化归思想典型例题剖析
在高中数学教学中运用化归思想的案例分析
易解决 了。我们都知道 ， — —． ＝ 一 。 ， 所 以我们可 以得
ｎ ｘ Ｌ ｎ －Ｉ Ｊ ｎ ｎ － Ｉ
这样 的题 目如果按 照常规 的方法进行求解 ， 是无法解出得 ， 我们将它简单 化 ， 把ｎ ＋
ｍ
ｎｍ
出 ＋ ＋ ． － ． ＋
化， 将难题变成我们所熟悉 的问题来解决 。那么在高 中数 学教 学中， 教师应该从根本上让 学生了解化归思 想的本质 和运 用方 法， 让学生 明白在什么样的情况下可以运用化归思想解决 问题 ，
让学生能够独立地 运用这一思想 。
一
、 ／
为 ｃ 边， 、 ／
为Ｂ Ｃ边 ， 所 以这样的数据
４
一
题 目中要 求三次方程 ， 但是我们熟悉 的是二次方程 的解答 ， 所 以我们要把 陌生 的三次方程转化成 熟悉的二次方程来解 决 。
我们把 看作成一个 已知数 ， 把、 ／ 看成未知的 。
则设 ｎ ＝ 、 ／ ， 原来 的方程就是 ｘ ３ ＋ （ １ ＋ ｎ ） ｘ ２ － ｎ ： ＝ ０ ．
例 ９ ＋ 、
双曲线 ｋ ： 缸ｚ ＿ ９ 一 ８ 一 １ ８ ｙ 一 ５ － ｎ ＝ Ｏ ， 准线方程为 、 ／ ， 求／ ｇ － 的值 。
＝
在这样两个方程式看起来并不密切的题 目上 ，我们必须转 变思 维 ， 对 现在 的形式进行化 归 ， 对 和 Ｙ进行配方 ， 把它们化 作标准 的形式来找到问题 的解决方案 ， 转化后 的方程 为 兰
＝ 一 争 ＋ ｝ 一 丁 Ｉ ＋ ． ． ． ＋ ｒ 一 ｝ ＝
十 ， 求ｎ ２ ＝ １ ， 所以ｒ ａ ｑ （ ｎ — ｒ ａ ） ＝ ｍ－ ｑ ，
高考数学思想04 运用转化与化归的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613c DE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+ ,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,3AC AE CE BE ====，由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =.222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅ ，所以AF CF =，所以EF AC ⊥，由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得32EF =，所以223131,2222DF BF DF ⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==，所以34FH =，所以111332333244F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC = ，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CFEF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆ 在中，当时，AFC面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆== 为中点DE=1若在中，32113222BEF BF S BF EF ∆==∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⋅【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B，∠ADB=23π．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos B=(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()7214 BAD B ADB∠=+∠⋅-=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin72sin14BD BADBAD==∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222 ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADC S S == 例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面PAC 的高PE =1，故棱长PA =.的正方体可知，P -ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足ab a b =+，则2a b +的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b >>，ab a b =+，则111a b+=，1122(2)()333a ba b a ba b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即1a =1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD．【答案】A【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF =，又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O的直径2R ==R =，则球O的体积344338V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0+故答案为：(0+.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23，那么点P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t <<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当()0,∞+时，()f x 的图象如图所示，那么满足不等式35()44f x x ≥+的x 的取值范围是（）A ．(](],20,1-∞-⋃B ．[)(]2,00,1-⋃C ．(](],30,1-∞-D ．[)(]3,00,1- 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()f x 的图像关于原点对称，由此画出函数()f x 在()(),00,∞-+∞U 上的图象，在同一坐标系内画出()3544g x x =+的图象，因为()12f =，()31f =，所以()()331f f -=-=-，又()3511244g =⨯+=，()()3533144g -=⨯-+=-，所以()f x 的图象与()g x 的图象交于()1,2和()3,1--两点，如图，所以结合图像可知，35()44f x x ≥+的解集为(](],30,1-∞- .故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A 1B1C ．2D ．2【答案】A【解析】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数()e x f x x ax a =-+，其中1a >，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）A ．(21,2e ⎤⎦B ．33e 1,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．343e 4e ,23⎛⎤⎥⎝⎦D ．323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()e ,()x g x x h x ax a ==-，1a >，显然直线()h x ax a =-恒过点(1,0)A ，则“存在唯一的整数0x ，使得()00f x <”等价于“存在唯一的整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方”，(1())e x x g x +'=，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，即()g x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，则当=1x -时，min 1()(1)e g x g =-=-，当0x ≤时，1()[,0]eg x ∈-，而()(0)1h x h a ≤=-<-，即当0x ≤时，不存在整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，当0x >时，过点(1,0)A 作函数()e x g x x =图象的切线，设切点为(,e ),0t P t t t >，则切线方程为：e (1)e ()t t y t t x t -=+-，而切线过点(1,0)A ，即有e (1)e (1)t t t t t -=+-，整理得：210t t --=，而0t >，解得(1,2)t =∈，因(1)e 0(1)g h =>=，又存在唯一整数0x 使得点00(,())x g x 在直线()h x ax a =-下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点(2,(2))g 在直线()h x ax a =-下方，因此有23(2)(2)2e (3)(3)3e 2g h a g h a <⎧<⎧⇔⎨⎨≥≥⎩⎩，解得323e 2e 2a <≤，所以a 的取值范围是323e(2e ,]2.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形ABCD ,1AB =,2BC =,将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A ．存在某个位置,使得直线AB 和直线CD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AC 和直线BD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 和直线BC 垂直D ．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作CF BD ⊥于F ，AE BD ⊥于E翻折前AC =AC =222AC AB BC AC AB +=∴⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面ACD ，⊆CD 平面ACD AB CD ∴⊥，故A 正确D 错误；若AC 和BD 垂直，BD CF BD ⊥∴⊥ 平面ACF ，AF ⊆平面ACF BD AF ∴⊥，不成立，故B 错误；若AD 和BC 垂直，BC CD ⊥故BC ⊥平面ACD ，AC ⊆平面ACD ，AC BC ∴⊥，因为AB BC <，故AC BC⊥不成立，故C 错误；故选：A例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d ，2d =≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】0.728【解析】因为1A ，2A 同时不能正常工作的概率为(10.7)(10.7)0.09--=，所以1A ，2A 至少有一个正常工作的概率为10.090.91-=，所以系统正常工作的概率为0.80.910.728⨯=，故答案为：0.728例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N ，2N ．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N 1正常工作的概率为___________，系统2N 正常工作的概率为___________．【答案】0.6480.792【解析】分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件()080P A =．，()0.90P B =，()0.90P C =．因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率为()()()0.800.900.900.6)48(P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=⋅⋅．系统2N 正常工作的概率()1(()1()()P A P B C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦08010.100.100.800.990.7[92]=⨯-⨯=⨯=．．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t-≤+成立，则实数k 的最小值为（）A ．-4B ．-1C ．1D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y -==--=-+，13x y -=-+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t-≤成立，24,k t t ≥-又244t t -≥-，4k ∴-≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．13C．111+D【答案】D【解析】由题知(),0G a -，所以直线GM的方程为()9y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30 ，所以直线2MF的方程为)3y x c =-．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a c a c M ⎛⎫++∴ ⎪ ⎪⎝⎭因为12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=，所以2212MF F F c ==，即)2223426a c a c c c ⎤++⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c =．所以椭圆C的离心率为c e a ==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121x x x x x x x f x x +++++===++++，故令||()()221x xg x f x =-=+，所以||||()()2121x x x x g x g x ----===-++，所以函数()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，故max min ()2()20f x f x -+-=，所以max min ()()4f x f x +=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a 是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a ，{(1)}n n a -，2{}n a 的前2023项的和分别为m ，6m -，9，则实数m 的值（）A ．只有1个B ．只有2个C ．无法确定有几个D ．不存在【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由11(1)(1)n n nn a q a ++-=--，2212n na q a +=可得：{(1)}n n a -为等比数列，公比为q -，2{}n a 为等比数列，公比为2q ，则()2023111a q m q-=-①，()()202320231111611a q a q m qq⎡⎤----+⎣⎦==-++②，()2404612191a q q -=-③，①×②得：()24046122161a q m m q --=--④，由③④得：2690m m -+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=；③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52=，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =-- ，()00,MN x x y y =--，由12MN NP = ，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A．2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当122,2e e ==故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（）A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y -+=上的动点，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |D ．|PM |【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C -,半径r =∵圆心()1,0C -到直线l ：40x y -+=得距离2d r ==>∴直线l 与圆C 相离A 不正确，B 正确；2PM PC r d r ≥-≥-=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有()A ．ω的值是6B ．(,1212x ππ∈-时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【答案】AD【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ-==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(62cos 62f x x x π=+=，3(2cos 042f ππ==，满足题意；当2A =-时，()2sin(6)233f ππϕ=-⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos 6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故()f x 在(,1212ππ-上不单调，故B 错误；又因为1313(2cos(6021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos 6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =-+-，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +-+=-+--，将=1x -，y m =代入得32000243m x x x =+-+；令32()243g x x x x =+-+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+-=+-，23x ∴>或1x <-时，'()0g x >；213x -<<时，'()0g x <，()g x ∴的极大值为(1)6g -=，极小值为237(327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数，2,3,4,5m ∴=.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．1210AF AF +=B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F -，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n +=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅= ，则2(3)(3)0m m n -++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =-（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max 12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈-=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；③(1)0f -=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(3)f x f -<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M【答案】ACD 【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴-=<，故A 正确；(1)(3)f x f -<即13x ->或13x -<-，解得4x >或<2x -，故B 错误；由(1)0f -=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)-∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD -中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【答案】3a 【解析】 三棱锥A BCD -底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD -各个面均为等边三角形，MN MB BC CN =++ ()()2133AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++ ，22112333MN AB AD AC ∴=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++259a =，3MN a ∴= ，即MN =．.14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<.故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =-++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________.【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =-++的定义域为R.因为()1112221221x x x f x --=-+=-+++，所以()()1111110221221x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-+=-++-+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =-++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－.所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e t t a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t -=-，代入()2,e P 得()e e e 2t t a a t -=-，整理得()e 3e t t a-=-，构造函数()()3e t f t t =-，()()2e t f t t '=-⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '-∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =-，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0x y a a =>相切，则2e 1e 0,ea a --<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1)，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a =，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+44==当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：4+。
化归思想
和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到
小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个
数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第
四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3展开式中的系数等等.
(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式.
原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系
，则过点F、点C的一次函数解析式为______.
【解析】
AF DC 4 BE∶EA=5∶3,BE=EF,∴EF∶EA=5∶3,∴AF∶AE=4∶3. , AE DF 3 ∵∠AEF=∠DFC,∴△AEF∽△DFC,∴ 设BE=5x, 15 5,
②由题意，得40-x≤24，解得x≥16, 结合①得16≤x＜20.
3 3x 2 20 3x 4 3 40 2 400 （ 3 x ） 3, 4 3 3 3 a 3＜0, 4 ∴函数图象为开口向下的抛物线的一段，
由①得，
S
40 其对称轴为x= ， 3 40 ∵16＞ ， 由上图可知， 3
中的结论.)
【解析】(1)①分别过点M,N作ME⊥AB， NF⊥AB,垂足分别为点E,F. ∵AD∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AB∥CD.∴ME=NF.
1 1 ∵S△ABM= AB·ME,S△ABN= AB·NF, 2 2 ∴S△ABM=S△ABN.
②相等.理由如下：分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别 为H,K. 则∠DHA=∠EKB=90°.
∵AD∥BE,
【实用】化归与类比的数学思想解题举例(一PPT文档
B
【略解】取P与A重合，Q与C1重合的特殊情况
1 VBPA1Q V C BA1CV C 1AB C 3V
（三）主与次的转化
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与 主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面 两题。
例1：x2ax2≤0对上 x[1,1]恒成立，求实数a的取值范围.
例2：对任何a[1,1] 函数 f(x)x2(a4 )x42 a 的值总大于0，则实数x的取值 范围是：_______
C．2
D．－2
【分析】：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选 项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响λ的值。因 此我们可取l为来求解的值。
(略解)：设l︰y
3 4
x
, A(x.y)
则
2 y ( 3) 1 1 x 4 y3x
4
可得
∴ 即 OAe 可得
=－2
A(8 , 6) 55
(8,6)(4,3)
化归与类比的数学 思想解题举例(一)
授课人：赣州一中 刘化运
把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的 、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就 是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着 广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方 法。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类 比思想解题的应用。
一、新授
（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面 入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着 手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概 率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。
例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各 次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概 率为——
化归数学思想方法教学例析
３ ６
表哥 ～０ 一 云［ １举 ～ ２— —２
（ ０ ｎ＋２ １） ６＋４ ｅ＜０；
速地解决 问题 ． 如果学生懂得化归 的方法情况就大不一样 了． 所 以教 师应 选择一些典 型的例题设计教 学过程 ，不 断地渗透化归
思想．
… ）
＜２ ．
就是在研究 数学 问题 时 ，由数思形 ，以形思数 ，数 形结合 起来考虑数学 问题 的方法． 在初 中数学 中三种函数的研究大量使 用这种方法． 这就说明根据 “ ”的结构特征 ，构造 出与之相适 数
所得结果仍是一个有理数． 而要确定一个有理数 ，只要确定一个
有理数的绝对值与性质符号就可 以了．因此有理数 的四则运算都 包含两部分 ，即先确定符 号再 把绝对值进行运算就能解决 问题 ． 像有理数的加法法则 ：“ 同号两数相加 ，取相 同的符号 ，并把绝 对值相加． 异号两数相加取绝对值较大加数的符号 ，并用较大 的
一
（ ） ａ ３ ｂ 一４ ｃ＞０ ；
＼ 。／
所 以 ２ －－ ６ ａ－ ３ ； ￣
２ ＝０可化为 一２ ＋１ ０的形式 ，在解方程 （ 一３ ＋ ｘ＋１ ＝
（） ４ 因为 ＝ １
一＼／ ＼、 １
图２
，
１ ：２ ｘ 一３ｘ＋１ ，只要设 一３ ， ） ２ ３ 时 ｘ＝， ，则原 方程 可化 为（ ＋ ｙ
比如 ，数学史 上著名 的 “ 尼斯堡七桥 ”问题 的解决过程 绝对值减去较小 的绝对值．互为相反 的两个数相加得零 ． 格 一个数
就充分显示 了化归 的威力 ． １ 在 ８世纪 ，东普鲁士有个城市 叫格 同零相加仍得这个数 ． ”在这个法则 中 ，都是先确定 运算结果 的 尼斯堡 ，城 内有 一条大河 ，河中有两个 岛屿 ，全城 由七座桥将 性质符号以后 ，只要对绝对值进行运算就可 以了． 而有理数 的绝 河的两岸和河 中的岛屿相连． 如图 １ 所示 ：
专题13 化归转化思想(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)
专题13 化归转化思想【规律总结】化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。
化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。
说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
【典例分析】例1、“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”判断方程实数根的情况()A. 有三个实数根B. 有两个实数根C. 有一个实数根D. 无实数根【答案】C【解析】【分析】本题考查利用函数的图像解方程的根，考查化归与转化思想，数形结合思想，属于中档题．−1=(x−1)2，由此设出两个函数关系式，在同一坐标系中画出两函可先将方程转化为1x数的图像，由图像的交点个数即可判断方程实数根的情况．【解答】−1=(x−1)2，解：将原方程变形为1x−1，y2=(x−1)2，设y1=1x因为一元二次方程根的个数相当于二次函数与x轴交点的个数，−2根的个数相当于y1和y2交点的个数，则方程x2−2x=1x在坐标系中画出两个函数的图像如图所示：可看出两个函数有一个交点(1,0)，−1有一个实数根，故方程(x−1)2=1x−2有一个实数根，即方程x2−2x=1x故选C．例2、已知a2+a−3=0，那么a2(a+4)的值是___________【答案】9【解析】【分析】此题主要是考查化归思想和整体代入法求代数式的值，先把条件化为a2+a=3，再把原式转化为含a2+a的式子，进行整体代入求值．【解答】解：因为a2+a−3=0，所以a2+a=3．原式=a3+4a2=a3+a2+3a2=a(a2+a)+3a2=3a+3a2=3(a2+a)=3×3=9．例3、阅读材料：关于x 的方程：x +1x =c +1c 的解为：x 1=c,x 2=1c x −1x =c −1c (可变形为x +−1x=c +−1c)的解为x 1=c,x 2=−1cx +2x =c +2c 的解为：x 1=c,x 2=2c x +3x =c +3c 的解为：x 1=c,x 2=3c…根据以上材料解答下列问题：(1)①方程x +1x =2+12的解为______________． ②方程x −1+1x−1=2+12的解为______________． (2)解关于x 的方程：x −3x−2=a −3a−2(a ≠2) 【答案】x 1=2,x 2=12；x 1=3,x 2=32【解析】解：(1)①方程x +1x =2+12的解为：x 1=2,x 2=12； ②根据题意得；x −1=2，x −1=12， 解得：x 1=3,x 2=32．故答案为：①x 1=2,x 2=12；②x 1=3,x 2=32； (2)两边同时减2变形为x −2−3x−2=a −2−3a−2， 解得：x −2=a −2，x −2=−3a−2， 即x 1=a ，x 2=2a−7a−2．(1)①本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解． ②本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．(2)本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．本题考查了分式方程的解，要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．【好题演练】一、选择题1. 关于a ，b 的方程组{(k −1)a −3b = ka −3b = 2有无数组解，那么k 的值是( )．A. 2B. 1C. 3D. 不存在【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x ，y 的方程组有无数组解，两式相减求出关于a ，b 的等式，再根据题意判断即可． 【解答】解：{(k −1)a −3b = k a −3b = 2 ①②, ①−②得，(k −2)a = k −2， ∵方程组有无数组解， ∴k −2 = 0， ∴k = 2， 故选A ．2. 已知方程x +1x =a +1a 的两根分别为a,1a ，则方程x +1x−1=a +1a−1的根是( )A. a,1a−1B. 1a−1,a−1 C. 1a,a−1 D. a,aa−1【答案】D【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，涉及了转化思想和整体代入的数学方法，考查了学生的观察能力，属于中档题．首先观察已知方程x+1x =a+1a的特点，然后把方程x+1x−1=a+1a−1变形成具有已知方程x+1x =a+1a的特点的形式，从而得出所求方程的根．【解答】解：方程x+1x−1=a+1a−1可以写成x−1+1x−1=a−1+1a−1的形式，∵方程x+1x =a+1a的两根分别为a、1a，∴方程x−1+1x−1=a−1+1a−1的两根的关系式为：x−1=a−1，x−1=1a−1，即方程的根为：x=a或x=aa−1，故方程x+1x−1=a+1a−1的根为a，aa−1，故选D．3.如图，已知点A(1,2)，B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P.点P从点A运动至点B的过程中，关于k值的变化：甲说：“当n=1时，点P在点A位置时，k的值最小．”乙说：“当n=1时，k的值先增大再减小．”丙说：“若要使k 的值逐渐增大，n 的取值范围是n >2.” 三个人的结论中，判断正确的是 ( )A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 都正确【答案】A 【解析】 【分析】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．若n =1，求出正确k 的最大值与最小值即可判断甲、乙的结论；把A 与B 坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n 的范围． 【解答】解：当n =1时，B(5,1)，设线段AB 所在直线的函数表达式为y =ax +b ， 把A(1,2)和B(5,1)代入得：{a +b =25a +b =1, 解得：{a =−14b =94, 则线段AB 所在直线的函数表达式为y =−14x +94； k =xy =x(−14x +94)=−14(x −92)2+8116，∵1≤x ≤5，∴当x =1时，k 取最小值，k min =2； 当x =92时，k 取最大值，k max =8116， 故甲，乙的结论是正确的；当n =2时，A(1,2)，B(5,2)，符合k 的值逐渐增大； 当n ≠2时，线段AB 所在直线的函数表达式为y =n−24x +10−n 4，k =x(n−24x +10−n 4)=n−24(x −n−102n−4)2+(10−n )216(2−n )，当n <2时，k 随x 的增大而增大，则有n−102n−4≥5，≤n<2；此时109≤1，当n>2时，k随x的增大而增大，则有n−102n−4此时n>2，综上，若要使k的值逐渐增大，n的取值范围是n≥10．9故丙的结论是错误的，则甲乙都是正确的，丙的结论是错误的，故选A．4.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作能验证的等式是()A. (a−b)2=a2+2ab+b2B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．【解答】解：因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2−b2，且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a−b)，∴根据剩余部分的面积相等得：a2−b2=(a+b)(a−b)，故选B．5.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是()A. (a−b)2=a2−2ab+b2 B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. a2+ab=a(a+b)【答案】B【解析】【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用代数式表示图形的面积，运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题，并用数学式子表示出来．分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．【解答】解：因为从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2−b2，且拼成的长方形的面积是：(a+b)(a−b)，∴根据剩余部分的面积相等得：a2−b2=(a+b)(a−b)，故选B．6.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，则五边形ABCDE的面积为()．A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】D【解析】【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式和转化思想．首先延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，可得△ABC≌△AEF，然后再证得△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，最后根据三角形的面积公式求出结论即可．【解答】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF，在△ABC与△AEF中，{AB=AE∠ABC=∠AEF BC=EF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴AC=AF，在△ACD与△AFD中，{AC=AF CD=DF AD=AD，∴△ACD≌△AFD(SSS)，∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×12·DF·AE=2×12×2×2=4．故选D．二、填空题7.小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=(24−x)−(8−x)=16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5，将√24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解．请√8−x=3你学习小明的方法，解方程√x2+42+√x2+10=16，则x=_______．【答案】±√39【解析】【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法.首先把根式√x2+42+√x2+10有理化，然后分别求出根式√x2+42+√x2+10和它的有理化因式的值是多少；再根据求出的根式√x2+42+√x2+10和它的有理化因式的值，求出方程√x2+42+√x2+10=16的解是多少即可．【解答】解：(√x2+42+√x2+10)(√x2+42−√x2+10)=(√x2+42)2−(√x2+10)2=(x²+42)−(x²+10)=32．∵√x2+42+√x2+10=16．∴√x2+42−√x2+10=32÷16=2．∴{√x2+42=7．√x2+10=7∵(√x2+42)²=x²+42=8²=81．∴x=±√39．经检验x=±√39都是原方程的解，故答案为±√39．8.如图所示，在ΔABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N(点E在点N的左侧).若AB=8，AC=9，设ΔAEN周长为m，则m 的取值范围为_____________．【答案】√145<m<17【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、大边对大角、勾股定理及其应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，解题时由DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周长等于BC的长，∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，由三角形三边关系即可求得1<BC<17，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN<90°，则∠BAC>90°，当∠BAC=90°时由勾股定理易得BC=√AB2+AC2=√145，由“大角对大边”易得BC>√145，进而可得△AEN周长的范围．【解答】解∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AN=CN，∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN=C△AEN=m，∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，∵AB=8，AC=9，∴1<BC<17，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN，∴∠B+∠C=∠BAE+∠CAN<90°，∴∠BAC>90°，当∠BAC=90°时由勾股定理易得BC=√AB2+AC2=√145，由“大角对大边”易得BC>√145，综上可知√145<BC<17，即√145<m<17，故答案为√145<m<17．9.如图，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BPCE时，EP+BP=_________．交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=13【答案】12【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。
高中数学教学中化归思想的应用案例分析(北师大版)
高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）化归思想是高中数学教学中非常重要的一环，它不仅是学生进行复杂数学问题求解时必须要掌握的方法，还对培养学生的逻辑思维能力、发展学生的创新思维具有重要意义。
在北师大版高中数学教材中，化归思想的应用案例非常丰富，下面将以其中几个典型案例为例，探究化归思想的应用方法和意义。
1. 案例一：证明方程$\sqrt {x-1}+\sqrt {7-x}=\sqrt 6$的根在区间$(1,7)$内。
利用化归思想解题，我们可以先将方程两边平方，得到：下一步，我们可以采用化简式或分配式的方法，将方程的左侧部分拆开，继而化简，即：$x-1+2\sqrt {(x-1)(7-x)}+7-x=6$$\Rightarrow-3x^2+62x-332=0$进一步求解，即可得到：$x=2$ 或 $x=22/3$由于$x=2$不是原方程的解，因此该方程的根在区间$(1,7)$内。
通过这个案例，不仅可以看出化归思想在解决数学方程问题中的作用，还能培养学生理性思维和深入思考的能力。
2. 案例二：用化归思想证明无理数$a+\sqrt {2}$和$a-\sqrt {2}$的和为有理数。
在该问题中，我们可以运用化归思想来解决它。
$(a+\sqrt{2})+(a-\sqrt{2})=2a$因此，只需证明$2a$是有理数即可。
而为了证明$2a$是有理数，我们可以将$a+\sqrt{2}$和$a-\sqrt{2}$乘起来，得到：因此，$2a=\frac{(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})+2}{2}$，是有理数。
通过这个案例，学生可以更加深入地理解无理数，锻炼自己的数学抽象思维能力和逻辑推导能力。
3. 案例三：证明容斥原理。
容斥原理在高中数学中被广泛应用。
我们可以把化归思想和容斥原理结合起来，来探究其在数学证明中的应用。
在一般的数学问题中，如求多个集合交集的元素个数，利用容斥原理，我们可以减去多次计算的重叠元素，从而得到正确答案。
编号02：数学：2013年中考数学解题专学思想方法之化归探讨54
【2013年中考攻略】专题14：数学思想方法之化归探讨化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。
“化归”是转化和归结的简称。
数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。
化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。
通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。
说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。
例如，当1,1-==y x 时，求22222345x y xy x y xy -+-的值。
该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法应为先化简再求值，此时原式14118)1(168622-=⨯⨯--⨯⨯=-=xy y x 。
这就是由复杂——简单的化归。
又如，解一元二次方程232=0x x -+。
我们可以将左边分解因式，应用降次化为两个一元一次方程求解，这就是由高维——低维的化归；也可以将方程配方成为一个整式的平方等于一个数的形式，应用平方根的性质求解，这就是由未知——已知的化归。
再如，如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，求PE+PB 的最小值。
连接DE ，交BD 于点P ，连接BD 。
因为点B 与点D 关于AC 对称，所以DE 的长即为PE+PB 的最小值。
从而将求PE+PB 的最小值变为求DE 的长。
这就是应用轴对称的性质的从困难——容易的化归。
数学化归方法解题展示
x1 x2 y1 y2 1 x0 2 2( x1 x2 ) 2k
代入y＝k(x－3)中, 得 将x0，y0代入
1 y 0 3k 2
1 y xm k
1 1 得 m 2 3k 2k 2
由 即
1 y x m 2+x－km=0, △=1+4mk2>0, k 得 kx 2 y x
解：因为当θ=0°或90°时，L过点(3，0),与曲线C
都只有一个交点，所以这时曲线C中不存在能被L垂 直平分的弦． 当θ≠0°，θ≠90°时，设直线L的方程为y＝k(x －3), 曲线C中的弦AB被L垂直平分，则直线AB的方 程为： y 1 x m 又设A(x1, y1), B(x2, y2)的中点为M(x0, y0),则有 y1＝x12，y2=x22, 两式相减y1－y2＝(x1+x2)(x1－x2),
化归的数学思想解题展示
例题：已知直线L过定点P(3，0)，倾斜角为θ，试 求θ的范围，使得曲线C：y＝x² 的所有弦都不能被 直线L垂直平分． 分析：直线L只要符合下列条件之一，则曲线C的所 有弦都不能被L垂直平分: ① L与C不相交或只有一个交点； ② L与C有两个交点，但C中任一条弦都与L不垂直； ③ C中与L垂直的弦的中点不在L上. 要直接寻找适合上述条件的θ相当困难，因此， 我们转向寻找曲线C中至少有一条弦能被L垂直平分时 θ的变动范围，这样就能间接地得到所需的结果.
1 1 1 4k ( 2 3k ) 0 2k 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整理得：12k3+2k2+1<0, (2k+1)(6k2－2k+1)<0,
∵
例析数学思想中的化归思想及其原则
例析数学思想中的化归思想及其原则
许多学科的发展都多少受到数学的影响，数学在现代社会中占据着重要的地位，数学思想也曾经影响到许多学科的发展，其中最重要的就是化归思想。
化归思想源于古希腊，它是数学思想的核心理念，它认为，把一个复杂或异常的问题简化成一系列基本问题，然后把它们化归到某一个可以解释的原则或公式中去，从而有效地解决问题。
化归思想也被称为“系统思想”，它是数学思想的基石，古希腊的毕达哥拉斯是这一思想的奠基人。
他认为，数学可以把复杂的问题简单化，然后用公式、概念等已有的方法来解决这些问题。
例如，当我们发现一个抽象的概念时，可以快速形成一种新的公式或定理，这就是化归思想的核心。
化归思想在数学发展史上，起到了极其重要的作用，它使得许多晦涩难懂的问题变得清晰可懂。
此外，它也使得数学推理变得更加简单。
比如，在求解复杂的数学公式时，可以采用先分解再合并的方法，即先将原问题分解成一系列比较简单的问题，然后再把这些简单的问题在最后合并，解决原问题。
此外，还有一些重要的原则，它们也是化归思想的重要组成部分。
其中，最重要的就是两个原则，即“变量统一原则”和“协调变量原则”。
这两个原则的共同点是，要求在任何时候，变量的数值必须保持一致，这样才能够使数学计算变得清晰有序。
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中考数学第二轮复习一 化归思想
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Ⅰ、专题精讲：
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是
实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动
力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因
此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养
用数学思想方法解决问题的意识．
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门
复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化
为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转
化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的
图象交于A、B两点．
（1）求 A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
【例2】解方程：22(1)5(1)20xx
【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，
求AC的长．
中考数学第二轮复习一 化归思想
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【例4】已知△ABC的三边为a，b，c，且222abcabacbc，试判断△ABC的形
状．
【例5】△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若90C，如图l，根据勾股定理，则222abc。
若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22ab与c2的关系，
并证明你的结论．