.12.15初等数论费马小定理与欧拉定理(优选.)
欧拉定理 数论
欧拉定理数论欧拉定理是数论中的一个非常重要的公式，也称欧拉费马定理或欧拉-费马定理。
它表示若a、n为两个整数，且满足a和n互质，则有$a^{\varphi(n)}\equiv 1(\mod n)$。
其中，$\varphi(n)$表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉定理可以用于求解一些求模运算问题，例如求解$a^b\bmod p$，其中a、b、p均为正整数。
如果p是质数，则欧拉定理可以简化为费马小定理，即$a^{p-1}\equiv 1 (\mod p)$。
如果p不是质数，则我们可以通过欧拉定理的公式来计算$a^b\bmod p$。
欧拉定理是以瑞士数学家欧拉命名的，他是18世纪最著名的数学家之一，被公认为巴塞尔大学数学系的创始人之一。
欧拉在他的著作中提出了许多数学问题，并取得了显著的成果。
欧拉定理是他比较重要的贡献之一。
在使用欧拉定理的过程中，我们需要首先求出$\varphi(n)$。
我们可以通过以下公式来计算$\varphi(n)$：$\varphi(n)=n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})$其中，p|n表示p是n的因数，并且$\prod_{p|n}$表示对n的每个因数p都进行乘积运算。
这个公式还可以写成下面的形式：$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$其中，p是质数，k是一个正整数。
这个公式可以计算小于p的k次幂的正整数中与p互质的数的个数。
在实际应用中，欧拉定理常常用作数据加密和解密算法。
例如，RSA（RSA is a public-key cryptographic algorithm）加密算法就是基于欧拉定理的。
RSA算法是一种非对称加密算法，即加密和解密使用不同的密钥。
它主要用于数字签名、数据加密等方面。
总的来说，欧拉定理是一个非常重要的定理，它不仅可以用于求解一些数论问题，还可以应用于实际的数据加密和解密算法中。
因此，学习欧拉定理对于理解数论的基本概念和应用具有很重要的意义。
北京市考研数学科学复习资料数论重要定理解析
北京市考研数学科学复习资料数论重要定理解析在考研数学科学复习过程中，数论是一个非常重要的知识点。
数论是数学的一个分支，研究整数之间的性质和关系。
对于考研数学科学的备考来说，掌握数论的重要定理是必不可少的。
本文将对一些数论的重要定理进行解析，帮助考生更好地复习。
一、费马小定理费马小定理是数论中的重要定理之一。
它的表述如下：对于任意正整数a和素数p，如果a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1（mod p）。
费马小定理的应用非常广泛，可以用于证明其他数论定理，如欧拉定理、威尔逊定理等。
此外，费马小定理还可以用于解决一些相关的习题，例如求解同余方程.二、欧拉定理欧拉定理是数论中的又一个重要定理。
它与费马小定理密切相关，是费马小定理的推广。
欧拉定理的表述如下：对于任意正整数a和素数p，如果a与p互质，则a^φ(p) ≡ 1 (mod p)。
其中，φ(p)表示小于p的与p互质的正整数的个数，即欧拉函数，也称为欧拉φ函数。
欧拉定理的应用范围更广，既可以用于解决同余方程，也可以用于解决数的幂余问题。
通过欧拉定理，可以得到一些同余方程的解。
三、费马大定理费马大定理是数论中的经典问题，也是一个重要的定理。
它的表述如下：对于任意大于2的正整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
费马大定理的证明是一项非常困难的数学难题，被誉为"数学史上的最难定理"。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才通过使用椭圆曲线将其证明。
费马大定理的证明虽然困难，但它给数论研究带来了很大的影响，促进了大量数论问题的研究，例如椭圆曲线和Fermat Elliptic Curves等。
四、素数定理素数定理是数论中的一个重要结果，它给出了素数的分布情况。
素数定理的表述如下：π(x)~(x / ln x)，其中π(x)表示小于等于x的素数的个数。
素数定理的意义在于，通过它可以研究素数的分布规律和性质。
初等数论
欧拉定理在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，gcd(a,n) = 1，则其中为欧拉函数，为同余关系。
欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。
例子首先看一个基本的例子。
令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。
比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以。
计算：，而。
说明定理成立。
这个定理可以用来简化幂的模运算。
比如计算7222的个位数，实际是求7222被10除的余数。
7和10互素，且。
由欧拉定理知。
所以。
一般地，在简化幂的模运算的时候，（当a和n互素）我们要对a 的指数取模：当，则。
证明一般的证明中会用到“所有与n互素的同余类构成一个群”的性质，也就是说，设是比n小的正整数中所有与n互素的数对应的同余类组成的集合（这个集合也称为模n的简化剩余系）。
这些同余类构成一个群，称为整数模n乘法群。
所以当对这些数进行变换的时候（a是和n互素的一个数，从而也属于某个同余类），变换所得的同余类集合仍然是原来的。
即是说，集合和相同。
因此，。
从而当n是素数的时候，，所以欧拉定理变为：或这就是费马小定理。
威尔逊定理：p为素数时：证明：充分性如果“p”不是素数，那么它的正因数必然包含在整数1, 2, 3, 4, … , p− 1 中，因此gcd((p− 1)!, p) > 1，所以我们不可能得到(p− 1)! ≡−1 (mod p)。
必要性若p是素数,取集合; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况;解得:或其余两两配对;故而若p不是素数则易知有d = gcd[p,(p− 1)!] = p,故而一次不定方程一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + a n x n = c的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为：gcd(a1,...,a n)须是c的因子，其中gcd(a1,...,a n)表示a1,...,a n的最大公因子。
欧拉定理-
欧拉定理欧拉定理，又称费马-欧拉定理，是数论中非常重要的一条定理，它将一组整数的幂与它们的模意义下的余数联系在了一起。
欧拉定理的表述如下：若a与n互质，则有a的欧拉函数φ(n)次幂同余于a的φ(n)次余数模n。
这个定理的物理意义非常深刻，因为它在很多领域都具有广泛的应用。
例如，它可以用于RSA加密算法的实现中，它也可以用于解决关于剩余类系的问题，以及用于计算莫比乌斯反演等问题。
下面我将对欧拉定理进行详细讲解。
一、欧拉函数在讲解欧拉定理之前，我们要先介绍一下欧拉函数的概念。
欧拉函数，又称为欧拉-托特函数，记为φ(n)，是指不大于n的正整数中与n互质的数的个数。
例如，若n=8，则欧拉函数φ(8)的值为4，因为1,3,5,7四个数与8互质。
欧拉函数有一些基本的性质，这里只简单介绍一下：1、若p为质数，则φ(p)=p-1，因为1~p-1中的每个数与p互质。
2、若m与n互质，则有φ(mn)=φ(m)φ(n)。
3、若p为质数，k为正整数，则φ(p^k)=p^k-p^(k-1)。
4、若n有质因数分解n=p1^k1 p2^k2 ... pn^kn，则φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn)。
有关欧拉函数的更多性质，这里不再详细介绍。
二、欧拉定理的证明欧拉定理的证明，可以通过数学归纳法来完成。
这里给出其中一种证明：假设对于所有a与m互质的情况下，a^(φ(m))=1(mod m)，现在我们要证明对于任意正整数n，都有a^n=a^(n%(φ(m)))(mod m)。
1、当n=φ(m)时，有a^n=a^(φ(m))=1(mod m)。
这是由欧拉定理的前半部分得出的。
2、当n > φ(m)时，令k=n/φ(m)，则有a^n=(a^(φ(m)))^k×a^(n%φ(m))由归纳假设，a^(φ(m))=1(mod m)，因此上式可化简为a^n=a^(n%φ(m))(mod m)证毕。
初等数论中的欧拉定理
定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
费马小定理和欧拉定理1 PPT
典例分析
进一步，设a是一个符合要求的奇合数，
则2a 1是一个奇合数这一点利用因式分解可知。
再设2a1 1=a q, q为正奇数，则
22a11 1=222a1 1
22aq 1
2a
2q
1
12q 1
0mod 2a 1.
典例分析
因此2a 1也是一个符合要求的数， 依次类推，可知有无穷多个满足条件的合数。
故 7|3n n3.
典例分析
例2：由费马小定理知，对任意奇质数p，都有2p-1 1mod p， 问：是否存在合数n，使得2n-1 1mod n成立？
解： 这样的合数n存，而且有无穷多个，其中
最小的满足条件的合数n=341=11×31 （是从两个不同奇质数作乘积去试算出来 的。） 事实上，由于210-1=1023=341×3 故 210≡1（mod341） 所以 2340≡134≡1（mod341）， 故341符合要求。
其中剩余类1 mod 6,5 mod 6里的所有数均 与6互素，我们称这两个剩余类为与6互素的 剩余类。 给定模m，如果模m的一个剩余类里面的某个 数与m互素，就把这个剩余类叫作一个与模m 互素的剩余类。
新知学习
由此我们可知：在模3的剩余类中，1 mod 3,2 mod 3为与3互素的剩余类，在模4的剩 余类中，1 mod 4,3 mod 4为与4互素的剩余 类，等等。 我们已经知道，1 mod 6,5 mod 6为所有与6 互素的剩余类，那么我们在这两个剩余类中 任取一个数，例如1和5，则由这两个数组成 的集合｛1,5｝，称为模6的一个简化剩余系。
费马小定理和欧拉定理
知识背景
费马小定理是初等数论四大定理 （威尔逊定理，欧拉定理（数论中的 欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子 定理)和费马小定理）之一，在初等数 论中有着非常广泛和重要的应用。实 际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。
初等数论四大定理
初等数论四大定理威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,m n，则对任意的整数a1,a2,…,a n，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,m n有公解：x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),……,x≡a n(mod m n)费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了.首先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是a x≡1(modn)这个式子实在a和n互质的前提下成立的.为什么成立呢？下面来证一下.首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有φ(n)φ(n)个，所以我们把这φ(n)φ(n)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为x1,x2……xφ(n)x1,x2……xφ(n).那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)下面我们证明两个推理：一、M中任意两个数都不模n同余.反证法.证明：假设M中存在两个数设为m a,m b ma,mb模n同余.即m a≡m b ma≡mb移项得到：m a−m b=n∗k ma−mb=n∗k再将m用x来表示得到:a∗x a−a∗x b=n∗k a∗xa−a∗xb=n∗k提取公因式得到a∗(x a−x b)=n∗k a∗(xa−xb)=n∗k我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：x a−x b≡0（modn)xa−xb≡0（modn)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献.又因为x a,x b xa,xb都是小于n的并且不会相同，所以x a−x b xa−xb一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立.假设不成立.证得：M中任意两个数都不模n同余.二、M中的数除以n的余数全部与n互质.证明：我们已知m i=a∗x i mi=a∗xi.又因为a与n互质，x i xi与n互质，所以可得m i mi与n互质.带入到欧几里得算法中推一步就好了.即gcd(a∗x i,n)=gcd(m i,n)=gcd(n,m i modn)=1证毕.根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了.首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余.所以可以得到：m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)现在我们把m i mi替换成x的形式，就可以得到：a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)很开心，我们终于凑出了aφ(n)aφ(n),那么就开始移项吧：(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)然后，就出来啦：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)证毕.用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式.中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积.设为模的数论倒数( 为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数.考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解.另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍.而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解.所以方程组所有的解的集合就是：。
欧拉-费马小定理定理（证明及推论）
欧拉-费马⼩定理定理（证明及推论）欧拉定理：若正整数a , n 互质，则aφ(n)≡1(mod n)其中φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与n 互质的数。
证明如下：不妨设X1，X2 ...... Xφn是1~n与n互质的数。
⾸先我们先来考虑⼀些数：aX1，aX2 ...... aXφn 这些数有如下两个性质： （1）任意两个数模n余数⼀定不同：（反证）若存在aX1≡aX2（mod n），则 n |（ aX1 - aX2 ），⽽a，n互质且（X1 -X2）< n，所以n不可能整除（ aX1 - aX2 ），也就是说不存在aX1≡aX2（mod n）。
归纳法：对于任意的与n互质的X i均成⽴。
故得证。
那么因为有φn个这样的数，X i mod n（i=1~φn）所以就有φn 个不同的余数，并且都是模数⾃然是（0~n-1）。
（2）对于任意的aX i（mod n）都与n互质。
这不难想，因为a与n互质这是欧拉函数的条件，X i是（1~n）与n互质的数的集合中的元素。
所以如果a*X i做为分⼦，n做为分母，那么他们构成的显然就是⼀个最简分数，也就是aX i和n互质。
接下来就可以⽤欧⼏⾥得算法：因为：gcd（aX i，n）==1所以：gcd（aX i，n）== gcd（n，aX i%n）== 1 这样，我们把上⾯两个性质结合⼀下来说，aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）构成了⼀个集合（性质1证明了所有元素的互异性），并且这些数是1~n与n互质的所有数构成的集合（性质1已说明）。
这样，我们巧妙的发现了，集合{ aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）}经过⼀定的排序后和集合{ X1，X2 ...... Xφn }完全⼀⼀对应。
那么：aX1（mod n）* aX2（mod n）* ...... * aXφn（mod n）= X1 * X2 * ...... * Xφn 因此：我们可以写出以下式⼦：aX1 * aX2 * ...... * aXφn ≡ X1 * X2 * ...... * Xφn（mod n），即：（aφn -1）X1 * X2 * ...... * Xφn≡ 0 （mod n） ⼜因为X1 * X2 * ...... * Xφn与n互质，所以，（aφn -1）| n，那么aφn ≡ 1（mod n）。
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第七讲 费马小定理与欧拉定理
2017.12.18
基础例题
1. 设n 是自然数，则n n n n 4321|5+++/
2.设{x 1，x 2，x 3，…，()m x ϕ}为模m 的一个简化剩余系，则()()()mod 1321≡⋯m
x x x x ϕ
3. 设a ，b ，c ，m 为自然数，m >1，(b ，m )=1，且()m b a mod 1≡，
()m b c mod 1≡，记()c a d ,=，则()m b d mod 1≡
4. 设p 是素数，p |b n -1，n 为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立：
(1)p |b d -1对于某个因数d<n 成立；
(2)()n p m od 1≡
5. 将211-1=2047分解质因数
6. 将612-1分解质因数
7. 若a ，b 是任意整数，p 为素数.证明：()()p b a b a p p p
mod +≡+
8. 设p 为奇素数，a ，n 都是正整数，且p n |a p -1.
(1)证明：p n -1|a -1；
(2)当p =2时，上述结论成立吗?
10. 求(1237156+34)28被111除的余数.
11. 设p 是一个大于5的素数，求证：240|p 4-1
12. 设p 为素数.证明：存在无穷多个正整数n 使得()p n n mod 2≡
13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p 是质数，h 1，h 2，…，h n 是整数，则(h 1+h 2+…+h n )p ≡h 1p +h 2p +…+h n p (mod p )
(2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理.
每周真题小练
1. (ELMO 2017)设H 为三角形ABC 的垂心，M 为边BC 的中点.以AH 为直径的圆上，有相异的两点P ，Q (P 、Q 两点均不与A 重合)，满足M 位于直线PQ 上.证明：三角形APQ 的垂心位于三角形ABC 的外接圆上.
2.(命题人讲座) 设n 是一个大于1的奇数，数a 1，a 2，a 3，…，()n a ϕ是1，2，3，…，n 中与n 互素的所有正整数.证明()()n n k k n a ϕϕπ2
1cos
1=∏=
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