费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜
《费马大定理：一个困扰了世间智者358年的谜》
《费马大定理：一个困扰了世间智者358年的谜》在数学的浩瀚海洋中，有一些谜题像熠熠生辉的珍珠，尽管它们沉寂在深海之中，却总能吸引那些热爱数学的人们。
其中，最为人所瞩目的莫过于“费马大定理”。
这一谜题困扰了世间智者长达358年，直到1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）才终于将它解开。
《费马大定理：一个困扰了世间智者358年的谜》这本书，以纪实文学的形式，生动地描绘了这一数学难题的破解历程。
西蒙·辛格以细腻的笔触，将怀尔斯与他的团队在破解费马大定理过程中的艰辛、挫折、坚持与成功展现得淋漓尽致。
费马大定理，源于17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马的一个注脚。
他在《Diophantus》一书的边注中提出了这个定理，并声称自己已经找到了证明，但遗憾的是，他并没有将证明过程公之于众。
此后，这个定理就像一颗难以捉摸的明珠，吸引着无数数学家前来挑战。
然而，费马大定理的证明过程异常艰难。
无数数学家试图攻克这一难题，但却屡屡碰壁。
他们中有的才华横溢，有的坚韧不拔，但最终都未能成功。
这一难题仿佛成为了一道无形的壁垒，将那些渴望证明它的数学家们挡在了门外。
直到1995年，安德鲁·怀尔斯的出现，才终于打破了这一僵局。
怀尔斯是一位才华横溢的数学家，他对费马大定理的研究始于20世纪80年代。
经过多年的努力，他终于找到了一个全新的证明方法。
这个方法不仅解决了费马大定理的问题，还为数学领域带来了新的突破和启示。
怀尔斯的证明方法引起了轰动。
他的成果被誉为数学史上的里程碑之一，为数学界带来了前所未有的震撼。
他的成功不仅证明了他的才华和努力，更证明了人类在数学领域的无穷潜力和无限可能。
《费马大定理：一个困扰了世间智者358年的谜》这本书，不仅是一部关于数学难题的纪实文学，更是一部展现人类智慧和毅力的壮丽史诗。
它让我们看到了数学家们在追求真理的道路上所付出的艰辛和汗水，也让我们感受到了数学的魅力和力量。
这20本经典数学著作 ，值得对数学有兴趣的人一睹为快
1. 莫里斯·克莱因：《古今数学思想》全书共三册，是数学史的经典名著。
著作洋洋百万余言，阐述了从古代直到20世纪头几十年中的数学创造和发展，特别着重于主流数学的工作。
大量第一手资料的旁征博引，非常全面地提及各个历史时期的数学家特别是著名数学家的贡献，是全书的一大特色。
中国科学院院士李大潜这样评价：“本书通过对漫长而丰富多彩的数学历史的介绍，突出了古今数学思想及其发展脉络，抓住了核心和灵魂，对推动和吸引读者走近数学、品味数学、理解数学和热爱数学必将大有助益。
”2. 波利亚：《怎样解题：数学思维的新方法》这是国际著名数学家波利亚论述中学数学教学法的普及名著，对数学教育产生了深刻的影响。
波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题“作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
全书的核心是在分解解题思维过程中得到的一张“怎样解题”表。
作者在书中引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径，进而逐步掌握解题过程的一般规律。
书中还有一部“探索法小词典”，对解题过程中典型有用的智力活动做进一步解释。
3. 艾格纳(MartinAigner) & 齐格勒 ：《数学天书中的证明》书中介绍了40个著名数学问题的极富创造性和独具匠心的证明。
其中有些证明不仅想法奇特、构思精巧，作为一个整体更是天衣无缝。
难怪，西方有些虔诚的数学家将这类杰作比喻为上帝的创造。
这不是一本教科书，也不是一本专著，而是一本开阔数学视野和提高数学修养的著作。
4. 西蒙·辛格：《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》生动的故事和流畅的语言使《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》形神兼备。
全书分两条主线，一条是历代数学家征服费马大定理的努力，另一条是费马大定理证明者怀尔斯的成长之路。
其间穿插各位数学家的轶事，精彩纷呈。
5. 高斯 ：《算术探索 》《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的第一部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版，这是一部用拉丁文写成的巨著，是数论的最经典及最具权威性的著作。
费马大定理
学院学术论文题目:浅谈费马大定理学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：摘要：费马大定理---一个困惑了世间智者358年的迷。
本文将从费马大定理的历史背景，证明过程，证明方法等方面论述。
关键词：费马大定理不定方程整数解Subject: talk about prime number and the basic theory of arithmeticAuthor:Mathematics and computer college The professional of math Zhou lingPostal code：330038Abstract: Fermat’s last theorem is a puzzle that puzzled many wise people for 358 years. This passage will introduce the history background 、the process of demonstrating and the ways to demonstrate of FLT .Key: Fermat’s last theorem ; the indefinite form of equations; the answers of integers(一)历史背景1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
”接着他又俏皮的写下一个附加的评注：“关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”这就是说，费马认为他证明了下面的结论：当n≥3时，不定方程x^n + y^n = z^n.没有正整数解。
(二)研究历史毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
简述费马大定理
简述费马大定理——一个困惑了世界智者358年的谜数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012007160 田国平【摘要】简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.【关键词】初等数论；费马猜想；费马大定理；启示初等数论是研究整数性质的数学分支,同其它数学学科相比,它的历史古老且悠久,历史上许多最优秀的数学家都研究过数论,有数学王子之称的德国数学家高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”.十七至十八世纪,数论的研究基本上仍然是凭借数学家的才智与技巧独立地解决问题,但是其成果的丰富、内容的深刻、问题的难度、技术的高超,却是难以想象的.一个题意明确、表达简单的问题,证明起来却有着意想不到的困难,仿佛唾手可得,却毕生求索,终归茫然,由此产生出一批号称“世界难题”的猜想,其数量之多是任何其他数学分支所不能比拟的.这一时期对数论贡献最大的,先是费马,然后是欧拉,他在数论方面,堪称为丢番图后第一人.现简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾分析费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.1．费马及其猜想费马(Pierre Fennat,1601-1665)是法国数学家,生于法国南部图卢兹附近的波蒙地区.上大学时学的是法律,毕业后以律师为业,从30岁开始迷恋数学,他谦逊文雅,敏于思而慎于言,他发表的成果极少,然而贡献极大,在微积分、解析几何、概率论和数论等领域都有丰富的原始创新,因此他被誉为“业余数学家之王”.费马发表的多数成果在手稿、通信或页边空白处,许多重要思想和成果只写结论,很少写出证明,他的结论后来全靠瑞士数学家欧拉给出证明,其结果好像是费马编了一本高水平的习题集,欧拉则是解题者.由于费马有“研而不作”的习惯,因此,费马去世后,1670年由他的儿子萨缪尔·费马将其遗作整理汇集成书出版.费马在数论中的重要贡献是证明并提出了许多命题.1640年,费马建立了所谓“费马小定理”：“若p 为素数,则(mod )p a p ≡,其中a 为任意整数.”1736年,欧拉给出了费马小定理的证明.同年,费马还提出形如“21k +的费马数”问题.费马发现形如“221()nn F n N =+∈”的 03F =,15F =,217F =,3257F =,465537F =数皆为素数,据此他猜想“221()n n N +∈形的费马数皆为素数”.但1732年,欧拉给出了反例525216416700417F =+=⨯是合数!从而推翻了费马猜想.到目前为此,数学家们只发现了前5个费马素数,反而证明了50个费马合数,因此人们提出了反费马猜想“当5n ≥时n F 均为合数”.费马提出的最著名猜想是费马大定理.在公元三、四世纪之间,古希腊著名代数学家丢番图在他的著作《算术》中有一个不定方程“222x y z +=的整数解问题”,费马对这个不定方程很感兴趣,并在它的启发下提出了如下猜想.1637年前后,费马在丢番图的《算术》(译本)第二卷关于毕达哥拉斯三元组的页边空白处写下了一段结论：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者更一般地说,不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂之和.”接着他又俏皮地写下了一个附加的评注：“我对此命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下.”这就是说费马认为他证明了下面的结论：“当3n ≥时,不定方程 (2)n n n x y z n +=>没有正整数解”.上述的评注是在费马死后五年的1670年发表的.事实上人们遍寻费马的手迹,并没有发现这一“美妙的证明”,而只看到他对于4n =的证明,费马对这一证明颇为得意,自命为“无穷递降法”,或许费马认为用这种方法可以证明任意3n ≥的情形.但事实远不是如此简单,可能费马也未必想到,他的这一猜想竟然成为“引无数英雄竞折腰”的世界难题.后来很多数学家努力寻求这一问题的证明,以至于除了它以外,费尔马提出的所有猜想早已得到解决,所以,此猜想被证明后人们称它为费马大定理.这个困扰世间智者358年的谜团,终于在1994年,由一个英国出生,在普林斯顿大学数学系工作的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)所证明.2．费尔马大定理获证始末从费马时代起,人们就不断地试证费马猜想.巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,奖励证明费马猜想的人.布鲁赛尔科学院也悬赏重金,但都无结果.数学家首先对费马猜想进行如下分析：“如果费马猜想对于某一个自然数n 成立,那么对n 的任何正整数倍数()mn m N ∈也成立”.事实上,假设(2)(1)n n n x y z n +=>无正整数解,将(2)mn mn mnx y z +=改写为：()()()n n n m m m x y z +=,如果(2)有正整数解x ,y ,z ,那么m x ,m y ,m z 就是(1)的一个正整数解,这与(1)无正整数解矛盾.又由于任何一个大于2的整数,如果不能被4整除,它就一定能被某一奇素数整除.因此,只要证明4n=及n是任一奇素数时结论成立,费马猜想就获证.这就为后来的证明指出了方向.1770年,欧拉证明n=成立；1825年狄利克雷也3n=了时费马大定理成立.1823年勒让德证明了5证明了5n=成立；1831年靠自学成才的法国妇女索菲娅在假定x,y,z与n互质的前提下,证明了对小于100的奇素数费马大定理成立；1832年狄利克雷证明了14n=成立；1849年,德国数学家库默尔取消n=成立.1839年拉梅证明了7了索菲娅关于x,y,z与n互质的限制,将n的上限推进到100；1987年美国罗瑟教授将n的上限推进到41 000 000.为了研究的方便,数学家们对费马大定理作了相应的简化：“对于素数p,当p不能整除x ,y,z之积时,不定方程(2)p p p+=>无正整数解”,称此为x y z p费马大定理的第一种情形,这种情形的证明相对容易一些.法国数学家热尔曼和勒让德先后证明了对于所有素数100p<,费马大定理的第一种情形成立.1847年至1851年,受费马问题的启发,库默尔引进了一种“理想数”,并发现了把分圆域的理想数分解为理想质数的惟一分解定理,这个定理今天已被推广到任一代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位.库默尔把素数分为正规素数和非正规素数,首先证明了对于正规素数,费马大定理成立.库默尔验证了100以内的奇素数除37、59、67是非正规素数外,其余全为正规素数.1857年库默尔证明了59,67p=费马大定理成立；1892年米里曼诺夫证明了p=费马大定理成立.电子计算机发明并广泛应用后,对非正规素数的证明37取得了新进展.1978年至1992年,证明了610以内的非正规素数费马大定理成立.1948年至1985年证明了存在无穷多个素数p使第一种情形成立.数学先驱者对费马大定理的证明得到了许多成果,促进了某些数学分支的发展,但是离定理的最终证明还相差很远.于是,一种思维方向是把问题具体化,寻找定理不成立的反例.经过验证发现9310⨯以内的所有素数,费马大定理第一种情形都成立,80年代指数n 的上限已推进至180000010,但是这个时期证明方法没有实质上的新思想,费马大定理的研究没有本质的进展,人们对完全解决费马大定理看不出任何希望.“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,历史确实在曲折地前进.另一种思维方向是寻找证明猜想的新思想和方案.数学家从命题“(2)(*)n n n x y z n +=>无正整数解”出发,在(*)两边同时除以n z 推出新命题：“曲线“1(2)(**)n n u v n +=>无有理点”,这就把寻找代数方程整数解的问题转化为几何曲线上有理点的问题来解决.1922年英国数学家莫德尔提出猜想：“1(2)n n u v n +=≥的代数曲线上有理点只有有限多个.”1983年德国数学家法尔廷斯证明了这一猜想.1985年英国数学家希斯—— 布朗利用这一结果证明了几乎所有素数p 使费马大定理成立.换言之,如果有使费马大定理不成立的素数,那么这样的素数在整个素数集合中是微不足道的.以上结论已经十分接近费马大定理了,但离定理的证明尚有并非容易跨越的“一步之遥”.费马大定理这“一步之遥”的证明最终由英国数学家怀尔斯完成.2O 世纪5O 年代,一些数学家发现椭圆函数与模函数有联系,并猜测椭圆曲线可由特殊的模函数单值化,这种椭圆曲线称为模曲线.1967年韦依提出了“谷山～ 志村一韦依(简称TSW)”猜想：“所有椭圆曲线都是模曲线”.1984年秋,德国数论学家弗雷(G ．Frey)在演讲中提出一个结论：“如果方程(5,)p p p x y z p p +=≥是素数有一组非零整数解：,,)(,,),x y z a b c abc o =≠（,则椭圆曲线的方程),2()()p p y x x c x b =-+(此曲线后来称为弗雷曲线)不满足椭圆曲线的,TSW 猜想.”这就是说,“如果费马大定理不成立,那么著名的,TSW 猜想也不成立”,即由“ TSW 猜想成立可以推出费马大定理成立!”这无疑给出了证明费马大定理的一个新方案、新思路.1990年,里贝特证明了弗雷提出的这一结论.因此,证明费马大定理的问题转化为证明TSW猜想,甚至只要对弗雷曲线证明,TSW猜想成立即可.但是当时多数数学家认为这是非常困难、非常遥远的事情.为完成这一极其困难的工作,1986年,怀尔斯开始长达7年的面壁生涯,除了教书、指导研究生和参加必要的讨论班外,不参加任何与之无关的学术会议和报告,躲进家中的书房,一心一意地研究,TSW 猜想,写出了一份200多页的论文.1993年6月23日,他在英国剑桥大学报告了他的研究结果.该论文经过严格审查,被发现有漏洞.在此困难的时刻,他没有放弃这项研究工作.之后,他开始与数学家查德·泰勒(R．Taylor)一起合作攻关,但一直到1994年夏天仍然没有新的突破.这年8月,世界数学家大会在苏黎世召开,怀尔斯已经和菲尔兹奖无缘,但大会仍然邀请他在闭幕式上作最后一个大会报告,这给了他极大地慰籍.就在会后不久,他突然产生一个想法,将原来放弃的岩泽理论与科利瓦金——弗莱切方法结合,终于使研究工作有了突破性进展,证明最后归结为一个纯代数问题：“关于Hecke环的完全交性质”,这最后关口的证明是他与泰勒共同完成的.1994年1O月怀尔斯的《模椭圆曲线和费马大定理》论文通过审查,1995年5月在国际权威数学刊物《Annals of Mathematics》正式发表.至此,一个困惑了人间智者358年的谜揭开了,费马大定理正式获证.1996年,怀尔斯获得沃尔夫奖.这个奖通常是授予毕生为世界数学做出突出贡献的长者,怀尔斯是第一位获此殊荣的四十多岁的年青数学家.1998年世界数学家大会授予他一个特别菲尔兹奖(因为他正式证明费马大定理的1994年时已经超过了四十岁). 3.费马大定理获证的启示回顾费马大定理发现、探索、证明的历程,反思我们数学教育的经验与教训,可以启迪今天的数学教育应如何引导学生掌握正确的数学学习方法,激励学生主动发现、探索规律的创新意识,培养学生淡泊名利、实事求是、追求真理、锲而不舍、勇于创新的优秀品质.从费马大定理的证明过程可以看出,它是合情推理与归纳、演绎推理最完美结合的典范,没有当年的费马猜想,没有一代又一代数学家的严谨科学的态度与锲而不舍的归纳探索集成,也就没有今天的费马大定理.因此,猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方式,合情推理与归纳演绎是创新、创造与发现的重要源泉之一.但是,现在的数学教学中,恰恰忽视了合情推理,忽视了数学学习过程中猜测的力量,缺少对数学定理形成历史过程的阐述与剖析,呈现的是一些完美的结论和严谨的推理过程,只讲推理证明不讲猜想,只注重逻辑推理而忽视合情推理,将数学家火热的原创思维轨迹掩盖得一干二净,原本活生生的数学思维过程变成了抽象形式化的、冰冷的数学符号集合.这种教学方式极大地阻碍了学生创造性思维的产生和发展,这将导致学生对数学学习失去主动性与创造性,我们应该清醒地认识到这一点并努力改变这种现状.我们的数学教学应教给学生正确思考问题、提出问题、解决问题的方法,坚持既教证明,又教猜想,既重视演绎推理,也注重合情推理和归纳推理,并将逻辑推理还原为合情推理,将逻辑演绎追溯到归纳演绎,利用猜想、合情推理为学生提供探索发现的机会.费马大定理获证不仅仅是得出了新的结论,更重要的是对数学的发展起了推动作用,创造了新的数学理论和数学方法.在费马大定理证明过程中,受费马猜想问题的启发,德国数学家库默尔引进并研究了理想数的概念,经过其它数学家的研究和推广,这个概念已经渗透到分析、代数、集合等领域,同时他创造了理想质数的惟一分解定理,这个定理已被推广到任意代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位；英国数学家怀尔斯和泰勒共同证明了关于Hecke环的完全交性质,这些都极大地推动了数学学科的发展.因此,从某种意义上来说,一个著名数学难题的证明,往往伴随着新数学思想和背后数学思想方法的产生,而后者的产生比解决数学难题本身更有价值.费马大定理获证历程说明数学具有统一性,表面上看来不同的对象,有时蕴含着深刻的联系.在费马定理证明过程中的19世纪8O年代,对模椭圆曲线理论中的“弗雷曲线”性质的探索,导致人们将“TSW 猜想”与“费马大定理”紧密地联系在一起,这样就把一类几何问题与正整数问题联系起来,前者描述了空间连续的几何图形,后者是离散的数量关系,这两个南辕北辙的问题,却存在有机的联系,而英国的数学家怀尔斯正是从这个思路出发,最终证明费马大定理的.怀尔斯证明费马大定理,其最后关口的证明是他与泰勒共同完成的,这说明,在独自深入钻研的基础上,学术交流与合作同样至关重要,它常常是创新思维的产生或突破难点的催产素.因此,学科之间的交叉是至关重要,而创造良好的学术交流环境也同样十分重要,值得重视.费马大定理获证体现了数学家追求真理、严谨科学的理性态度,蕴含着数学本身就是一种锲而不舍、勇于创新的探索精神.因此,今天的数学教育,在借鉴数学历史时,应重点放在理性及观念的层面上,从数学的角度逐渐融人数学人文价值观,使数学教育为整个民族承担起提升实事求是科学态度和勇于探索创新意识的重任.2006年6月,国际数学界关注了百年之久的重大世纪难题“庞加莱猜想”被两位华人数学家破解,著名的数学家杨乐指出,“中国数学家虽然参与证明了世界级数学难题,但在中国的数学研究和国际先进水平相比,还存在很大的差距”,杨乐认为,目前国内学术界急功近利的风气,严重制约了数学这样的基础科学的发展,他说：“搞基础研究,一定要耐得住寂寞,绝不能急于求成,争名争利.搞重大基础研究,需要放眼长远,同时要持之以恒.”,同时,杨乐还勉励中国数学家：“华罗庚先生说过,中国人可以在数学研究上做得更好.希望先生的这句话在不远的将来变成美好的现实”.不管是庞加莱猜想的破解、还是费马大定理获证的漫长而又艰辛历程,它都告诫人们,有时候一个数学难题的最终解决,往往是许多数学家、甚至是几代数学家共同努力的结果,科学的道路是崎岖不平的,只有那些在科学研究的道路上实事求是、追求真理、锲而不舍,勇于探索创新的人才有希望达到最光辉的顶点.参考文献[1]王树禾．数学思想史[M]．北京：国防工业出版社,2003．245—247．[2]王云葵．费马伪素数及其奇妙性质[J]．中学数学,2000,(9)：39．[3]闵嗣鹤,严士健．初等数论[M]．第3版．北京：高等教育出版社,2003．37—47．[4]杨慧娟,杜鹏．新课标下重析波利亚的合情推理思想[J]．数学通报,2006.(2)：4-5．[5]张肇炽．关于世纪难题“庞加莱猜想”被破解[J]．高等数学研究,2006,(4)：127—128．[6]易南轩,王芝平.多远视角下的数学文化[M].北京：科学出版社,2007.[7]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论.北京：高等教育出版社,2009.英文摘要Brief Fermat's last theorem- a confusion of the worldly wise 358-year mystery Tian Guo-ping 105012007160 Adviser: Chen Qing-huaMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】The is article outlines the famous number theory mathematician，Pierre Fermat and Fermat Suppose，and through a review process proved the Fermat’s Last Theorem，gain useful inspiration．【Key words】number theory；Fermat's suppose；Fermat's last theorem；inspiration.。
有趣的数学定理故事
标题：数学定理的奇妙故事导言：数学是一门神秘而美妙的学科，它蕴含着无限的智慧和创造力。
在数学的世界中，存在着许多令人惊叹的定理，每一个定理背后都有着一个精彩绝伦的故事。
本文将带领读者探索几个有趣的数学定理，让我们一同感受数学的魅力与奇妙。
第一章：费马大定理的传奇费马大定理是数学史上最著名的猜想之一，由法国数学家费尔马于17世纪提出。
该定理表述为：对于大于2的任意整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个问题困扰了无数的数学家长达358年之久，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯利成功证明了该定理，成为数学界的一个重大突破。
这个定理的故事展示了数学家们不屈不挠的精神以及他们对真理的追求。
第二章：哥德巴赫猜想的谜团哥德巴赫猜想是数论中的一个著名问题，由德国数学家哥德巴赫于18世纪提出。
该猜想表述为：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
虽然这个问题听起来简单，但一直没有找到完美的证明。
无数数学家为此努力了几个世纪，但至今仍未解决。
哥德巴赫猜想的故事展现了数学中难以捉摸的奥秘和人类对数学真理的不懈追求。
第三章：庞加莱猜想的诡谲庞加莱猜想是拓扑学中的一个重要问题，由法国数学家亨利·庞加莱于19世纪末提出。
该猜想表述为：任意一个没有边界的三维闭合形状都等价于一个球面。
这个问题看似简单，却隐藏着深奥的数学思想。
长达一个世纪的时间里，庞加莱猜想困扰了许多杰出的数学家，直到2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼成功证明了该猜想，但他却拒绝了国际数学界颁发的菲尔兹奖，默默地离开了学术圈。
庞加莱猜想的故事反映了数学界的困惑与诡谲，以及一个数学家对纯粹数学的追求。
第四章：哥德尔不完备定理的震撼哥德尔不完备定理是逻辑学中的一个重要结果，由奥地利数学家库尔特·哥德尔于20世纪初提出。
该定理表明，任何一种能表达自然数性质的形式系统都存在无法被证明或证伪的命题。
这个定理震撼了整个数学界，打破了人们对数学的绝对可靠性的信念。
费马出了一道数学难题，350年无人能解，怀尔斯耗时7年给出证明
费马出了一道数学难题，350年无人能解，怀尔斯耗时7年给出证明1637年的一个深夜，法国图卢兹的一所公寓内，费马正伏案阅读古代数学家丢番图的著作《算术》，看到一个平方数可以写成两个平方数之和，马上联想到一个立方数是否可以写成两个立方数之和？那么n次幂呢，他不由自主地写下了形如方程：Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ，是否有正整数解？费马停下了笔，凝视着窗外明亮的月光，进入沉思。
忽然，他从椅子上跳了起来，手舞足蹈地喊道：“我知道答案了。
”随即，费马在丢番图译本的空白处写道：我已经想到了一个绝妙的证明，可惜书的空白处不够大，不足以把证明过程写下来。
这便是数学史上著名的费马大定理的由来，具体来说就是：当n>2，方程Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ没有正整数解。
一、费马的故事在开始介绍费马大定理之前，先简单介绍一下费马的经历。
费马1601年出生于法国一个叫博蒙-德洛马涅的小城，父亲多米尼克·费马是一个皮鞋商人，母亲是一个议会法官的女儿。
优越的出身让费马早年衣食无忧，并受到了良好教育。
费马三十岁时在图卢兹就职，任晋见接待官，同年他与表妹路易丝结婚并生下三个儿子。
1648年费马又升任图卢兹地方议会的议员，他在这个岗位上干了十七年，于1665年1月在该城去世，终年65岁。
费马原本是一位律师，他却在数学上取得了非凡的成就，号称业余数学家之王，他是如何兼顾工作和业余两不误的呢？一位法国评论家给出了答案：费马担任议员的工作对他的智力活动有益无害。
议院评议员与其他公职人员不同，对他们的要求是：避开他们的同乡，避开不必要的社交活动，以免他们在履行职责时行贿受贿。
正因为如此，费马在繁重的工作之余，把研究数学当作一种消遣。
谁知，无心插柳柳成荫，费马深陷其中不可自拔，每当他发现一个新的公式，解决一道数学难题时，便欣喜若狂，快乐得像一个小孩子似的。
费马在数学上的贡献是巨大的，在微积分、数论、代数、光的折射原理等各个领域均有建树，尤其是费马大定理的提出，让费马名声大噪，并步入最伟大的数学家行列。
费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜
费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜正文费马小定理费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。
费马小定理的证明比较简单，一些小学生的奥数比赛已经涉及，初中生即可看懂全部证明过程。
然而，费马大定理非常神奇，他的表达式简单到任何初中生都可以理解，但证明难度如同登天，以至于很多数论专家根本没有去尝试，连这个想法都没有。
费马大定理家喻户晓的勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，表达式：X^2+Y^2=Z^2 显然，XYZ有很多组整数解，如（X=3，Y=4，Z=5），（X=6，Y=8，Z=10），......但是，后来人们发现，如果是X^3+Y^3=Z^3则似乎找不到XYZ的整数解，而后数学家费马断定：X^n+Y^n=Z^n 当n>2时均没有整数解，这就是费马大定理。
费马何许人也？皮耶·德·费马于1601年出生于法国，本职工作是法官，并未受过专业数学教育，数学仅是业余爱好。
然而，神奇的是，他是解析几何的发明者之一，概率论的主要创始人，对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨，被誉为“业余数学之王”。
费马也是调皮的，他自己没法证明这个猜想，但却在这一结论之后加了一个备注：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。
' 数论是数学领域的高峰，费马大定理相当于珠穆朗玛峰，358年来吸引了众多登山者，其中不乏大神，以下是有主要贡献的人物。
1、费马费马本人证明了n=4无解2、欧拉欧拉是屈指可数的接近”神“的人，数学史上公认的4位最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。
这位神1707年出生于瑞士。
第六版瑞士法郎的欧拉肖像登上杂志电视算啥？就算登上央视的人也数不胜数。
只有对历史有卓越贡献的人，才有可能登上钞票。
《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》
《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》作者：暂无来源：《科学中国人》 2018年第7期如果一个读者，在自己读过的书空白处留下附注，除了他自己之外还会有谁关注？这个问题，《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》或许可以给出答案。
曾经有人问伟大的逻辑学家大卫·希尔伯特，为什么不去尝试证明费马大定理？他回答说：“我没有那么多时间去浪费在一件可能会失败的事情上。
”即便从事着和数学并不相关的领域，但相信有一部分人对于费马大定理早有耳闻。
“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。
”17世纪法国数学家费马在写下这几句结论性的话后，恶作剧般做了评注：“我有一个对这个命题十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。
”因为写不下，费马留给后世一个不解之谜。
曾吸引了世间无数智者前去揭秘，也难倒了许多杰出的大数学家，直至358年后的1995年，费马大定理才最终被英国数学家安德鲁·怀尔斯攻克。
“我想我就在这里结束”，他说。
而本书正是围绕费马大定理的证明，叙述了历代数学家攀登这座数学高峰的历程，展开了一幅涉及费马大定理的人类重大数学成果图卷。
在书中，作者划出了一个坐标。
纵轴是一代代杰出数学家在漫长岁月里为解决费马大定理所做的艰辛探索及动人故事，横轴则是解决费马大定理所涉及到的、人类有史以来最重要的数学成果，及其背后数学家的心血与悲欢。
以这个坐标为中心，作者西蒙·辛格为读者描绘了一个迷人的数学王国。
在数学王国内，涌现出一批伟大的英雄，譬如欧拉、索非·热尔曼、勒让德、狄利克雷……他们在不同时代、地域抽丝剥茧，为完整解开费马大定理而前赴后继。
从表面看，《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》似乎只是一本有关于数学定理揭秘的科普著作，但作者却在结构安排上颇具巧思，从古希腊的毕达哥拉斯定理说起，娓娓道来。
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悬赏十万马克
德国的沃尔夫斯克勒 Wolfskehl (1856 - 1908)
在最后时刻挽救自杀 德国商人，学习医学， 1883 年跟库麦尔学习 订立遗嘱，悬赏十万马克，奖赏在他死后一百 年内能证明“费马最后定理”的人
“证明这种不可能 性的尝试，提供了 一个明显的例子， 说明这样一个非常 特殊、似乎不十分 重要的问题会对科 学产生怎样令人鼓 舞的影响”。
费尔马小猜想
• 1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一 个有趣的现象： n 1 2 2 • 当n=1时，2 +1=2 +1=5； n 2 2 2 • 当n=2时，2 +1=2 +1=17； n 3 2 2 • 当n=3时，2 +1=2 +1=257； n 4 2 2 • 当n=4时，2 +1=2 +1=65537； n 2 • 猜测：只要n是自然数， 2 +1一定是质数 • 1732年，欧拉进行了否定
附加的评注： “我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里 空白太小，写不下。”
两个问题
（1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？ 因为经过三百多年，都没有人能作出反例， 所以人们相信是它是正确的，是一个定理。 （2）费马提出这命题后三十年才去世，为什 么会把这个命题做“费马最后定理”呢？ 因为费马曾经提出过的命题，都已经被证实 或否定，只剩下这一题，未能获证。
同时，柯西（Cauchy）亦宣布他早 已取得“费马最后定理”的初步证 明
3月22日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证 明。不过，对于“唯一分解定理”的问题，二 人都未能成功地解决。 5月24日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指 出“唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示， 拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二 人的争论。
读后感：《费马大定理》
一个困惑了世间智者358年的谜
一部惊险小说
从表面上看，这似乎只是一本数学方面的科普著作。但作者在 结构安排上，颇具巧思，以至于在很大程度上写成了一本数学史的入门 读物。因为费马大定理虽然显得很独特，但它并不是横空出世，总要有 它的来龙去脉。为此作者从古希腊的毕达哥拉斯定理说起，娓娓道来。 每一个重要的概念、每一个阶段性成果，都成为作者讲述数学知识的契 机。书中两条线索相互交织，一条是怀尔斯的成长和工作进程，一条是 与费马大定理有联系的各种数学知识。 本书作者作者是剑桥大学的物理学博士，又是媒体从业人员，因此
数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的“原子”。素 数是数的建筑材料，因为所有别的都可以由若干个素数相乘而得。
n = 5 的证明
勒让德 Legendre (1752 - 1833)
法国人 1823 年，证明了 n = 5
狄利克雷 Dirichlet (1805 1859)
德国人
1828 年，独立证明了 n = 5 1832 年，解决了 n = 14 的情况
(X1, Y1, Z1) > (X2, Y2, Z2) > … >(Xk, Yk, Zk) >…
无穷递降法的精神一直到现在都在用，这就是高度理论，或称高度有 限性理论。
若xk + yk = zk 无正整数解， 则xmk + ymk = zmk 也无正整数解。
为证明费马大定理对n 的一切值成立，我们仅仅需要证明它在n 取素数 值时成立。
很能把握读者心理，讲数学知识时总能“见好就收”，不使读者出现厌
倦之感。与此同时，各种用来吸引读者的花絮却层出不穷。 这是一本值得科学爱好者和科普工作者阅读的书。
业余数学家之王
• 费尔玛(Fermat,1601— 1665),法国数学家，他非常 喜欢数学，常常利用业余时 间研究高深的数学问题，结 果取得了很大的成就，被人 称為“业余数学家之王” • 费马凭借丰富的想像力和深 刻的洞察力，提出一系列重 要的数学猜想
1839年，证明了n = 7
3月1日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理”： 拉梅将x n+y n分解成(x+y)(x+ y)(x+2y)…(x+n1y)其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程 r n=1的 复根 如果x n+y n=z n ，那么拉梅认为每一个 (x+k y)都 会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾 但是，拉梅的好友刘维尔Liouville 指出，拉梅的证明中有很大的漏洞 拉梅忽略了“唯一分解定理”的考 虑
的点所组成的曲线，其中 a、b 为任 意的有理数。
“椭圆曲线”原本用来研究“椭圆函数”， 而椭圆函数则用于计算椭圆的周长。事实上 ，椭圆曲线的形状和椭圆形完全不同。现在 “椭圆曲线”已被独立地研究。
椭圆曲线
y2 = x3 - x
y 2 = x 3 - 3x + 3
椭圆曲线的性质
不难证明：当直线穿过 两个位于椭圆曲线上的 有理点后，该直线必定 与曲线再相交于第三个 有理点。 由此可知椭圆曲线上的有理点可形成一个 “群” 由于以上性质可以用来解答很多相关的问题， 故此“椭圆曲线”经常被人研究。 例如：应用于“编码理论”和“加密学”上。
• 同时又写下一个附加的评注：“ 对于该 命题，我确信已发现一种奇妙的证明， 可惜这里的空白太小，写不下”
Pierre de Fermat 1601-1665
Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere; 不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者
xn + y n = zn, (n > 2) 无整数解 （1637年）
这是真的 （1994年）
费马大定理产生的历史性背景
费尔马大定理，启源于两千多年前，挑战人类三个多世纪，多 次震惊全世界，耗尽人类最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者 痴迷
古希腊,丢番图《算术》第II卷第八命题： “将一个平方数分为两个平方数” 即求方程x2 + y2 = z2 的正整数解
费马小定理
• 如果P是一个质数，那么对于任何自然数 n，nP-n一定能够被P整除 • 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被 称为“费马小定理” • 利用费马小定理，是目前最有效的鉴定 质数的方法
费马大定理
• 1637 年前后，费马在《算术》这本书的 靠近问题8的页边处记下这样一个结论（ 现在的写法）：
Ernst Kummer 1810-1893
分圆整数及理想数
• 已知n为一质数，假设 = cos(2/n) + i sin(2/n) ，即方程 r n = 1 的复数根，则称下面的数为“ 分圆整数”： a0 + a1 + a2 2 + …… + an-1 n-1，其中 ai 为整数。 • 并非每一个分圆整数集合都满足“唯一分解 定理”，但如果能够加入一个额外的“数” ，使该分圆整数集合满足“唯一分解定理” ，则称该数为“理想数” • 库麦尔发现，当n为一些特殊的质数时，他称 之为“正规质数”， 就可利用“理想数”来 证明“费马定理”。
“费马猜想是一只
会下金蛋的鸡”。 David Hilbert, 1862-1943
无数英雄尽折腰
1941年，雷麦证明 当n〈 253747887时 ，“费马最后定 理”的第一种情况成立。 1977年，瓦格斯塔夫证明 当 n < 125000 时，“费马最后定理” 成立。
无数英雄尽折腰
1983年德国数学家G.法尔廷斯证明： 对于每一个大于2的指数n，方程xn+yn=zn 至 多有有限多个解。 赢得1986年的菲尔兹奖 1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分 几何的角度，证明了“费马最后定理”！ 不过，该证明后来被发现有重大而无法补救 的缺陷，证明不成立！
“朗兰兹纲 领”，是美国 数学家罗伯 特·朗兰兹在20 世纪70年代提 出的。“朗兰 兹纲领”是对 数论领域中重 大难题的一个 系统研究计划 和纲领。
Robert Langlands 1936.10.06 -
朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题之间存在着的统一的连接的环链。
在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以被转换成另一个领域中 相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找 到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被 解决为止。
毕达哥拉斯定理：
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的 平方之和。x2 + y2 = z2
Pythagoras of Samos 万物皆数 B. C. 572 – B. C. 497
不定方程: 是指末知数个数多于方程个数的代数 方程或代数方程组。
上帝恩赐他生命的 1/6 为童年；再过生命的 1/12 ， 他双颊长出了胡子；再过 1/7 后他举行了婚礼； 婚后 5 年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父 亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀 思，4年之后亦撒手人寰。—丢番图的墓志铭
新的方向
索非▪热尔曼,法国数学家 热尔曼素数：使2p + 1 为素数的那些素数p 热尔曼定理：当p和2p+1 皆为素数时xp + yp = zp无 整数解 热尔曼初步完成了 n = 5 的证明 Sophie Germain 1770-1831
n = 7 的证明
拉梅 Gabriel Lamé (1795 - 1870) 法国人
换句话说，形如 a b - 5的复整数，并不符合“ 唯一分解定理”
突破性的进展
德国数学家E· 库莫尔 1847年他证明了对于小于 100的除了37，59和67这 三个所谓非正则素数以外， 费尔玛大定理成立。为了 重建唯一分解定理，库默 尔在1844-1847年间创立 了理想数理论。1857 年， 库麦尔获巴黎科学院颁发 奖金三千法郎