初中数学解直角三角形综合讲义

初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系 2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象： 特殊的求解过程 定角度： 已知元素 新事物： 求出未知元素举例：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠A=90°- 42°6′=47°54′（2）∵ cosB=c a, ∴a=c cosB=287.4×0.7420≈213.3 （3）∵ sinB=cb, ∴b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7二、研究概念1.条件：直角三角形 2.构成和本质[边] 两条直角边 [角] 有一个直角 [角] 两锐角互余 3.特征：[角] 两锐角互余，∠A+∠B=90°[边] 勾股定理，a 2+b 2=c 2[等式的性质] a 2 =c 2 —b 2b 2=c 2 —a 2勾股定理逆定理[边、角] 锐角三角函数 [重要线段] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [特殊角] 30°角所对的直角边是斜边的一半45°角所对的直角边是斜边的2倍 4.下位无5.应用：三、例题讲解1、在R t △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a ，∠B=α，那么AD 等于 （ ） （A 级）A 、 asin 2αB 、acos 2α C 、asin αcos α D 、asin αtan α 对象：R t △ABC 中，AD 角度： 三角函数分析：R t △ABC cosB=BC AB cos α= aABAB= a ·cos R t △ABD sin α=ABADAD= sin α·ABAD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P 角度： 直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE 。

分四种情况：BP=22 （1） P 到边BC 的距离为PE=2，∠DBC=45° BE=PE=2 [BP∶PD=1∶2] PD=42 BD=62 正方形的边长为6（2） P 到边AB 的距离为PE=2、P 到边AD 的距离为PE=2 、P 到边CD 的距离为PE=2方法照上。

3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=3，则BD=对象：Rt △ABC 中BD 角度：相似三角形分析：△ABC ～△CBD BC 2=BD ·ABBC=3，AC=3 AB=32 BD=214、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝21，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。

求△ＡＢＣ的面积。

对象：△ＡＢＣ的面积 角度：锐角函数值 分析：ｓｉｎＡ＝21，ｔａｎＢ＝3 ∠A=30°，∠B=60° ∠C=90°△ＡＢＣ是以AB 为斜边的直角三角形 [ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°] △ＡＢＣ的面积为2325 AC=53,BC=55、河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°， 测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。

CADB现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ， 求缆绳AC 的长。

(B 级)对象：R t △ABC 和R t △ABD 角度：三角函数分析：∠EAC=30°，∠EAD=45° ∠ACB=30°,∠ADB=45° AB= x AC=2x ，BC=3x ，BD=x [CD=50]BD=3x －50x=3x －50 x=25(3－1) AC=50(3－1)6、如图某船向正东航行。

在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向， 若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。

（结果不取近似值） （B 级）对象：右图 角度：锐角三角函数分析：很显然，AC=DC ，设AE=DE=x ，则CE=x,CD=2xBD=220=10 BE= x －10 tan ∠ECB=x x 10-=33x= 5（3+3） AD=10（3+3）7、在海上有一灯塔P ，在它周围3海里内有暗礁，一客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A 处测得灯塔P 到它北偏东60°，继续行驶10分钟后，到达B 处，又测得灯塔P 在它的北偏西45°，问客轮不改变航线继续前进有无触礁危险？ （B 级）（此题有现有条件不变的情况下，还可能问：①船离灯塔P 的最近距离是多少？②船再走多远，离灯塔最近？③船再行驶多少时间，离灯塔P 最近？）对象： 右图中Rt △PAC 中PC 角度：锐角三角函数 分析：∠PAC=30 ∠PBC=45 设PC=X BC=X ，AC=3XAB=9×6010=23 23+X=3X X=4)13(3+＜3 所以不改变航线继续前进有触礁危险8、将两块三角板如图放置，∠C ＝∠EDB ＝90º，∠A ＝45º，∠E ＝30º，AB ＝DE ＝6。

求重叠部分四边形DBCF 的面积。

（C 级）对象：四边形DBCF 的面积 角度：直角三角形的面积 分析：在△EDB 中，∵ ∠EDB ＝90°，∠E ＝30°，DE ＝6，∴ 3233630tan ＝＝⨯=︒⋅DE DB ． ∴ 326－－＝=DB AB AD ．又∵ ∠A ＝45°，∴ ∠AFD ＝45°，得FD ＝AD ． ∴ 31224)326(212122－＝－＝⨯=∆AD S ADF ． 北在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB ＝6，所以9412=∆AB S ABC ＝． ∴ )31224(9－－＝＝四边形AD F ABC D BCF S S S ∆∆-＝15312－9、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少．．．．； ②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ表示）．（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG不计）． （C 级） 分析：方案1：（1）如图a （测三个数据）（2）解：设HG=x ，在Rt △CHG 中CG=x ∙cot β 在Rt △DHM 中 DM=（x －n ）∙cot α ∴x ∙cot β=（x －n ）∙cot α∴x=βααcot cot cot -∙n 方案2：（1）如图b （测四个数据）（2）解：设HG=x ， 在Rt △AHM 中 AM=(x－n) ∙cot γ 在Rt △DHM 中 DM=（x －n ）∙cot α ∴(x －n) ∙cot γ=（x －n ）∙cot α+m∴x=αγαγcot cot cot cot -∙-∙+n n m方案3：（1）如图c （测五个数据）（2）参照方案1（2）或方案2（2）意识；10、据气象台预报，一强台风的中心位于宁波(指城区，下同)东南方向(2108636+)千米的海面上，目前台风中心正以20千米/时的速度向北偏西60°的方向移动，距台风中心50千米的圆形区域均会受到强袭击．已知宁海位于宁波正南方向72千米处，象山位于宁海北偏东60°方向56千米处．请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强袭击的时间；如果不会，请说明理由．(为解决问题，须画出示意图，现已画出其中一部分，请根据需要，把图形画完整) （C 级）分析：过P 作东西方向(水平)直线与AB (南北)延长线交于O ，延长台风中心移动射线PQ 与AO 相交于M ． ∵G B C 第3B 方案1图a B 方案2图b 方案3图c _ （ 宁波 ） _A2108636+=AP ，=∠=∠APO OAP 45°，OP AO ⊥，∴108336+==OP AO ，36336+=-=AB AO BO ． ∵=∠OPM 30°，∴tan OP MO =30°=OB =+=⋅+3363633)108336(， ∴ M 与B 重合， ∴台风中心必经过宁海．∴经过宁海的时间为520250=⨯(时) ． 如图C 为象山，由题意可得=∠CBP 30°+30°=60°，C 到PQ 的距离sin 56=CN 60°=50328 ，∴象山会受到此次台风强袭击．求受袭击时间可先求以C 为圆心，km 50为半径的圆与PQ 相交的弦长等于3742)328(5022=⨯-，∴受袭击时间53720374=÷(时) ．∵A 到PQ 的距离sin ⋅=AB AD 60°=503362372 =⨯，∴宁波不会遭受此次台风的强袭击． 综上所述:宁波不会遭受此次台风的强袭击；宁海:会，受袭击时间为5时；象山:会，受袭击时间537时．(约1时13分)11、==AC BCD AC CD AB D ABC ，∠，⊥的中点，为中，在△41sin 5，求BC 长． （B 级）解法一：过B 做BE ⊥AC 交AC 延长线于E ，在△ABE 中，DC 为△ABE 中 位线∠DCB ＋∠BCE ＝90°，20cos 541cos sin ======BCECEBC CE AC BCE DCB ∠∴，∠∠∴解法二：过D 做DE ∥AC ，则BE 为AC 中位线，DE ⊥DC ，∴在Rt DCE DE =12△中，，∠，∴AC CE DEDCE BC CE ======52521410220sin解法三：做EB ⊥DC 交CD 延长线于E ，在△DEB 和△DCA 中，∠BDE ＝∠CDA ，AD ＝DB ，∠BED ＝∠ACD ＝Rt ∠ ∴△DEB ≌△DCA ∴EB ＝AC ＝5在△中，∠×．Rt EBC BC EBDCB ===sin 542012、测量人员在山脚A 处测得山顶B 的仰角45°，沿着倾斜30°的山脚前进1000米来到R 处，再测得山顶仰角60°，求山高BC ．解：过R 做RF ⊥AC ，RE ⊥BC 分别交AC 、BC 于F 、E ，在Rt △ARF 中，AF AR RAF RF AR RAF ======·∠×（米）·∠×（米）cos sin 1000325003100012500 在Rt △BRE 中，设BR ＝x 米，RE BR BRE x xBE BR BRE x x======·∠·°·∠·°cos cos sin sin 6026032 ∴在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∴AC=BCAC AF FC AF RE x BC BE EC BE RF x=+=+=+=+=+=+5003250032∴5003250032+=+x x解得x ＝1000BC BE EC =+=+=++50035005001350013（）（米）∴山高（）米．四、课后练习的两的正弦分别是方程、中与锐角△、在0212B A ABC Rt 12=+-x x 根，则此三角形为 [ C ]A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2、在与楼水平距离为h 的A 处（A 的高度略去不计），测得楼顶的仰角为60°，则楼高[ B ]BA E CDCD BAA B h C D ． ． ． ．h h2332333、河的对岸有一电线杆CD ，从A 点测得电线杆顶端D 的仰角为30°，前进30米到达B 处，测得D 的仰角为45°，求电线杆的高？对象：CD 的长 角度：锐角三角函数 分析：（设BC=x） CD=x, AC=30+x Rt △ADC 中∠A=30°33=AC DC X=()x +3033x=15+153 电线杆的高为15+1534、如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠EBC=∠DEC=30°，若AE=6cm ，求DC 的长。