费马定理介绍
高等数学费马定理
高等数学中费马定理是指当n>2时，方程x^n+y^n=z^n无整数解。
这个定理是费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时提出的，但他没有给出证明。
随后，1678年G·W莱布尼兹证明了n=4时定理成立；1770年C·欧拉证明了n=3和4的情形；P·G狄利克雷和G·拉梅分别证明了n=5和7的情形；1884年E·E库默尔创立了理想数，从而证明了当n是介于2与100之间的奇数p（除去（p=37,59和67）时，定理成立。
1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。
费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。
费马大定理
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
这样就证明了费马小定理。
[1]在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
命Px（1，2）为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p1或x-p=p2p3其中p1,p2,p3都是素数。
[这是不好懂的；读不懂时可以跳过这几行。
]用X表一充分大的偶数。
p≤x,p+h=p1或h+p=p2p3对于任意给定的偶数h及充分大的X，用Xh（1，2）表示满足下面条件的素数p的个数：其中p1,p2,p3都是素数。
费马定理
定理及其证明(c _ 6, c + 6)费马定理：设f(X)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(X)乞f (c) (其中f(c)为局部最大值)或者f(x) 一f(c)(其中f(c)为局部最小值)，当f(x)在c处可导时，则有f'(c)=O.证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-'(x)和右导数fjc)均存在且满足：f-'(c)=仃。
= f'(c)当X :c 时，f(x) - f(c)_0，所以f'(c)=lim f(x)—f(c)_oX —C ―― X —c当x c 时，f(x)一f(c)M，所以f'(c) = lim f(x)—f(c)M X —C X —C所以f'(c) =0以上是对于f (X)空f (c)这种情况进行的证明，同理也可证明 f ( X)_ f(C)这种情形罗尔定理：设f (X)在a,b ］上连续，在a,b上可导，若f(a)=f(b)，则必有一点c a,b使得f'(c) =0.证明：分两种情况，若f (x)为常值，结论显然成立•若 f (x)不为常值，根据最大、最小值定理(有界闭区间a,b上的连续函数f (x)具有最大值和最小值)可知，f(x)必在a,b内某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得， f '(c) = 0.拉格朗日中值定理：设f (x)在a, b 1上连续，在a, b上可导，则一定有一点-三ia,b使f(.b —a证明：分两种情况，若f (x)恒为常数，则f'(x) =0在a,b上处处成立，则定理结论明显成立•若f(x)在a,b不恒为常数时，由于f(x)在a,b 1上连续，由闭区间连续函数的性质，f (X)必在a, b 1上达到其最大值M和最小值m，有一种特殊情况f (a) = f (b)时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理•考虑一般情形，f (a) = f (b).做辅助函数「(x)二f(x) -f (b)—f (a )x •由连续函数的性质及导数运算法则，可得(x)在a,b 1上连b —a续，在 a,b 上可导，且「(b) 一bf (a八af (b)— a , 这就是说半(x)满足刚刚的特殊情况，b —a因此在 a,b 内至少有一点'，使得「'「)= f '『;「f (b)-f(a)=o 即b — a『•二辿上坐•定理得证.b -a柯西中值定理：若f (x)和g(x)在la, b 1上连续，在a,b 上可导，且g '(x) = 0，则一定存在a,b 使仙")」,’• g(b)-g(a) g (C)证明：首先能肯定g(a)= g(b)，因为如果g(a) =g(b)，那么由拉格朗日中值定理， g ' (x)在a,b 内存在零点，因此与假设矛盾. 还是做辅助函数 F (x) = f (x) -丄^―f(a)gx-ga .由Fa=Fb ，再由拉格朗日 g(b )-g (a )中值定理，可以证明定理成立.泰勒中值定理：若f(x)在x = 0点的某个邻域内有直到n 1阶连续导数，那么在此邻域内有 f x f 0 f ' 0 x X 2…」0x nR n x •其中2!n!证明：做辅助函数「t 二 f X • f t - f't x-t - f t x-t 2 -…- f n t x-t n •由 2! n!假设容易看出t 在0,x 1或 x,0 上连续，且 0 = R n x ，: x =0 ,'t=-ft-〔ftx-t-ft :」：x-t -ft x-t -…-ft x-t 〕〔x-t -...-_ 2! 2!［心叫x —t —H —t rln!(n -1 !化简后有「’t A - (叫) n------- (x -t f .在引进一个辅助函数n! R n X 二n 1 !是介于0与x 之间的某个值.对函数t 和t t 利用柯西中值定理得到X- 0 = _ ,-是介于o 与x 之间的某屮（x a 屮（0）屮（匕）个值，此时有 o = R n x ，:: x =o ,'二x - n ，- o =x n 1 , x =o , n!；•」］：-n • 1 x - n ，代入上式，即得尺x = f、 定理证明完毕.这是函数f X 在X =0点的泰勒公式，同理推导可得 f X 在X =x 0点附近的泰勒公式△x-X o 2…jx-J R n X .其中2! n!f n 1 \X-X 0--是介于X o 与X 之间的某个值.定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本 定理。
费马定理
费马原理定义：最小光程原理。
光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。
应用学科：费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
地震学中的费马原理地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。
光学中的费马原理光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。
在大部分情况下，此极值为最小值，但有时为最大值，有时为恒定值。
费马原理详解光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。
又称最小时间原理或极短光程原理，法国数学家费马于1657年首先提出。
设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。
光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。
实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。
光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。
上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。
故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。
光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。
光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
简述费马大定理的内容、发现过程以及证明状况。
费马大定理的内容、发现过程以及证明状况费马大定理是数学中一个非常重要的定理，其内容是：如果一个数n大于2，且n不是素数，则存在两个整数a和b使得a^n+b^n=n。
费马大定理是由德国数学家费马在1742年发现的。
当时，费马正在研究一个函数f(x)=x^n+1，并想要证明其对于所有的正整数n都存在一个数x使得f(x)=0。
他发现，当n=4时，存在数x=2使得f(x)=0，但是当n=5时，就不存在这样的数x了。
这个结论使费马意识到，对于不同的n，存在的数x是有限制的，并且这些限制是由n的值决定的。
随后，费马将这个结论表述为费马大定理，并进行了证明。
他证明了，如果n是素数，则必定存在数x使得f(x)=0；如果n不是素数，则必定不存在这样的数x。
费马的证明方法是使用反证法。
他假设n不是素数，并试图证明存在数x 使得f(x)=0。
他发现，如果存在数x使得f(x)=0，则必定有a^n=n-b^n，其中a和b都是正整数。
他又发现，如果a和n互质，则a和b一定也是互质的，这与费马大定理的假设矛盾。
因此，费马认为a和n一定不互质。
接着，费马进一步讨论了a和n的关系。
他发现，如果a和n有公因数d，则必定有d^n|a^n，因此d^n|n-b^n。
这意味着d^n也是n和b^n的公因数，因此d|b。
但是，如果a和b有公因数d，则d|a和d|b，因此d|(n-b^n)。
这与前面的结论矛盾，因此a和b一定互质。
费马得出的结论是，如果n不是素数，则a和b一定互质，这与假设矛盾。
因此，费马得出结论：如果n不是素数，则必定不存在数x使得f(x)=0。
费马的证明方法被称为反证法，即假设某种情况不成立，然后试图证明这种假设会导致矛盾，从而得出结论。
费马的证明方法被广泛使用，并在数学界中产生了深远的影响。
费马大定理的证明在当时并没有得到完全的证明，直到19世纪末，才有人用分类讨论的方法对费马大定理进行了证明。
这种方法的思想是，对于n的不同取值，分别考虑费马大定理是否成立。
利用费马定理计算
利用费马定理计算
利用费马定理计算是一种常见的算法，可以用来计算大数的幂取模运算。
本文将从几个方面介绍费马定理的定义、计算公式、应用场景和注意事项，以便读者更好地理解和使用该算法。
一、费马定理的定义
费马定理又称为费马小定理，是指对于所有的质数 p 和任意整数 a，有a^p ≡ a(mod p)。
其中≡ 表示“同余于”，即两个数除以模数的余数相等。
二、基本计算公式
根据费马定理，可以得出以下计算公式：
a^p % p = a % p
该公式即为利用费马定理计算的基本公式，用于求取 a 的 p 次方对 p 取模后的余数。
这个公式其实非常简单，只需要对 a 取模之后再进行 p 次方运算，再对模数 p 取模就可以了。
三、应用场景及注意事项
1、应用场景
利用费马定理计算常见的应用场景包括密码学、组合数学、随机化算法等领域。
其中，密码学是利用费马定理实现 RSA 公钥加密算法的主要方法之一。
2、注意事项
（1）费马定理仅适用于质数情况，若 p 不是质数，则可能存在多解。
（2）当 p 很大时，直接用费马定理计算可能会导致整数溢出，需要采用优化算法。
（3）费马定理只适用于求幂取模问题，不适用于求模取幂问题。
四、总结
费马定理是一种简单易用的求取幂取模的算法，其基本计算公式可以解决大多数问题。
但是，为了得到正确的结果，在实际应用中需
要注意公式的使用场景及注意事项。
作为一名优秀的内容创作者，我们应该熟悉并应用这样的算法，为读者提供更加优质的内容服务。
费马大定理与费马点
费马大定理与费马点
费马大定理是指当时不定方程$x^n+y^n=z^n$（$n$为大于2的整数，$x,y,z$为自由未知量），除平凡解外，没有正整数解。
这个定理是法国数学家皮耶·德·费马于1637年提出的，是数学领域的著名难题。
费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形$ABC$，从这个三角形的费马点$P$到三角形的三个顶点$A$、$B$、$C$的距离之和比从其它点算起的都要小。
值得一提的是，这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马大定理的证明过程中，为数学研究提供了很多有价值的思路和方法，它的相关理论也被广泛应用于其他数学领域和科学领域。
费马大定理
费马大定理（Fermat's last theorem）现代表述为：当n＞2时，方程xn＋yn＝zn没有正整数解。
费马大定理的提出涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费马。
丢番图活动于公元250年左右，他以著作《算术》闻名于世，不定方程研究是他的主要成就之一。
他求解了他这样表述的不定方程（《算术》第2卷第8题）：将一个已知的平方数分为两个平方数。
（1）现在人们常把这一表述视为求出不定方程x2＋y2＝z2 （2）的正整数解。
因而，现在一般地，对于整系数的不定方程，如果只要求整数解，就把这类方程称为丢番图方程。
有时把不定方程称为丢番图方程。
关于二次不定方程（1）的求解问题解决后，一个自然的想法是问未知数指数增大时会怎么样。
费马提出了这一数学问题。
费马生前很少发表作品，一些数学成果常写在他给朋友的信中，有的见解就写在所读的书页的空白处。
他去世后，才由后人收集整理出版。
1637年前后，费马在读巴歇校订注释的丢番图的《算术》第2卷第8题，即前引表述（1）时，在书的空白处写道：“另一方面，将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。
关于此，我已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
” （3）费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这一段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
后来，表述（3）被理解为：当整数n＞2时，方程xn＋yn＝zn （4）没有正整数解。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命题，但都没有证明出来，问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作。
这一命题就被称为费马猜想，又叫做费马问题，但更多地被叫做“费马最后定理”，在我国，则一般称之为费马大定理。
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出过许多数论命题，后来经过数学界的不懈努力，到1840年前后，除了一个被反驳以外，大多数都被证明，只剩下这个费马猜想没有被证明，因此称之为“最后定理”。
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()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=22
2221x a H x H n OB
n AO n L +=
费马定理
费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。
它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。
通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。
可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。
或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：
⎰∑∑
=∆=∆===ndl c
t l n c v l t P
Q i i i i i i 11
1
1
费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。
⎰==
01ndl c
t P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。
⎰
==0ndl L P Q
δ
δ
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点 的面法线，且两线段长度之和相等。
用费马原理导出反射定律 如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。
假设光线所处的介质为均匀介质。
光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。
那么点A 到点B 的光程为：
()
22222211x a H n x H n -+++=OB
n AO n L 21+=
很明显，光程L 是关于变量x 的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质中的一阶导数是0，即
()()
02
22
2
21
=-+--
+=x a H x a n x
H nx dx
dL
即有()I n I n -sin sin =即I I -=
反射定律由上面推导出来了。
进一步可以证明22dx
L
d >0 , 这说明满足反射定律的光线具有
最短光程。
从费马原理导出折射定律
下图中，两个介质均为均匀介质，它们的折射率分别为1n 、2n ，光线从1n 介质投射到折射面的O 点，光线折射后进入2n 介质，然后通过B 点。
设O 点到A 点垂足的距离是x ，由下图可以得出A 点到B 点的光程为
根据费马原理, 有
()()
02
22
22
21
1=-+--
+=x a H x a n x
H x n dx
dL 因而有221
1sin sin I n I n =
这就是折射定律。
同理可得, 可证明02>dx
L
d ，这说明满足折射定律的光线有最短的光程。
利用费马原理导出单球面折射成像公式
如上图所示，在一个半径为r 的单球面的分界面，其两侧的折射率分别为n 和'
n 。
主光轴上的一点P 发出一条光线PA ，光线进入'
n 介质时会发生折射，折射后的折射光线与主光轴
相交于点'P 。
光线'
PAP 的光程'
'
'
AP n nPA L +=，通过上图的几何关系，有
()()[]
()
()
()[
]
2
1
'
2
'
2
'
2
1
2
2
cos cos 2φπφ
----++---+=r s sr r s r n s r r s r r n L
光程L 是关于变量φ的函数，通过费马原理0=φd dL
推导出，()()'''AP
r s n PA s r n -=-，又由于
它们处于条件为近轴，φ的角度近视于0，1cos ≈φ，我们可以得出s PA -≈，'
's AP ≈，将它们带入上式，有
r n n s n s n -=-'''
这就是单球面在近轴情况下的折射公式。