欧拉定理99617知识讲解

欧拉定理99617

欧拉定理

认识欧拉

欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了4 7年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gau

ss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，co s，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......

初等数论中的欧拉定理

定理内容

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

证明

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n 互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a *x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

则S = Zn

1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此

任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素

2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么

（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)

= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

考虑上面等式左边和右边

左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)

右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质

根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

费马定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 平面几何里的欧拉定理

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

证明

O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．

连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），

故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．

拓扑学里的欧拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

V+F-E=2的证明

方法1：（利用几何画板）

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E = 2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα

一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度

=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度（1）

另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

所以，多面体各面的内角总和：

Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

=（V-2）·360度（2）

由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度

所以 V+F-E=2.

方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式

图

尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末F-E+V=2。

证明如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：

（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。