费马小定理及应用
费马小定理
费马小定理费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成这个书写方式更加常用。
（符号的应用请参见同余。
）证明若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。
取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A 中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。
因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B 中的任何两个元素之差也不能被p整除。
因此即在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：广义费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么这里φ(n)是欧拉商数。
欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。
假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法；尽管它是错误。
神奇的费马小定理(1)——从实验、观察、发现到猜想和证明谢国芳（Roy Xie）Email: **************章节目录1. 费马的惊人断言——费马小定理的原始表述2. 我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明2.1 费马指数和最小费马指数2.2 “普通版费马小定理”和“加强版费马小定理”2.3 对最小费马指数更深入的探究3. 费马小定理的证明1.费马的惊人断言——费马小定理的原始表述十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马(Pierre de Fermat，1601～1665）在 1640 年10 月 18 日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科·德·贝西（Frénicle de Bessy, c. 1605～1675）的信中，写下了这样一段话（原文是法语）：« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances - 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné - 1 »[拙译]“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
费马小定理及应用
费马小定理及应用费马小定理是数论中一条非常重要的定理，它被广泛地应用于密码学、组合数学等领域。
本文将介绍费马小定理的概念、证明以及一些应用。
一、费马小定理的概念费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的。
它表述为：对于任意正整数a和素数p，若a不是p的倍数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
其中，≡表示同余关系，a^(p-1) (mod p) 表示a^(p-1)除以p的余数。
二、费马小定理的证明费马小定理的证明可以使用数学归纳法来完成。
首先，当p是素数且a是任意不是p的倍数的正整数时，显然有a^1 ≡ a (mod p)，即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)成立。
接下来，假设对于任意的正整数k (1 ≤ k ≤ n-1)，都有a^k ≡ 1 (mod p)成立，则需要证明a^n ≡ a (mod p)成立。
根据费马小定理的前提条件，我们知道a不是p的倍数，而p是素数，所以a与p互质。
由于a与p互质，根据欧拉定理可知a^ϕ(p) ≡ 1 (mod p)，其中ϕ表示欧拉函数，对于素数p，有ϕ(p) = p - 1。
所以我们可以得到a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
又因为n可以被p-1整除，即n = (p-1)*k (n为正整数，k为任意不小于1的正整数)，所以a^n = a^[(p-1)*k] = (a^(p-1))^k ≡ 1^k ≡ 1 (mod p)。
所以我们得到了a^n ≡ 1 (mod p)。
由于a^n ≡ 1 (mod p)和a^n ≡ a (mod p)同时成立，因此a ≡ 1 (mod p)。
综上所述，根据数学归纳法，费马小定理得证。
三、费马小定理的应用1. 模幂运算根据费马小定理，当p为素数且a不是p的倍数时，可以利用费马小定理简化模幂运算。
对于给定的a和n，可以先计算a^(n mod (p-1))，然后再对p取模，得到结果。
这样可以大大减少幂运算的时间复杂度。
费马小定理秒懂百科
费马小定理秒懂百科费马小定理是一项数论中的重要定理，它以法国数学家皮埃尔·德·费马的名字命名。
费马小定理可以简化计算，快速求解大数取模的问题，被广泛用于密码学、计算机科学和数学竞赛等领域。
本文将为您详细介绍费马小定理的定义、原理和应用。
一、费马小定理的定义费马小定理是在数论中，关于素数的一条重要定理。
设p是一个素数，a是任意整数，则有如下等式成立：a^p ≡ a (mod p)其中，a^p表示a的p次幂，mod p表示取模运算，即取a^p与p的商的余数。
二、费马小定理的原理费马小定理的原理基于数论中的模指数运算。
当p是素数时，对于任意整数a，a与p互质（即a和p没有公约数），那么a^p对p取模的结果必然等于a。
为了更好地理解费马小定理的原理，我们举一个例子：假设p是素数，a是一个整数，我们想要求解a^p对p取模的结果。
首先，我们可以使用二进制展开式将p转化为二进制形式，例如：p = b0 + 2 * b1 + 2^2 * b2 + ... + 2^n * bn其中，b0、b1、b2...bn是p的二进制表示中的0或1。
接下来，我们使用迭代的方法对a进行计算：a^p ≡ a^(b0 + 2 * b1 + 2^2 * b2 + ... + 2^n * bn) (mod p)根据指数运算的性质，上式可以转化为：a^p ≡ (a^b0) * (a^(2 * b1)) * (a^(2^2 * b2)) * ... * (a^(2^n * bn)) (mod p)我们观察上式可以发现，每个a的指数对应的系数（b0、b1、b2...bn）都是二进制表示中的位数，因此可以采用迭代的方式，从最低位开始计算，每一步将计算结果乘以自身再对p取模。
最终，我们能够得到a^p对p取模的结果。
三、费马小定理的应用费马小定理具有广泛的应用价值，特别是在计算和密码学领域。
以下是费马小定理的一些常见应用：1. 快速幂算法费马小定理可以用于快速计算大数的幂取模运算。
费马小定理讲解
费马小定理讲解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：费马小定理是数论中的一个重要定理，是法国数学家费马在17世纪提出的。
费马小定理在模运算中具有广泛的应用，可以帮助我们解决许多数论问题。
费马小定理的表述是：如果p是一个素数，a是一个整数且不是p 的倍数，那么a的p次方减去a都是p的倍数。
换句话说，如果a和p 互质，那么a的p次方与a在模p意义下是相等的。
这个定理的证明非常简单。
我们可以通过归纳法来证明费马小定理。
当p=2时，根据模2的性质，任何整数的二次方减去它本身都是2的倍数，即a^2 ≡ a (mod 2)。
接下来，我们假设费马小定理对于所有的素数p都成立。
现在，我们考虑一个素数q。
根据费马小定理的假设，对于任意整数a，a的q次方减去a都是q的倍数，即a^q ≡ a (mod q)。
我们将这个式子写成等价的形式：a * a^(q-1) ≡ a (mod q)。
费马小定理在密码学和密码破解中有着广泛的应用。
在RSA加密算法中，费马小定理可以帮助我们加快加密和解密的过程。
费马小定理也可以用来验证一个数是否为素数，从而用于因子分解等问题的解决。
费马小定理是数论中的一个重要定理，有着广泛的应用。
通过对费马小定理的理解和应用，我们可以更好地理解数论中的许多问题，并且可以应用它来解决实际的计算问题。
费马小定理的证明虽然简单，但背后蕴含着深刻的数论原理，对于数学爱好者来说，是一道很好的练习题目。
第二篇示例：费马小定理是由17世纪法国数学家皮埃尔·费马提出的一个关于素数理论的重要定理。
这个定理的证明虽然简单，却有着深远的应用。
在密码学、组合数学、计算机科学等领域中都有着重要的应用。
费马小定理的表述如下：如果p 是一个素数，而a 是一个整数，且a 不是p 的倍数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
a^(p-1) 表示a 的p-1 次方，mod p 表示取余运算。
费马小定理的证明可以通过数论的方法进行。
费马原理的应用例子
费马原理的应用例子1. 费马原理简介费马原理是由17世纪法国数学家费马提出的一条关于光的传播规律的基本原理。
该原理指出光在两点间传播时，会沿着路径所需时间最短的方向传播。
费马原理在光的传播、折射、反射等现象的解释和应用方面有重要作用。
以下是几个具体的应用例子。
2. 光的折射光在从一种介质到另一种介质传播时，会发生折射现象。
费马原理可以用来解释光的折射规律。
当光从一种介质进入另一种介质时，光线在两种介质的交界面上会发生折射，折射角和入射角之间遵循斯涅尔定律。
应用举例：水中的游泳池底部的边缘会出现一种“抬高”的幻觉。
这是因为光在水和空气之间折射的结果。
根据费马原理，光线会选择经过所需时间最短的路路径传播，所以我们看到的位置略高于实际位置。
3. 光的反射光在遇到光滑的表面时，会发生反射现象。
费马原理可以用来解释光的反射规律。
根据费马原理，光线在反射时会选择经过所需时间最短的路径。
光线的入射角等于反射角，根据这个原理可以推导出光的反射规律。
应用举例：我们常见的镜子就是利用光的反射原理制作的。
镜子表面光滑致使光线在入射时发生反射。
通过调整镜子的形状，我们可以改变反射光线的方向，实现镜面成像。
4. 光的路径优化费马原理可以应用于光的路径优化问题。
根据费马原理，光在传播过程中会选择所需时间最短的路径。
因此，当需要设计光学系统时，可以利用费马原理来优化光路径，使得光能够以最短的时间到达目标位置。
应用举例：激光切割机是一种利用激光束进行切割的设备。
设计激光切割机的时候，可以利用费马原理来优化激光束的路径，使得激光能够以最短的路径到达需要切割的位置，提高切割精度和效率。
5. 光学薄膜设计光学薄膜设计是利用光的干涉和反射原理来制备具有特定光学性质的薄膜材料。
费马原理是光学薄膜设计中的一个基本原理，可以用来优化光的传播过程，从而实现特定的光学效果。
应用举例：太阳能电池板上常用的反射膜就是利用光学薄膜设计制备的。
通过控制反射膜的厚度和折射率，可以达到减少反射和提高光吸收效率的目的。
费马小定理、
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摘要：
一、费马小定理的简介
二、费马小定理的数学表述
三、费马小定理的证明方法
四、费马小定理的应用领域
五、费马小定理的意义和影响
正文：
费马小定理是数论中的一个重要定理，它是由法国数学家皮埃尔·德·费马于17 世纪提出的。
这个定理在数学领域有着广泛的应用，是现代密码学的基础之一。
费马小定理的数学表述如下：对于任意整数a、n（其中n>1），如果a 与n 互质（即最大公约数为1），则a 的n-1 次方模n 等于1，即a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。
费马小定理的证明方法有很多种，其中最著名的是欧拉定理。
欧拉定理表明，如果a 与n 互质，则a 的φ(n)-1 次方模n 等于1，其中φ(n) 是欧拉函数，表示小于等于n 的正整数中与n 互质的数的个数。
由于φ(n) = n-1，所以欧拉定理实际上是费马小定理的证明。
费马小定理在许多领域都有广泛的应用，尤其是在密码学中。
现代密码学中的许多加密算法，如RSA 算法，都依赖于费马小定理。
此外，费马小定理在计算机科学、编码理论、组合数学等领域也有着重要的应用。
费马小定理的发现对数学领域产生了深远的影响。
它不仅揭示了整数环中的一个重要性质，还为后来的数学家提供了研究其他问题的方法和思路。
费马点的定理及应用
费马点的定理及应用费马点的定理是一项基本的几何学定理，它的内容是在给定的平面上，一个三角形的三条边上可以找到三个点，使得这三个点到三个顶点的距离的和最小。
费马点的定理是由法国数学家费马在1660年提出的，而费马点是指到三个点的距离的和最小的点。
在数学中，这个问题可以转化为求解费马点，也就是费马问题的解。
费马问题是对于一个给定的点到几个点的距离之和的最小化问题。
费马点的定理可以有很多应用，下面我将介绍其中的几个常见应用。
首先，费马点的定理可以用于建筑设计中的路径规划。
在建筑规划和设计中，我们经常需要确定最佳路径，以最小化人员和物资的运输成本。
使用费马点的定理可以帮助我们确定最佳路径，从而提高建筑设计的效率。
其次，费马点的定理可以用于无线通信中的天线布局。
在无线通信中，天线的布局对于信号的强弱和覆盖范围都有很大的影响。
利用费马点的定理，我们可以确定最佳的天线布局，以最大化信号的强度和覆盖范围。
此外，费马点的定理还可以应用于水资源管理中的水流路径规划。
在水利工程中，我们常常需要确定最佳的水流路径，以最大限度地减少水资源的浪费和损失。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的水流路径，提高水资源的利用效率。
另外，费马点的定理也可以应用于自动驾驶车辆的路线规划。
在自动驾驶技术中，路线规划是一个非常重要的问题，它直接影响到车辆的行驶安全和效率。
使用费马点的定理，我们可以确定最佳的路线规划，以最小化车辆的行驶时间和能耗。
最后，费马点的定理还可以应用于电力系统中的电缆布置。
在电力系统的规划和设计中，电缆的布置对于电力传输的效率和可靠性都有很大的影响。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的电缆布置方案，以最大化电力传输的效率和可靠性。
综上所述，费马点的定理是一项非常有用的几何学定理，它可以应用于各种领域，如建筑设计、无线通信、水资源管理、自动驾驶技术和电力系统等。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳路径、布局和规划方案，以提高效率、降低成本和提高系统的可靠性。
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费马小定理及应用知识定位费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。
要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p nαn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ ②若p 为素数，则1()1,()(1),kk p p p pp ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ； ④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n dϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系，∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k)，特别地，a u≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡.用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq r a a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡， 由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡（2）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k模m 互不同余.（3）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. （4）设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, ado −1对模p两两不同余.特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系.定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 3、费尔马小定理若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 4、证明费马小定理的预备定理定义1：设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。
在证明费马小定理之前，我们先给出几个引理引理1（剩余系定理2）若a ，b ，c 为3个任意整数，m 为正整数，若有)(m od ,1),()(m od m b a m c m bc ac ≡=≡则有和成立。
证明：由条件可知 )(mod 0n bc ac =-，化简有 )(mod 0)(m c b a =- 又因为 1),(=m c 所以有 )(mod 0m b a ≡-，即有)(mod m b a ≡ 引理2（二项式定理）若n 是一个正整数，则有()().)!(!!,)(0k n k n y xy x n kk kn nk n k n-==+-=∑其中证明：根据二项式的展开定理，我们有：nn n n n n n n n n n y x C y x C y x C y x C y x 011111100)(++++=+---n n n n n n n y xy C y x C x ++++=---1111由组合公式可得：()().)!(!!,)(0k n k n y xy x n kk kn nk nk n-==+-=∑其中引理3（多项式定理）如果k 1, k 2, k 3, ……k m ,和n 均是正整数，且有1≥n 和n k k k k m =++++ 321，则有()∑+=+++n=k m +k 3+k 2+k 121k m…… k 3, k 2, k 1,2121)( mk mkk nn m x x xx x x其中()!!!!21,,21mnk k k kk k nm=。
（1）初等方法证明：对任意的非负整数m 及素数p ，恒有【2】1)1(111++++=+-+m C mC m m p p p p p p )(mod 1p m p +≡ 即有)(m od 1)1(p m m pp ≡-+ 令1,,3,2,1,0-=a m 得)(mod 1)1()(mod 1)2()1()(mod 123)(mod 112)(mod 101p a a p a a p p p p p p p p p p p p p ≡--≡---≡-≡-≡-上面各式分别相加得)(mod p a ap≡（2）二项式的展开法证明：设集合)}(mod {p a a a s p ≡=，其中p 是质数，N a ∈， 因为00=p ，所以对任意的p 有00(mod )pp ≡ 则s ∈0 现假设 )(m od ,p p ks k p≡∈则，我们要想得到1,(1)(1)(mod )p k s k k p +∈+≡+，通过二项式定理有：()jp p j p jpppkk k --=∑++=+111)1()(mod 1p k +≡如果()1,=p a ，则化简)(mod p a ap≡有)(m od 11p a p ≡-如果a 是负数，则对任意的r 恒有)(mod p r a ≡成立，其中10-≤≤p r .从而有 (mod )ppa r r a p ≡≡≡.4、威尔逊定理：p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,- 中， 必然有一个数除以p 余1，这是因为x p x x )1(,,2,- 则好是p 的一个剩余系去0.从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ，使得)(mod 1p xy ≡； 若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -这不可能。
故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ，即1,,2,1-p 中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对，这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！∴p 为质数.5、算术基本定理任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数，α1、α2、…、αk 都是正整数.①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1)③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )④ n 的正约数的积为T (n )＝1()2r n n⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.（1）判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数.（2）n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p pnp n p n p n n P 从而可以写出n !的标准分解式.例题精讲【试题来源】【题目】证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1 【答案】如下解析【解析】 证明：∵P^4－1＝（P －1）（P ＋1）（P^2＋1）1°大于7的质数必是奇数,∴2| P^2＋1 ；2°（P －1）（P ＋1）是连续偶数,∴8|（P －1）（P ＋1）； （整数的性质——两个连续偶数中,其中一个是4的倍数.） 3° 若 P ≡±1 （mod5） 则5 | （P －1）（P ＋1） 若 P ≡±2 （mod5） 则5| P^2＋1 ； ∴ 5|（P －1）（P ＋1）（P^2＋1） 4° P 是大于7的质数必是奇数,则P ≡±1 （mod3）∴3 | （P －1）（P ＋1） p=7时,p^4-1=2400. 综上所述：240|P^4－1【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】 【题目】求20052003被17除所得的余数.【答案】14【解析】 解： ()2005200520052003171141414(mod17),=⨯+≡因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16141(mod17),≡故()()()()()5420052005161255520031414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡所以20052003被17除所得的余数是14.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字 【答案】01【解析】 解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数， ∴a 20＝aφ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)， 又∵(25, 4)＝1， ∴a 20≡1(mod 100)， ∴a 20的末两位数字01.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：方程325y x =+无整数解. 【答案】如下解析【解析】 证明：若y 是偶数，则8 |3y ，x 2≡3(mod 8)不可能.故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 36422232++=+, 知t 是偶数， 令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3)由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 21212)1()(---≡p p s (mod p )，于是 1-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 【答案】如下解析【解析】 证明： 若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1， 则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n－n 被p 整除【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n n a n b n ++，则a ＝b . 【答案】如下解析【解析】证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡-由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1(mod ),nk p a aa p -+=≡所以0(mod ),na n p +≡也即,(mod )nnp b n b n b a p ++≡-再由费马定理，所以p b a -，矛盾.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数. 【答案】如下解析【解析】 证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p≡知k |p ，故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素). 显然k ≠1，否则),(m od 121q ≡这不可能，因此k ＝p .由费马小定理)(mod 121q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).【知识点】费马小定理及应用【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数 【答案】如下解析【解析】证明： 因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1101(mod ),p p -≡故对每一个正整数l 有()11010(mod ),l p p --≡而()()()1111019999111,l p l p l p ----==⨯个个因()1(,9)1,101,l p p p -=-故()1111.l p p -个【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：若0(mod ),ppm n p +≡则20(mod ),ppm n p +≡这里p 是奇素数 【答案】如下解析【解析】 证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).ppm m p n n p ≡≡于是，(mod ).ppm n m n p +≡+故可由已知条件0(mod )ppm n p +≡得0(mod ).m n p +≡ 故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此()()()()()()()12122111210(mod ).p p p p p p p p p rp rrrp p ppm n m pk m pk C pk m C pk m Cpk m Cpk m p -----+=+-=-+++-++≡【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4。