第五节初等数论中的几个重要定理
初数数学中的数论公式解析
初数数学中的数论公式解析数论作为数学的一个重要分支，研究整数的性质和相互关系。
在初等数论中，有许多重要的数论公式，它们能够帮助我们解决一些关于整数的问题。
本文将对一些常见的数论公式进行解析，帮助读者更好地理解和掌握数论知识。
一、欧拉函数公式欧拉函数是一个十分重要的数论函数，通常表示为φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
欧拉函数有一个重要的性质，即对于任意的正整数n，都有以下公式成立：φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/pₙ)其中p₁, p₂, ..., pₙ是n的所有不同的素因子。
这个公式的解析非常简单明了：首先我们将n进行素因数分解，得到n的所有不同的素因子。
然后，对于每个素因子p，将1减去1/p的值，再将这些结果相乘，最后再乘以n，即可得到欧拉函数的值φ(n)。
二、费马小定理费马小定理是一个重要的数论定理，它表明如果p是一个素数，a 是一个整数且不被p整除，那么a的p-1次方除以p的余数等于1：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)这个公式的解析也比较简单：根据费马小定理，我们可以利用这个公式来进行模幂运算。
首先，将指数p-1进行二进制拆分，然后利用模运算的性质求取每一位的幂运算结果，最后再将这些结果相乘，再进行一次模运算，即可得到最终结果。
三、威尔逊定理威尔逊定理是另一个与素数相关的重要数论定理，它表明如果p是一个素数，那么(p-1)!除以p的余数等于p-1：(p-1)! ≡ -1 (mod p)这个公式的解析稍微复杂一些。
首先，我们可以利用质数的定义以及基本的数论知识来证明威尔逊定理。
然后，我们可以通过数学归纳法来证明(p-1)! ≡ -1 (mod p)成立。
最后，利用模运算的性质，我们可以证明(p-1)!除以p的余数等于p-1。
四、高斯二项式定理高斯二项式定理是一个经典的数论定理，它可以用于计算组合数的模运算结果。
数论中的基本概念与定理
数论中的基本概念与定理数论作为数学的一个分支，研究整数的性质和规律。
它是纯粹抽象的数学分支，却具有深刻的应用价值。
本文将介绍数论中的一些基本概念与定理，包括素数、同余、欧几里得算法、费马小定理等。
一、素数素数是指不能被其他整数整除的数，除了1和自身以外没有其他因数的数。
素数是数论中最基本的概念，也是许多数论定理的基础。
素数的性质十分丰富，例如：任意大于1的整数必定可以被表示为有限个素数的乘积。
二、同余同余是数论中的重要概念，它描述了两个数在除以一个整数后的余数相等的情况。
若两个整数a和b满足a-b能被正整数m整除，则称a 与b关于模m同余。
同余关系具有如下性质：（1）若a与b关于模m 同余，即a≡b (mod m)，则a的整数倍与b的整数倍关于模m也同余；（2）若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、欧几里得算法欧几里得算法是求解两个整数最大公约数的一种高效算法。
它基于如下定理：对于任意两个非零整数a和b，它们的最大公约数等于b和a%b的最大公约数，其中%表示取余运算。
利用这个定理，可以递归地求解最大公约数，直至余数为0，此时上一步的除数即为最大公约数。
四、费马小定理费马小定理是数论中的一条重要定理，它为许多数论问题的解决提供了便利。
设p为一个素数，a为与p互质的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中^表示乘方运算。
费马小定理的应用十分广泛，例如在RSA加密算法中就有重要作用。
五、欧拉函数欧拉函数是数论中的一个重要概念，它表示小于或等于某个正整数n的数中与n互质的数的个数。
记为φ(n)，例如φ(8) = 4，因为1、3、5、7都与8互质。
欧拉函数有如下性质：（1）若p为素数，则φ(p) = p-1；（2）若a与b互质，则φ(ab) = φ(a)φ(b)。
六、扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是求解形如ax+by=gcd(a,b)的一元二次方程的一种方法。
初等数论中的欧拉定理
定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
数论的四大定理详解（转载）
数论的四⼤定理详解（转载）转载于:前⾔可以发现RSA中的很多攻击⽅法都是从数论四⼤定理推导出的，所以找时间好好学习了⼀下数论四⼤定理的证明及其应⽤场景——Rabin算法。
欧拉定理若$n,a$为正整数，且$n,a$互素，即$gcd(a,n) = 1$，则$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$证明⾸先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$这个式⼦实在$a$和$n$互质的前提下成⽴的。
证明⾸先，我们知道在1到$n$的数中，与n互质的⼀共有$φ(n$)个，所以我们把这$φ(n)$个数拿出来，放到设出的集合X中，即为$x_1,x_2……x_{φ(n)}$那么接下来，我们可以再设出⼀个集合为M，设M中的数为：$m_1=a∗x_1,m_2=a∗x_2……m_φ(n)=a∗x_{φ(n)}$下⾯我们证明两个推理：⼀、M中任意两个数都不模n同余。
反证法。
证明：假设M中存在两个数设为$m_a,m_b$模$n$同余。
即$m_a\equiv m_b$移项得到：$m_a−m_b=n∗k$再将m⽤x来表⽰得到：$a∗x_a−a∗x_b=n∗k$提取公因式得到：$a∗(x_a−x_b)=n∗k$我们现在已知$a$与$n$互质，那么式⼦就可以转化为：$x_a−x_b\equiv 0 \pmod{n}$因为$a$中没有与$n$的公因⼦（1除外）所以$a !\equiv 0 \pmod{n}$ 所有只能是$ x_a−x_b\equiv 0\pmod{n}$。
⼜因为$x_a,x_b$都是⼩于$n$的并且不会相同，那么上述的式⼦⾃然全都不成⽴。
假设不成⽴。
证得：$M$中任意两个数都不模$4$同余。
⼆、M中的数除以n的余数全部与n互质。
证明：我们已知$m_i=a∗x_i$⼜因为$a$与$n$互质，$x_i$与$n$互质，所以可得$m_i$与$n$互质。
带⼊到欧⼏⾥得算法中推⼀步就好了。
初等数论知识点总结(word文档物超所值)
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21L 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++L 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,L =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p L 21|，则p 能整除n a a a ,,,21L 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
初等数论四大定理
初等数论四大定理威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,m n，则对任意的整数a1,a2,…,a n，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,m n有公解：x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),……,x≡a n(mod m n)费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了.首先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是a x≡1(modn)这个式子实在a和n互质的前提下成立的.为什么成立呢？下面来证一下.首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有φ(n)φ(n)个，所以我们把这φ(n)φ(n)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为x1,x2……xφ(n)x1,x2……xφ(n).那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)下面我们证明两个推理：一、M中任意两个数都不模n同余.反证法.证明：假设M中存在两个数设为m a,m b ma,mb模n同余.即m a≡m b ma≡mb移项得到：m a−m b=n∗k ma−mb=n∗k再将m用x来表示得到:a∗x a−a∗x b=n∗k a∗xa−a∗xb=n∗k提取公因式得到a∗(x a−x b)=n∗k a∗(xa−xb)=n∗k我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：x a−x b≡0（modn)xa−xb≡0（modn)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献.又因为x a,x b xa,xb都是小于n的并且不会相同，所以x a−x b xa−xb一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立.假设不成立.证得：M中任意两个数都不模n同余.二、M中的数除以n的余数全部与n互质.证明：我们已知m i=a∗x i mi=a∗xi.又因为a与n互质，x i xi与n互质，所以可得m i mi与n互质.带入到欧几里得算法中推一步就好了.即gcd(a∗x i,n)=gcd(m i,n)=gcd(n,m i modn)=1证毕.根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了.首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余.所以可以得到：m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)现在我们把m i mi替换成x的形式，就可以得到：a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)很开心，我们终于凑出了aφ(n)aφ(n),那么就开始移项吧：(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)然后，就出来啦：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)证毕.用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式.中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积.设为模的数论倒数( 为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数.考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解.另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍.而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解.所以方程组所有的解的集合就是：。
初等数论知识点总结
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21Λ都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++Λ。
或着i b a |，则∑=ni ii b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,Λ=∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p Λ21|，则p 能整除n a a a ,,,21Λ中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
初等数论中的几个重要定理
初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而也是与互质的个数，且两两余数不一样，故（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；若，，则，，故对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：这里，，以及满足，（即为对模的逆）。
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第五节 初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。
并定义},,2,1{)(m s m ==ϕ中和m 互质的数的个数，)(m ϕ称为欧拉（Euler ）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=ϕ，而对于1>m ，)(m ϕ就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ϕ。
引理：∏⋅=为质数）－（P |P 11)(mP m m ϕ；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ϕ= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤∀，于是对每个s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ，使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a sj j s j j s ∏∏==≡。
1),(1=∏=sj j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证毕。
分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡ϕ，我们得设法找出)(m ϕ个n 相乘，由)(m ϕ个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ϕ的个数：)(21,,,m a a a ϕ ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ϕ 也是与m 互质的)(m ϕ个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ ≡)(21,,,m aa aa aa ϕ ≡)(m a ϕ)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ （m mod ），而（)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ m ）＝1，故)(mod 1)(m am ≡ϕ。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat ）小定理）对于质数p 及任意整数a 有)(mod p a a p ≡。
设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p ≡≡。
若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由引理及欧拉定理得)(mod 1,1)()(p a p p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得。
定理*2推论：设p 为质数，a 是与p 互质的任一整数，则)(mod 11p a p ≡∴-。
定理3：（威尔逊（Wilson ）定理）设p 为质数，则)(mod 1)!1(p p -≡-。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找1-p 个数，然后来对应乘法。
证明：对于1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,- 中，必然有一个数除以p 余1，这是因为x p x x )1(,,2,- 则好是p 的一个剩余系去0。
从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ，使得)(mod 1p xy ≡；若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，故对于}1,,2,1{,21-∈p y y ，有1xy )(m od 2p xy 。
即对于不同的x 对应于不同的y ，即1,,2,1-p 中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对，这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，1-≡x 或)(mod 1p x ≡，1-=p x 或1=x 。
除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1。
故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-。
定义：设)(x f j 为整系数多项式（k j ≤≤1），我们把含有x 的一组同余式)(mod 0)(j j m x f ≡（k j ≤≤1）称为同余方组程。
特别地，，当)(x f i 均为x 的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数c 同时满足：)(mod 0)(j j m c f ≡ k j ≤≤1，则剩余类)}(m od ,|{m c x Z x x M c ≡∈=（其中],,,[21k m m m m =）称为同余方程组的一个解，写作)(mod m c x ≡定理4：（中国剩余定理）设k m m m ,,,21 是两两互素的正整数，那么对于任意整数k a a a ,,,21 ，一次同余方程组)(mod j j m a x ≡，k j ≤≤1必有解，且解可以写为：)(mod 222111m a N M a N M a N M x k k k +++≡这里k m m m m 21=，)1(k i m m M ii ≤≤=，以及j N 满足)(mod 1j j j m N M ≡，k j ≤≤1（即j N 为j M 对模j m 的逆）。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。
定理5：（拉格郎日定理）设p 是质数，n 是非负整数，多项式01)(a x a x a x f n n +++= 是一个模p 为n 次的整系数多项式（即p n a ），则同余方程)(mod 0)(p x f ≡至多有n 个解（在模p 有意义的情况下）。
定理6：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。
另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到意想不到的作用，如：为偶数时为奇数时n n n ⎩⎨⎧≡)4(mod 0)8(mod 12，时不整除时整除n n n 33)3(mod 0)9(mod 02⎩⎨⎧≡。
这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。
典例分析例1.设1),91(=ab ，求证：)(|911212b a -。
证明：因为13791⨯=，故由1),91(=ab 知1),91(=a ，从而1),13(,1),7(==a a ，但是12)13(,6)7(==ϕϕ，故由欧拉定理得：)7(m od 11)(22612≡≡≡a a ，)13(mod 112≡a ，从而)91(mod 112≡a ；同理，)91(mod 112≡b 。
于是，)91(m od 0111212≡-≡-b a ，即)(|911212b a -。
注明：现考虑整数a 的幂n a 所成的数列： ,,,,2n a a a 若有正整数k 使)(m od 1m a k ≡，则有)(m od m a a r n ≡，其中k r r kq n <≤+=0,；因而关于)mod(m ，数列 ,,,,2na a a 的项依次同余于,,,,2k a a a ,,,,2k a a a ,a 这个数列相继的k 项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。
如下例：例2．试求不大于100，且使)473(|11++nn 成立的自然数n 的和。
解：通过逐次计算，可求出n 3关于11mod 的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：),11(mod 53),11(mod 93),11(mod 3332≡≡≡)11(mod 1343),11(mod 435354=⨯≡≡⨯≡ 因而通项为n 3的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………类似地，经过计算可得n 7的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………于是由上两式可知通项为473++n n 的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………这就表明，当101≤≤n 时，当且仅当6,4,3=n 时，)11(mod 0473≡++nn ，即)473(|11++n n ； 又由于数列的周期性，故当)1(10110+≤≤+k n k 时，满足要求的n 只有三个，即610,410,310+++=k k k n从而当1001≤≤n 时，满足要求的n 的和为：148013045301310301330)610()410()310(909090=+⨯=⨯+=+=+++++∑∑∑===k k k k k k k k . 下面我们着重对Fetmat 小定理及其应用来举例：例3．求证：对于任意整数x ，x x x 157315135++是一个整数。
证明：令=)(x f x x x 157315135++，则只需证=)(15x f x x x 75335++是15的倍数即可。
由3，5是素数及Fetmat 小定理得)5(mod 5x x ≡，)3(mod 3x x ≡，则 )5(m od 07375335≡+≡++x x x x x ；)3(m od 0275335≡+≡++x x x x x而（3，5）=1，故)15(mod 075335≡++x x x ，即)(15x f 是15的倍数。
所以)(x f 是整数。
例4．求证：n n -13|2730（n 为任意整数）。
证明：令=)(n f n n -13，则=)(n f )1)(1)(1)(1)(1(622++-+++-n n n n n n n n ；所以)(n f 含有因式n n n n n n n n ----2357,,,由Fetmat 小定理，知13|,13n n -7|n n n n n n n n ----2357|2,|3,|5, 又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=235713⨯⨯⨯⨯能整除n n -13。
例5．设c b a ,,是直角三角形的三边长。
如果c b a ,,是整数，求证：abc 可以被30整除。
证明：不妨设c 是直角三角形的斜边长，则222b a c +=。
若2 a ，2 b ，2 c ，则)2(m od 011222≡+≡+=b a c ，又因为)2(mod 12≡c 矛盾！ 所以2|abc .若 3 a ，3 b ，3 c ，因为)3(m od 1)13(2≡±k ，则)3(mod 21122≡+≡+b a ，又)3(mod 12≡c ，矛盾！从而3|abc .若 5 a ，5 b ，5 c ，因为)5(m od 1)15(2≡±k ，)5(m od 1)25(2-≡±k ，所以222±≡+b a 或0(mod5)与)5(mod 12±≡c 矛盾！ 从而5|abc .又(2,3,5)=1，所以30|abc .下面讲述中国剩余定理的应用例6．证明：对于任意给定的正整数n ，均有连续n 个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。