中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析

中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析

一、选择题

1．图中不能证明勾股定理的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )

A ．121

B ．110

C ．100

D ．90

3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )

A ．2n ﹣2

B ．2n ﹣1

C ．2n

D ．2n+1

5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2

a b +值为（ ）

A ．25

B ．9

C ．13

D ．169

7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）

A ．6

B ．2

C ．8

D ．10

8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A ．1

B ．2021

C ．2020

D ．2019

9．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )

A ．1和2之间

B ．2和3之间

C ．3和4之间

D ．4和5之间

10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）

A ．3

B ．5

C ．4.2

D ．4

二、填空题

11．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．

12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是

_____．

13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.

15．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.

16．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．

17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．

18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5． ①线段OA 的取值范围是______________； ②若BD -AC =1，则AC ?BD = _________．

19．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.

20．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2

．

三、解答题

21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=?与线段AB 相交于点

,E DF 与射线AC 相交于点F ．

()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；

()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于

点F ．求证：1

2

BE CF AB +=

．

()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的

延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．

22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．

23．阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？

分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点

C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC

D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．

感悟与应用：

（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，CD 平分ACB ∠，试判断

AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，

12DC BC ==，

①求证：180B D ∠+∠=?； ②求AB 的长．

24．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．

（1）求证：AE ＝BD ；

（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；

（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．

25．已知ABC ?中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ?的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ?中，90A ?∠=，20C ?∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ?∠=，显然直线BD 是ABC ?的关于点B 的二分割线．

（1）在图2的ABC ?中，20C ?∠=，110ABC ?∠=．请在图2中画出ABC ?关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；

（2）已知20C ?∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ?，所画ABC ?同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；

（3）已知C α∠=，ABC ?同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．

26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．

(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；

②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；

(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．

27．（1）如图1，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，60A ∠=?，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作ADC ?关于直线CD 的对称图形A DC '?，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且

CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：

如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.

28．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4， （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），

①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图

29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，

①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；

②求证：BD2+CD2＝2AD2；

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．

30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；

（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项． 【详解】

解：A 选项不能证明勾股定理；

B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()2

21

42

a b ab c +=?

+，可得222+=a b c ；

C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(

)2

211

22

22

a b ab c +=?+，可得

222+=a b c ；

D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式

22211

2222

c ab a b ab +?=++?，可得222+=a b c ．

故选：A ． 【点睛】

本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．

2．B

解析：B 【分析】

延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】

解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形．

90CBF ∠=?，

90ABC OBF ∴∠+∠=?，

又

直角ABC ?中，90ABC ACB ∠+∠=?，

OBF ACB ∴∠=∠，

在OBF ?和ACB ?中，

BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠??

∠=∠??=?

，

()OBF ACB AAS ∴???，

AC OB =∴，

同理：ACB PGC ???，

PC AB ∴=， OA AP ∴=，

所以，矩形AOLP 是正方形， 边长347AO AB AC =+=+=，

所以，3710KL =+=，4711LM =+=， 因此，矩形KLMJ 的面积为1011110?=， 故选B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

3．B

解析：B 【分析】

过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果. 【详解】

解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线， 所以OD=OE=OF ， 又BO=BO,

∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD. 同理可得，CE=CF.

又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形. ∴AD=AF.

∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10. ∴AD+BD=6①, AF+FC=8②， BE+CE=BD+CF=10③，

①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14， ∴AD=2.

故选：B.

【点睛】

此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．

4．A

解析：A 【分析】

连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答. 【详解】

解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形

1211

11222

ABC S -?∴=??== ，

∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+=

=+=

2232

1

2212:

2

1

22122

AACD ADE S S --?∴====??==

∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ， 故答案为A. 【点睛】

本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.

5．D

解析：D 【解析】

分析：由四边形ABCD 与四边形EFGC 都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE 与三角形DCG 全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG ,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO ,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可. 详解：①∵四边形ABCD 和EFGC 都为正方形， ∴CB=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE ，即∠BCE=∠DCG. 在△BCE 和△DCG 中，CB ＝CD ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ， ∴△BCE ≌△DCG ， ∴BE=DG ，

故结论①正确.

②如图所示，设BE 交DC 于点M ，交DG 于点O.

由①可知，△BCE ≌△DCG ， ∴∠CBE=∠CDG ，即∠CBM=∠MDO.

又∵∠BMC=∠DMO ，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC ，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO ， ∴∠DOM=∠MCB=90°， ∴BE ⊥DG. 故②结论正确.

③如图所示，连接BD 、EG ， 由②知，BE ⊥DG ，

则在Rt △ODE 中，DE 2=OD 2+OE 2， 在Rt △BOG 中，BG 2=OG 2+OB 2， 在Rt △OBD 中，BD 2=OD 2+OB 2， 在Rt △OEG 中，EG 2=OE 2+OG 2，

∴DE 2+BG 2=(OD 2+OE 2)+(OB 2+OG 2)=(OD 2+OB 2)+(OE 2+OG 2)=BD 2+EG 2. 在Rt △BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2=2a 2， 在Rt △CEG 中，EG 2=CG 2+CE 2=2b 2， ∴BG 2+DE 2=2a 2+2b 2. 故③结论正确. 故选：D.

点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.

6．A

解析：A 【分析】

根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2

222a b a ab b +=++即可求解． 【详解】

根据勾股定理可得2213a b +=， 四个直角三角形的面积是：

1

4131122

ab ?=-=，即212ab =，

则()2

222131225a b a ab b +=++=+=． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．

7．A

解析：A 【分析】

设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可． 【详解】

设CF=x ，则AC=x+2，

∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ， ∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2， ∴AB=6，BC=6+x ， ∵∠A=90°， ∴AB 2+AC 2=BC 2， ∴62+（x+2）2=（x+4）2， 解得：x=6， 即CF=6， 故选：A ． 【点睛】

考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．

8．B

解析：B 【分析】

根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】

解：由题意得，正方形A 的面积为1，

由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积=1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……

∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021， 故选：B ．

【点睛】

本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．

9．C

解析：C 【分析】

利用勾股定理求出AB 的长，再根据无理数的估算即可求得答案. 【详解】

由作法过程可知，OA=2，AB=3， ∵∠OAB=90°，

∴22222313OA AB +=+=， ∴P 13 ∵

91316<

∴3134<<，

即点P 所表示的数介于3和4之间， 故选C. 【点睛】

本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.

10．C

解析：C 【分析】

根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度． 【详解】

设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺， 由勾股定理可得：222=OA OB AB + 即：()2

224=10x x +-， 解得：x ＝4.2

故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．

故答案选：C ． 【点睛】

本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．

二、填空题

11．48 【分析】

用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．

【详解】

解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，

则()221S AB a b ==+，222

2S HE a b ==+，()2

23S TM a b ==-，

∵123144S S S ++=，

∴()()2

2

22144a b a b a b ++++-=

22222222144a b ab a b a b ab ++++++-= 2233144a b += 2248a b +=，

∴248S =． 故答案是：48． 【点睛】

本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用． 12．（0，21009） 【解析】

【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．

【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，

∴OA 12，OA 2=2）2，…，OA 2018=2）2018， ∵A 1、A 2、…，每8个一循环， ∵2018=252×8+2

∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=()

2018

2=21009，

故答案为（0，21009）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号． 13．1425+或825+ 【分析】

分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长． 【详解】

解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，

∴BC=253+，

∴△ABC 的周长为：652531425+++=+； 如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，

∴BC=253-，

∴△ABC 的周长为：65253825++=+ 综合上述，△ABC 的周长为：145+85+ 故答案为：145+825+ 【点睛】

此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 14．12 【分析】

延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证?BCO ?∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()

2

2

2210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.

【详解】

如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE. 因为三角形COA 是等腰直角三角形 所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90° 因为∠ABC=90°，∠AOC=90°， 所以∠BAO+∠BCO=180°, 又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE 所以?BCO ?∠EAO 所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA 所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90° 所以三角形BOE 是等腰直角三角形 所以(

)(

)

2

2

22102

102

20BO EO +=+=

所以AB=BE-AE=20-8=12 故答案为：12 【点睛】

考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 15．5 【分析】

设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值 【详解】

如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10 设绳索x 尺，则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4

在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2 ∴2

2

2

(4)10x x =-+ 得x=14.5（尺） 故填14.5

,

【点睛】

此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.

16．

258

【分析】

先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】

∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5； ∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴FA=

1

2AC=52

，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ， ∴△AFD ∽△CBA ， ∴

AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258

． 【点睛】

本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 17．4或2510 【分析】

分三种情况讨论：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ；③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ．分别画图，并求出BD ． 【详解】

①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，如图1． ∵∠DAC =90°，且AD =AC ， ∴BD =BA +AD =2+2=4；

②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠DCE=45°．

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

∴CE=DE=2

2

2

2

?=．

在Rt△BAC中，BC22

22

=+=22，∴BD2222

2222

BE DE（）（）

=+=++= 25；

③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴AD=DC=AC sin45°=2

2

2

2

?=．

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°．

又∵在Rt△ABC中，BC22

22

=+=22，

∴BD2222

22210

BC CD

=+=+=

（）（）．

故BD的长等于4或510．

故答案为4或510．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，

18．①1＜OA＜4．②67

2

．

【解析】

(1)由三角形边的性质5-3<2OA<5+3,

1＜OA＜4.