人教版数学九年级下册 28.2 解直角三角形的应用(2)----方位角教 导学案
新人教版数学九下教案28.2.2 应用举例(第二课时)
第二课时一、教学目标1．使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而将实际问题转化为数学问题来解决；使学生懂得什么是方位角、方向角，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2．通过研究解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，渗透转化思想，培养学生应用数学的意识．二、教学重难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程（教学案）一、问题引入【问题】如右图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A＝26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．学生交流、讨论后，师生共同分析：对照图形，根据题意，思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？二、互动新授（一）方位角在解直角三角形中的应用如教材图28.2－7，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B 处距离灯塔P有多远(结果取整数)?学生独自练习后，小组交流、讨论．教师多媒体出示解答过程，引导学生根据示意图，说明本题的已知是什么，求的是什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切中的哪一种解较为简便？（二）坡角在解直角三角形中的应用坡面问题广泛应用于修筑堤坝工程的计算中．三、精讲例题【例】如图所示，小明在大楼30米高(PH＝30米)的窗口P处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1∶3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.(1)山坡坡角(即∠ABC 的度数)等于__________．(2)求A 、B 两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)． 学生练习后，小组交流、讨论． 【解析】 (1)由i ＝tan ∠ABC ＝13＝33，得∠ABC ＝30°. (2)利用条件证明∠ABP ＝90°，解Rt △PBH ，求PB .在Rt △ABP 中求AB . 【解】 (1)30°(2)由题意得：∠PBH ＝60°，∠APB ＝45°. ∵∠ABC ＝30°，∴∠ABP ＝90°. 在Rt △PHB 中，PB ＝PHsin ∠PBH＝20 3.在Rt △PBA 中，AB ＝PB ＝203≈34.6(米)． 答：A 、B 两点间的距离为34.6米． 四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、板书设计六、教学反思通过设置具体问题情境，引导学生通过“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”来构建直角三角形．教学中营造合作学习的探究空间，要求学生尝试画出几何图形，通过数形结合，解决解直角三角形．锐角三角函数是解直角三角形的主要工具，学生在实际问题中要灵活加以应用．导学方案一、学法点津学生在学习中要结合解直角三角形的内容来解实际问题，要将实际问题转化为对应的几28．2.2 应用举例 第二课时 1．方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．2．坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)，用i 表示，记作i ＝hl ；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，于是i ＝hl ＝tan α，坡角越大，α越大，坡面就越陡．何图形，利用数形结合的思想来解题． 二、学点归纳总结1.知识要点总结) （1）方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角． （2）坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，用i 表示，记作i ＝h ∶l.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，于是i ＝hl＝tan α.2.规律方法总结（1）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象成数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形问题)； ②)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； ③得到数学问题的答案； ④得到实际问题的答案．（2）在学习本节内容时，要注意用转化思想将所求的线段转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知线段与未知线段的联系．第二课时作业设计一、选择题1．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝5m ，则坡面AB 的长度是( )．A ．10mB ．103mC ．15mD ．53m2．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，那么，由此可知B 、C 两地相距( )m.A ．100B ．200C ．300D ．400第1题图 第2题图二、填空题3．如图所示，是一张宽为m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M(点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的点P ，如果MC ＝n ，∠CMN ＝α，那么点P 到点B 的距离为__________．4．如图所示，是某广场到超市的地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、广场电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝135°，BC 的长约是52m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是__________m.5．从位于A 处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600m 的B 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向的C 处，则B ，C 间的距离是__________m.第3题图 第4题图三、解答题6．一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C 处所需的时间．(提示：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6)【参考答案】1．A 2.B 3.m －ntan αtan α4.55.300＋300 36．解：过点C 作CD ⊥AB 交AB 延长线于D.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝80海里， ∴CD ＝12AC ＝40海里．在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，∠CBD ＝90°－37°＝53°. ∴BC ＝CD sin ∠CBD ≈400.8＝50(海里)．∴海警船到达事故船C 处所需的时间大致为： 50÷40＝54(小时)．。
人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)
师：尝试写出∠A 的三角函数。
生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
人教版初中数学九年级下册教案 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200m.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100m 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表示出．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8m ＞100m.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD .解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD .又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°.求坝底AD 的长度．解析：首先过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，可得四边形BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足为E 、F ，可得BE ∥CF ，又∵BC ∥AD ，∴BC ＝EF ，BE ＝CF .由题意，得EF ＝BC ＝3，BE ＝CE ＝2.∵背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE tan45°＝2，DF ＝CFtan30°＝23，∴AD ＝AE ＋EF ＋DF ＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD 的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为i ＝1∶2，斜坡AB 的长为65m ，斜坡的高度为AH (AH ⊥BC )，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离(结果精确到1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i ＝1∶2，得出AH ∶BH ＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH 的长；(2)利用tan14°＝6BC ＋12，求出BC 的长即可． 解：(1)由题意可得AH ∶BH ＝1∶2，设AH ＝，则BH ＝2，故2＋(2)2＝(65)2，解得＝6，故车库的高度AH 为6m ；(2)∵AH ＝6m ，∴BH ＝2AH ＝12m ，∴CH ＝BC ＋BH ＝BC ＋12m.在Rt △AHC 中，∠AHC ＝90°，故tan ∠ACB ＝AH CH ，又∵∠ACB ＝14°，∴tan14°＝6BC ＋12，即0.25＝6BC ＋12，解得BC ＝12m.答：点B 与点C 之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用课程设计 (2)
人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用课程设计一、教材分析本课的教材来源于人教版九年级数学下册，第28章三角形中的第2节——解直角三角形及其应用。
本节课是在本章的基础上，深入探讨直角三角形的性质、解题方法以及应用，包括直角三角形的判定、勾股定理、三角函数的概念等内容。
本节课主要学习内容如下：•直角三角形的定义与判定；•勾股定理及其应用；•三角函数的定义与应用。
其中，本节课的重点内容是勾股定理及其应用，涉及到直角三角形的边长关系的解决方法。
二、教学目标知识目标1.掌握直角三角形的定义与判定方法；2.掌握勾股定理及其应用；3.掌握三角函数的定义与应用。
能力目标1.能够利用勾股定理解决直角三角形的问题；2.能够应用三角函数解决实际问题。
情感目标1.养成严谨的数学思维，提高解决问题的能力；2.培养学生学习数学的兴趣与信心；3.培养学生学会合作、交流的精神。
三、教学重点和难点教学重点1.直角三角形的定义与判定方法；2.勾股定理的掌握及应用；3.应用三角函数解决实际问题。
教学难点1.应用勾股定理解决直角三角形的问题；2.应用三角函数解决实际问题。
四、教学策略1.理论讲解结合实例演示教学；2.学生合作探讨，交流思路；3.提供自主探究的机会，鼓励学生自主思考。
五、教学内容和步骤第一步：引入1.列举实际生活中三角形的应用，并提出直角三角形在其中的重要作用；2.引入本节课的主要内容——直角三角形的判定、勾股定理及其应用、三角函数的定义与应用。
第二步：讲授1.直角三角形的定义与判定方法；2.勾股定理及其应用；3.三角函数的定义与应用。
第三步：锻炼1.讲解例题，引导学生理解相关概念和方法；2.讲解课外拓展题，让学生尝试运用所学去解决更加复杂的问题。
第四步：总结1.总结直角三角形的定义与判定方法；2.总结勾股定理及其应用；3.总结三角函数的定义与应用。
第五步：作业1.完成课上练习；2.完成课后作业，并按时提交。
六、教学评估方法1.课堂练习；2.课后作业；3.小测验；4.考试。
九年级数学下册教案利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶ 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】 一、自学提纲：坡度与坡角 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比）， 一般用i 表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m 的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)四、学生展示： 完成课本77页练习 补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本 第78页 习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
人教版九年级数学下册教案：28.2解直角三角形及其应用
一、教学内容
人教版九年级数学下册教案：28.2解直角三角形及其应用
本节课我们将学习以下内容：
1.了解直角三角形的定义和性质；
2.掌握运用三角函数（正弦、余弦、正切）解直角三角形；
3.掌握在实际问题中，如何建立直角三角形的模型，并运用三角函数解决问题；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用三角板和量角器测量实际物体的高度。
4.应用直角三角形的性质和三角函数解决高度、距离等问题。
我们将结合教材中的例题和练习，让学生在实际操作中掌握解直角三角形的方法及其在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用三角函数在解直角三角形中的应用；
2.提升学生的空间想象力和几何直观，通过构建直角三角形模型，解决实际问题；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于解直角三角形的兴趣还是挺高的。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更加直观地感受到数学知识的实用性。在理论讲解部分，我注意到了一些学生在理解三角函数定义上存在困难，这需要我在今后的教学中更加细致地解释和举例。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的热情很高，这让我感到很欣慰。他们能够将所学的知识应用到具体的实际问题中，并且在小组内进行有效的交流合作。不过，我也观察到一些小组在解决问题时还是显得有些迷茫，可能是我给出的引导性问题还不够明确，或者是他们对三角函数的应用还不够熟练。
人教版初中数学九年级下册学案28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=12.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用学案(新版)新人教版
28.2 解直角三角形〔1〕〔一〕学习目标1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 〔二〕学习重点灵活运用知识点，准确解直角三角形 （三）课前预习1.在△ABC 中，∠C=90°，假设b=2，c=2，那么tanB=________2．在Rt △ABC 中，∠C=90°,sinA=54，AB=10，那么BC=______．3．在△ABC 中，∠C=90°，假设a:b=5:12那么sinA=__________________ . 4． 在直角三角形ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高h=1,那么三边的长分别是__ ___________________________5.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=， COSB=___________.6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，AD=2，那么sinA=____；tanB=___________．7、如图在△ABC 中，∠C=900，∠A=300.D 为AC 上一点，AD=10,∠BDC=600,求AB 的长〔四〕疑惑**预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨。
1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sinCD ABBCb a B a b Bc a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2(勾股定理)根据直角三角形的___ _____元素〔至少有一个边〕，求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．以上三点正是解直角三角形的依据．典例分析例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2 6例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．小结“一边一角，如何解直角三角形？〞 随堂练习：第74页练习〔一〕课后作业1、Rt △ABC 中，假设sinA=45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，那么cosA 的值是〔〕A ．35B ．45C ．916.2525D4、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。
九年级数学下册28_2解直角三角形及其应用教案2新版新人教版
28.2解直角三角形【探讨目标】1．目的与要求 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．2．知识与技术 能依照直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形的应用，培育学生学数学、用数学的意识和能力，鼓励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．【探讨指导】 教学宫殿在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的进程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如以下图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B ＝90°；边边关系：勾股定理，即222c b a =+；边角关系：锐角三角函数，即b a B abB c aB c b B a b A b aA c bA c a A ========cot ,tan ,cos ,sin cot ,tan ,cos ,sin解直角三角形，可能显现的情形归纳起来只有以下两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的一起的地方：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．用解直角三角形的知识解决实际问题的大体方式是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，确实是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)和图形之间的大小或位置关系．借助生活常识和讲义中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰本地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．在解直角三角形的进程中，常会碰到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精准到1′．例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，依照以下条件解直角三角形． (1)c ＝10，∠B ＝45°，求a ，b ，∠A ； (2)26,62==b a ，求c ，∠A ，∠B思路与技术 求解直角三角形的方式多种多样，如(1)能够先求a 或b ，也能够先求∠A ，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一样尽可能选择正、余弦，尽可能利用乘法，尽可能选用含有已知量的关系式，尽可能幸免利用中间数据．解答 (1)∠A ＝90°-45°＝45°2545sin 10sin =︒⋅=⋅=A c a 25==a b(2)64722422=+=+=b a c ,216462sin ==A 因此︒=∠30A︒=∠-︒=∠6090A B例2 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，32=BC ，22=CD ,求AC ，AB ，∠A ，∠B(精准到1′)．思路与技术 在Rt △ABC 中，仅已知一条直角边BC 的长，不能直接求解．注意到BC 和CD 在同一个Rt △BCD 中，因此可先解那个直角三角形．解答 在Rt △BCD 中281222=-=-=CD BC BD33322cos 363222sin ======BC BD B BC CD B用计算器求得 ∠B ＝54°44′ 于是∠A ＝90°-∠B ＝35°16′ 在Rt △ABC 中，62366sin 63332cos =⨯=⨯==⨯==B AB AC B BC AB例3 气象台测得台风中心在某口岸A 的正东方向400km 处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km 的范围内将受其阻碍，问口岸A 是不是会受到这次台风的阻碍?思路与技术 如图19—48，确实是要求出A 到台风移动线路BC 的距离是不是大于300km ，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，AB ＝400km ，是AC 可求．解答 在Rt △AB C 中，由于ABC AB AC∠=sin因此AC ＝AB ·sin ∠ABC ＝400×sin45°300283220022400<≈=⨯=因此口岸A 将受到这次台风的阻碍．例4如图，两幢建筑物的水平距离为56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物的高度(精准到0．1m)．思路与技术如图，AB、CD表示两幢建筑物，AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝56．5m，依照俯角、仰角的意义，∠DAE＝42°，∠ACF＝22°，于是Rt△ABD、Rt△ACF都可解．解答在Rt△ABD中，∠ADB＝∠DAE＝42°BD＝56.5(m)AB＝BD·tan∠ADB＝56.5×tan42°≈50.9(m)在Rt△ACF中，AF＝CF·tan∠ACF=56.5×tan22°≈22.8(m)因此CD＝AB-AF＝28.1(m)答：两幢建筑物的高度别离为50.9m，28.1m例5如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原先的1：2改成1：2．5，已知坝高6m，坝长50m求：(1)加宽部份横断面AFEB的面积；(2)完成这一工程需要多少土方?思路与技术只须求出梯形AFEB的下底EB的长，作AG⊥BC，FH⊥EB ，垂足别离为G 、H ，依照坡度的意义，能够求出坡AB 、坡EF 的水平长度． 解答 (1)作AG ⊥BC ，FH ⊥EB ，垂足别离为G 、H ，由题意得 HG ＝AF ＝2(m)．AG ＝FH ＝6(m) 在Rt △ABG 中，因为21==BG AG i因此BG ＝2×6＝12(m) 在Rt △FEH 中，因为5.21==EH FH i因此EH ＝2．5×6＝15(m)因此EB ＝EH+HG-BG ＝15+2-12＝5(m)因此()()()2216522121m AG EB AF S AFEB =⨯+=⨯+=梯形()31050502150m S V AFEB =⨯=⨯=梯形答：加宽部份横断面AFEB 的面积为221m ，完成这一工程需要1050方土．例6 海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会可不能相撞?什么缘故?思路与技术 依照题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的线路可能会成为直角三角形中60°所对的直角边和斜边，两船同时动身，在相同的时刻内所走路程的比若是正好等于60°的正弦就会相撞，不然可不能．解答 如图，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，因此乙船与甲船所走路程的比为1：2．又212360sin ≠=︒因此可不能发生相撞．例7 某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ．在地面上事前划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，此刻某工人站在离B 点3m 远的D 点测得树的顶部A 点的仰角为60°，树的底部B 的仰角为30°，如图19—52，问距离B 点8m 远的爱惜物是不是在危险区内?思路与技术 此题的实质是要计算大树的高度，若是大于8m ，说明爱惜物在危险区内，不然不在．由于大树不在哪个直角三角形中，依照条件，过C 作CE ⊥AB ，那么可把AB 放在Rt △ACE 和Rt △BCE 中进行求解．解答 过C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由题意可知，CE ＝DB ＝3m 在Rt △CE B 中，()m CE BE 732.133330tan ≈⨯=︒⋅=在Rt △ACE 中，()m CE AE 196.53360tan ≈⨯=︒⋅=因此AB ＝AE+BE ＝5.196+1.732＝6.928(m)＜8(m) 因此距离B 点8m 远的爱惜物不在危险区域内．【探究活动】提出问题 运用解直角三角形的知识能够解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗?探讨预备 锐角△ABC(已知b ，a 和∠C)．钝角△ABC(已知∠A ，c ，∠B)(∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c)如图．探讨进程 直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必需把斜三角形转化为直角三角形，转化的方式一样是作高，如图19—53甲能够作AD ⊥BC 于D ，如此构造了两个直 角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD ，Rt △ACD 中，CD ＝b cos ∠C ，AD ＝b sin ∠C ，因为BC ＝a ，因此BD ＝a -b cos ∠C ，在Rt △ABD 中，C b a Cb BD AD B ∠-∠==cos sin tan ，得出∠B ，进而求出∠A ＝180°-∠B-∠C ，()()2222cos sin C b a C b BD AD AB ∠++∠=+=C ab a b ∠-+=cos 222()1sin cos 22=∠+∠C C 一样方式，图乙中，能够过C 作CD ⊥AB 于D ，先解Rt △ACD ．再解Rt △CDB ．探讨评析 “化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的全然方式，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再依照条件别离在两个直角三角形中做文章．例8 如图，公路上A 、B 两处相距lkm ，测得城镇C 在A 处的北偏东35°方向，在B 处的北偏西40°方向．求城镇C 到A 处、B 处的距离别离是多少?思路与技术 弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，依照题意∠1＝35°，∠2＝40°,AB ＝lkm ，发觉△ABC 不是直角三角形，故通过“化斜为直”转化，作CD ⊥AB 于D ，如图19—55，那么∠ACD ＝∠l ＝35°，∠BCD ＝∠2＝40°，可是Rt △ACD 与Rt △BCD 都无法直接求解，因此可利用CD 是这两个直角三角形的公共边和AD +DB ＝AB ＝lkm 的条件，设法列方程求解．解答 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设CD ＝x 那么在Rt △ACD 中，AD ＝x ·tan ∠ACD ＝x ·tan35° 在Rt △CDB 中，BD＝x·tan∠BCD＝x·tan40°因为AD+BD＝AB＝1因此x(tan35°+tan40°)＝1x＝1÷(tan35°+tan40°)≈0．6496(km)于是()()kmCDBCkmCDAC848.050sin,793.055sin≈︒=≈︒=答：城镇C到A处的距离约93km，到B处的距离约是0．848km．。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形利用解直角三角形解决实际问题教学设计
7.教学评价，反馈调整：采用多元化的教学评价方式，如课堂提问、课后作业、小组竞赛等，全面了解学生的学习情况。根据学生的反馈，及时调整教学方法和策略。
8.关注学生心理健康，营造良好的学习氛围：在教学过程中，关注学生的心理变化，鼓励学生克服困难，培养自信心。同时，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感中学习数学。
3.情感态度与价值观方面：重点是激发学生对数学学科的兴趣，培养探究精神和创新意识；难点是引导学生形成良好的人际交往能力和团队协作精神。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课：通过生活中的实际例子，如测量建筑物的高度、计算物体在斜面上的倾角等，引出解直角三角形在实际问题中的应用，激发学生的兴趣。
2.知识讲解，方法引导：以直观的图形和具体的实例，讲解解直角三角形的方法，强调正弦、余弦、正切函数在实际问题中的应用。同时，采用问题驱动法，引导学生主动探究，发现解题规律。
（二）讲授新知，500字
1.教师以图形和实例的形式，讲解解直角三角形的基本概念和性质，如正弦、余弦、正切函数的定义和表示方法。
2.通过具体例子，演示如何运用正弦、余弦、正切函数求解直角三角形，强调在实际问题中要注意单位的转换和计算器的正确使用。
3.讲解过程中，鼓励学生积极参与，提问并解答学生的疑问，确保学生对解直角三角形的方法有清晰的认识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过展示生活中的一些直角三角形的实物图片，如楼梯、墙壁与地面形成的直角三角形等，引导学生观察并思考这些直角三角形的特点。
2.提问：“同学们，我们之前学过直角三角形，那么你们知道如何求解直角三角形吗？解直角三角形在现实生活中有哪些应用呢？”
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28.2 解直角三角形的应用(2)----方位角教 导学案
【教学目标】
1.使学生理解方位角概念的意义，并能适当的选择锐角三角函数关系式去解决有关直角三角形实际问题；
2. 培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形转化为解直角三角形)的能力
【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角的实际问题
【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【自主探究】
一. 导引自学：阅读书本P75例5，思考以下问题
1.(1)方位角的定义是什么？
(2)画出以下方位角；南偏东300 ； 南偏西600；北偏西150 ； 东北方向。
(3)A 点在B 点的南偏东360，，则B 点在A 点的什么方向？
2.例2中如何把实际问题转化成几何问题？可将问题到一个什么几何图形中解决？根据示意图，用什么知识解出来的？你知道每一步的依据吗？体现了数学中的哪些思想方法？
3.你知道利用直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤吗？
二.自我检测：
1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）
2. 王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向
走200m 到C 地，此时王英同学离
A 地 ( )
A ．150m
B ．m
C ．100 m
D ．m
3.如图所示，海上有一灯塔P ，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
4.书本76页练习1
三．知新有疑
【范例精析】
如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／3503
100
时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)
为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：≈1.4， ≈1.7)
【达标测评】
1.上午10点整，一渔轮在小岛O 的北偏东30°方向，距离等于10海里的A 处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
2、在东西方向的海岸线上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的
北偏东60°，且与A 相距km 的C 处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正
好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
3.书本79页习题9
【自我反思】
1、知识技能： 。
2、思想方法： 。
23l 83N
M 东北
B C A
l。