4 欧拉定理
四点共圆证法
四点共圆证法
四点共圆证法，又称为共圆定理或欧拉定理，是数学几何中的一个重要定理，也是圆的性质之一。
它表明如果在平面上给定四个不共线的点，并且这四个点可以构成一个不是直线的四边形，那么存在一个唯一的圆，此圆可以通过这四个点。
以下是四点共圆证法的步骤：
步骤1：首先，我们需要确定是否给定的四个点构成了一个四边形，而不是一个直线。
这可以通过计算四个点的坐标，确保它们不共线来判断。
步骤2：如果四个点构成了一个四边形，接下来我们需要找到四边形的任意一条对角线，即连接两个不相邻的点的线段。
步骤3：然后，我们需要找到对角线的中点，即将对角线平分的点。
对角线中点可以通过计算对角线两个端点的横纵坐标的平均值得到。
步骤4：最后，我们需要找到两条不相邻边的中垂线。
中垂线是与边垂直且通过边的中点的直线。
通过计算不相邻两条边的中点和斜率，我们可以得到中垂线的方程。
如果中垂线相交于步骤3中的对角线中点，那么这四个点共圆。
因为对于一个圆来说，它的任意一条直径的中点都在圆上，而中垂线的交点就是对角线中点，这样就证明了这
四个点是共圆的。
需要注意的是，四点共圆定理仅对于平面几何中的四边形成立，如果给定的四个点共线，那么它们显然不能构成一个不是直线的四边形，因此也不满足四点共圆的条件。
欧拉的定理
欧拉定理是数学中的一个重要定理，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
在数论中，欧拉定理是关于同余的性质，也称为费马-欧拉定理或欧拉函数定理。
复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。
具体来说，对于任何自然数n和实数x，有φ(n)=n(1−1/2+1/3−1/4+1/5−...+(-1)^(r)(r+1)/r)，其中φ(n)表示欧拉函数，即小于n且与n互质的正整数的个数。
这个公式可以用来计算φ(n)的值。
此外，在平面几何中，欧拉定理表述的是给定一个简单多边形的顶点数和边数时，其内部点的数目等于边数和顶点数之差加二再除以二。
这个定理可以用于计算多边形的内角和、外角和等。
此外，还有多面体欧拉定理，它表述的是在任意一个凸多面体中，顶点数、棱边数和面数之间存在一个恒定的关系，即顶点数-棱边数+面数=2。
这个定理可以用于计算多面体的各种性质，如外角和、内角和等。
在组合数学中，欧拉定理可以用于求解一些组合问题，例如计算组合数的性质和公式。
在图论中，欧拉定理可以用于求解图的边数和顶点数之间的恒定关系。
此外，欧拉定理还可以用于求解一些物理问题，例如弹性力学和流体动力学中的问题。
在经济学中，欧拉定理可以用于求解一些最优化的数学问题，例如最优价格设置和资源分配等问题。
此外，欧拉定理还有一些有趣的延申和推广。
例如，在复数域中，欧拉定理可以推广为欧拉公式，即e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中i是虚数单位。
这个公式可以用于求解一些复数问题，例如求解复数函数的积分和微分等。
另外，欧拉定理还可以推广到一些更复杂的数学结构和物理现象中，例如量子力学和相对论中的时空结构。
在这些领域中，欧拉定理的一些性质和结论可以用于描述和解释一些非常抽象和复杂的现象和规律。
总之，欧拉定理是一个非常重要的数学定理，具有广泛的应用价值，同时也有很多有趣的延申和推广。
无论是在数学还是物理等领域中，欧拉定理都是一个重要的工具，可以帮助我们求解一些复杂的问题和探索一些抽象的规律。
四个欧拉公式范文
四个欧拉公式范文1. 欧拉公式（Euler's formula）是一项与数学中的复数、指数函数和三角函数相关的重要公式。
它可以通过以下等式表示：e^ix = cos(x) + i * sin(x)这个公式的一个重要推论是欧拉等式（Euler's identity）：e^iπ+1=0也被称为欧拉等式（Euler's equation），它涵盖了五个重要的数学常数：0、1、π、e和i。
欧拉等式被广泛认为是数学中最美丽的公式之一，并被描述为“数学的黄金标准”。
2. 欧拉多面体公式（Euler's polyhedron formula）是描述平面图形中的多面体、棱和顶点之间的关系的公式。
它由欧拉于1750年发现，被称为欧拉的F + V - E = 2公式。
对于一个多面体，F表示面的数量，V表示顶点的数量，E表示边的数量。
根据这个公式，一个拥有F个面、V个顶点和E个边的多面体，满足F+V-E=2、这个公式在数学和物理学领域被广泛应用，并且证明了它的正确性。
欧拉多面体公式也可以扩展到二维平面图形，即V=E-F+2、这个公式描述了连通平面图形中顶点、边和面的关系。
3. 欧拉积分公式（Euler's integral formula）是由欧拉发现的，用于表示复变函数与实变函数之间的关系。
它可以用以下等式表示：e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)这个公式在复分析和实分析中有广泛应用，可用于求解微分方程、傅里叶级数等，提供了一种将指数函数与三角函数相互转换的方法。
4. 欧拉回路和欧拉路径（Eulerian circuit and Eulerian path）是图论中与连通图中边的走法相关的概念。
它们由欧拉在18世纪提出，并被称为欧拉定理（Euler's theorem）。
欧拉回路是一个简单回路，它通过图中的每条边一次且仅一次，且最终回到起始点。
欧拉路径是一条在图中经过每条边一次且仅一次的路径，但不一定需要回到起始点。
数论 欧拉定理
数论欧拉定理欧拉定理（euler theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理，是一个关于同余的性质，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一，在西方经济学中又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。
欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。
该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。
如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。
在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。
定理推论在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。
即:p*mpl=w (1)p*mpk=r (2)由式1和2只须：mpl=w/p (3)mpk=r/p(4p为产品的价格，w/p和r/p分别表示了劳动和资本的实际报酬。
因为在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。
假定整个社会的劳动总量和资本总量为l和k，而社会总产品为q,由在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品,得:q=l*mpl+k*mpk(5)式5称为欧拉分配定理。
它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。
定理证明假设生产函数为：q=f(l.k)(即q为齐次生产函数),定义人均资本k=k/l方法1:根据齐次生产函数中相同类型的生产函数展开分类探讨(1)线性齐次生产函数n=1,规模报酬维持不变,因此存有:q/l=f(l/l,k/l)=f(1,k)=g(k)k为人均资本，q/l为人均产量，人均产量就是人均资本k的函数。
让q对l和k求偏导数,有:由上面两式，即可得欧拉分配定理：(2)非线性齐次生产函数1.当n〉1时，规模报酬递减，如果按照边际生产力分配，则产品比较分配给各个生产要素，即为：2.当n\uc1时，规模报酬递减，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即：方法2：设立一个通常的齐次生产函数q=f(l,k)为n齐次（即n任一的齐次生产函数，既可以就是线性的，也可以就是非线性的），则存有：q=l *g(k)将该函数对k，对l谋略偏导数，得：综合上述两式，有：当n=1时，规模报酬维持不变，该式即为欧拉分配定理当n〉1时，规模报酬递增，故有：当n\uc1时，规模报酬递增，故存有：实例在技术经济学中，欧拉定理属一次齐次函数的一个关键性质，它就是说道一次齐次函数的数值都可以则表示为各自变量和因变量对适当自变量一阶偏导的乘积之和。
欧拉公式
欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。
其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。
此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。
简介(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
分式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c复变函数e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
欧拉定理
欧拉定理在数学和许多分支中可以看到以欧拉命名的许多常数，公式和定理。
在数论中，Euler定理（也称为Fermat Euler定理或Euler 函数定理）是关于同余的性质。
欧拉定理以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名，被认为是数学界最精彩的定理之一。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。
此外，在平面几何中有欧拉定理，在多面体上有欧拉定理（在凸多面体中，顶点数-边数+面数= 2，即V-E + F = 2）。
在西方经济学中，欧拉定理也称为产出分配的净耗竭定理，这意味着在完全竞争的条件下，假设规模收益长期保持不变，则所有产品都足以分配给每个产品因子。
还有欧拉公式。
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:证明将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）我们考虑这么一些数：m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。
但是a与n互质，a 与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。
也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。
2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。
(因为a*xi=pn+qr=r(……)，说明a*xi含有因子r，又因为前面假设n 含有因子r，所以a*xi和n含有公因子r，因此a*xi与n不互质)那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3......xφ(n))≡x1*x2*x3......xφ(n)(mod n) 或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3 (x)φ(n)。
解析几何中的欧拉定理
解析几何中的欧拉定理欧拉定理（Euler's Theorem）是数学中的一个重要定理，源于欧拉的研究。
该定理是描述三维空间中点、线、面三种基本几何对象之间的关系的公式，也称为多面体公式。
欧拉定理被广泛应用于几何学、拓扑学、物理学等领域，是研究空间几何结构的一个基础定理。
欧拉定理的正式陈述是：一个立体图形的顶点数与面数的差再加上边数等于2。
即：V - E + F = 2，其中V代表立体图形的顶点数，E代表立体图形的边数，F代表立体图形的面数。
该定理适用于所有的多面体，包括正则多面体、不规则多面体以及任意多面体。
为了理解欧拉定理，我们需要先了解一些基本的几何概念。
在三维空间中，点、线、面是最基本的几何对象。
点是空间中最基本的单位，没有形状、大小等特征；线是由两个点之间的直线连接而成的，具有长度但没有宽度和高度；面是由至少三个非共线点连接而成的平面几何图形，具有面积和形状。
欧拉定理可以通过一个简单的例子来进行解释。
我们考虑一个正四面体，即一个具有四个等大的面，每个面都是一个正三角形的立体图形。
这个正四面体有4个顶点、6条边和4个面。
插入这些数字后，欧拉定理的方程变为：4 - 6 + 4 = 2。
这个式子成立，证明欧拉定理在这种情况下成立。
我们可以通过把这个正四面体的一个顶点通过线段连接到另一个顶点的方式来创造一个新的多面体。
新多面体的顶点数是原来的顶点数加1，即5个。
新多面体的边数是原来的边数加4，即10条。
新多面体的面数是原来的面数加4，即8个。
把这些数字带入欧拉定理的方程中，得到：5 - 10 + 8 = 2。
这个式子同样成立，证明欧拉定理适用于新创建的多面体。
欧拉定理的证明是一项相对简单的数学运算，但是定理本身具有非常广泛的应用范围。
它可以用于计算多面体的面积、体积、对称性等各种基本性质。
在几何学中，欧拉定理是刻画空间多面体拓扑结构的基础工具。
在物理学中，欧拉定理被应用于描述空间物体的运动状态。
4 欧拉定理
§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。
本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。
最后还要把欧拉定理应用于循环小数。
定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则()()1mod .m am ϕ≡证 设()12,,,m r r r ϕ是模m 的一个简化剩余系，因(),1a m =，故()12,,,m ar ar ar ϕ也是模m 的一个简化剩余系. 于是，()()()()()()()()()()()()12121212mod ,mod ,1mod .mm m m m m ar ar ar r rr m a r r r r r r m a m ϕϕϕϕϕϕ≡≡≡推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有()mod .p a a p ≡证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ϕ=-及欧拉定理得 ()()11mod ,mod .p p ap a a p -≡≡若p a ，则显然有()mod .pa a p ≡以上两个定理对数论的应用是非常多的。
下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。
任何一个有理数都可以表示为ab，这里,a b 都为整数，且0a >。
由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故,0 1.a bq r r r b b b b b+==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。
若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则该无限小数可以写为1212120.s s s s t s s s ta a a a a a a a a ++++++定义 若对无限小数120.,na a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写为 120.s a a a 1s a +.s t a +对于循环小数来说，满足上述性质的,s t 不唯一。
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§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。
本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。
最后还要把欧拉定理应用于循环小数。
定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则()()1mod .m a m ϕ≡证 设()12,,,m r r r ϕ是模m 的一个简化剩余系，因(),1a m =，故()12,,,m ar ar ar ϕ也是模m 的一个简化剩余系. 于是，()()()()()()()()()()()()12121212mod ,mod ,1mod .mm m m m m ar ar ar r rr m a r r r r r r m a m ϕϕϕϕϕϕ≡≡≡推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有()mod .p a a p ≡证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ϕ=-及欧拉定理得 ()()11mod ,mod .p p ap a a p -≡≡若p a ，则显然有()mod .pa a p ≡以上两个定理对数论的应用是非常多的。
下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。
任何一个有理数都可以表示为ab，这里,a b 都为整数，且0a >。
由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故,0 1.a bq r r r b b b b b+==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。
若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则该无限小数可以写为1212120.s s s s t s s s ta a a a a a a a a ++++++定义 若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写为 120.s a a a 1s a +.s t a +对于循环小数来说，满足上述性质的,s t 不唯一。
如对于循环小数0.3214139139139，可取4,3s t ==，则该循环小数可简写为0.3214139，也可以取5,6s t ==，则该循环小数可以简写为0.32141391391，等等。
如t 是最小的，则称12,,,s s s t a a a +++为循环节，而把t 称为循环节的长度；若最小的0s =，则称该循环小数为纯循环小数，否则称为混循环小数。
如循环小数0.3214139139139最小的3t =，其循环节是1,3,9。
最小的4s =，故该循环小数是混循环小数。
又如循环小数0.139087713908771390877最小的0s =，故该循环小数是纯循环小数。
定理2 有理数()()0,,1aa b a b b<<=可以表示为纯循环小数的充分必要条件是(),10 1.b =证 （ⅰ）若()()0,,1aa b a b b<<=可以表示为纯循环小数，设 0.ab=12a a ,t a则1212101010tt t t aa a a b--=++++0.12a a t a ,0.aq q b=+>故(),101.101t t a q a bq b =-=- 但(),1a b =，故()()()()101,101mod ,10,10,1, 1.t t t b b b b b -≡===注：也可根据101t b -及反证法证明(),10 1.b =（ⅱ）若(),101b =，则由欧拉定理，()()101mod .b b ϕ≡令(),t b ϕ=则t 为正整数，且10 1.t b -从而存在正整数q '使得101,10.t t bq a bq a a ''-==+令q q a '=，则()1110,01011010101101,110,.1010t t t t t t t t t a a b a qb a q b b b b a a a q a q b b b b -⎛⎫=+<=-<≤=-<- ⎪⎝⎭=+=+⋅ 由带余除法，11211232211110+,010,10,010,10,010,10,010,t t t t t t t t q q a a q q a a q q a a q q a a -----=≤<=+≤<=+≤<=+≤< 则1212110101010.t t t t t t q q a a a a ---=+++++易知q 为正整数，故12,,,t q q q 都为非负整数。
若1t q ≥，则10t q ≥，这与101t q <-矛盾。
故121210,101010,t t t t t q q a a a a ---==++++从而1210..10t t aaa a a bb=+⋅ 反复应用上式，即得 0.ab=12a a .t a定理 3 若a b是有理数，其中()()1110,,1,25,,101,1,a b a b b b b b αβ<<===>其中,αβ都为非负整数，但不全为零，则ab可以表示为循环小数，其中不循环的位数是()max ,.μαβ=证 我们只证明βα≥的情形，至于βα≥的情形，可类似证明。
若βα≥，则.μβ=故121010.a a a b b b βαμβ-==因()1,1,,a b b b =故()1, 1.a b =又()1,101,b =故()()11,21,,21.b b βα-==故1b 不整除2a βα-。
由带余除法，存在整数1,M a 使得11112,0.a b M a a b βα-=+<<因此1110.a aM b b μ=+ 易知()()()11111010,,2,2, 1.M a b a Mb b a b μμαμα--≤<=-==由定理2，可以把11a b 表示为循环小数：110.a b =1c .t c设()111009M m m m μμμ-=++≤≤则10.am m bμ=1c .t c下证不循环的位数不能小于μ。
假设ab还可以表示为 10.vam m b''=()1,,sc c v μ''< 则由定理2，11110100.,vvsa a a c cb b b '⎡⎤''-==⎢⎥'⎣⎦其中()1,10 1.b '=令1110,va a ab b ⎡⎤''=+⎢⎥⎣⎦则 110.v ab a b ''=上式右边可被55βμ=整除，而左边a 及1b '都与5互质，故510,55.v v μμ这与v μ>矛盾。
习题1. 如果今天是星期一，问从今天起再过101010天是星期几？ 解 由欧拉定理得()6101m o d 7.≡ 下求1010被6除所得的余数。
()()()10510551024223224mod 6.≡-=≡-=-=≡-≡故101064q =+，其中q 是一个正整数。
于是()()10106464442210101010103924mod 7.qq +==⋅≡≡=≡=因此，如果今天是星期一，那么从今天起再过101010天是星期五。
2. 求()28561237134+被111除的余数。
解一 因()1237150mod111≡故()5656282814147733123715025005833643411564646211646746343461016mod111.≡=≡=≡=≡=⋅≡⋅=⋅≡⋅≡()()()2828562814147733123713416345025005833643434115634461564211610770mod111.+≡+==≡≡≡≡⨯=⨯≡⨯≡⨯=解二 用模幂算法模幂算法的一个例子：求185被33除所得的余数。
解法如下。
因1829,9241,422,221,1201=⨯=⨯+=⨯=⨯=⨯+ 故()()()()()()()()()()210122122422294121218925555mod33,55525mod33,552531mod33,555315489520mod33,55204mod33.=⨯≡==≡=≡≡=⨯≡⨯=≡=≡≡ 因56228,28214,1427,7231,3211,1201,=⨯=⨯=⨯=⨯+=⨯+=⨯+故()()()()()()()()()()()()210123112273122147222814225628212371123711237150mod111,123711237112371505014mod111,123711237112371145032mod111,12371123713225mod111,12371123712570mod111,12371123717016mod111.=⨯≡=⨯≡⨯≡=⨯≡⨯≡=≡≡=≡≡=≡≡于是()()()282856281237134163450mod111.+≡+=又因()()()()()()()()()()210123112273122147222814250505050mod111,505050505014mod111,505050145032mod111,50503225mod111,50502570mod111,=⨯≡=⨯≡⨯≡=⨯≡⨯≡=≡≡=≡≡故()()2856123713470mod111.+≡3. （ⅰ）证明下列事实但不许用定里1的推论：若p 是质数，12,,,a h h h 是整数，则 ()()1212+m o d .pp p pa ah h h h h h p +++≡++（ⅱ）由（ⅰ）证明定理1的推论，然后再由定理1推论证明定理1.证明 （ⅰ）对a 数学归纳法。
当1a =时，结论显然成立。
假设结论对()11a a ->成立，下面由此证明结论对a 也成立。
由二项式定理及归纳假设得，()()()()()()()11212112122112112112112121+mod .pp p a a a ap p pa a a a a pp p p p a a a p h h h h h h h h h h p p h h h h h h h h h p h h h h h h h p --------⎛⎫+++≡+++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≡++++≡++（ⅱ）若a 为正整数，则在（ⅰ）中令121a h h h ===，得、()m o d .p a a p ≡ 若a 为负整数，令1a a =-，这里1a 为正整数，则 ()11mod .p p a a a a p =-≡-= 又因()00mod ,p p ≡故对任意整数a ，总有()m o d .p a a p ≡ 这就证明了费马定理。