图论算法
图论算法详解(C++版)
1.1、prim算法:无向图的生成树就是从图的边集中选择一些边，使得这些边构成一个连通无环图，也就是树。
如果给每一条边加一个权，所有生成树中权和最小的生成树称为最小生成树。
【Prim算法思想】任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。
【最小生成树算法实例】现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。
在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。
现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？【输入】第一行两个数v(v<=200),e，分别代表城市数和边数以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w<1000)。
【输出】连通所有城市的公路最小造价。
【输入样例】6 101 2 101 5 191 6 212 3 52 4 62 6 113 4 64 5 184 6 145 6 33【输出样例】50 原图最小生成树#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>#include<climits>using namespace std;int i,j,k,n,m,mi,t,s,a[1000][1000]; void prim(){int mi,p,f,k,d[1000];bool v[1000];memset(v,false,sizeof(v));f=1;for (i=2;i<=n;i++){d[i]=INT_MAX;}d[f]=0;s=0;for(i=1;i<=n;i++){mi=INT_MAX;for (j=1;j<=n;j++)if ((v[j]==false) && (d[j]<mi)){p=j;mi=d[j];}s+=mi;v[p]=true;for(j=1;j<=n;j++){if (a[p][j]<d[j]) d[j]=a[p][j];}}}int main(){memset(a,0,sizeof(a));scanf("%d%d",&n,&m);mi=INT_MAX;for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=n;j++){a[i][j]=INT_MAX;}}for (i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&k,&j,&t);if ((t<a[k][j])||(t<a[j][k])){a[k][j]=t;a[j][k]=a[k][j];}}prim();printf("%d",s);return 0;}1.2、克鲁斯卡尔算法假设N=(V,{E})是连通网，将N中的边按权值从小到大的顺序排列；①、将n个顶点看成n个集合；②、按权值小到大的顺序选择边，所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内，将该边放到生成树边的集合中。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论中的常用经典算法
图论中的常用经典算法第一节最小生成树算法一、生成树的概念若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。
在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。
要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。
由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。
如下图：但不管如何，我们都可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
二、求图的最小生成树算法严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。
对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
例1、城市公交网[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。
[输入]n（城市数，1<=n<=100）e（边数）以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
数学建模中的图论算法及其应用研究
数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。
图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。
本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。
点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。
图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。
1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。
邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。
二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。
从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。
DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。
2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。
从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。
BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。
Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。
3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。
它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。
它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
离散数学中常用的图论算法简介
离散数学中常用的图论算法简介图论是高等数学中的一个分支，主要涉及在图中寻找什么样的路径，以及什么样的点之间有什么样的关系。
在计算机科学中，图论的应用越来越广泛。
因为所有的计算机程序都是基于数据结构的，而图是一种最基本的数据结构之一。
离散数学中的图论算法大致可以分为两类：一类是针对稠密图的算法，另一类是针对稀疏图的算法。
稠密图指的是一种图，其中每对顶点都有一条边相连，而稀疏图则是指只有一部分顶点之间相连的图。
以下是一些常见的图论算法的简介。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求图中最短路径的算法，也是最常用的图论算法之一。
Dijkstra算法的主要思想是通过贪心策略，从起点出发，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点。
Dijkstra算法可以用来解决单源最短路径问题。
如果图中有n个顶点，算法的时间复杂度为O（n²）。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种用于求最小生成树的算法。
最小生成树指的是，通过连接图中一些顶点形成一棵树，使得这些顶点之间的总权重最小。
Kruskal算法的主要思想是将图中的所有边按照权重进行排序，然后依次加入到生成树中，如果新加入的边会形成环，则不将其加入到生成树中。
如果图中有n个顶点，那么算法的时间复杂度为O（nlogn）。
3. Floyd算法Floyd算法用于求图中任意两个点之间的最短路径。
如果图中所有的权重都是正的，那么Floyd算法的时间复杂度为O（n的三次方），但是如果存在负权重，那么该算法不适用。
关于负权环的处理，可以通过Bellman-Ford算法进行解决。
4. Prim算法Prim算法是一种用于求最小生成树的算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法是基于顶点集来实现，而不是基于边集。
Prim 算法首先找到一个起点，将其加入到生成树中，然后找到与其相连的边中权重最小的那一条，将其相连的顶点加入到生成树中，重复这一步骤直至所有顶点都被加入到生成树中。
图论算法(C版)
•
int circuit[maxn];
//用来记录找到的欧拉路的路径
•
int n,e,circuitpos,i,j,x,y,start;
•
void find_circuit(int i)
//这个点深度优先遍历过程寻找欧拉路
•
{
•
int j;
•
for (j = 1; j <= n; j++)
•
if (g[i][j] == 1)
•}
• 主程序如下:
• int main()
•{
• ……
• memset(visited,false,sizeof(visited));
• for (int i = 1; i <= n; i++)
//每一个点都作为起点尝试访问，因为不是从任何
•
//一点开始都能遍历整个图的，例如下面的两个图。
•
if (!visited[i])
• (b)无向图：图的边没有方向，可以双向。(b)就是一个无向图。
1
1
• 结点的度：无向图中与结点相连的边的数目，称为结点的度。 5
25
2
• 结点的入度：在有向图中，以这个结点为终点的有向边的数目。 4
• 结点的出度：在有向图中，以这个结点为起点的有向边的数目。
3
43
• 权值：边的“费用”，可以形象地理解为边的长度。
•
}
•
…………
•
return 0;
•}
• 建立邻接矩阵时，有两个小技巧:
•
初始化数组大可不必使用两重for循环。
•
1) 如果是int数组，采用memset(g, 0x7f, sizeof(g))可全部初始化为一个很大的数(略小于0x7fffffff)，使用
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数学建模
一个图形或汉字是否能一笔画成？ 地图上的颜色至少有多少种？
.......
数学建模
图的定义
图并不是几何学中的图形,而是客观世 界中某些事物间联系的一个数学抽象,用顶 点代表事物,用边表示各事物间的关系,如果 所讨论的事物之间有关系,就把相应的顶点 连成一条边.这种由顶点及边所组成的图,就 是图论中研究的图.
8
7 4
a
b
数学建模
最小生成树
避圈法步骤： 1. 在所有各边中找到边权最小的一条，将其作为第 一边；在剩余的边中，仍然找到边权最小的作为第二 条边； 2. 在剩余的边中，找到边权最小的边，查看其是 否与前面的边形成圈，如果没有，则在最小部分树中 添加该边，如果形成了圈，则不再考虑该边；
3. 重复进行第二步，直到找到第 n-1 条边为止。
数学建模
2010年东北赛B题
巡回演唱会
Avril同学要在中 国的省会城市、直 辖市、香港、澳门、 台北各举行一场演 出会。
按地理位置（经纬 度），请你为她设 计最短的巡回路径 方案。
做出题的同 学，将有机 会与此巡回 演唱会同行。
数学建模
数学建模
城市个数为n。
i dij 是两个城市 与 j 之间的距离。
数学建模
欲建设一个连接7个城市的光纤通信网络。 各城市间线路的造价如图所示，求一个使 总造价最少的线路建设方案。
A
2
27
S 5 B 5 D5
F
4
131
7
C 4E
数学建模
A
2
2
7
5
5
5
S
B
D
F
4
1
1
3
7
C
4
E
数学建模
A
2
2
5
S
B
D
F
1
1
3
C
E
结果为14
数学建模
最短路问题
最短路问题
Dijkstra算 法（1959 年提出）
例 下图中（b）和（c）都是（a）的生成树。
a
b
c
数学建模
对树的理解
最小生成树：设G=<V，E，f>是一连通 带权图，T是G的一棵生成树，T的边集用E （T）表示，T的各边权值之W和T f (e)
eE (T )
称为T的权。G的所有生成树中权最小的生 成树称为G的最小生成树。
例
1
11
3 27 8 3
数学建模
各个点都与奇数条边 相连所以不能实现
七桥路径图
一笔写字问题
口日
数学建模
目田
数学建模
汉密尔顿图
• 从图G的一点出发，经过每个点一次，且又 能回到原点，这样的图是Hamilton图
• 充分条件：图G中任意两点的度数之和大于 等于顶点数
注意：目前没有充分必要要条件来判断任 意一图是否为Hamilton图
有三个人与三个鬼过河，只有一条小 船，小船上最多能载两个人或两个鬼或一 人一鬼，但河岸上鬼的数量不能大于人的 数量，如若大于，则人会被鬼所吞噬。问 怎样才能让人们安全的过河呢？
数学建模
鬼 3
2
1
0
1
2
3人
• 用7个小圆圈分别代表7门课程 • 如果两门课程最少有同一名学生选择，那
么在它们之间连一条直线段 • 给顶点涂上不同的颜色 • 相邻的两点不能涂相同的颜色
边Edge
G
数学建模
A
顶点Vertex
B
F
C
F的度度数=2
E
D
图Graph
地图染色问题
数学建模
对任意一幅地图的每个区域指定一种颜 色，使相邻的区域不同色。问最少要用多少 种颜色才能实现？
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例2 人鬼过河问题
Floyd算法 （1962年 提出）
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Floyd算法
1962年提出 可以直接求网络中任意两点间的最短路。
令网络的权矩阵为D=(dij)n×n dij为vi到vj的距离。
若i与j不相邻，令dij为无限大。
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Floyd算法
算法的基本步骤
（1）输入权矩阵 D(0) D
（2）计算 D(k) (di(jk) )nn
(k 1,2, ,n)
其中 d(k) ij
min[di(jk
1)
,
d(k ik
1)
d(k kj
1)
]
（3）D(n)
中元素 (di(jn) )nn
d (n) ij
就是vi到vj的最短路长
数学建模
例：求A、B、C、D、E、F、S 任意两点之间的最短的距离？
A
2
27
S
5
B5
D5
F
4
1
3
1
7
C
4E
数学建模
数学建模
考试问题
学生编号为1~10，课程编号为A~G， 各课程的选课情况为A{1,2,3},B{1,3,4,5}, C{2,5,6,7}, D{4,7,8,9}, E{2,6,7}, F{8,9,10}, G{1,3,9,10}。问最少要安排多少次考试可使 所有人的所有课程都考完？
图论模型
数学建模
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四色猜想
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这个猜想说，在一个平面或球面上的任 何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有 两个相邻的国家有相同的颜色。每个地图可 以导出一个图，用点表示国家，当相应的两 个国家相邻时这两个点用一条线来连接。
哥尼斯堡七桥问题
数学建模
问题
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能否从一点出发，走遍7座桥，且 通过每座桥恰好一次，最后仍回到起 始点。
xij 1
ij城市有路。
xij 0 ij城市没路。
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min
dij xij
i j
n
1 i与j之间有路
s.t. j1 xij 0 i与j之间没路
xij 0,1, i, j 1,2,, n, i j
数学建模
对树的理解
树：不包含回路的连通图称为树。
例
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对树的理解
生成树：若连通图G的生成子图T是一棵树， 则称T为G的生成树。
数学建模
欧拉图
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• 从图G的一点出发，经过每条边一次，且又 能回到原点，这样的图是Euler图
• 如果图G的每个顶点的度数都为偶数那么G 是Euler图
欧拉通路
数学建模
• 从一点出发经过图G的每条边一次，最后到 达另外一点，这样的图含有欧拉通路
• 图G中恰好有两个点的度数为奇数，那么这 样的图中含有欧拉通路