2020届江苏常州高三模拟考试试卷 数学 含答案
2020年江苏无锡市、常州市高考数学(5月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学（5月份）模拟试卷一、填空题（共14小题）1．已知集合M＝{0，1，2}，集合N＝{0，2，4}，则M∪N＝．2．已知复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2的值为．3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n＝．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是．6．若曲线f（x）＝mxe x+n在（1，f（1））处的切线方程为y＝ex，则m+n＝．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线＝1（b＞0）一个交点，若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为．8．已知{a n}是等比数列，S n是其前n项和，若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，四面体A1B1PQ的体积为，则a的值为．10．已知且，则＝．11．若关于x，y的方程组：在x∈[1，2]上有解，则m2+n2的最小值为．12．已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（a+）（b+）的最小值为．13．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆C：x2﹣4x+y2＝0上两动点，且AB＝2，点P坐标为（4，），则|3﹣2|的取值范围为．14．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f[f（x﹣1）]恰有3个不同的零点，则实数b的取值范围是．二、解答题：本答题共6分，计90分.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求a；（2）求cos（B﹣A）的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中．（1）若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若AD∥BC，AD＝2BC，E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且∧PF1F2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q，直线AP，QF2交于点M．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF2与椭圆交于另一点N，且S＝4S，求点P的坐标．18．（16分）如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼AB，CD（AC为楼间距），两楼的楼高分别为am，bm，其中b＞a．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC的中点M处，且满足两个设计要求：①∠BMD＝90°，②楼间距与两楼的楼高之和的比λ∈（0.8，1）．（1）求楼间距AC（结果用a，b表示）；（2）若∠CBD＝45°，设，用k表示λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？19．（16分）已知函数，其中a＞0，b∈R，e为自然对数的底数．（1）若b＝1，x∈[0，+∞），①若函数f（x）单调递增，求实数a的取值范围；②若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．（2）若b＝0，且f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：．20．（16分）已知数列{a n}满足奇数项{a2n﹣1}成等差，公差为d，偶数项{a2n}成等比，公比为q，且数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2．（1）若S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4．①求数列{a n}的通项公式；②若a m a m+1＝a m+2，求正整数m的值；（2）若d＝1，q＞1，对任意给定的q，是否存在实数λ，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵，，列向量．（1）求矩阵AB；（2）若，求a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求P（ξ＝0）的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．24．给定整数n（n≥3），记f（n）为集合{1，2，…，2n﹣1}的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a）1∈A，2n﹣1∈A；（b）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求f（3）的值；（2）求证：f（100）≤108．参考答案一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合M＝{0，1，2}，集合N＝{0，2，4}，则M∪N＝{0，1，2，4}．【分析】利用集合的并集运算即可解题．解：∵集合M＝{0，1，2}，集合N＝{0，2，4}，∴M∪N＝{0，1，2，4}，故答案为：{0，1，2，4}．2．已知复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2的值为﹣3+4i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2＝1﹣4+4i＝﹣3+4i．故答案为：﹣3+4i．3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P＝，故答案为：．4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n＝63．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：∵高二年级被抽取的人数为21，∴＝，得n＝63，故答案为：63．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是8．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出I，S的值，即可求解．解：模拟程序的运行，可得S＝1，I＝2满足条件S≤100，执行循环体，I＝4，S＝4满足条件S≤100，执行循环体，I＝6，S＝24满足条件S≤100，执行循环体，I＝8，S＝192此时，不满足条件S≤100，退出循环，输出I的值为8．故答案为：8．6．若曲线f（x）＝mxe x+n在（1，f（1））处的切线方程为y＝ex，则m+n＝．【分析】先将x＝1代入切线方程求出切线坐标，然后代入曲线方程得m，n的一个方程①，然后求出曲线在x＝1处的导数，令其等于e，得另一个关于m，n的方程②，联立①②求解即可．解：将x＝1代入y＝ex得切点为（1，e），所以e＝me+n……①，又f′（x）＝me x（x+1），∴f′（1）＝2em＝e，∴，联立①②解得，故．故答案为：．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线＝1（b＞0）一个交点，若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且FA＝5，可得F（1，0）则A（4，±4），点A是抛物线y2＝4x与双曲线＝1（b＞0）一个交点，a＝2，可得，解得b＝，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故答案为：y＝±x．8．已知{a n}是等比数列，S n是其前n项和，若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为2或6．【分析】根据条件结合等比数列的通项公式以及前n项和公式，求出首项和公比即可得到结论．解：∵在等比数列中，a3＝2，S12＝4S6，∴若公比q＝1，则S12≠4S6，∴q≠1，∵S12＝4S6∴＝4×，即1﹣q12＝4（1﹣q6）＝（1+q6）（1﹣q6）即（1﹣q6）（q6﹣3）＝0∴q6＝1或3，又q≠1，∴q＝﹣1或q6＝3，当q＝﹣1时，a9＝a3q6＝2×1＝2当q6＝3时，a9＝a3q6＝2×3＝6．故答案为：2或6．9．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，四面体A1B1PQ的体积为，则a的值为2．【分析】由题意画出图形，求出A1到平面BB1C1C的距离，再求出三角形B1PQ的面积，得到四面体A1B1PQ的体积，则a的值可求．解：如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，取B1C1的中点H，连接A1H，则A1H⊥平面BB1C1C，且，＝．∴四面体A1B1PQ的体积为，解得a＝2．故答案为：2．10．已知且，则＝．【分析】由二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式结合角α的范围可求tanα的值，进而利用两角和与差的正切函数公式化简所求即可求解．解：∵，∴tanα＞0，∵＝＝，整理可得：tan2α＝，∴tanα＝，∴＝＝＝．故答案为：．11．若关于x，y的方程组：在x∈[1，2]上有解，则m2+n2的最小值为．【分析】解方程可得（m﹣1）x+n﹣1＝0，构造函数f（x）＝（m﹣1）x+n﹣1，依题意，函数y＝f（x）在x∈[1，2]上存在零点，则由零点存在性定理可得f（1）f（2）≤0，即（m+n﹣2）（2m+n﹣3）≤0，作出不等式表示的可行域，再利用m2+n2的几何意义得解．解：依题意，mx+y﹣x﹣y＝1﹣n，即（m﹣1）x+n﹣1＝0，设f（x）＝（m﹣1）x+n﹣1，显然函数f（x）在R上单调，又方程组在x∈[1，2]上有解，故由函数零点存在性定理可知，f（1）f（2）≤0，即[（m﹣1）+n﹣1][2（m﹣1）+n﹣1]≤0，即（m+n﹣2）（2m+n﹣3）≤0，作出不等式（m+n﹣2）（2m+n﹣3）≤0表示的可行域如下图阴影部分所示，而m2+n2表示的是可行域内的任意一点（m，n）到原点距离的平方，显然其最小值为原点（0，0）到直线2m+n﹣3＝0的距离的平方，即为．故答案为：．12．已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（a+）（b+）的最小值为．【分析】由2＝a+2b≥2，可得，（a+）（b+）＝＝令ab＝t，t∈（0，]．根据函数f（t）＝t+﹣4在（0，）单调递减，即可求解．解：∵正实数a，b满足a+2b＝2，∴2＝a+2b≥2，可得，则（a+）（b+）＝＝，令ab＝t，t∈（0，]．即有ab+，又函数f（t）＝t+﹣4在（0，）单调递减，∴f（t）．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆C：x2﹣4x+y2＝0上两动点，且AB＝2，点P坐标为（4，），则|3﹣2|的取值范围为[，3]．【分析】设3﹣2＝，则﹣＝3，即＝3，求出CM的长度得出M 的轨迹，从而得出||的范围．解：3﹣2＝3﹣3+＝3+，设3﹣2＝，则﹣＝3，即＝3，∵A，B均为圆C：x2﹣4x+y2＝0上两动点，且AB＝2，∴△ABC是边长为2的等边三角形，过C作AB的垂线CN，则N为AB的中点，∴CN＝，MN＝5，∴CM＝＝2，∴M的轨迹是以C为圆心，以2为半径的圆．又|PC|＝＝，∴≤||≤3．故答案为：[，3]．14．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f[f（x﹣1）]恰有3个不同的零点，则实数b的取值范围是（﹣∞，2﹣）．【分析】首先分析出b＜0，则f（m）＝0有两个根，一个为0，和一个负根m1，那么g （x）＝f[f（x﹣1）]＝0需满足f（x﹣1）＝0或f（x﹣1）＝m1，显然f（x﹣1）＝0有两个根，由题意，f（x﹣1）＝m1必然有一个根，则只需b＜m1即可．解：当x＜0时，f′（x）＝﹣3x2+8x＝﹣x（3x﹣8）＜0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，此时f（x）＞f（0）＝b，令f（x﹣1）＝m，当b≥0时，f（m）＝0只有一解m＝0，此时g（x）不可能有三个零点，故b＜0，此时f（m）＝0有两个根，一个为0，和一个负根m1，如下图所示，则f（x﹣1）＝0或f（x﹣1）＝m1，m1＜0，显然f（x﹣1）＝0有两个根，则f（x﹣1）＝m1必然有一个根，由图象可知，要使f（x﹣1）＝m1有一个根，则需b＜m1，又，所以，∴，解得，∴．故答案为：．二、解答题：本答题共6分，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求a；（2）求cos（B﹣A）的值．【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用正弦定理和三角函数的关系变换求出结果．解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则：a2＝b2+c2﹣2ab cos C＝2+5﹣2＝9，故：a＝3．（2）由于，则：．利用正弦定理：，解得：sin B＝，所以：＝．则：cos（B﹣A）＝cos B cos A+sin B sin A＝．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中．（1）若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若AD∥BC，AD＝2BC，E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD．【分析】（1）推导出AD⊥PB，PB⊥PD，从而PB⊥平面PAD，由此能证明平面PBD ⊥平面PAD．（2）取PD的中点F，连结EF，推导出EF∥AD，且AD＝2EF，AD∥BC，AD＝2BC，从而四边形EFCB是平行四边形，进而BE∥CF，由此能证明BE∥平面PCD．【解答】证明：（1）因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB所以AD⊥PB，又因为PB⊥PD，且AD∩PD＝D，所以PB⊥平面PAD，又因为PB⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD．…………………（2）取PD的中点F，连结EF，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，且AD＝2EF，又因为四边形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD＝2BC，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形EFCB是平行四边形，所以BE∥CF，又CF⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．…………………………………………………………17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且∧PF1F2的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线AP，QF2交于点M．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF2与椭圆交于另一点N，且S＝4S，求点P的坐标．【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当设P（m，n），当m≠﹣1，求得QF2的方程，联立方程组，求得M 点坐标，根据S＝4S，则|y M|＝4|y N|，由与共线，求得N点坐标，代入椭圆方程，即可求得P点坐标．解：（1）因为椭圆的离心率为，△PF1F2的周长为6，设椭圆的焦距为2c．则，解得，a＝2，c＝1，．所以椭圆方程为．（2）设P（m，n），则，且Q（﹣m，﹣n）．所以AP的方程为①若m＝﹣1，则QF2的方程为x＝1 ②由对称性不妨设点P在x轴上方，则，．联立①②，解得，即．PF2的方程为，代入椭圆方程得．所以，不符合条件．若m≠﹣1，则QF2的方程为，即，③联立①③，，所以M（3m+4，3n），因为S＝4S，所以×|AF2|×|y M|＝4××|AF2|×|y N|，即|y M|＝4|y N|，又因为M，N位于x轴异侧，所以．因为P，F2，N三点共线，即与共线．所以，即，所以，又所以，解得，所以．所以点P的坐标为或．18．（16分）如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼AB，CD（AC为楼间距），两楼的楼高分别为am，bm，其中b＞a．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC的中点M处，且满足两个设计要求：①∠BMD＝90°，②楼间距与两楼的楼高之和的比λ∈（0.8，1）．（1）求楼间距AC（结果用a，b表示）；（2）若∠CBD＝45°，设，用k表示λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？【分析】（1）易知，，而∠BMA+∠DMC＝90°，可得tan∠BMA•tan∠DMC＝1，由此得到；（2），利用正切的和角公式可知，即2k3﹣3k2﹣1＝0，构造函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣1，x＞1，利用导数结合零点存在性定理可得1＜k＜2，符合题意，进而作出判断．解：（1）在△ABM中，，在△CDM中，，∵∠BMD＝90°，∴∠BMA+∠DMC＝90°，∴tan∠BMA•tan∠DMC＝1，即c2＝4ab，∴；（2），在△CBD中，过点B作CD的垂线，垂足为E，∴，，∴＝，∴，因为，则，即2k3﹣3k2﹣1＝0，设f（x）＝2x3﹣3x2﹣1，x＞1，∴f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1）＞0，∴函数f（x）单调递增，若λ∈（0.8，1），则，即1＜k＜2，∵f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝3＞0，∴1＜k＜2成立，∴λ∈（0.8，1），∴能满足委托单位的设计要求．19．（16分）已知函数，其中a＞0，b∈R，e为自然对数的底数．（1）若b＝1，x∈[0，+∞），①若函数f（x）单调递增，求实数a的取值范围；②若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．（2）若b＝0，且f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：．【分析】（1）①问题等价于f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即ax≥2a﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立，由此得解；②分及讨论，容易得出结论；（2）解法一：表示出f（x1）+f（x2）＝，令，求导后易证F（x）＜F（1）＝e；令，利用导数可证G（x）＞G（0）＝2，进而得证；解法二：不等式的右边同解法一；由（1）当x≥0时，可得，由此f（x1）+f（x2）＝＝，即得证．解：（1）①因为单调递增，所以对任意x∈[0，+∞）恒成立，即ax≥2a﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴2a﹣1≤0，即；②由①当时，单调递增，故f（x）≥1成立，符合题意；当时，令f'（x）＝0得，∴f（x）在上递减，∴不合题意；综上，实数a的取值范围为；（2）证明：解法一：因为存在两个极值点x1，x2所以有两个不同的解，故△＝4a2﹣4a＞0，又a＞0，所以a＞1，设两根为x1，x2（x1＜x2），则，故0＜x1＜1，，令，因为，所以F（x）在（0，1）上递增，则F（x）＜F（1）＝e；又，令，则，令G'（x）＝0得，又x∈（0，1），则，即，记为x0，则G（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减，又G（0）＝2，G（1）＝2e﹣3＞2，所以G（x）＞G（0）＝2，即，综上：．解法二：不等式的右边同解法一；由（1）当x≥0时，恒成立，所以有当x＞0时，，所以＝．20．（16分）已知数列{a n}满足奇数项{a2n﹣1}成等差，公差为d，偶数项{a2n}成等比，公比为q，且数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2．（1）若S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4．①求数列{a n}的通项公式；②若a m a m+1＝a m+2，求正整数m的值；（2）若d＝1，q＞1，对任意给定的q，是否存在实数λ，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先由S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4⇒d＝2，q＝3；①先对n进行分类（正奇数与正偶数），分别求通项公式，再综合；②先对m进行分类（正奇数与正偶数），利用①求得的通项公式分别求满足题意的m，再综合；（2）分当λ＝0与λ≠0两种情况分别研究，求出λ的取值范围．【解答】解；（1）因为S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4，所以a1+a2+a3＝a4，a9＝a3+a4，即解得d＝2，q＝3．①当n为奇数时，设n＝2k﹣1，则a n＝a2k﹣1＝a1+（k﹣1）d＝2k﹣1＝n，当n为偶数时，设n＝2k，则综上；②当m为奇数时，由a m a m+1＝a m+2⇒，即，当m＝1时，不合题；当m≥3时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；当m为偶数时，a m a m+1＝a m+2⇒m+1＝3，所以m＝2．综上，m＝2；（2）①当λ＝0时，由于各项，所以，所以λ＝0合题；②当λ≠0时，假设对任意n∈N*恒成立，即对任意n∈N*恒成立，所以，令，即对任意n∈N*恒成立先证：lnx＜对任意x＞0恒成立令，则，所以f（x）在（0，4）上递减，在（4，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（4）＝2﹣ln4＞0，即对任意x＞0恒成立，所以，所以，所以当时，q n＞n2，即，解得，所以当且时，这与对任意n∈N*恒成立矛盾，所以当λ≠0时不合题；综上λ的取值范围为{0}．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵，，列向量．（1）求矩阵AB；（2）若，求a，b的值．【分析】（1）根据矩阵的乘法，即可求得AB；（2）根据矩阵乘法计算公式，求得X＝AB，即可求得X，即可求得a和b的值．解：（1）；（2）由，解得＝，又因为，所以a＝28，b＝5．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，进行代换将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方程求出交点即可．解：因为直线l的极坐标方程为所以直线l的普通方程为，又因为曲线C的参数方程为（α为参数）所以曲线C的直角坐标方程为，联立解方程组得或，根据x的范围应舍去，故P点的直角坐标为（0，0）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求P（ξ＝0）的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．【分析】（1）该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，△PAC，△PBD 为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，，，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数n＝＝28种情况，当ξ＝0时有2种，由此能求出P（ξ＝0）．（2）分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝），P（ξ＝）．由此能求出随机变量ξ的分布列和E（ξ）．解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，△PAC，△PBD为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，，，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数n＝＝28种情况，当ξ＝0时有2种，当ξ＝时有3×4+2×4＝20种，当ξ＝时有2+4＝6种．∴P（ξ＝0）＝＝．（2）P（ξ＝0）＝＝．P（ξ＝）＝＝，P（ξ＝）＝＝．随机变量ξ的分布列如下表：ξ0PE（ξ）＝0×+×+×＝．24．给定整数n（n≥3），记f（n）为集合{1，2，…，2n﹣1}的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a）1∈A，2n﹣1∈A；（b）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求f（3）的值；（2）求证：f（100）≤108．【分析】根据定义，分别进行验证即可求出f（3）的值，然后根据条件进行递推，即可得到不等式的结论．解：（1）设集合A⊆{1，2，…23﹣1}，且A满足（a），（b）．则1∈A，7∈A．由于{1，m，7}，（m＝2，3，4，5，6）不满足（b），故A集合的元素个数大于3．又{1，2，3，7}，{1，2，4，7}，{1，2，5，7}，{1，2，6，7}，{1，3，4，7}，{1，3，5，7}，{1，3，6，7}，{1，4，5，7}，{1，4，6，7}，{1，5，6，7}都不满足（b），故A集合的元素个数大于4．而集合{1，2，4，6，7}满足（a），（b），∴f（3）＝5．（2）首先证明f（n+1）≤f（n）+2，n≥3 ①事实上，若A⊆{1，2，…2n﹣1}，满足（a），（b），且A的元素个数为f（n）．令B＝A∪{2n+1﹣2，2n+1﹣1}，由于{2n+1﹣2＞2n﹣1，故|B|＝f（n）+2．又2n+1﹣2＝2（2n﹣1），2n+1﹣1＝1+（2n+1﹣2），所以，集合B⊆{1，2，…，2n+1﹣1}，且B满足（a），（b）．从而f（n+1）≤|B|＝f（n）+2，其次证明：f（2n）≤f（n）+n+1，n≥3 ②事实上，设A⊆{1，2，…2n﹣1}，满足（a），（b），且A的元素个数为f（n）．令B＝A∪{2n+1﹣2，2n+1﹣1…22n﹣1}，由于2（2n﹣1）＜22（2n﹣1）＜⋅⋅⋅＜22n﹣1，所以B⊆{1，2，…22n﹣1}，且|B|＝f（n）+n+1．而2k+1（2n﹣1）＝2k（2n﹣1）+2k（2n﹣1），k＝0，1，2⋅⋅⋅n﹣1，从而B满足（a），（b），于是f（2n）≤|B|＝f（n）+n+1．…由①，②得f（2n+1）≤f（n）+n+1．③反复利用②，③可得f（100）≤f（50）+50+1≤f（25）+25+1+51≤f（12）+12+3+77≤f（6）+6+1+92≤f（3）+3+1+99＝108．。
2020年江苏省无锡市常州高级中学高三数学文模拟试卷含解析
2020年江苏省无锡市常州高级中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为A. 2B. －1C. －1或2D. 0参考答案：B因为函数为幂函数，所以，即，解得或.因为幂函数在，所以，即，所以.选B.2. 已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略3. 对于函数：①，②，③，命题甲：在区间上是增函数；命题乙：在区间上恰有两个零点，且；能使命题甲、乙均为真的函数的序号是( )A．①B．② C．①③ D．①②参考答案：D略4. 如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（?R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则?R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（?R B），∴A∩（?R B）={x|1≤x＜2}，故选B．5. △ABC的三个内角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，若a=2，c=2，tanA+tanB=﹣tanAtanB，则△ABC的面积S△ABC=（）A．B．1 C．D．2参考答案：C【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知结合两角和的正确求得C，利用正弦定理求得A，则B可求，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由tanA+tanB=﹣tanAtanB，得tanA+tanB=（1﹣tanAtanB），∴tan（A+B）=，即tanC=﹣．∵0＜C＜π，∴C=．则sinC=．由正弦定理可得：，得sinA=，∴A=．则B=．∴S△ABC=×=．故选：C．6. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是( )A． B． C．（D）参考答案：C7. 若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为（）A．B．C．D．参考答案：D在第一象限作出幂函数的图象，在内取同一值，作直线，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图，故选D．8. 一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )A．①② B．①③ C．②④ D．③④参考答案：C9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C略10. 已知，向量与垂直，则实数的值为（）A． B．3 C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 是虚数单位，计算=________.参考答案：-112. 某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．参考答案：13. 设定点A(3,0),动点P的坐标满足约束条件,则(O为坐标原点)的最大值为______________.参考答案：414. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为．参考答案：略15. 已知△ABC中，，D为边BC上一点，，，则的值为______.参考答案：【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，记，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可．【详解】解：以原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，∵，记，∴，，，则，，∵，，∴，，∴，，又为边上一点，∴，则，即，又，∴∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．16. 已知满足，且目标函数的最小值是5，则的最大值是____.参考答案：10略17. 若实常数，则不等式的解集为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学答案
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ参考答案2020年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1,12.13.104.0，5.26.71017.8.5129.6410.2211.212.1413.1 217,011714.1,25 1326二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC中，0B ，则sinB 0，因为B3，所以sin1cos21(3)2 6cos B B．…………………………3分33 3在ABC中，A B C ，所以sinC sin((A B))sin(A B)，…………5分33163 6所以sinC sin(B)sin cosB cos sin B ．3332323 6……………………………8分3（2）由余弦定理得b2a22accosB c2，则(2)212c c2，…………10分3所以223103c c ，(c 3)(c )0，……………………………12分3 3因为3c 0，所以c 30，即c 3． (14)分316．（本小题满分14分）证明：（1）取PC，BC的中点E,F，连结ME，EF，FN，三角形PCD中，M，E为PD，PC的中点，所以EM∥CD，1EM CD；三角形ABC中，F，N为BC,AC的中点，2所以FN∥AB，1FN AB，2因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AB CD，高三数学Ⅰ答案第1页（共7页）从而EM∥FN，EM=FN，所以四边形EMNF是平行四边形.……………………4分所以MN∥EF，又EF 平面PBC，MN 平面PBC，所以MN∥平面PBC.……………………………6分（2）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA CD.因为四边形ABCD是矩形，所以AD CD.……………………………8分又因为PA AD A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD 平面PAD.又AM 平面PAD，所以CD AM.……………………………10分因为AP AD，M为PD的中点，所以AM PD，又因为PD CD D，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM 平面PCD．……………………………12分又PC 平面PCD，所以PC AM．……………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）圆A:(x 2)y 1的圆心A(2,0)，半径r 1，与x轴交点坐标为(1,0),(3,0)2 2点F2在圆A:(x 2)2y21上，所以F2(1,0)，从而a 2，c 1，2 2x y所以b a2c222123，所以椭圆C的标准方程为 1.……4分4 3（2）由题，设点M(x1,y1)，0x12,y10；点N(x2,y2)，x20,y20.则AM (x 2,y)，1 1AN (x 2,y)，由2 213AM AN知点A，M，N共线.……5分2直线AM的斜率存在，可设为k（k>0），则直线AM的方程为y k(x 2)，由y k(x 2)，，得(x 2)y 12 21k2x 21k2k 1ky221k，，或1k2x 2，1k2，k 1ky221k所以1k k 1k2 2N(2，)，……………………………7分1k 1k2 2高三数学Ⅰ答案第2页（共7页）8k 2 6 y k(x2)，x，x 2，3 4k2由22，得 (3 4k 2 )x 2 16k 2 x 16k 2 12 0，解得，或，x y1y 012ky 4 323 4k所以 8k6 12k 2M( ， ) ， ……………………………10 分3 4k 34k22代入13AMAN 得28k6 12k 13 1k k 1k222( 2 )( )， ，，3 4k3 4k 21k 1k22223 (4k9)(52k51) 0 ，又 k>0，得 k， ……………………………13 分2223 2 3所以 M ) ，又 F 1(1,0) ，可得直线 F 1M 的斜率为(1,21(1)3 4．…………………14 分 18．（本小题满分 16 分）（图1）（图2）解：（1）在图1中连结AC,BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP，因为ABCD是边长为102cm的正方形，所以OB=10（cm)，x x由FG=x，得OM，PM BM10，……………………………2分2 2x x因为PM OM,即10,所以0x10．……………………………4分2 21x因为S4FG PM2x(10)20x x2，……………………………6分2 2由20x x275，得5≤x15，所以5x10．答：x的取值范围是5x10．……………………………8分高三数学Ⅰ答案第3页（共7页）（2）因为在 RT OMP 中，OM 2 OP PM ，22x x 所以 OP OM)( ) 100 10x ， PM 22(102 22 2 11 1 VFG 2 OP x 100 10x100x10x ，0 x10 ，…………10 分245333 设 f (x) 100x 410x 5 ， 0 x10 ，所以 f (x) 400x 3 50x 450x 3 (8 x) ，令 f(x) 0，得 x 8或x 0 （舍去）．……………………………12 分列表得，x (0，8) 8 (8，10) f'(x) ＋ 0 － f(x)↗极大值↘所以当 x ＝8 时，函数 f (x) 取得极大值，也是最大值， ……………………………14 分128 所以当 x ＝8 时，V 的最大值为35 ．128 答：当 x ＝8 cm 时，包装盒容积 V 最大为35 （cm 3 ）． ………………………16 分19．（本小题满分 16 分） （1）函数 f (x) 的定义域为 (0,) ， 21 f (x) (2ax 2) l n x (ax2x)ax 2(ax 1) l n x 2ax 2 2(ax 1)(l n x 1)，……2 分x 则 f (1) 2(a 1) 2 ，所以 a 0 ， ……………………………3 分此时 f (x) 2xln x1，定义域为 (0,) , f (x) 2(ln x 1)，令f (x)0，解得1x ；令f (x)0，解得e1x ；e高三数学Ⅰ答案第4页（共7页）所以函数f(x)的单调增区间为1(,)，单调减区间为e1(0,)e．…………………6分（2）函数af(x)(ax22x)ln x x21在区间[1,e]上的图象是一条不间断的曲线．2由（1）知f (x)2(ax 1)(l n x 1)，1）当a≥0时，对任意x(1,e)，ax 10,l n x 10，则f (x)0，所以函数f(x)在区a间[1,e]上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)2在区间(1,e)上无零点；……………………………8分2）当a 0时，令f (x)0，得1x 或e1a，其中1e1，1 ①若a ≤，即a ≤1，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]上1a af，且(e)e22e e210 单调递减，由题意得(1)10f a ，解得2 22(2e 1)2a ，其中23e 2(2e 1)3e 4e 22(2e 1)2(1)0，即1，2 23e23e3e所以a的取值范围是2a≤1；……………………………10分1 1②若≥e，即≤a 0，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]a ea上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)在2区间(1,e)上无零点；……………………………12分1 ③若1ea ，即11a ，则对任意e1x (1,)a，f (x)0；所以函数f(x)在区1 间[1,]a 上单调递增，对任意1x (1,]aa，都有f(x)f(1)10成立；2对任意1 1x ，f (x)0，函数f(x)在区间(,e)[,e]上单调递减，由题意得x ，f (x)0，函数f(x)在区间a aa2 2f(e)ae 2e e 10，解得22(2e 1) a，23e其中2(2e 1)13e 4e 2e 22(2e 1) 1 ()0，即()，3e e3e3e3e e 222 22(2e 1)所以a的取值范围是1a ．……………………………15分23e综上可得，实数a的取值范围是2(2e 1)2a ． (16)分23e高三数学Ⅰ答案第5页（共7页）20．（本小题满分16分）解：（1）设等比数列{a}公比为q，由8a=4a=1得8a q2=4a q=1，n321 1解得1a=q=，故121a=.……………………………3分n n22111123112 3（2）|a (a 1)||(1)||()+|=()+.…………5分n n n n n n2422422 411 1n N*，且n≤m时，有≤≤，对任意正整数m，当02m2n 2则(11)2+31+3=1，即|a (a21)|≤1成立，2n244 4n n故对任意正整数m，数列{a}，{a21}是“(m,1)接近的”.…………………8分n nS(b b) 1 （3）由1=n n nb b 2n n 1 ，得到1S(b b)=b b ，且b n，b n10，n n1n n n 12从而b bb b ，于是 110S=n nn n n2()b bn1n.……………………………9分b b当n 1时，S=1 212(b b)2 1 ，b，解得2 21=1b ，当n≥2时，b b b bb S Sn n1n1nn n n 12(b b)2(b b)n1n n n 1，又b 0，n整理得b 1b 12b，所以b n1b n b n b n1，因此数列{b n}为等差数列.n n n又因为b1=1，2=2b，则数列{b}的公差为1，故b n.……………………11分n n根据条件，对于给定正整数m（m≥5），当n N且n≤m时，都有*1(2)|2n(2)|≤成立，|b k|n k Lnan即L2n n2≤k≤L2n n2①对n1,2,3,m都成立.…………12分考察函数f(x)2x x2，f(x)2x ln22x，令g(x)2x ln22x，高三数学Ⅰ答案第6页（共7页）则g(x)2x(ln2)22，当x>5时，g(x)0，所以g(x)在[5,)上是增函数.又因为g(5)25ln2100，所以当x 5时，g(x)0，即f (x)0，所以f(x)在[5,)上是增函数.注意到f(1)=1，f(2)f(4)0，f(3)1，f(5)7，故当n 1,2,3,m时，L 2n n2的最大值为L 2m m2，L 2n n的最小值为L 1.……………………………14分2欲使满足①的实数k存在，必有L 2m m2≤L 1，即2m m 12L≥，2因此L的最小值2 1m m22，此时k2 1m m2.……………………………16分2高三数学Ⅰ答案第7页（共7页）常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题）参考答案2020 年 1 月21．【选做题】在 A 、B 、C 三 小 题 中 只．能．选．做．两．题．， 每 小 题 10 分，共计 20 分．A ．解：（1） A 13221 1 2． ……………………………4 分 （2）点 (a,b) 在矩阵 1 3 A 2 4 对应的变换作用下得到点 (4,6) ，所以 a 4A b 6， …6 分 所以3 2 a4 2 4 1A1b 6 1 6 112， ……………………………8 分 所以 a 1,b 1，得 a b 2 ．……………………………10 分B ．解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是 ρ 2r cos θ ． ππ又因为点 P(2 3, ) 在圆上，所以 2 32rcos ，解得 r2 .66因此所求圆的极坐标方程是 ρ 4cos θ . ……………………………10分C ．解：函数 yx 2 x 6x 1的定义域为[0,)， x 1 0. (2)分x 2x 6(x 1)4(x 1)9992(x 1)4≥2(x 1)4 2，x 1x 1x 1x 1当且仅当x 19，即x 4时取到“=”.……………………………8分x 1所以当x 4时，函数yx 2x6x 1的最小值为2.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A，则A表示“取出的3个样品3343343657中没有优等品”，P A，所以(10.3)P A 1P A 1，……3分100010001000答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000.……………………………4分（2）X B(3,0.3)，P(X k)C k0.3k (10.3)3k，k 0，1，2，3，…………………………6分3随机变量X的分布如下表：高三数学Ⅱ答案第1页（共2页）X012 3P343100044110001891000271000……………………………8分343441189279E(X)0123．1000100010001000109答：随机变量X的数学期望是10.……………………………10分23．解（1）A1t|t a13a0,其中a i A,i 0,14,5,7,8，所以A中所有元素的和为24；集合1 A中元素的个数为2n1.…………………………2分n（2）取s l 2n，下面用数学归纳法进行证明.①当n 2时，A213,14,16,17，22,23,25,26，……………………………3分取b113,b217,b323,b425,c114,c216,c322,c426，有b1b2b3b4c1c2c3c478，且12223242122232421612b b b bc c c c成立.…4分222 2k k k k22 ②假设当n k，k N*且k≥2时，结论成立，有b c，且b c成立.i i i ii1i1i1i 1当n k 1时，取B b b b c c c，231,31,,231,231,231,,2231k k k1121 2k k k k k kC c c c b b b，23,3,,23,23,23,,22 3k1k1k1k1k1k 1 k112k12k此时B，C无公共元素，且2k2k1 1 B2C2A (6)分k1k1k 1有222 2k k k kk1k1k1k 1 (b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，且i i i ii1i1i1i 122222 2k k k k k k(b 3k1)2(c 23k1)2b2c223k1b 43k1c 2k[(3k1)2(23k1)2]，i i i i i ii1i1i1i1i1i 122222 2k k k k k k(c 3)(b 23)c b 23c 43b 2[(3)(23)]，k12k1222k1k1k k12k1 2 ii i i i ii1i1i1i1i1i 1由归纳假设知2 2k kb c，且i ii1i 12 2k k2 2b c，所以i ii1i 1222 2k k k k(b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，k12k12k12k1 2 ii i ii1i1i1i 1即当n k 1时也成立；……………………………9分综上可得：能将集合A，n≥2分成两个没有公共元素的子集B b1,b2,b3,,b 和n s sC c1,c2,c3,,c，s,l N*，使得b2b2b2c2c2c2成立.………10分1212l ls l高三数学Ⅱ答案第2页（共2页）。
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)
直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
2020届江苏省常州市高三上学期期末数学试题(解析版)
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题一第14题）、解答题（第15题一第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式： 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x =>，则A B =I ______. 【答案】{}1,1-【解析】【分析】求出集合B ，即可得出A B I【详解】∵集合{}2|0B x x =>∴集合{}|0B x x =≠∵集合{}1,0,1A =-∴{}1,1A B ⋂=-故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数z 满足1z i i ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的实部为______. 【答案】-1【解析】【分析】设z a bi =+，再代入已知等式中计算解得a ，b 的值，即可求出z 的实部.【详解】设z a bi =+∵1z i i ⋅=-∴()1a bi i i +⋅=-∴1b ai i -+=-∴1b =-，1a =-故答案为：1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.下图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是______.【答案】10【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】经过第一次循环得到结果为1S =，3i =此时不满足判断框的条件；经过第二次循环得到结果为21310S =+=，5i =此时满足判断框的条件.执行输出S ，即输出10．故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．4.函数()f x =________．【答案】[)0,+∞【解析】【分析】由题意得210x -≥，解不等式求出x 的范围后可得函数的定义域．【详解】由题意得210x -≥，解得0x ≥，∴函数()f x 的定义域为[)0,+∞．故答案为[)0,+∞．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果．5.已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是______.【答案】2【解析】【分析】先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可.【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为1718192021195x ++++== ∴该组数据的方差为：()()()()222221719181902019211925S -+-++-+-==故答案为：2.【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______. 【答案】710【解析】分析】先求出基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率． 【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=. ∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知函数()231,01,0x x x x f x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩，则()()8f f =______. 【答案】15- 【解析】【分析】先求出()23884f =-=-,则()()()84ff f =-，由此能求出答案.【详解】 ∵函数()231,01,0x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩ 【∴()23884f =-=-∴()()()1184415f f f =-==--- 故答案为： 15-.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈取得最大值时自变量x 的值为______. 【答案】12π【解析】【分析】 令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈，再根据[]0,x π∈，即可确定自变量x 的值. 【详解】令()2232x k k Z πππ+=+∈，解得()12x k k Z ππ=+∈. ∵[]0,x π∈ ∴12x π= 故答案为：12π.【点睛】本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a =______.【答案】64【解析】【分析】根据题意设等比数列{}n a 的公比为q ，再根据24a ，32a ，4a 成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q 的值，从而可求出17a a 的值.【详解】设等比数列的公比为()0q q ≠.∵24a ，32a ，4a 成等差数列24344a a a +=∴3211144a q a q a q +=∴∵11a =∴3244q q q +=∵0q ≠∴2q =∴266171264a a a q ===故答案为：64.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 10.已知cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=tan2α=______.【答案】-【解析】【分析】利用诱导公式化简三角函数式求得tan α的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果．【详解】∵sin tan co cos 2cos s πααααα=⎛⎫- ⎪⎝==⎭∴22tan tan 21tan 1ααα===---故答案：-.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题．11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2=OB a ，则C 的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】求出右顶点A ，以及双曲线的渐近线方程，令x a =，求得B 的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值．【详解】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ∴(,0)A a ，且双曲线的渐近线方程为b y x a=± 根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为0bx ay -=.∵过点A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B∴(,)B a b∵2=OB a∴2OB c a === ∴2c e a== 故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为______.【答案】14【解析】【分析】由对数的运算性质可得(2)(2)1a b --=，2b >，再把4a b +转化为14(2)102b b +-+-，借助于基本不等式即可求解.【详解】∵函数()()lg 2f x x =-，互不相等的实数a ，b 满足()()f a f b =∴()()lg 2lg 2a b -=-，即()()lg 2lg 20a b -+-=，且2b >.∴(2)(2)1a b --= ∴122a b =+-∴114424(2)10101422a b b b b b +=++=+-+≥=--，当且仅当52b =时取等号. ∴4a b +的最小值为14.故答案为：14.【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】111,22⎡⎤⎡⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】根据题意，求得圆C 的圆心与半径，求出以点()0,1为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点()0,1的距离为2，则圆C 与圆()2214x y +-=有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】∵圆C ：22222210x ax y ay a -+-+-=∴()()221x a y a -+-=，其圆心(),C a a ，半径1r =. ∵点P 到点()0,1的距离为2∴P 点的轨迹为:22(1)4x y +-=∵P 又在22()()1x a y a -+-=上∴圆C 与圆()2214x y +-=有交点，即2121-≤+.∴102a ≤≤或112a +≤≤∴实数a 的取值范围是11,01,22⎡⎤⎡+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r ，且对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，则cos ABC ∠=______.【解析】【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r . 设2AD t =，则3AC t =.∵AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r∴对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=，如图所示. ∵3A π∠=∴24AB AD t ==，BD ==∴BC ==.∴222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，cos 3B =. （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若b =c 的值.【答案】（1）36+（2）c =【解析】【分析】（1）在ABC ∆中，sin 0B >，可得sin B 再根据()sin sin sin 3C A B B π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，即可求出sin C ；（2）由余弦定理可得：2222cos b a ac B c =-+，即可推出(0c c ⎛= ⎝⎭，从而求得c 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，0B π<<，则sin 0B >，因为cos B =sin 3B ===.在ABC ∆中，A B C π++=，所以()()()sin sin sin C A B A B π=-+=+，所以sin sin sin cos cos sin 333C B B B πππ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭12==（2）由余弦定理得2222cos b a ac B c =-+，则22123c c =-⋅+，所以210c -=，(0c c ⎛= ⎝⎭，因为03c +>，所以0c =，即c =. 【点睛】本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点.求证：（1）//MN 平面PBC ； （2）PC AM ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，利用三角形的中位线性质可证//EM FN ，EM FN =，可证四边形EMNF 是平行四边形，可证//MN EF ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//MN 平面PBC ；（2）利用线面垂直的性质可证PA CD ⊥，又AD CD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证CD ⊥平面PAD ，可证CD AM ⊥，又证AM PD ⊥，利用线面垂直的判定定理可证AM ⊥平面PCD ，进而利用线面垂直的性质可证PC AM ⊥．【详解】证明：（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 三角形PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点，所以//EM CD ，12EM CD =；三角形ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点，所以//FN AB ，12FN AB =，因为四边形ABCD 是矩形，所以//AB CD ，AB CD =， 从而//EM FN ，EM FN =，所以四边形EMNF 是平行四边形.所以//MN EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又因为PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为AP AD =，M 为PD 的中点，所以AM PD ⊥， 又因为PD CD D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD .又PC ⊂平面PCD ，所以PC AM ⊥.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM AN =u u u u r u u ur ，求直线1F M 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）34-【解析】 【分析】（1）由题意知a ，c 的值，及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）设M ，N 的坐标，设直线AM 的方程，由向量的关系可得A ，M ，N 三点关系，直线AM 与圆联立求出N 的坐标，直线与椭圆联立求出M 的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线1F M 的斜率． 【详解】（1）圆A ：()2221x y -+=的圆心()2,0A ，半径1r =，与x 轴交点坐标为()1,0，()3,0，点2F 在圆A ：()2221x y -+=上，所以()21,0F ，从而2a =，1c =，所以b ===C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题，设点()11,M x y ，102x <<，10y <；点()22,N x y ，20x >，20y >.则()112,AM x y =-u u u u r ，()222,AN x y =-u u u r ，由2AM AN =-u u u u r u u ur 知点A ，M ，N 共线.直线AM 的斜率存在，可设为()0k k >，则直线AM 的方程为()2y k x =-，由()()22221y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得221x k y ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，或221x k y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，所以22211N k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭， 由()222143y k x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +-+-=，解得20x y =⎧⎨=⎩，或22286341234k x k ky k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以2228612,3434k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，代入2AM AN =-u u u u r u u u r得2222286122,3434211k k k k k k ⎫⎛⎫---=-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， ()()224952510kk -+=，又0k >，得32k =，所以31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()11,0F -，可得直线1F M 的斜率为()332114-=---. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．18.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥P EFGH -的底面边长为()x cm .（1）若要求包装盒侧面积S 不小于275cm ，求x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积()3V cm最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.【答案】（1）510x ≤<（2）当8x cm =时，包装盒容积V 最大)3cm 【解析】 【分析】（1）结合已知可建立侧面积关于FG x =的函数关系，然后由侧面积S 不小于275cm ，可建立关于x 的不等式，即可求得x 的取值范围； （2）先利用x 表示出()3V cm的函数关系，结合导数可求其最大值．【详解】（1）在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP ，因为ABCD 是边长为的正方形，所以()10OB cm =，由FG x =，得2x OM =，102xPM BM ==-， 因为PM OM >，即1022x x->，所以010x <<.因为2142102022x S FG PM x x x ⎛⎫=⨯⋅=-=- ⎪⎝⎭，由22075x x -≥，得515x ≤≤，所以510x ≤<. 答：x 的取值范围是510x ≤<.（2）因为在Rt OMP ∆中，222OM OP PM +=，所以OP ===21133V FG OP x =⋅==010x <<，设()4510010x f x x =-，010x <<，所以()()3434005050'8x x x f x x =-=-，令()'0f x =，得8x =或0x =（舍去）. 列表得，所以当8x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以当8x =时，V .答：当8x cm =时，包装盒容积V 最大为()33cm . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 19.已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数， 2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<- 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x ax f xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e+-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立； 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20.设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当*n N ∈且m n ≤时，都有n n A B L -≤，则称数列{}n A ，{}n B 是“(),m L 接近的”.已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且()1112n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”；（3）给定正整数()5m m ≥，数列1n a 禳镲睚镲铪，{}2n b k +（其中k ∈R ）是“(),m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）.（参考数据：ln 20.69≈）【答案】（1）12n n a =（2）证明见解析（3）L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==，可求得首项和公比，进而求得通项；（2）只需证明()211n n a a -+≤成立，即可得证；（3）由题设可求得n b n =，根据定义进而得到2222n n L n k L n ≤-+-≤+-对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立，再构造函数求解即可．【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==得211841a q a q ==，解得112a q ==，故12n n a =. （2）()2111124n n n n a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22113113224224n n ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对任意正整数m ，当*n N ∈，且m n ≤时，有1110222m n <≤≤， 则211313122444n ⎛⎫-+<+= ⎪⎝⎭，即()211n n a a -+≤成立，故对任意正整数m ，数列{}n a ，{}21n a +是“(),1m 接近的”.（3）由()1112n n n n n S b b b b ++-=，得到()1112n n n n n S b b b b ++-=，且1,0n n b b +≠，从而10n n b b +-≠，于是()112n n n n n b b S b b ++=-.当1n =时，()121212b b S b b =-，11b =，解得22b =，当2n ≥时，()()1111122n n n nn n n n n n n b b b b b S S b b b b +--+-=-=---，又0n b ≠，整理得112n n n b b b +-+=，所以11n n n n b b b b +--=-，因此数列{}n b 为等差数列. 又因为11b =，22b =，则数列{}n b 的公差为1，故n b n =.根据条件，对于给定正整数()5m m ≥，当*n N ∈且m n ≤时，都有()()2212n n nb k n k L a -+=-+≤成立， 即2222n n L n k L n ≤-+-≤+-①对1,2,3,n m =⋅⋅⋅都成立.考察函数()22xf x x =-，()'2ln 22x f x x =-，令()2ln 22xg x x =-，则()()2'2ln 22x g x =-，当5x >时，()'0g x >，所以()g x 在[)5,+∞上是增函数.又因为()552ln 2100g =->，所以当5x >时，()0g x >，即()'0f x >，所以()f x 在[)5,+∞上是增函数.注意到()11f =，()()240f f ==，()31f =-，()57f =， 故当1,2,3,n m =⋅⋅⋅时，22n L n -+-的最大值为22m L m -+-，22n L n +-的最小值为1L -.欲使满足①的实数k 存在，必有221mL m L --≤+-，即2212m m L -+≥，因此L 的最小值2212m m --，此时2212m m k --=. 【点睛】本题考查数列与函数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A 、B 、C 三个小题供选做，每位考生在3个选做题中选答2题.若考生选做了3题，则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分，共40分.考试时间30分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21.已知点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6. （1）写出矩阵A 的逆矩阵； （2）求+a b 的值.【答案】（1）1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（2）2a b += 【解析】 【分析】（1）设矩阵A 的逆矩阵为11111a cd b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，列方程求出A 的逆矩阵； （2）根据题意可得 46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得出146a A b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而求出a ，b 的值和+a b 的值. 【详解】（1）设阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为11111a c d b A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11001A A -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦. ∴111111113130240241a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得1111232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩∴1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.（2）点(),a b 在矩阵1324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点()4,6，所以46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 1a =，1b =，得2a b +=.所以1324412616112a A b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 所以1a =，1b =，得2a b +=.【点睛】本题考查了矩阵的逆矩阵和矩阵变换问题，也考查了计算求解能力，是中档题． 22.求圆心在极轴上，且过极点与点6P π⎛⎫⎪⎝⎭的圆的极坐标方程. 【答案】4cos ρθ= 【解析】 【分析】设圆的极坐标方程是2cos r ρθ=，根据点6P π⎛⎫⎪⎝⎭在圆上，解得r 的值，从而求得圆的极坐标方程. 【详解】因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是2cos r ρθ=.又因为点6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆上，所以2cos 6r π=，解得2r =.因此所求圆极坐标方程是4cos ρθ=.【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程的求法，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.求函数y =的最小值.【答案】最小值为2. 【解析】 【分析】先求出函数y =的定义域，再将函数化简到)14y =+，然后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】函数y =的定义域为[)0,+∞10>.21419-+=)1442=+-≥=， 1=，即4x =时取到“=”.所以当4x =时，函数y =的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.24.批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数.（1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X . 【答案】（1）6571000（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，()()334310.31000P A =-=，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的3个样品中有优等品的概率；（2）()3,0.3X B :，写出随机变量X 的分布列，即可求得数学期望()E X .【详解】（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，()()334310.31000P A =-=，所以()()3436571110001000P A P A =-=-=，答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000. （2）()3,0.3X B :，()()330.310.3kkk P X k C -==-，0,1,2,3k =，随机变量X 的分布如下表：()3434411892790123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 25.设集合{}1,2A =，{}1110|333,0,1,,2,,nn n n n i A t t a a a a a A i n --==⋅+⋅++⋅+∈=L L 其中，*n N ∈.（1）求1A 中所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数； （2）求证：能将集合()*2,n A n n N≥∈分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,ssB b b b b =L 和{}123,,,,l l C c c c c =L ，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++L L 成立.【答案】（1）1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出1A ，代入即可；（2）利用数学归纳法证明，当2n =时，显然成立，假设2n k =≥，*k N ∈时，结论成立，即2121k kiii i b c ===∑∑，且212221kki i i ib c===∑∑，当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，证明即可.【详解】（1）{}110|3,,0,1i A t t a a a A i ==⋅+∈=其中{}4,5,7,8=， 所以1A 中所有元素的和为24；集合n A 中元素的个数为12n +. （2）取2n s l ==，下面用数学归纳法进行证明. ①当2n =时，{}213,14,16,17,22,23,25,26A =，取113b =，217b =，323b =，425b =，114c =，216c =，322c =，426c =，有1234123478b b b b c c c c +++=+++=，且22222222123412341612b b b b c c c c +++=+++=成立.②假设当n k =，*k N ∈且2k ≥时，结论成立，有2121k k iii i b c ===∑∑，且212221k kii i ib c===∑∑成立.当1n k =+时，取{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k B b b b c c c +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，{}111111112122223,3,,3,23,23,,23k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++++⋅+⋅+⋅L L ，此时12k B +，12k C +无公共元素，且11122k k k B C A +++=U . 有()()221111323k k k k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()221111323k kk k iii i c b ++===+++⋅∑∑，且()()22221111323kkk k iii i b c ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkkk k kk k iii i i i i i b c b c ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑， ()()22221111323kkk k iii i c b ++==+++⋅∑∑()()222222221111111123432323kkkkk k kk k iii i i i i i c b c b ++++====⎡⎤=++⋅+⋅++⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑， 由归纳假设知2121kki i i i b c ===∑∑，且212221kkii i i b c ===∑∑，所以()()()()2222222211111111323323kkkkk k k k i i i i i i i i b c c b ++++====+++⋅=+++⋅∑∑∑∑，即当1n k =+时也成立；综上可得：能将集合n A ，2n ≥分成两个没有公共元素的子集{}123,,,,s s B b b b b =L 和{}123,,,,l l C c c c c =L ，*,s l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c +++=+++L L 成立. 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是：（1）验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。
【数学】常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学及答案
3
3
……………………………12 分
因为 c
3 3
0
，所以
c
3 0 ，即 c
3．
……………………………14 分
16．（本小题满分 14 分） 证明：（1）取 PC ， BC 的中点 E, F ，连结 ME，EF，FN，
三角形 PCD 中，M，E 为 PD ， PC 的中点，所以 EM ∥CD ，
（1） MN / / 平面 PBC ； （2） PC AM .
17.
如图，在平面直角坐标系
xOy 中，椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左右焦点分别为 F1, F2 ，
椭圆右顶点为 A ，点 F2 在圆 (x 2)2 y2 1 上。
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 点 M 在椭圆 C 上，且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，已知
则 AM (x1 2, y1) ， AN (x2 2, y2 ) ，由 AM
13
AN
知点
A，M，N
共线.
……5
分
2
直线 AM 的斜率存在，可设为 k（k>0），则直线 AM 的方程为 y k(x 2) ，
由
(
y k( x 2)2
x 2)， y2 1
，得
x
y
2
1 k2 1 k2
常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ参考答案 2020 年 1 月
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1. 1,1
2. 1 3.10
4. 0，
5.2
7 6. 10
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2020届高三模拟考试试卷(五)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x －)2，其中x －＝1nx i .一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．(第3题)1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．4. 函数y ＝2x －1的定义域是________．5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1x －1，x ≤0，－x 23，x ＞0，则f(f(8))＝________．8. 函数y ＝3sin(2x ＋π3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________．9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________．10. 已知cos （π2－α）cos α＝2，则tan 2α＝________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________．12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB →|恒成立，则cos ∠ABC ＝________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33. (1) 若A ＝π3，求sin C 的值；(2) 若b ＝2，求c 的值．16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →＝－132AN →，求直线F 1M 的斜率．请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．已知函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋a2x2＋1(a∈R)．(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e ≈2.718 28…)设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n －B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，n ∈N *.(1) 求数列{a n }通项公式；(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”；(3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)2020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-2：矩阵与变换)已知点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4对应的变换作用下得到点(4，6)．(1) 写出矩阵A 的逆矩阵； (2) 求a ＋b 的值．B. (选修4-4：坐标系与参数方程)求圆心在极轴上，且过极点与点P(23，π6)的圆的极坐标方程．C. (选修4-5：不等式选讲) 求函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数．(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23. 设集合A＝{1，2}，A n＝{t|t＝a n·3n＋a n－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1，2，…，n}，n∈N*.(1) 求A1中所有元素的和，并写出集合A n中元素的个数；(2) 求证：能将集合A n(n≥2，n∈N*)分成两个没有公共元素的子集B s＝{b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1. {－1，1}2. －13. 104. [0，＋∞)5. 26. 7107. －15 8. π129. 64 10. －22 11. 2 12. 14 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 14. 5132615. 解：(1) 在△ABC 中，0＜B ＜π，则sin B ＞0.因为cos B ＝33，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－（33）2＝63.(3分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)，(5分) 所以sin C ＝sin(π3＋B)＝sin π3cos B ＋cos π3sin B ＝32×33＋12×63＝3＋66.(8分)(2) 由余弦定理得b 2＝a 2－2accos B ＋c 2，则(2)2＝1－2c·33＋c 2，(10分)所以c 2－233c －1＝0，(c －3)(c ＋33)＝0.(12分)因为c ＋33＞0，所以c －3＝0，即c ＝ 3.(14分) 16.证明：(1) 取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ， 在三角形PCD 中，点M ，E 为PD ，PC 的中点， 所以EM ∥CD ，EM ＝12CD.在三角形ABC 中，点F ，N 为BC ，AC 的中点， 所以FN ∥AB ，FN ＝12AB.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，AB ＝CD ，从而EM ∥FN ，EM ＝FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形．(4分)所以MN ∥EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面 PBC.(6分) (2) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.(8分)因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD. 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM.(10分)因为AP ＝AD ，点M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD. 因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD.(12分)又PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AM.(14分)17. 解：(1) 圆A ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心A(2，0)，半径r ＝1，与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)．点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上，所以F 2(1，0)，从而a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝22－12＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由题可设点M(x 1，y 1)，0＜x 1＜2，y 1＜0，点N(x 2，y 2)，x 2＞0，y 2＞0， 则AM →＝(x 1－2，y 1)，AN →＝(x 2－2，y 2)． 由AM →＝－132AN →知，点A ，M ，N 共线．(5分)由题知直线AM 的斜率存在，可设为k(k ＞0)，则直线AM 的方程为y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），（x －2）2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋1＋k 21＋k 2，y ＝k 1＋k 21＋k 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1＋k 21＋k 2，y ＝－k 1＋k21＋k 2，所以N(2＋1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)．(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－63＋4k 2，y ＝－12k 3＋4k2，所以M(8k 2－63＋4k 2，－12k3＋4k 2)．(10分)代入AM →＝－132AN →得(8k 2－63＋4k 2－2，－12k 3＋4k 2)＝－132(1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)，即(4k 2－9)(52k 2＋51)＝0，又k ＞0，解得k ＝32，(13分)所以M(1，－32)，又F 1(－1，0)，可得直线F 1M 的斜率为－321－（－1）＝－34.(14分)18. 解：(1) 在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP.因为ABCD 是边长为10 2 cm 的正方形，所以OB ＝10(cm)． 由FG ＝x ，得OM ＝x 2，PM ＝BM ＝10－x2.(2分)因为PM ＞OM ，即10－x 2＞x2，所以0＜x ＜10.(4分)。