一个欧拉定理的推广及其应用

若线段 2 1作一直线交抛物线于 2 3 4两点 ) 1 与1 则 4 的长分别为 5 3 6 7 8 92 : 4 + 事实上有 命题 > 过 -轴 上 任 一 定 点 的 直 线 与 抛
# , . ;
5 6 = 0 7 < < 6 5
# 5 6 , . = 0 7 ; 6 5 证明 设直线 ? 的方程为 B *+ -C A) # 交抛物线 * + # , . ,/ $ 0于 2 . ) * 0 3 ’ ’
著 名 的 点 -/ - 在 )*+ , 内 且 9*+ 3 其中 : 叫做布罗卡角 7 9+ ,3 9, *3 : / 对此 / 我们有下面的 的外心距离为 2 则 / 23 G 0 / "6 F *B C D E +B C D E , C D E
! ! !
推论 & 若 )*+ ,的布罗卡点到 )*+ ,
4
其中 0 为 )*+ ,的外接圆半径 7 证 明 由于 9*+3 9+ ,3 9, * 结合定理 相当于 3: / ! / A 3A ) *" + , ), + */ " " 即 A 2 ! ) *+ , "6 ’ ( 5 / ! 5 0 4 ; < = : ! ! ! ! 得 62 53 4 0 ; < = : / 5 0 又由于点 - 在 )*+ 故 0H 2 从而 ,内部 / / A ) *+ ,3

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线段 2 4 . ) * 0 . * /* 0 ) 1与 1 4 的长 # # ’/ $ # 分别为 5 3 6 7 由 E E 所以
物线交于 2 两点) 都有 * . ) * 0 3 4 . ) * 0 * ’ ’ # # ’ # 为定值 ) 反之亦然 7 证明
#
*+ # , . B *= A0
从而 3
" )* + 7 ! A ; < = : # # )"3 A BA )+ *" B A ), + ) *" , " " " " A 3 ) *" , "
" A BA ( )+ *# B A ), + ) *# , ! ’ # # # # : ; < = 2 ! ) " 证毕 7 "6 ’ ( 5 7 3 ! )#3 ! 5 0 : : 4 ; < = ; < = 我 们 所 熟 知 的 布 罗 卡 点/ 是指下面一个
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一类抛物线内接三角形的面积公式
# # # $ $ % 江苏省新海高级中学 杨绪成 王弟成
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由 E E
文& ’ (给 出 了 一 类 三 角 形 面 积 公 式 的 优
# 美结论 ) 即过抛物线 * 的焦点 +# , . ,/ $ 0
特别地 ) 当直线 ? 过焦点时 ) 即 A + ,) 便有 # 8 92 : 4 +
# , A5 # , A6 ) * +C ) < < 6 5 # , A5 # , A6 *C *+ = < < 6 5 5 6 + <# , A. = 0 7 < < 6 5
’ #
8 92 : 4 + +
’ 0 I J : @J . * ’C * # # ’ A <# , A. # 5 6 = 0 7 < < 6 5
一个欧拉定理的推广及应用
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 傅华， 孙四周 221008,南京市第13中学 中学数学 ZHONGXUE SHUXUE 2004，(4) 1次
参考文献(1条) 1.单墫 数学竞赛研究教程 1993
引证文献(1条) 1.张云 双圆四边形勃罗卡点的一个性质[期刊论文]-中学数学 2005(7)
图"
图!
如图 ! 自 - 分 别 向 边 *+ / . + , . 作 垂 线 垂 足 依 次 为 记 , * / , / *#/ + / # # 由定理 "知 + , / )*# # # 的面积为 ) # )#3 ) 2 ! 5 "6 ’ ( 5 7 4 0
证明
! ! ! 30 ’ "6 4 ; < = : ( 7 2 再由布罗卡角 : 满足
)"3
) ) 2 ! ! ! 53 5 0 62 5 5 "6 ’ ( ! 4 0 4 0 ) ! ! ! 3 4 0 ; < = : 3)G ; < = : 7 证毕 7 ! 4 0 再次 注 意 到 / 三角形内任意一点的射影
# $ $ ;年第 ;期 !!" !!!" 读刊 随笔 !!!"
中学数学
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4 4
中学数学
! # # 4年第 4期
一个欧拉定理的推广及应用
! ! " # # $ 南京市第 " %中学 定理 & 欧拉定理 ( )*+ ’ ,所在平面上 的 任 意 一 点 - 在 三 边 *+ . + , . , *上的射影 若 )*+ 分别为 , / *"/ + / ,及 )*" + , " " " "的面 积 分 别 为 ) 及 ) "/ )*+ ,的 外 接 圆 半 径 为 则 0 / - 点到 )*+ ,外心 1 的距离为 2 / )"3 ) 2 ! 5 "6 ’ ( 5 7 4 0 傅 华 孙四周
# * C # , B *C # , A+ $ )
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B *+ -C A)
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直线 ? 过 -轴上一点 @. 交 A) $ 0 ) 2 . ) * 0 3 ’ ’
抛物线 * + # 于 , . ,/ $ 0 两点 7 4 . ) * 0 # # 设直线 ? 的方程为
* * , A ’ # +C # 且由定比分点坐标公式得 * ’= 5 * # 6 ) 5 ’ = 6
参考文献
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一类三角形面积公式 7 中学数学 ) ’ 吕建顺 7 # $ $ K ) L 收稿日期 N . # $ $ ; $ # $ O 0
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM ’ 而 为锐角 从而 三角 形 面 积 不 大 于 原 三 角 形 面 积 的 ’) 立即 W T U V Q R ) Q ) Q RK $ S 7 ; # 得 证毕 7 推论 P 任意三角形的布罗卡角为 Q 则 ) 参考文献 Q RK $ S 7 数学竞赛研究教程7 南京N 江苏教育出版 ’ 单 7 ’ # 证明 由推论 # 知 9I T U V Q R 9) 社) ; ’ O O K 万方数据 ’ # 即 T 收稿日期 N U VQ R ) . # $ $ K ’ ’ ’ X 0 ;
! ! ! ! : 3C D E *B C D E +B C D E , / C D E 代入即知推论 "成立 7 证毕 7 推论 8 若 )*+ 布罗卡 ,的面积为 )/
且
+ *" " " / > 3 3 + *# ; < = : # 则 9+ *" 3 9+ *#/ " # *" ? )+ *# 且相似比为 )+ " # " 7 ; < = :
. H0
B *+ -C A7
$ +
# * + # , 7 *+ # , . B *= A0 # # * C # , B *C # , A+ $ 7
D
B *+ -C A) 即 * ’= * ’+ 所以
5 代入 . 式得 * ) H0 #+ $ 6
#
所以 * * , A 为定值 7 ’ # +C # 必要性证明略 0 . 此 时 猜 想) 92 : 4的 面 积 也 应 满 足 某 公 式7 事实上有 命题 F 若 一 直 线 过 -轴 上 任 一 点 从而 交抛物线于 2 若 @. A) $ 0 . A/ $ 0 ) 3 4两 点) 则 线段 2 1与 1 4 的长分别为 5 3 6 ) ’ 5 5 8 A <# , A. = 0 7 92 : 4 + # 6 6 若 AG $ 用类似的方法可求 0 .
下 面 我 们 将 给 出 它 的 推 广/ 并展示其有 益的应用 7 定理 8 欧 拉 定 理 的 推 广 ( - 为 )*+ ’ , 所 在 平 面 上 的 任 意 一 点/ + . , *". " "分别在边 + , . , *. *+ 上 / 且 9+ , 3 9, *3 " " 则 +3 : / 9*" 2 ! ) )"3 "6 ’ ( 5 7 ! 5 0 : 4 ; < = 式中各字母的意义与定理 "相同 ( ’
角为 : 则布罗卡点在三边的射影三角形的面 / ! 积为 ) G : 7 ; < = 证明