勾股定理知识讲解
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
勾股定理公式知识点总结
勾股定理公式知识点总结一、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有许多种方法，下面介绍其中比较常见的几种证明方法：1. 几何法证明几何法证明是最直观的证明方法之一，它利用几何图形和性质进行推理。
一种常见的几何法证明是利用平行四边形的性质，将直角三角形的两个直角边分别构造成平行四边形的边，利用平行四边形的对角线相等性质即可证明勾股定理。
2. 代数法证明代数法证明是利用代数运算推导出勾股定理成立的证明方法。
一种常见的代数法证明是利用两个直角三角形组成一个正方形，通过展开式的数字运算推导出勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种数学论证方法，通过证明当n=k时定理成立，再证明当n=k+1时定理也成立，从而得出在一切正整数n上定理成立的论证方法。
勾股定理的证明中也可以使用数学归纳法证明。
4. 数学分析法证明数学分析法是通过数学函数的图像分析证明定理的方法。
通过分析直角三角形和斜边的关系，利用函数的性质进行推导，可以证明勾股定理成立。
以上是勾股定理的几种常见的证明方法，它们都是通过不同的数学思维和方法来证明同一个定理的正确性。
在学习和掌握勾股定理时，可以通过比较不同的证明方法，增加对定理的理解和掌握。
二、勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的基础定理，它被广泛地应用于各种实际问题中。
下面将介绍一些勾股定理在实际应用中的具体场景：1. 地理测量在地理测量中，经常需要利用勾股定理来计算直角三角形的边长。
例如，利用直角三角形的边长和角度来计算地球上两点的距离，或者计算某一点的具体位置等。
2. 建筑设计在建筑设计中，经常需要利用勾股定理来设计直角三角形结构的建筑物。
例如，在设计楼梯的高度和跨度，或者在设计房屋的墙角和斜面等方面，都需要用到勾股定理。
3. 机械制造在机械制造中，勾股定理也有广泛的应用。
例如，在设计机械零件的装配结构、角度、长度等方面，都需要用到勾股定理来进行计算和设计。
4. 航空航天在航空航天领域，勾股定理也有重要的应用。
勾股定理知识点+例题详解
勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则cb =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n m nm n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求８．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ， 12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+= ，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-= ，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD += ，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理(知识点)
A B C ac 弦勾勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4；（1⇒∠A+（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°1AB可表示如下：⇒BC=2∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下： CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3 y=0，则第三边的长为5或.8.10.11.别用．12.，分别以13.形A，49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。
勾股定理知识点总结
北
牧童 A 东 B 小屋
• 、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台 阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬 到B点最短路程是 。
如图所示，测得长方体的木块长4 cm， 宽3 cm，高5 cm．一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶 点 A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的 顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去， 所走的路程会最短，并求最短路径．
类型八：综合
• 1.已知直角三角形的周长为30，斜边长为 13，则这个三角形的面积为 • 2. 如下左图，在高2米，坡角为30°的楼
梯表面铺地毯，地毯的长至少需 ________米．
• 一种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得 内径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯 口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
• 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平 分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长 。
类型六：证明问题
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一 点．求证：AD2 +DB2 =DE2．
A
D E
C B
• 如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB 上一点，且BF= AB。请问FE与DE是否垂 直?请说明。
例2 H G F B B
A
C
类型四：构造直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°， AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
• 等边三角形的边长为2，求它的面积。
• 四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3 ，BC=4，CD=12，AD=13，求四边 形ABCD的面积。
勾股定理知识点总结归纳
精心整理第 18 章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变DC② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股H定理常见方法如下： E G方法一： 4SS正方形ABCD， 41 ab a) 2c2，化简可证．FS正方形EFGH (b b a2方法二： A c B 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． b a四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1 ab2 2a cc 2 ab cc b2大正方形面积为 S ( a b)2a22ab b 2cb c所以 a 222b c a方法三： S梯形1b) ( a b) ， S梯形2SADESABE 2112，化简得a b(a ab c2 2 2证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C 90 ，则 c a2b2， b c2 a 2， a c2 b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。
八年级上册数学勾股定律
八年级上册数学勾股定律一、勾股定理的基本概念勾股定理可有意思啦，它说的是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方呢。
就好比一个直角三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c，那么就有a² + b² = c²这个超酷的等式。
比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边就是5，因为3²+4² = 9 + 16 = 25，5²也等于25呢。
二、勾股定理的证明1. 有个特别经典的证明方法叫赵爽弦图证明法。
赵爽呢，可是个很厉害的古代数学家。
他把四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形，中间又空出了一个小正方形。
从这个图形里就能很巧妙地推出勾股定理。
2. 还有欧几里得的证法也超棒。
他利用三角形的相似性等知识来证明勾股定理。
这就说明不同的数学家在不同的地方，用不同的思路都能证明这个伟大的定理。
三、勾股定理的实际应用1. 在建筑领域，勾股定理可太有用了。
工人们要确保墙角是直角的时候，就可以利用勾股定理。
比如测量出两面墙的边长，如果符合勾股定理的关系，那这个墙角就是直角。
2. 在航海中，当知道两个地点的坐标，要计算两点之间的直线距离的时候，也能用到勾股定理。
把横向和纵向的距离看作直角边，两点间的直线距离就是斜边。
3. 在测量山峰高度的时候，如果知道从山脚到山顶的水平距离和测量点到山顶的斜边距离，就可以用勾股定理算出山峰的高度啦。
四、勾股定理相关的有趣题目1. 有一个直角三角形，一条直角边是5，斜边是13，那另一条直角边是多少呢？根据勾股定理，设另一条直角边为x，就有5²+x² = 13²，25+x² = 169，x² = 169 - 25 = 144，所以x = 12。
2. 直角三角形的两条直角边的比是3:4，斜边是10，求两条直角边的长度。
设两条直角边分别是3x和4x，根据勾股定理可得(3x)²+(4x)² = 10²，9x²+16x² = 100，25x² = 100，x² = 4，x = 2。
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勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来 判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考执占：I <7 八、、八\、♦主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合考查。
一、探索勾股定理：1•勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ,那么a 2 b 2 c 2即:直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理， 只使用与直角三角形。
使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。
2 •勾股定理的证明（难点）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法二：见右图 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 — ab c 2 2ab c 2 2_222大正方形面积为 S （a b ） a 2ab b 所以a 2 b 2 c 2 111 方法三：S 梯形 （a b ） （a b ） , S 梯形2S ADE S ABE 22 2得证方法一：4SS 正方形EFGHSt 方形 ABCD ，1 4 ab 2(b a)2 c 2，化简可证.ba60 C . 76 D •803 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（a 2 b 2 > c 2）和钝角三角形（a 2 b 2 v c 2的三边就不具有这一特征，因而在 应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 •勾股定理的应用（重点）① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90，则 c . a 2—b 2 , b . c^a 2 , a . c^b 2 ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
③ 可运用勾股定理解决一些实际问题④ 不能直接用勾股定理解决问题可通过添加辅助线转化为直角三角形在用勾股定理⑤ 、勾股定理的应用题型：折叠问题中的应用；测量问题中的应用；实际生活中的应用；方 案问题中的应用。
注：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系 的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.5、例1、如图1是边长分别为a 、b 的两个正方形，经如图 2所示的割补可以得到边长为c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和•利用这个方法可以 推得或验证勾股定理•现请你通过对图 2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（）A.割⑤补⑥B.割③补①C.割①补④D.割③补②解答：B2、（ 2013资阳）如图1,点E 在正方形ABCD 内，满足 AEB 90 , AE=6, BE=8,则阴影部分的面积是A • 483、（ 2013安顺）如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A . 8 米B . 10 米C . 12 米D . 14 米 4、如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1 , 4）和（3, 0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是A . （0, 0）B . （0, 1）C . （0, 2）D . （0 , 3）BC 是3米，斜边AC 是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯的长是（）A 、5mB 、6mC 、7mD 、8m6、（ 2011宜宾）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重 合，点B落在点F 处，折痕为AE ,且EF=3，则AB 的长为（）7、（ 2016宿迁）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点 A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE .若AB 的长为2,则 FM 的长为&图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在Rt △ ABC 中，若直角边 AC=6 , BC=5，将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长 （图乙中的实线）是（A. 52B. 48C. 72D. 765、如图是一段楼梯，高 A. 3 B.4 C. 5 D. 6M圏甲9、•如图Rt ABC , C 90 AC 3,BC 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来11、（2016临沂）如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使两个顶点 A 、C 重合，折痕为FG ,如图所示，在直SLtO 摆繭肴七个正方形，已亂5尸1, $旷2,岔心Sg,另外三*正方形的也长 分刖次乩b, c.（1）图中RtiABC 与 ___ 全等，刪DE 二」a=nAC 2+BC 2=_ ______ .⑵用上述（1）中患踰缶咖值.煨示=±ABC 与吐BDE 的斜辽相芋并且有一介第是盲魚只需二、一定是直角三角形吗？1、直角三角形的判定条件（重点）2 2 2如果三角形三边长 a ，b ，c 满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若2 2 2 2 2 2a b c ,时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若a b c ，时，以a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；② 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三10、如图 ABC 中， C 90 ,1 2，CD 1.5， BD 2.5，求 AC 的长若AB=4，BC=8，则△ ABF 的面积为.［来源学_科_网］C RE设一牛锐角相等冃阿1 _____边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形2、勾股数（难点）①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13; 7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n2 1 （n 2, n 为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m n ,2 mn,m n （m n, m , n 为正整数）注：⑴判断勾股数的方法：必须满足a2 b2 c2，必须是正整数，两者缺一不可。
⑵、勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.3、例1、已知：如图，/ B= / D=90。
，/ A=60 ° , AB=4 , CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
2、如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB = DC =8m , AD =BC =6m , AC =9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格D ----------------------- C考点：矩形的判定分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.4、方案设计方面的应用如图，铁路A B 两站相距25km,C 、D 是两个工厂位于铁路的同侧，其中 CAL AB, DBL AB,且 AC=15km BD=10km1） 尺规作图，在铁路 AB 上找一个点E 建中转站，使得 CE=DE 请作这个点。
（作 CD 的中 垂线与AB的交点即为E 点）2） 此时中转站 E 距A 站多远，请求出来。
三、勾股定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形， 又要用勾股定理求出边的长度， 二者相辅相成，完成对问题的解决.1、确定几何体上的最短路线（重点）在平面上解决最短路线的根据是线段的性质：在平面上，两点之间，线段最短，在 立体图形中，由于有一些面是曲面， 两点间的最短路线就不一定是两点间的线段长， 故应将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线.例、（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 、底面周长为18cm ,在杯内离杯 底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18宽12的矩形， 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,连接BM ，过点C 作AB 的垂 线交剖开线MA 于点D 。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP + PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP 。
A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（/\/\||1■ 1% *.. ................................................ -由已知和矩形的性质，得DC=9 , BD=12 。
在Rt △BCD 中，由勾股定理得 BCDC 2 BD 2 92 122 15。
:.AP + PC=BP + PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。
2（2OO9-®施州）如图,长方俸的长为师宽丸讪高为20.点B 禹点酣距离为5,— 只酬如舉淞长方低的*点谯到晶需要胆濮狀距离是（＞/ /|| 1 1C1 20 Vb E. 25 C. 10|5+5D.2、直角三角形的判别法的应用直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形是否为为一边的平方是否等于其它 两边的平方和即可.解答：直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系，解题时一般需构造三角形，再根据三边关系判别该三角形 是否为一边的平方是否等于其它 两边的平方和即可1例、如图正方形 ABCD , E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且 BF= AB4--------------------------------- ----------------------------------% *% r*%%请问FE 与DE 是否垂直？请说明。