这些性质可以用来研究方程的解的性质。
2. 椭圆曲线和模形式的联系怀尔斯发现，椭圆曲线和另一个数学对象叫做模形式有密切的联系。
模形式是数论中的一种函数，它具有一些重要的性质，如模不变性等。
怀尔斯利用了椭圆曲线和模形式的联系，建立了一个新的数学框架，用于研究方程的解的性质。
3. 模形式和费马大定理的联系怀尔斯发现，模形式和费马大定理之间也有一定的联系。
他发现，如果存在一种特殊的模形式，它可以与方程的解一一对应，那么费马大定理就能够得到证明。
初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！
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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.
因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.
费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.
【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。
所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。
这是费马通信的⼀贯作风。
⼈们称这个点为“费马点”。
还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。
直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。
费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．
【综合应⽤】
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：【答案解析】。
费马大定理的故事
费马大定理的故事彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官.费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美.著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的. 在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来."用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程:x2+y2=z2的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程x n+y n=z n不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来.尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性. 从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程:x4+y4=z4有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2 得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有:ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的. 对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种"新数",即形如a+b√-3的数系,这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数环.但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如a+b√-5,则唯一因子分解定理就不成立了.关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的理论叫做示性类理论.接着,1825年,20岁的狄利赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明:若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费马大定理成立.1839年,拉梅证明了n=7.取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证明了对于小于100的除了37,59和67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明过程中,库莫尔的最重要贡献不在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念-----理想数,这是一种特别有用的涉及范围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------理想,以及整个新的数学分支-----理想论,后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马方程x n+y n=z n至多有有限多个解.这一证明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性降低到最多只可能有有限多个解,这确实是一个巨大的成就.但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人出乎意外,最后的攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提出一个猜想:有理数域上的每条椭圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-志村猜想).所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:y2=Ax3+Bx2+Cx+D 而模形式是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而摸形式是处处全纯的摸函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆曲线与摸形式联系在一起.从60年代开始,有人将费马方程x n+y n=z n和形如y2=x(x+A)(x+B)(1)的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的结论.1984年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波沃尔法赫小城举行的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零整数a,b,c使得a n+b n=c n (n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=a n , B=-b n ,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山-志村猜想矛盾.如果弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,"假定费马大定理不成立"是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥远的事情,但是,年轻的英国数学家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这个猜想.经过7年的艰苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学讨论会上,报告了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭圆曲线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得到确认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993年12月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对待证明的态度是十分严肃的,不容半点含糊.1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以电子邮件的形式向数学界的朋友发出了谨慎而乐观的消息:"今天早上,有两篇论文已经发表,他们是:"椭圆模曲线和费马大定理",作者是安德鲁.怀尔斯;"某些赫克代数的环论性质",作者是R.泰勒和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一步依赖于第二篇短文...."1995年7月号的"美国数学会通告"上发表了G.法尔廷斯的文章,题为"R.泰勒和A.怀尔斯对费马大定理的证明".他开宗明义,以肯定的语调宣称:"在本文题目中所提到的猜想于1994年9月终于被完整地证明了."至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成为了一条定理!虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明谷山-志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高深的群论思想.那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的"奇妙的证明"到底存在吗?无独有偶,我国的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大定理,并且得到了我国数论专家乐茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是费马本人想到的那种"奇妙的证明"呢?对于这个问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇文章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.获奖和评论1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享，于1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元.沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想上得到的巨大进展，由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想"影响深远，博大精深.沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家，如盖尔丰德，西格尔，韦伊，嘉当，陈省身，小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖，由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.（沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961年起任古巴驻以色列大使，后留居以色列.与德国专门为费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.）.怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦--戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴. 结果当怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."怀尔斯的生平安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993年6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所”研究员. 1982年成为普林斯顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员，他1985--86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年，是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和[美国]国家科学院奖.费马大定理的玩笑很多年以前，一个叫作费马的同志在法院工作，他总是抱这么一本书－－丢番图写的《算术》第三册，正如很多年以后一个叫做Jonny的人总是抱着一本Windows NT 宝典一样。
【数学大师】不等式——费马的最后定理
【数学大师】不等式——费马的最后定理
费马大定理断言：
当整数n >2时，方程x n+ y n= z n没有正整数解
这个定理，直到三百多年以后的1995年才被证明
不等式的定义
用符号''、'>'或'≠'表示大小关系的式子，叫做不等式
注意：
有些不等式中不含未知数
有些不等式中含有未知数
解不等式
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集
不等式的解集常用数轴来形象的表示：
在数轴上表示不等式的解集，有以下三个步骤：求不等式的解集的过程叫做解不等式
利用以下不等式的性质，可以解不等式。
费马大定理及其证明方法
费马大定理及其证明方法费马大定理是数学界著名的难题之一，它的证明历经四百年，让数学界的研究者们投入了无数的精力和时间。
一、费马大定理的定义费马大定理，又称费马最后定理，是一条非常著名的代数数论问题。
它的表述方式比较简单：将指数大于二的整数幂表示为三个平方数之和的情况是不存在的。
也就是说，方程x^n+y^n=z^n在n>2时，不存在整数解。
这条定理由法国数学家费马在17世纪首次提出，并致力于证明此定理近40年之久，但他从未公布证明方案。
直到1960年才由Andrew Wiles在英国剑桥完成了证明。
二、费马大定理的历史费马大定理的历史可以追溯到17世纪。
当时，法国数学家费马在研究数学问题时提出了一个假设：如果一个整数n大于2，那么方程x^n+y^n=z^n中不存在正整数解。
费马声称自己已经发现了一种证明方法，但遗憾的是，他没有将这个证明公布出来。
此后，费马大定理便成为了数学界的一个谜题。
一方面，人们认为它是成立的，因为一些数学家通过计算发现，在一些特定情况下，这个方程是不存在正整数解的。
另一方面，也有一些数学家认为费马的想法是错误的，因为他的证明并没有被记录下来，所以根本不知道他的假设是否真的成立。
20世纪60年代以来，学者们对费马大定理提出了更为深刻的思考。
许多著名的数学家投入了大量的时间和精力，尝试寻找一个完整的证明方案。
最终，英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年完成了这一证明，以此圆满地结束了费马大定理的历史传说。
三、费马大定理的证明费马大定理的证明历时四百年，这是数学界难以磨灭的辉煌。
然而，这个证明方案并不是一蹴而就的，实际上，数学家们在寻找证明方案时遇到了一系列的困难。
根据怀尔斯的证明方案，费马大定理的证明分为三部分。
首先，他证明了一个定理，称为“伊万·斯蒂年奇模型”。
这个定理规定，有限域之上的模空间可以在几何上与椭圆曲线相比较。
然后，他使用了一个称为“输影结果”的独特工具，证明了另一个定理，称为“塔尼雅马分解”。
关于费马大定理
关于费马大定理费马在数论方面的有几个猜想，除了他关于素数的猜想，费马大定理是费马的所有猜想中最困难、最有影响的一个，从1637年提出直到1994年有怀尔斯（A.Wiles ）解决，整整经历了357年，费马大定理的证明是20世纪诸多重大数学成就之一。
1. 什么是费马大定理？费马大定理又称费马最后一个定理（Fermat ’ Last Theorem ），简记成FLT ，据说是由于到19世纪初期，除了这个定理以外，费马的所有其他猜想均以被解决而得名。
1637年费马在阅读古希腊数学家丢番图著的《算术》的拉丁文译本中第二卷第八个命题：“把一个平方数写成两个平方数之和”时，在书的填白处写道：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方表成两个四次方之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂次之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。
”这就是数学史上著名的费马大定理，用现代术语可表述如下：对每个正整数3≥n ，方程n n n z y x =+均没有正整数解),,(z y x 使得0≠xyz 。
对于2=n 的情况，早在三千多年前，即公元前1100年，我国西周的商高就提出了“勾3股4弦5”的结论，在几何上讲，这是勾股定理的特例，从代数角度看，就是方程222z y x =+有一组整数解)5,4,3(。
费马大定理一提出就立即引起了数学界的兴趣，特别是数学家们都在寻找他说的“奇妙证明”。
多数数学家对此说持怀疑态度。
至少可以说，方程n n n z y x =+对于费马并不是典型的，他所研究的绝大多数方程的指数均小于等于4。
此外，他在与朋友的通信中只叙述了3=n 的情形。
对4=n 时，他采用无穷下降（推）的技巧给出了证明。
虽然后人一直未找到他的证明细节，但对此却确信无疑，因为这可由费马的另一个定理推出。
这个定理是：“三边为整数的直角三角形的面积不能为平方数”。
而后者的证明，费马写在空白处。
费马定理及其证明与应用
费马定理及其证明与应用费马定理是数学中最著名的未解之谜之一，它留下了自17世纪以来困扰数学家们的问题，直到1994年才得到完整证明。
费马定理又称费马大定理或费马最后定理，它是指在任何给定的整数n > 2 情况下，关于 x、y、z 三个未知数的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
本文将详细介绍费马定理的历史、证明过程以及其应用。
一、历史费马定理得名自法国数学家皮埃尔·德·费马，据传，他于1637年提出了这个问题。
但费马并没有留下任何有关于该问题的证明记录，因此，费马定理后人更多地成为数学谜题，而非数学定理。
在17世纪，欧洲数学家们竞相研究费马定理，寻求证明这个问题的方法。
然而，数学家们都没有获得成功。
到了18世纪末，欧洲最杰出的数学家之一欧拉在其著作《元素数学》中承认，费马定理是一个非常困难的问题，并预言此问题需要“一个真正的天才”才能解决。
直到世纪末，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马定理的部分情况。
但直到20世纪至今，数学家们才证明了费马定理的完整版本。
二、证明费马定理被证明的过程，是一段曲折而奇妙的数学历史。
它牵涉到了许多数学大师的智慧，如戴维·希尔伯特、恩斯特·谢尔和理查德·泰勒，以及无数其他的数学家。
在20世纪初，许多数学家都尝试证明费马定理，但它并不像其他定理那样容易证明。
直到1970年代，数学家弗朗西斯·萨拉首次将费马定理联系到所谓“调和分析”这一相对年轻但强大的数学领域。
此后，在19年的时间里，一群数学家努力地从萨拉的思想中推导出更深入的结论，进一步证明了费马定理。
在1994年，普林斯顿数学家安德鲁·怀尔斯给出了完整的证明，成为历史上第一位成功证明了费马定理的人。
怀尔斯的证明涉及到一种全新的数学领域，称为“模形式”，被认为是一项变得非常复杂和技术性很强的数学工作。
怀尔斯的工作也获得了菲尔兹奖，这是数学上的最高荣誉。
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Tℓ = lim E[ℓn] ← n
對每一正整數 m, 以 E[m] 表示 E 上 的 m− 等分點。 那麼 E[m] 同構於 Z/mZ× Z/mZ, 且 Galois 群 GQ = Gal(Q¯/Q) 作 用在這群上, 以 ρEA,B,ℓ 表示當 m 為一質數 ℓ 時所生成的 GQ 的群表現。
(iii) ℓ ≥ 11 時, ρEA,B,ℓ 的值域是 群 GL2(Z/ ℓZ) 的全部 (這是根據 Mazur 的一個定理 [9])。
由上面性質可推出
(iv) 當 l ≥ 5 時, 群表現 ρEA,B,ℓ 是不 可約 (irreducible), 且是非常溫和分歧 (mildly ramified)。 因此它引出一平的 (flat) 的 group scheme。
2. Shimura-TaniyamaWeil 猜測與 Serre 猜測
ρ : GQ → GL2(k)
必是模型表現。 換句話說, 存在某一 g 與 λ, 使得 ρ = ρg,λ。 我們注意到對一模型表現 ρ 而言, g 的選擇性並不唯一。 Serre 進一步給 一個推測描述某一特定 g 的存在性, 並給出 g 的權數, 階數與其特徵。 1990 年, K. Ribet [10] 證明 Serre 猜測的後半部伴隨著前 半部成立而成立。 而由這結果推出費馬最後 定理隨著 Shimura-Taniyama-Weil 猜測成 立而成立, 理由如下。
1. 費馬最後定理與橢圓曲線 的關連性
給定一定義在 Q 上的橢圓曲線
E : y2 = x3 + ax2 + bx + c
以 E(Q) 表示 E 上所有有理點所形成的 群。 根據 Mordell-Weil 定理, 我們知道群 E(Q) 的結構, 是一有限群乘上階數有限的 自由交換群 (free abelian group of finite rank), 而這有限群是 E(Q) 的 torsion 部 份 (即秩是有限的元素所形成的子群)。 研究 橢圓曲線的人曾提出一個問題: 當 E 變動的 時候, E(Q) 的 torsion 部份的秩是否會有 上界, 且這上界只跟其定義域 Q 有關? Ogg 曾猜測 E(Q) 的 torsion 部份所形成的子 群只能有 15 種結構, 這猜測於 1976 年被 B. Mazur 所證實 [參考 7, 8, 9]。 設 N 是不具平方因子的正整數。 若 E 含有一秩為 N 的有理點, 則它會給出模型曲線 (modular curve) X0(N ) 上一有理點。 Mazur 的 證明中有一重要步驟是研究 Hecke 代數 T , 它是模型曲線 X0(N ) 之 Jacobian 上的自 同態環, 並且考慮 T 的 p− 進位完備畢包
反過來, G. Frey 提出下列有原創性的 概念: 他從費馬方程式的非顯然解去建構一 橢圓曲線, 其步驟如下。 設 p 是一比 3 大 的質數且假設 (a, b, c) 是方程式 xp + yp + zp = 0 的一組原始整數解 (無公因數)。 定 A = ap, B = bp 且 C = cp, 考慮橢圓線
費馬最後定理: A. Wiles 的解決方法
李文卿 余文卿 合著
懸疑三百多年的費馬最後定理最近又引 起世人的注意。 原因是 A. Wiles 宣稱他解決 了整個問題; 但不久, 證明中被找出有漏洞。 為此, 香港中文大學在 1993 年 12 月 18 日 到 21 日舉行一 “橢圓曲線與模型式研討會”, 邀請看過 Wiles 手稿的人以及 Wiles 所用到 定理的關係人, 就 Wiles 工作做系統性的介 紹。 明顯的結論是: Wiles 的證明是建立在 一不等式上, 這不等式是兩有限群之秩之間 的關係式, 不等式一邊之有限群的秩有辦法 計算, 但另一邊 Selmer 群的秩則難以估計。 故實質上, Wiles 並未完全解決費馬最後定 理。 底下是李文卿教授在去年七月裡根據 email 得到的信息所整理出來的摘要性文章, 部份內容經第二作者依據最新的發展修改過, 並寫成中文, 或能滿足讀者的好奇心。
所得到的 ℓ - 進位表現 ρE,ℓ : GQ → GL2(Qℓ)。 這是因為 Tℓ 是階數為 2 的 Zℓ 模, 因此 Tℓ Zℓ Qℓ 是一佈於 Qℓ 上的 2 維 向量空間。
顯然地, 限制在餘數體時, ρE,ℓ 化為 ρE,ℓ, 這 ℓ - 進位表現有下面的性質: 對所有 質數 p |ℓNE 而言, 我們有
更進一步, 以 c 表示 Q 上將元素映至其共軛 複數的自同構, 則 det ρg,λ(c) = −1。 一般 來說, GQ 的表現 ρ 若滿足 det ρ(c) = −1,
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則稱之為奇表現, 在 1987 年, Serre 在 [11] 中提出下列猜測: 任一 (連續) 不可約佈於有 限體 k 的奇表現
上面所談到 g 的 λ - 進位表現 ρg,λ 引 出另一佈於有限域的 GQ 的表現
ρg,λ : GQ → GL2(k),
其中 k 是質理想 λ 在 K 中的餘數體。 對幾 乎所有的質數 p, 我們有
bp ≡ Tr(ρg,λ(Frob p)) (mod λ)
和
χ(p)pk−1 ≡ det (ρg,λ(Frob p)) (mod λ)。
因 Frey 曲線 EA,B 是半穩定, 利用上 面的論點, 要證明費馬最後定理, 我們只要證 明
Shimura-Taniyama-Weil 猜測對定
義在 Q 上的半穩定橢圓曲線成立。 這就是 Wiles 所要證明的。 底下, 我們
描述一下他的處理方式以及困難所在。
3. 尋求一質數 ℓ 使得ρE,l 是 模型表現
假設不然, 從 xp +yp +zp = 0, p ≥ 11 的一組非顯然原始解, 我們得到一 §1 中討 論過的 Frey 曲線因 Shimura-TariyamaWeil 猜測對 EA,B 成立, 其 p - 進位表現 ρEA,B,p 是一模型表現, 因此 ρEA,B,p 也是。 更進一步, ρEA,B,p 是一不可約奇表現, 則根 據 Serre 推測的後半部, 存在有一 Γ0(2) 的 新型式 g, 其權為 2, 使得 ρEA,B,p = ρg,p。 另一方面, 已知 Γ0(2) 的虧格 (genus) 數是 零, 這類的模型式並不存在, 故費馬最後定理 成立。 [註記] Serre 在 [11] 中得證: Shimura-Tariyama-Weil 猜測隨著 Serre 猜測成立而成 立。
EA,B : y2 = x(x − A)(x − B)
這曲線也被稱為 Frey 曲線。 Frey [3, 4] (也 參考 [11]) 證明 EA,B 具有很多好的性質, 包 括底下這些:
(i) EA,B 的 conductor NE 是 ABC 之質 因數的乘積。
(ii) E 是半穩定 (semi-stable); 亦即 EA,B 若對某一質數 q 有壞的 reduction (即 EA,B mod q 後不再是一橢圓曲線), 則 必是乘性 (multiplicative) reduction (換句話說, EA,B mod q 後的曲線上無 尖點存在)。
ρg,λ : GQ −→ GL2(Kλ)。
其中 λ 跑遍 K 中不整除 N 的所有有限位 置。 對幾乎所有的質數 p, 下列關係成立。
bp = Tr(ρg,λ(Frob p)) 且
χ(p)pk−1 = det(ρg,λ(Frob p))。
對一 GQ 的 λ - 進位表現而言, 若它同構於 某一 ρg,λ, 其中 g 是一新型式, 則稱它是模型 (modular) 表現。 因此, 一定義在 Q 上的橢 圓曲線 E 滿足 Shimura-Taniyama-Weil 猜測的充要條件是存在有一質數 ℓ 使得 ρE,ℓ 是模型表現; 且因 Dirichlet 級數 L(s, E) 有 整係數, 存在一個質數 ℓ 使 ρE,ℓ 是模型表現 的充要條件是對所有質數 ℓ 而言, ρE,ℓ 都是 模型表現; 這可視為 Shimura-TaniyamaWeil 猜測的局部版本。
ρE,3 : GQ → GL2(Z/3Z)
提升為特徵是 0 的表現 √
ρ : GQ → GL2(Z[ −2]) ⊂ GL2(C)。
假設 ρE,3(GQ) = GL2(Z/3Z), 那麼表現 ρ 是奇, 不可約且是 S4 型, 根據 Langlands [6] 與 Tunnell [12] 在 GL2 的基底變換 (base change) 理論, 存在有一尖點模型式 f , 其權是 1, 階數等於 ρ 的 conductor, 且滿 足 L(s, f ) = L(s, ρ)。 再利用整係數 Eisenstin series 的同餘性質, 可證明存在一權數 為 2 的模型式 g 使得 ρE,3 = ρg,3是模型表 現。
此後, 設 E 是定義在 Q 上的半穩 定橢圓曲線, 如 §2 中所解釋, 只要證明 對某一 ℓ 而言, ρE,ℓ 是模型表現即可。 如 此, 對同一 ℓ, ρE,ℓ 也是模型表現。 為尋 找可能的 ℓ, 我們看一下表現 ρE,l 上的 信息。 取 ℓ = 3, 群 GL2(Z/3Z) 是 P GL2(Z/3Z) 的二次中心擴充 (central extension)。 由 P GL2(Z/3Z) 在投影線 P 1(Z/3Z) 的作用可看出 P GL2(Z/3Z) 同 構於置換群 S√4。 由於 S4 的二次中心擴充可 嵌入 CL2(Z[ −2]) 中, 我們可將特徵是 3 的表現
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