选修课之费马大定理
北师大版高中数学选修3-1数学史选讲费马大定理
成立。
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高斯的学生__库__默__尔__证明了对于所有小于100的
素数指数n，定理成立。
1955年左右，日本数学家_谷__山__丰___和_志__村__五__郎__ 提出了谷山—志村猜想。 1983年，德国数学家_法__尔__廷__斯___证明了莫代尔猜
A．n＝3
B．n＝5
C．n＝7
D．小于100的素数指数n
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11.1986年，美国数学家里贝特指出( C )
A．只要能解决莫代尔猜想，就能解决费马大 定理 B．只要能解决弗雷猜想，就能解决费马大定 理 C．只要能解决谷山—志村猜想，就能解决费 马大定理 D．只要能解决库默尔猜想，就能解决费马大 定理
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1．满足勾股定理x2＋y2＝z2的_正__整__数___解叫作勾
股数。 2．“普林顿322”上就列出了15组勾股数，“普 林顿322”是出土的__古__巴__比__伦__王国时期的 ___泥__版___，年代为公元前1900年—公元前1600年。
3．丢番图是_古__希__腊___后期最伟大的数学家之一， 其著作《算术》以解_不__定__方__程__著称，其中最为 著名的是: “_将__一__个__已__知__的__平__方__数__分__成__两__个__平__方__数__”。
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1．古巴比伦、古代中国、古希腊都对勾股数进 行过研究：古巴比伦的“普林顿322”列出了15 组勾股数；中国的《周髀算经》提到了“勾广三， 股修四，径隅五”；古希腊的毕达哥拉斯学派深 入研究了勾股定理和勾股数。
2．1637年左右法国数学家费马在阅读丢番图的 《算术》一书时，对“将一个已知的平方数分成 两个平方数”写了一段批语，提出了费马猜想：
费马定理与费马大定理
费马定理与费马大定理
费马定理是一个关于整数的基本问题，它最早是由费马在17世纪提出的。
费马定理简单地说就是：对于任何大于2的整数n，不存在三个整数x、y、z，使得x^n + y^n = z^n成立。
费马定理是数论中的一个经典难题，它曾经被数学家们认为是不可能被证明的。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才在费马大定理的证明问题上取得了突破性的进展。
怀尔斯证明了一个重要的数学定理——莱茵-谢尔比定理，这个定理是证明费马大定理的基础。
怀尔斯的证明引起了全世界的轰动，许多数学家开始使用电脑来验证怀尔斯的证明是否正确。
最终，经过多年的验证和修补，费马大定理终于在2003年得到了正式的证明。
费马定理和费马大定理虽然看起来相似，但是它们的性质和证明方式有很大的不同。
费马定理是一个纯粹的数论问题，而费马大定理涉及到更多的数学分支，如代数、几何和拓扑等。
总之，费马定理和费马大定理都是数学界的经典难题，它们的证明历程也是数学发展史上的重要篇章。
- 1 -。
费马大定理证明全过程
费马大定理证明全过程哇塞，费马大定理啊，这可是数学界的一座超级高峰呀！要说起费马大定理的证明全过程，那可真是一段超级漫长又超级精彩的故事。
费马大定理说的是当整数 n>2 时，关于 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
就这么简单的一句话，却让无数数学家们为之疯狂，为之奋斗了好几个世纪呢！最开始提出这个定理的是法国数学家费马，他呀，可调皮了，在一本书的页边写下这个定理，还说自己有一个巧妙的证明，可就是不写出来，这不是吊人胃口嘛！从那以后，一代又一代的数学家们就前赴后继地踏上了证明费马大定理的艰难旅程。
在这漫长的过程中，好多数学家都贡献了自己的智慧和力量呀。
就好像是一场接力赛，一棒接一棒地跑下去。
有的数学家提出了一些重要的思路和方法，有的数学家又在此基础上继续往前推进。
比如说库默尔吧，他就做出了很重要的贡献呢。
他引入了一些新的概念和方法，让证明向前迈进了一大步。
还有好多其他的数学家，他们都在这条道路上努力着。
然后到了 20 世纪，英国数学家安德鲁·怀尔斯出现啦！他可是个超级厉害的人物。
他从小就对费马大定理着迷，长大后更是全身心地投入到证明当中。
他花费了好多年的时间，在自己的小屋里默默地钻研，经历了无数次的失败和挫折。
但他就是不放弃呀，一直坚持着。
终于，在1995 年，他宣布证明了费马大定理！哇，这消息一出来，整个数学界都沸腾了呀！大家都为他感到骄傲和自豪。
你想想看，几百年的难题，就这么被攻克了，这是多么了不起的成就啊！这就好比是攀登珠穆朗玛峰，经过了无数人的努力，终于有人成功登顶了。
费马大定理的证明全过程，不仅仅是一个数学问题的解决，更是人类智慧的结晶呀。
它展示了数学家们的执着和坚韧，也让我们看到了知识的力量。
所以呀，别小看这一个小小的定理，它背后蕴含着无尽的智慧和努力呢！是不是很神奇？是不是很厉害？嘿嘿！。
数论中的费马大定理
费马大定理源于法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪中叶提出的一道问题，该问题在当时成为了数学界的一大难题。
费马在他的笔记中写道：“我想证明a^n + b^n = c^n在自然数域上无解，当n大于2时。
”然而，他并未提供证明，仅仅是指出这一猜想，并写下了“这个笔记的边缘太小，空间不够证明它”的话。
费马大定理的问题形式简单明了，但长期以来却无法得到证明。
这一定理是关于整数解的，而费马之所以假设大于2的情况下无解，是因为他发现了如果对于a，b，c三个数都赋予一个听起来很自然的取值，那么方程必然无解。
然而，费马却没有提供一个证明来支持他的猜想。
此后，数学家们纷纷努力追寻解决这个问题的线索，但多年来一直没有找到令人满意的证明。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯突破了费马大定理的难题。
当时，他发布了一篇名为《碰巧的奇迹》的论文，证明了费马大定理的存在中了一小部分情况。
怀尔斯为了证明该定理，先后运用了众多数学工具，如模形式、椭圆曲线和Galois表达式等等。
他所使用的数学方法和工具涉及了多个跨学科的领域，在数学界引起了巨大的轰动。
然而，即使怀尔斯证明了一小部分情况，即n大于2时无整数解，但完全的证明却依然需要数学家们进一步努力。
费马大定理的证明对于数论领域的研究具有重要意义。
这个定理所涉及的数学问题在某种程度上反映了数学发展的演变。
此外，费马大定理的解决还带动了一系列的数学推论和发现。
怀尔斯的证明方法为其他半个多世纪来一系列数学难题的解决提供了思路。
因此，费马大定理的研究也可以看作是数学家们不懈探索、追求真理的重要成果之一。
尽管费马大定理在数学界已经迎来突破，但它依然留下了一些悬而未决的问题。
其中最为著名的便是费马最后定理的证明问题。
研究人员一直努力寻找一个简洁而优雅的证明方法，但至今仍然没有找到完美的解决方案。
因此，费马大定理的研究依然是数学领域一个重要的热点。
总之，费马大定理作为数论中的一道难题，一直以来都牵动着数学家们的心。
高中数学知识点精讲精析 费马大定理
1 费马大定理费马大定理：（1）当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0,且xyz≠0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
（2）证明方法五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。
在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。
不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。
1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。
1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。
当年的十万马克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
费马大定理的内容
费马大定理的内容
费马大定理是一个著名的数学问题，也被称为费马最后定理。
它是由法国数学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出的。
该定理的内容是：当n大于2时，对于任意正整数a、b和c，都不存在满足a^n+b^n=c^n的正整数解。
简单来说，费马大定理是指“a^n+b^n=c^n”在n大于2时没有整数解。
此定理在数学领域中有着非常重要的地位，它涉及到了代数、数论、几何和模型理论等多个数学分支。
费马大定理的证明历经了几百年的时间。
最终，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在1994年完成了一份长达150页的证明，并于1995年在数学界引起轰动。
怀尔斯的证明被广泛认为是世界数学史上最复杂、最伟大的证明之一。
费马大定理的重要性在于它确立了数学的基础，展示了数学的深度和广度。
它也激发了数学家们对解决其他类似难题的热情，同时也启示了人们如何运用数学方法来解决实际问题。
简述费马大定理的内容、发现过程以及证明状况。
费马大定理的内容、发现过程以及证明状况费马大定理是数学中一个非常重要的定理，其内容是：如果一个数n大于2，且n不是素数，则存在两个整数a和b使得a^n+b^n=n。
费马大定理是由德国数学家费马在1742年发现的。
当时，费马正在研究一个函数f(x)=x^n+1，并想要证明其对于所有的正整数n都存在一个数x使得f(x)=0。
他发现，当n=4时，存在数x=2使得f(x)=0，但是当n=5时，就不存在这样的数x了。
这个结论使费马意识到，对于不同的n，存在的数x是有限制的，并且这些限制是由n的值决定的。
随后，费马将这个结论表述为费马大定理，并进行了证明。
他证明了，如果n是素数，则必定存在数x使得f(x)=0；如果n不是素数，则必定不存在这样的数x。
费马的证明方法是使用反证法。
他假设n不是素数，并试图证明存在数x 使得f(x)=0。
他发现，如果存在数x使得f(x)=0，则必定有a^n=n-b^n，其中a和b都是正整数。
他又发现，如果a和n互质，则a和b一定也是互质的，这与费马大定理的假设矛盾。
因此，费马认为a和n一定不互质。
接着，费马进一步讨论了a和n的关系。
他发现，如果a和n有公因数d，则必定有d^n|a^n，因此d^n|n-b^n。
这意味着d^n也是n和b^n的公因数，因此d|b。
但是，如果a和b有公因数d，则d|a和d|b，因此d|(n-b^n)。
这与前面的结论矛盾，因此a和b一定互质。
费马得出的结论是，如果n不是素数，则a和b一定互质，这与假设矛盾。
因此，费马得出结论：如果n不是素数，则必定不存在数x使得f(x)=0。
费马的证明方法被称为反证法，即假设某种情况不成立，然后试图证明这种假设会导致矛盾，从而得出结论。
费马的证明方法被广泛使用，并在数学界中产生了深远的影响。
费马大定理的证明在当时并没有得到完全的证明，直到19世纪末，才有人用分类讨论的方法对费马大定理进行了证明。
这种方法的思想是，对于n的不同取值，分别考虑费马大定理是否成立。
费马定理及其推论
费马定理及其推论费马定理是一条著名的数学定理，由法国数学家费尔马在17世纪提出。
它是数论中的一个重要命题，与素数性质相关。
费马定理的内容是对于任何大于2的自然数n，不存在三个整数x、y、z，使得x^n+ y^n = z^n成立。
费马定理是数学史上的一个难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯通过巴黎贝斯公式（Wiles’ proof）给出了完整证明，这一问题才得以解决。
费马定理的证明十分复杂，涉及到多个数学分支的知识，包括代数几何、模形式、椭圆曲线等内容。
费马定理的证明受到广泛关注，因为它不仅是数论的一个重要问题，更是集合了数学的各个分支。
费马定理的证明过程中，涌现出许多具有里程碑意义的数学思想和方法，对于推动数学发展起到了重要作用。
其中，怀尔斯的证明尤其引人注目，因为他应用了模形式的理论，并通过构造和理解椭圆曲线来解决了这一难题。
费马定理的证明给数学界带来了巨大的影响，激发了人们对于数学基础问题的思考。
在费马定理的证明过程中，数学家们发展了新的数学工具和技巧，并深入研究了数论和代数几何等领域。
这为数学的未来发展提供了宝贵的经验。
除了费马定理本身，它还有一些重要的推论。
其中最著名的推论是费马大定理，也被称为费马小定理。
费马大定理指出，如果p是一个素数，且a是任意整数，那么a^p - a能够被p整除。
这个推论具有广泛的应用，被应用在密码学、编码理论等领域。
费马大定理的证明相对较简单，可以通过欧拉公式和数学归纳法来完成。
费马大定理的证明过程清晰简洁，易于理解，因此经常在数学教育中被选为例题进行讲解。
它的应用非常广泛，对于理解数论中的一些基本概念和方法具有重要意义。
除了费马大定理，费马定理还有一些其他的推论，包括费马定理的整数解和特殊情况下的解等。
这些推论在数论的研究中也起到了一定的作用，有助于深入理解费马定理的性质。
综上所述，费马定理及其推论是数论中的重要内容。
费马定理的证明历经漫长而复杂的过程，但最终为数学界解开了一个世纪之久的谜团。
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“模形式”的起源
庞加莱 Poincaré(1854 - 1912)
法国数学家，发明“自守函数”
所谓“自守函数”，就是周期函数的推广，而“模 形式”可以理解为在复平面上的某种周期函数
• 起初，大多数的数学家都不相信“谷 山志村猜想”
• 60 年代后期，众多数学家反复地检验 该猜想，既未能证实，亦未能否定它。
悬赏十万马克
德国的沃尔夫斯克勒 Wolfskehl (1856 - 1908) 在最后时刻挽救自杀
德国商人，学习医学， 1883 年跟库莫尔学习
订立遗嘱，悬赏十万马克，奖赏在他死后一百 年内能证明“费马最后定理”的人
“证明这种不可能 性的尝试，提供了 一个明显的例子， 说明这样一个非常 特殊、似乎不十分 重要的问题会对科 学产生怎样令人鼓
Robert Langlands 1936.10.06 -
朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题 之间存在着的统一的连接的环链。
在某个数学领域中无法解答的任何问 题，可以被转换成另一个领域中相应的问 题，而在那里有一整套新武器可以用来对 付它。如果仍然难以找到解答，那么可以 把问题再转换到另一个数学领域中，继续 下去直到它被解决为止。
古希腊,丢番图《算术》第II卷第八命题： “将一个平方数分为两个平方数”
即求方程x2 + y2 = z2 的正整数解
不定方程: 是指末知数个数多于方程个数的代数 方程或代数方程组。
上帝恩赐他生命的1/6为童年；再过生命的1/12， 他双颊长出了胡子；再过1/7后他举行了婚礼； 婚后5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父 亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀 思，4年之后亦撒手人寰。—丢番图的墓志铭
L
1 6
L
1 12
L
1 7
L
5
1 2
L
4
L = 84
Diophantus of Alexandria B.C150-A.D.364
毕达哥拉斯定理： 在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的 平方之和。x2 + y2 = z2
Pythagoras of Samos 万物皆数
B. C. 572 – B. C. 497
多有有限多个解。 赢得1986年的菲尔兹奖 ➢ 1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分 几何的角度，证明了“费马最后定理”！ 不过，该证明后来被发现有重大而无法补救 的缺陷，证明不成立！
“朗兰兹纲领”， 是美国数学家 罗伯特·朗兰兹 在20世纪70年 代提出的。 “朗兰兹纲领” 是对数论领域 中重大难题的 一个系统研究 计划和纲领。
业余数学家之王
• 费马(Fermat,1601—1665), 法国数学家，他非常喜欢数 学，常常利用业余时间研究 高深的数学问题，结果取得 了很大的成就，被人称為 “业余数学家之王”
• 费马凭借丰富的想像力和深 刻的洞察力，提出一系列重 要的数学猜想
费马小猜想
• 1640年，费尔马在研究质数性质时，发现了一 个有趣的现象：
无穷递降法的精神一直到现在都在用， 这就是高度理论，或称高度有限性理论。
再进一步
欧拉1770年提出 n=3的证明
xn + yn = zn ， 当 n=3, 4时无整数解
欧拉的策略：
证明某结论 对于简单情 形成立，再 证明任何使 情形复杂化 的操作都将 继续保持该 结论的正确 性。
Leonhard Euler, 1707-1783
n = 5 的证明
勒让德 Legendre (1752 - 1833)
法国人 1823 年，证明了 n = 5
狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859)
德国人 1828 年，独立证明了 n = 5 1832 年，解决了 n = 14 的情况
新的方向
Sophie Germain 1770-1831
谷山—志村猜想
谷山 丰 (1927 - 1958)
志村五郎（生于1926）
谷山—志村猜想
• 1954 年，志村五郎于东京大学结识谷山丰。 • 之后，就开始了二人对“模形式”的研究。 • 1955 年，谷山开始提出他的惊人猜想。 • 1958 年，谷山突然自杀身亡。 • 其后，志村继续谷山的研究，并提出以下
不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者 将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般 地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次 幂的和。
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.
“唯一分解定理”
➢ 在一般的整数中，每一个合成数都只可能被分 解成一种“质因数连乘式”
➢ 但在某些“复整数”中，情况未必相同 ➢ 例如：6 2 3 (1 - 5)(1 - - 5)
而在a b - 5的复数中, 2,3, (1 - 5),(1 - - 5)为互不相同的质数
换句话说，形如 a b - 5的复整数，并不符合“ 唯一分解定理”
费马猜想及其证明
不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者 将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般 地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次 幂的和。
附加的评注： “我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空
白太小，写不下。”
n = 4的证明
❖费马在给朋友的信中，曾经提及他已证 明了 n = 4 的情况。但没有写出详细的证 明步骤
❖1674 年，贝西在少量提示下，给出这个 情形的证明
❖证明步骤主要使用了“无穷递降法”
无穷递降法： 假设某结论对于某正整数成立，那么，可 以求出或构造出更小的正整数使得该结论 对于该更小整数也成立。……，无限地进 行下去，就可得到一个无穷正整数列，而 正整数是有限数，故假设不成立。
(X1, Y1, Z1) > (X2, Y2, Z2) > … >(Xk, Yk, Zk) >…
• 简单来说，就是由满足方程 y 2 = x 3 + ax + b
的点所组成的曲线，其中 a、b 为任 意的有理数。
• “椭圆曲线”原本用来研究“椭圆函数”， 而椭圆函数则用于计算椭圆的周长。事实上， 椭圆曲线的形状和椭圆形完全不同。现在 “椭圆曲线”已被独立地研究。
椭圆曲线
y2 = x3 - x
• 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被 称为“费马小定理”
• 利用费马小定理，是目前最有效的鉴定 质数的方法
费马大定理
• 1637年前后，费马在《算术》这本书的 靠近问题8的页边处记下这样一个结论 （现在的写法）：
• 同时又写下一个附加的评注：“对于该 命题，我确信已发现一种奇妙的证明， 可惜这里的空白太小，写不下”
突破性的进展
德国数学家E·库莫尔 1847年他证明了对于小于 100的除了37，59和67 这三个所谓非正规素数以 外，费尔玛大定理成立。 为了重建唯一分解定理， 库默尔在1844-1847年间创 立了理想数理论。1857 年， 库麦尔获巴黎科学院颁发 奖金三千法郎
Ernst Kummer 1810-1893
分圆整数及理想数
• 已知n为一质数，假设 = cos(2/n) + i sin(2/n)，
即方程 r n = 1 的复数根，则称下面的数为“分 圆整数”： a0 + a1 + a2 2 + …… + an-1 n-1，其中 ai 为整数。 • 并非每一个分圆整数集合都满足“唯一分解 定理”，但如果能够加入一个额外的“数”， 使该分圆整数集合满足“唯一分解定理”， 则称该数为“理想数” • 库莫尔发现，当n为一些特殊的质数时，他称 之为“正规质数”， 就可利用“理想数”来 证明“费马定理”。
y 2 = x 3 - 3x + 3
椭圆曲线的性质
• 不难证明：当直线穿过 两个位于椭圆曲线上的 有理点后，该直线必定 与曲线再相交于第三个 有理点。
• 由此可知椭圆曲线上的有理点可形成一个 “群”
• 由于以上性质可以用来解答很多相关的问题， 故论”和“加密学”上。
索非▪热尔曼,法国数学 家
热尔曼素数：使2p + 1 为 素数的那些素数p
热尔曼定理：当p和2p+1 皆为素数时xp + yp = zp无 整数解
热尔曼初步完成了 n = 5 的证明
n = 7 的证明
拉梅 Gabriel Lamé (1795 - 1870)
法国人
1839年，证明了n = 7
3月1日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理”： 拉梅将x n+y n分解成(x+y)(x+ y)(x+2y)…(x+n-1y) 其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程 r n=1的复根 如果x n+y n=z n ，那么拉梅认为每一个 (x+k y)都 会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾
的猜想： • 谷山—志村猜想
每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。
模形式
“模形式”f 是一个定义在半复平面上 （即对于复数 z，Im z > 0 的集合） 并满足下列条件的复变解析函数：
f ((az + b) / (cz + d )) = (cz + d ) k f (z)， 其中 k 为正整数，a、b、c、d 为整数 并且ad - bc = 1 f (z) = ane 2inz ，其中 an 为复数，n 为由 0 至无限大的整数
• 当n=1时，22n+1=221+1=5； • 当n=2时，22n+1=222+1=17； • 当n=3时，22n+1=223+1=257； • 当n=4时，22n+1=224+1=65537； • 猜测：只要n是自然数， 22n+1一定是质数 • 1732年，欧拉进行了否定