欧拉定理
欧拉定理简单解释
欧拉定理简单解释
欧拉定理是一个重要的数学定理，它表述了在数学上某些特定的数之间存在着一种特殊的关系。
简单来说，欧拉定理以指数和三角函数为基础，它表明了复数可以用指数形式表示，并通过欧拉公式将复数与三角函数联系起来。
具体而言，欧拉定理可以表示为如下公式：e^(iθ) = cosθ +
isinθ。
其中，e表示自然对数的底数，i表示虚数单位，θ表示
任意一个角度。
这个公式表明，一个复数可以表示为一个指数函数中的e的幂次方。
欧拉定理的意义在于，它提供了一种统一的数学描述方式，使得指数函数、三角函数和复数之间的关系更加清晰明了。
通过欧拉定理，我们可以使用更简洁的指数形式来描述复数的运算，而无需过多地依赖于三角函数。
欧拉定理在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在处理振动、波动、信号处理等问题时非常有用。
它为我们提供了一种更方便的数学工具，使得复杂数学计算变得更加简单高效。
欧拉定理最简公式
欧拉定理最简公式
欧拉定理是数学中一个重要的定理，它指出了一个多边形的内角和外角之和等于360度。
它是由18世纪瑞士数学家莱布尼茨提出的，他是第一个提出这个定理的人。
欧拉定理的最简公式是：内角和 = 180° × (n - 2)，其中n是多边形的边数。
这个公式表明，如果一个多边形有n条边，那么它的内角和就是180° × (n - 2)。
欧拉定理的应用非常广泛，它可以用来解决许多数学问题，比如求解多边形的内角和、外
角和、边长等。
它还可以用来解决几何问题，比如求解多边形的面积、周长等。
欧拉定理的最简公式是一个非常有用的公式，它可以帮助我们快速解决许多数学和几何问题。
它的应用范围也非常广泛，可以用来解决许多复杂的数学问题。
欧拉公式原理
欧拉公式原理
复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes 首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
欧拉公式的证明
由此：，，然后采用两式相加减的方法得到：
，
.这两个也叫做欧拉公式。
将
中的x取作π就得到：
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
欧拉的定理
欧拉定理是数学中的一个重要定理，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
在数论中，欧拉定理是关于同余的性质，也称为费马-欧拉定理或欧拉函数定理。
复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。
具体来说，对于任何自然数n和实数x，有φ(n)=n(1−1/2+1/3−1/4+1/5−...+(-1)^(r)(r+1)/r)，其中φ(n)表示欧拉函数，即小于n且与n互质的正整数的个数。
这个公式可以用来计算φ(n)的值。
此外，在平面几何中，欧拉定理表述的是给定一个简单多边形的顶点数和边数时，其内部点的数目等于边数和顶点数之差加二再除以二。
这个定理可以用于计算多边形的内角和、外角和等。
此外，还有多面体欧拉定理，它表述的是在任意一个凸多面体中，顶点数、棱边数和面数之间存在一个恒定的关系，即顶点数-棱边数+面数=2。
这个定理可以用于计算多面体的各种性质，如外角和、内角和等。
在组合数学中，欧拉定理可以用于求解一些组合问题，例如计算组合数的性质和公式。
在图论中，欧拉定理可以用于求解图的边数和顶点数之间的恒定关系。
此外，欧拉定理还可以用于求解一些物理问题，例如弹性力学和流体动力学中的问题。
在经济学中，欧拉定理可以用于求解一些最优化的数学问题，例如最优价格设置和资源分配等问题。
此外，欧拉定理还有一些有趣的延申和推广。
例如，在复数域中，欧拉定理可以推广为欧拉公式，即e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中i是虚数单位。
这个公式可以用于求解一些复数问题，例如求解复数函数的积分和微分等。
另外，欧拉定理还可以推广到一些更复杂的数学结构和物理现象中，例如量子力学和相对论中的时空结构。
在这些领域中，欧拉定理的一些性质和结论可以用于描述和解释一些非常抽象和复杂的现象和规律。
总之，欧拉定理是一个非常重要的数学定理，具有广泛的应用价值，同时也有很多有趣的延申和推广。
无论是在数学还是物理等领域中，欧拉定理都是一个重要的工具，可以帮助我们求解一些复杂的问题和探索一些抽象的规律。
欧拉定理euler_theory
王洛轩 2011 年 8 月 19 日
定理 在完全竞争条件下，如果规模报酬不变，则全部产品正好足够分配给 各个生产要素，不多也不少。这一答案被称为产量分配净尽定理。可以用 数学上的欧拉定理加以证明，所以，它也被称为欧拉定理。
若生产函数 Q = f (K, L) 为线性齐次函数函数，则
∂Q ∂Q K +L =Q
函数。
现在设法用新的函数 φ(k) 及其导数 φ′(k) 来表示劳动及资本的边际产
品：
1
2
∂Q = ∂[L · φ(k)] = φ(k) + L · dφ(k) · dk = φ(k) + L · φ′(k) · dk∂L∂Ldk dLdL
=
φ(k)
+
L
·
φ′(k)
·
(−
K L2
)
=
φ(k)
−
k
·
或
∂K ∂L
证明 设生产函数为：
K · M PK + L · M PL = Q。
Q = f (K, L)
由于假定该函数为线性齐次函数（即规模报酬不变），故如果对函数中
每一自变量均乘以
1 L
，则有：
Q LK = f ( , = f (1, k) = φ(k)
L LL
（k = K ） L
式中，k 为资本 –劳动比率或人均资本，人均产量 Q/L 是人均资本 k 的
φ′(k)
∂Q
=
∂[L · φ(k)]
∂φ(k) =L·
=L·
dφ(k) ·
dk
∂K
∂K
∂K
dk dK
= L · φ′(k) · 1 = φ′(k) L
平面几何中的欧拉定理
平面几何中的欧拉定理欧拉定理是数学中的一个重要定理，它与平面图中的顶点、边和面数量之间的关系有关。
欧拉定理可以描述为：对于任何一个连通的，没有边重叠的简单平面图，该图的顶点数、边数和面数满足一个简单的关系式：顶点数加上面数等于边数加二。
我们知道，平面图是由顶点、边和面组成的，这里的平面图指的是能够画在平面上的图形，不会有边重叠的图形。
顶点是图形的交点，边是连接顶点的线段，面是由边界线所围成的区域。
首先，我们来看一个简单的例子。
考虑一个正方形，它有4个顶点，4条边和一个面。
根据欧拉定理，顶点数加上面数等于边数加二，即4+1=4+2，等式成立。
这个例子很容易理解，但是对于更复杂的图形，欧拉定理依然成立。
接下来，我们来证明欧拉定理。
首先，我们考虑一个连通的简单平面图。
在这个图中，每一条边都是连接两个顶点的，而且没有两条边会在同一个顶点相交或重叠。
这是因为，如果有两条边在同一个点相交，那么这两条边将构成一个封闭的圈，违背了平面图的定义。
另外，平面图中每个面都是由边界线所围成的，面不会有交叉或重叠。
在这个连通的简单平面图中，我们可以使用归纳法来证明欧拉定理。
当图形中只有一个面时，顶点数加上面数等于边数加二的等式成立。
假设对于具有k个面的连通简单平面图，等式也成立。
现在我们考虑一个具有k+1个面的连通简单平面图G。
假设我们找到了一个面，它的边界线是一条最短的环。
我们将这个面划分为两个面，通过从这个环中选择一条边来划分。
此时，原来的图形G将被分割为两个图形G1和G2，分别具有m个面和n个面（其中m+n=k）。
根据归纳假设，对于G1和G2，等式顶点数加上面数等于边数加二成立。
现在，我们来分析划分后的图形G1和G2之间的边界线。
当我们划分一个面时，边界线就会增加一条边。
所以，在图形G1和G2中，边的总数是原来图形G的边数加一。
假设G1的顶点数为p1，G2的顶点数为p2，那么原来图形G的顶点数就是p1+p2-2（因为划分一个面会增加一个顶点）。
欧拉定理
4．提出多面体分类方法：
在欧拉公式中， f (p)=V+F-E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的 表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面 体的欧拉示性数为0。
数论定理
内容
证明
应用
设，且，则我们有: 其中称为对模缩系的元素个数。 此外，对模的阶必整除。
欧拉定理的证明取模的缩系,则也是模的缩系. 故有 特别地，当时，该结论加强为费马小定理.
首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4， 所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。
证明应用
利用几何画板
公式应用
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、 E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα 一方面，在原图中利用各面求内角总和。
欧拉定理
欧拉定理在数学和许多分支中可以看到以欧拉命名的许多常数，公式和定理。
在数论中，Euler定理（也称为Fermat Euler定理或Euler 函数定理）是关于同余的性质。
欧拉定理以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名，被认为是数学界最精彩的定理之一。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。
此外，在平面几何中有欧拉定理，在多面体上有欧拉定理（在凸多面体中，顶点数-边数+面数= 2，即V-E + F = 2）。
在西方经济学中，欧拉定理也称为产出分配的净耗竭定理，这意味着在完全竞争的条件下，假设规模收益长期保持不变，则所有产品都足以分配给每个产品因子。
还有欧拉公式。
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:证明将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）我们考虑这么一些数：m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。
但是a与n互质，a 与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。
也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。
2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。
(因为a*xi=pn+qr=r(……)，说明a*xi含有因子r，又因为前面假设n 含有因子r，所以a*xi和n含有公因子r，因此a*xi与n不互质)那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3......xφ(n))≡x1*x2*x3......xφ(n)(mod n) 或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3 (x)φ(n)。
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欧拉定理认识欧拉欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。
欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。
对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。
欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。
V+F-E 即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。
那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......初等数论中的欧拉定理定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(m od n),...,a*xφ(n)(mod n)}则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) ×a*x2(mod n) ×... ×a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 ×x2 ×... ×xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 ×x2 ×... ×xφ(n)）(mod n)而x1 ×x2 ×... ×xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)平面几何里的欧拉定理定理内容设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2= R^2-2Rr．证明O、I分别为⊿ABC的外心与内心．连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．拓扑学里的欧拉公式V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P) =2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
V+F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。
因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V +F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。
依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。
剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα= [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度=(2E-2F) ·180度= (E-F) ·360度（1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n 个顶点在边上，V-n个顶点在中间。
中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。
所以，多面体各面的内角总和：Σα= (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度=（V-2）·360度（2）由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度所以V+F-E=2.方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末F-E+V=2。
证明如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。
假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。
每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。
因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。
有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。
这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。
这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。
这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。
因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1成立，于是欧拉公式：F-E+V=2得证。
复变函数论里的欧拉公式定理内容e^ix=cosx+isinxe是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
“上帝创造的公式”将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
欧拉定理的运用方法（1）分式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2icosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）多面体设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如p=0 的多面体叫第零类多面体p=1 的多面体叫第一类多面体(5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)(6). 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-p oint-center、垂心Orthocenter共线。