第五节初等数论中的几个重要定理

第五节 初等数论中的几个重要定理

基础知识

定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。并定义},,2,1{)(m s m ==ϕ中和m 互质的数的个数，)(m ϕ称为欧拉（Euler ）函数。

这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=ϕ，而对于1>m ，)(m ϕ就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ϕ。

引理：∏⋅

=为质数）－（P |P 11)(m

P m m ϕ；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡ϕ。

证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ϕ= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤∀，于是对每个

s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ，

使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j

∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a s

j j s j j s ∏∏==≡。 1),(1=∏=s

j j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡ϕ。证毕。

分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡ϕ，我们得设法找出)(m ϕ个n 相乘，由)(m ϕ个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ϕ的个数：)(21,,,m a a a ϕ ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ϕ 也是与m 互质的)(m ϕ个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ ≡)(21,,,m aa aa aa ϕ ≡)(m a ϕ)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ （m mod ），而

（)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ m ）＝1，故)(mod 1)(m a

m ≡ϕ。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。

定理2：（费尔马（Fermat ）小定理）对于质数p 及任意整数a 有)(mod p a a p ≡。

设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p ≡≡。若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由引理及欧拉定理得)(mod 1,1)()(p a p p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得。

定理*2推论：设p 为质数，a 是与p 互质的任一整数，则)(mod 11p a p ≡∴-。

定理3：（威尔逊（Wilson ）定理）设p 为质数，则)(mod 1)!1(p p -≡-。

分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找1-p 个数，然后来对应乘法。

证明：对于1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,- 中，必然有一个数除以p 余1，这是因为x p x x )1(,,2,- 则好是p 的一个剩余系去0。

从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ，使得)(mod 1p xy ≡；

若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，故对于}1,,2,1{,21-∈p y y ，有1xy )(m od 2p xy 。即对于不同的x 对应于不同的y ，即1,,2,1-p 中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对，这时)(m od 012

p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，1-≡x 或)(mod 1p x ≡，1-=p x 或1=x 。

除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1。故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-。 定义：设)(x f j 为整系数多项式（k j ≤≤1），我们把含有x 的一组同余式)(mod 0)(j j m x f ≡（k j ≤≤1）称为同余方组程。特别地，，当)(x f i 均为x 的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数c 同时满足：)(mod 0)(j j m c f ≡ k j ≤≤1，则剩余类)}(m od ,|{m c x Z x x M c ≡∈=（其中],,,[21k m m m m =）称为同余方程组的一个解，写作)(mod m c x ≡

定理4：（中国剩余定理）设k m m m ,,,21 是两两互素的正整数，那么对于任意整数k a a a ,,,21 ，一次同余方程组)(mod j j m a x ≡，k j ≤≤1必有解，且解可以写为：

)(mod 222111m a N M a N M a N M x k k k +++≡

这里k m m m m 21=，)1(k i m m M i

i ≤≤=，以及j N 满足)(mod 1j j j m N M ≡，k j ≤≤1（即j N 为j M 对模j m 的逆）。

中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。

定理5：（拉格郎日定理）设p 是质数，n 是非负整数，多项式0

1)(a x a x a x f n n +++= 是一个模p 为n 次的整系数多项式（即p n a ），则同余方程)(mod 0)(p x f ≡至多有n 个解（在模p 有意义的情况下）。

定理6：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s

≡，则s 必为l 的倍数。 以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到意想不到的作用，如：为偶数时为奇数时n n n ⎩⎨⎧≡)4(mod 0)8(mod 12，时

不整除时整除n n n 33)3(mod 0)9(mod 02⎩⎨⎧≡。这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。

典例分析

例1.设1),91(=ab ，求证：)(|911212b a -。

证明：因为13791⨯=，故由1),91(=ab 知1),91(=a ，从而1),13(,1),7(==a a ，但是12)13(,6)7(==ϕϕ，故由欧拉定理得：)7(m od 11)(22612≡≡≡a a ，)13(mod 112≡a ，从而)91(mod 112≡a ；同理，)91(mod 112≡b 。

于是，)91(m od 0111212≡-≡-b a ，即)(|911212b a -。

注明：现考虑整数a 的幂n a 所成的数列： ,,,,2n a a a 若有正整数k 使)(m od 1m a k ≡，

则有)(m od m a a r n ≡，其中k r r kq n <≤+=0,；

因而关于)mod(m ，数列 ,,,,2n

a a a 的项依次同余于,,,,2k a a a ,,,,2k a a a ,a 这个数列相继的k 项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。如下例：

例2．试求不大于100，且使)473(|11++n

n 成立的自然数n 的和。

解：通过逐次计算，可求出n 3关于11mod 的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：