江苏省常州市教育学会高三数学上学期学业水平监测试题苏教版

用心 爱心 专心 1 常州市教育学会学业水平监测高三数学试题 2012年1月

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{102}{2}aAB，，，，若BA，则实数a的值为 ．

2．若152i4zzz（i为虚数单位），则复数z= ．

3．已知双曲线2221(0)9xybb的一条渐近线的倾斜角为3，则b的值为 ． 4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人． 5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ．

6．函数()cos()cos()26fxxx的最小正周期为 ．

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若30MOA，则该椭圆的离心率的值为 ． 8．已知等比数列{}na的各均为正数，且212437234aaaaa，，则数列{}na的通项公式为 ． 9．设mR，已知函数22()2(12)32fxxmxmxm，若曲线()yfx在0x处的切线恒过定点P，则点P的坐标为 ． 10．对于函数()()yfxxR，给出下列命题： （1）在同一直角坐标系中，函数(1)yfx与(1)yfx的图象关于直线0x对称； （2）若(1)(1)fxfx，则函数()yfx的图象关于直线1x对称； （3）若(1)(1)fxfx，则函数()yfx是周期函数； （4）若(1)(1)fxfx，则函数()yfx的图象关于点（0，0）对称． 其中所有正确命题的序号是 ．

11．设函数()yfx在R内有定义，对于给定的正数k，定义函数()()()()kfxfxkfxkfxk≤，，，，>

若函数3()log||fxx，则当13k时，函数()kfx的单调减区间为 ． 12．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则2ACBCABBCACBCAC的最大值为 ． 13．已知函数()2()xfxxR，且()()()fxgxhx，其中()gx为奇函数，()hx为偶函数．若不等式2()(2)0agxhx≥对任意[12]x，恒成立，则实数a的取值范围是 ．

14．已知abc，，均为正实数，记11maxaMbbccacab，，，则M的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 用心 爱心 专心 2

已知m、xR，向量()((1))xmmxx，，，ab． （1）当0m时，若||||（2）若1m>ab对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

16．（本小题满分14分） 如图，斜三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC底面ABC，侧面11AACC是菱形，

160AAC，E、F分别是11AC、AB的中点．求证：

（1）EF∥平面11BBCC； （2）平面CEF⊥平面ABC．

17．（本小题满分14分） 已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS，满足2843()nnnSaanN，且

127aaa，，依次是等比数列{}nb的前三项．

（1）求数列{}na及{}nb的通项公式； （2）是否存在常数0a>且1a，使得数列{log}()nanabnN是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆221xy与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为xm．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（0bb，为常数）的椭圆为D． （1）求⊙C和椭圆D的标准方程； （2）当1b时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部； （3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴

于点L，试判断OMOL是否为定值？并证明你的结论．

A B F C C1 E A1

B1 用心 爱心 专心 3 19．（本小题满分16分） 如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，

3()44APH，，．

（1）求l关于的函数关系式； （2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优 美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角满足： tan()4时，招贴画最优美．

20．（本小题满分16分） 设a为实数，函数2()||fxxxa． （1）当1a时，求函数()fx在区间[11]，上的最大值和最小值； （2）求函数()fx的单调区间．

常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH=DE．

B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵2411M的特征值及对应的特征向量． C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

A H

D G P O B

C

E C A O H

B D 用心 爱心 专心 4

在极坐标系中，O为极点，求过圆C：6cos()3的圆心C且与直线OC垂直的直线l的极坐标方程．

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知xy，均为正实数，求证：1144xy≥1xy．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http

22．已知斜率为(0)kk的直线l过抛物线24Cyx:的焦点F且交抛物线于A、B两点． 设线段AB的中点为M． （1）求点M的轨迹方程；

（2）若21k<

不小于15，求m的取值范围．

23．已知正项数列{}na中，1111()1nnnaaanaN，．用数学归纳法证明：1()nnaanN<．

常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．1 2．12i2 3．33 4．700 5．23 6．π 7．63 8．32n 9．31(,)22 10．（3）（4） 11．3(,3]（开区间也对） 12．22 13．1712a≥- 14． 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）222xma， 2222(1)mxxb， ……………………4分 因为ab，所以22ab ． 从而22222(1)xmmxx． 用心 爱心 专心 5

因为0m，所以22()1mxm， …………………………6分 解得1mxm或1mxm． …………………………8分 （2）2(1)mxmxab． ………………………10分 由题意，得2(1)1mxmxm对任意的实数x恒成立， 即2(1)10mxmxm对任意的实数x恒成立． 当10m，即1m时，显然不成立，

从而210,4(1)(1)0.mmmm ……………………………12分

解得1,2323,.33mmm或 所以233m． ………………………14分 16．（本小题满分14分） 证明：（1）取BC中点M，连结FM，1CM． 在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点， 所以FM ∥12AC． ………………………………2分 因为E为11AC的中点，AC ∥11AC， 所以FM ∥1EC． 从而四边形1EFMC为平行四边形， 所以1EFCM∥． …………………………………………4分 又因为1CM平面11BBCC，EF平面11BBCC， 所以EF∥平面11BBCC． ………………………6分 （2） 在平面11AACC内，作1AOAC，O为垂足． 因为∠0160AAC，所以11122AOAAAC，从而O为AC的中点．……8分

所以1OCAE∥，因而

C1

B1

MF

EOAC

B

A1