图论及其算法
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
图论中的最短路径问题及其算法实现
图论中的最短路径问题及其算法实现图论是研究图结构及其特性的数学分支。
在图论中，最短路径问题是其中一个经典的研究课题。
这个问题的核心是在一个有向或无向的图中，找到两个顶点之间的最短路径，即路径上各边的权重之和最小。
本文将介绍最短路径问题的基本概念，并详细探讨两个常用算法实现：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
一、最短路径问题概述最短路径问题是图论中的一类重要问题，它的解决方法被广泛应用于交通路线规划、通信网络等领域。
在求解最短路径问题时，一般需要考虑以下几个要素：1. 图的构建：首先需要构建一张合适的图，图可以是有向图或无向图。
顶点表示图中的节点，边表示节点之间的连接关系或路径，边上可能带有权重信息。
2. 起点和终点：指定需要寻找最短路径的起点和终点。
根据具体情况，起点和终点可以是图中的任意两个顶点。
3. 路径长度度量：在不同应用场景中，路径长度的度量方式可能不同。
在某些情况下，路径长度可以简单表示为路径上各边权重之和；而在另一些情况下，路径长度可能还需要考虑其他因素，如路径中经过的顶点数目。
二、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种常用的解决最短路径问题的贪婪算法。
该算法基于图的深度优先搜索思想，通过不断更新顶点的最短距离，逐步确定起点到每个顶点的最短路径。
其基本思路如下：1. 初始化：设定起点为源点，将源点的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2. 迭代更新：从源点开始，依次选择距离最小的顶点，并更新与其相邻顶点的距离。
具体操作是，对于当前选中的顶点，计算其相邻顶点经过该顶点到达源点的距离，如果该距离小于相邻顶点的当前距离，则更新相邻顶点的距离值。
3. 结束条件：当所有顶点都被标记为已访问或者没有可达的顶点时，算法结束。
三、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的常用算法，它可以处理一些特殊情况下的图，如存在负权边的图。
图论中的最短路径算法及其应用
在图论中，最短路径是指在一个给定的加权有向图或无向图中，两个顶点之间连接的最小权值总和的路径。
最短路径问题是图论中常见且重要的问题，而最短路径算法则是解决这类问题的关键。
最短路径算法有多种，其中最经典且常用的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
这些算法都有各自的特点和适用范围，下面将逐一介绍。
首先是Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算从单个源点到图中所有其他顶点的最短路径。
算法的基本思想是通过逐步更新起始点到其他各点的最短路径，直到找到所有最短路径为止。
该算法对边的权值没有要求，可以是正值也可以是零或负值，但不能存在负权回路。
因此，Dijkstra算法适用于求解正边权的最短路径问题。
其次是Bellman-Ford算法。
Bellman-Ford算法也是一种单源最短路径算法，与Dijkstra算法相比，Bellman-Ford算法对边的权值没有任何限制，可以存在负权边和负权回路。
算法的基本思想是通过逐步松弛边来更新起始点到其他各点的最短路径，直到找到所有最短路径为止。
但由于负权回路的存在，算法可能会无限循环下去，因此需要通过限制循环次数来避免算法陷入死循环。
最后是Floyd-Warshall算法。
Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，用于计算图中任意两个顶点之间的最短路径。
算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐步更新任意两个顶点之间的最短路径长度。
与Dijkstra算法和Bellman-Ford算法不同的是，Floyd-Warshall算法对边的权值也没有要求，可以是正值、零值或负值。
但该算法的时间复杂度较高，适用于图中顶点较少的情况。
这些最短路径算法在实际应用中有各自的优势和应用场景。
比如，Dijkstra算法常用于网络路由设计、GPS导航系统等需要求解单源最短路径的问题。
Bellman-Ford算法常用于检测负权回路、寻找图中的负环等。
图论及其算法
《图论及其算法》--最短路问题学院：通信学院姓名：周旋学号： S110131133 指导老师：陈六新摘要图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这些图形通常用来描述某些事物之间的特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有的关系。
通过对《图论及其应用》中最短路问题的深入学习，本文利用Dijkstra算法来解决日常生活中寻找最短路的问题。
同时也是对本学期学习知识的巩固。
关键词：最短路径 Dijkstra算法迭代AbstractGraph theory is a branch of mathematics, it studies the object of picture. Graph theory graph is given by the number of points and lines connecting the two points of the graphic form. These graphics are often used to describe a specific relationship between certain things. And with the point on behalf of things, with the line connecting the two points that have a corresponding relationship between two things. Through the "Graph Theory and Its Applications," in-depth study of the shortest path problem.In this paper, we use The Dijkstra's algorithm not only to solve everyday life to find the shortest path problem, but also for the consolidation of the semester to learn the knowledge.Keyword: shortest path Dijkstra's algorithm Iteration引言边上有数的图成为加权图（weighted graph）。
图论中的常用经典算法
图论中的常用经典算法第一节最小生成树算法一、生成树的概念若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。
在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。
要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。
由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。
如下图：但不管如何，我们都可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
二、求图的最小生成树算法严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。
对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
例1、城市公交网[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。
[输入]n（城市数，1<=n<=100）e（边数）以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
图论的基础概念和算法
图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
数学建模中的图论算法及其应用研究
数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。
图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。
本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。
点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。
图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。
1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。
邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。
二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。
从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。
DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。
2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。
从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。
BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。
Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。
3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。
它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。
它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。
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《图论及其算法》--最短路问题学院：通信学院姓名：周旋学号： S110131133 指导老师：陈六新摘要图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这些图形通常用来描述某些事物之间的特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有的关系。
通过对《图论及其应用》中最短路问题的深入学习，本文利用Dijkstra算法来解决日常生活中寻找最短路的问题。
同时也是对本学期学习知识的巩固。
关键词：最短路径 Dijkstra算法迭代AbstractGraph theory is a branch of mathematics, it studies the object of picture. Graph theory graph is given by the number of points and lines connecting the two points of the graphic form. These graphics are often used to describe a specific relationship between certain things. And with the point on behalf of things, with the line connecting the two points that have a corresponding relationship between two things. Through the "Graph Theory and Its Applications," in-depth study of the shortest path problem.In this paper, we use The Dijkstra's algorithm not only to solve everyday life to find the shortest path problem, but also for the consolidation of the semester to learn the knowledge.Keyword: shortest path Dijkstra's algorithm Iteration引言边上有数的图成为加权图（weighted graph）。
若边e标记数k，称边e的权(weight)为k。
在加权图中，链（迹、路）的长度为链（迹、路）上所有边的权值的和。
在加权图中，我们经常需要找出两个指定点之间的最短路（如有最小长度的路），通常称其为最短路问题（shortest path problem），解决最短路问题存在几个不同的算法。
我们要介绍的是迪克斯拉屈算法，这是荷兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra（1930- ）在1959年发现的一个算法。
他在1972年获得美国计算机协会授予的图灵奖，这是计算机科学中最具声望的奖项之一。
第一章迪克斯屈拉算法1.1算法介绍Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
Procedure Dijkstra（G：所有权都为正数的加权连通简单图）{G带有定点a=v0, v1 ……，v n=z和权w（v i , v j）,若{ v i, v j }不是G中的边，则w（v i, v j）=∞}For i:=1 to nL（vi）:=∞L（a）: =0S:=φ{初始化标记，a的标记为0，其余结点标记为∞，S是空集}While z Sbeginu:=不属于S的L（u）最小的一个顶点S：=S{u}for 所有不属于S的顶点vif L(u)+w(u,v) < L(v)then L(v):=L(u)+w(u,v){这样就给S中添加带最小标记的顶点并且更新不在S中的顶点标记}end {L（z）=从a到z的最短路的长度}1.2 根据Dijkstra 算法给出的定理定理 1 迪克斯屈拉算法求出连通简单无向加权图中的两个顶点之间最短路的长度。
迪克斯屈拉算法通过一步一步的迭代求出最短路径，假设在第k 次迭代中。
在s 中的顶点v 的标记L(v)是从a 到这个顶点v 的最短路的长度。
不在s 中的顶点的标记是（除了这个顶点自身之外）只经过s 中顶点的从a 到这个顶点的最短路的长度。
设u 是第k 次迭代结束时带最小标记的不在s 中的顶点（若该顶点不唯一，可采用带最小标记的任意顶点）。
在第k+1次迭代中，u 是添加到s 中的顶点，则在第k+1次迭代中，u 的标记必须是a 到u 的最短路的长度。
否则，k 次迭代后，从结点a 到某个结点l 的路，其路得长度小于Lk （v ）。
定理2 迪克斯屈拉算法使用O （n2）次运算（加法和比较）来求出n 阶连通简单无向加权图中两个顶点之间最短路的长度求加权无向图中最短路的Dijkstra 算法可以推广到求加权有向图中最短有向路。
定理3 设有向图G 中不含长度非正的有向圈，并且从点1到其余各点都有有限长的有向路。
定理4 设Sj 是加权有向图G 中自结点1到结点j 的最短有向路的长度，并且对所有的j=1，2，3，……，n ，Sj 为有限值。
若图G 中除结点1外的其余各点能重新编写成如下的序号2，3，……，n 使得对所有i<j ，成立S S £且w(j,i)或者i S S ³且w<j,i>=,即<j,i>E （G ），则定理5 设G=<V,E>是一个边权为正值的有向图，其中V={1，2，3……，n}。
则在G 中，任意一条最短有向路得长都大于它的真子有向路的长。
Dijkstra 算法求出了图中一个特定顶点到其他各定点的最短路，可以利用Dijkstra 算法解决实际生活中的一些问题。
第二章Dijkstra算法实际应用2.1 问题的提出在现实生活中，我们常常会遇到很多问题，都是要找到一个地方到另一个地方的最短路径，当然还要满足各方面的要求，包括可实现性、预算、带来的利益等各方面条件。
比如Dijkstra算法在城市交通中的应用，在铺设电线以及水管方面的应用。
通常我们解决的办法就是找到一条距离最短，又在现实可接受范围内的路径。
2.2 运用Dijkstra算法解决具体问题我们中国地形比较复杂，要想从一个城市修建到另一个城市的铁路，需要经过各方面精确的计算，考虑到各种地形、环境、气候因素，在两个城市间建设最短路程的铁路同时又要满足尽可能多的路过更多的城市，使交通更加方便，节约成本。
比如就以乌鲁木齐到上海的铁路修建为例，其间要经过很多城市，通过不同的地形，有山地、丘陵、高原、平原等。
考虑到尽可能多的路过城市，节约成本、环节交通压力，与此同时同样重要的是找到一条最短的路径，才能够节约材料、时间。
假设乌鲁木齐跟上海之间主要有这样几个城市：西宁、重庆、郑州、武汉、西安。
主要是分为北线和南线，北边是西宁、郑州；南边是重庆、武汉。
为了方便直观观察，根据这几个城市的地理位置，画一张简单的地理位置图。
图中字母分别表示A（乌鲁木齐），B（西宁），C（西安），D（重庆），E（武汉），F（上海）。
根据具体情况，以及两地间的距离，我们用1—10来表示两地之间的长度，即1表示最短，10表示最长，一共10个刻度，例如新疆到重庆就比新疆到西宁要远，而且穿越的山地较多，所以表示的刻度值也大。
相应的我们得出两个城市之间的长度（即权值），由于铁路设计涉及到要在可能的情况下经过更多的城市，所以有些直接到达的路径没有画出，例如从B（西宁）直接到F （上海）。
根据实际距离以及地形因素，在图中给出了相应比例的权值，如图所示。
下面通过Dijkstra算法，求出从A（乌鲁木齐）——F（上海）的最短铁路路径。
定义A点为L（A）=0，S为标记的集合。
第0次迭代：L（A）=0，所以L（B）= L（C）= L（D）= L（E）= L（F）=¥集合S={A}第1次迭代：其他结点到A的权值最小的一个w(a,b)=4, w(a,d)=8,其余为¥。
那么S={A,B}第2次迭代：从B点出发，找出剩下结点到B权值最小的w(b,c)=7, w(b,d)=6, w(b,e)=5,其余为¥。
S={A,B,E}第3次迭代：从E点出发，找出剩下点到E权值最小的w(e,c)=4, w(e,f)=3,其余为¥（由于不会倒回，所以只计算前面的结点）S={A,B,E,F}结论：根据Dijkstra 算法，可以求出从A 到F 的最短路径为{A,B,E,F}，以上只是Dijkstra 算法在生活中的一个简单的应用，看上去并没有简单很多，但对于很复杂的图来说，用Dijkstra 算法来求最短路径就会节省很多时间。
2.3 用Dijkstra 算法解决比较复杂的问题要求找出从a 点到g 点的最短路径。
对于这种比较复杂的，用一般的观察就很难找出从a 点到g 点的最短路径，所以就必须利用比较简单的算法，根据Dijkstra 算法通过几次迭代可以很容易求出。
第0次迭代：L （a ）=0,集合S={a}第1次迭代：w(a,b)=2, w(a,c)=4, w(a,c)=4 w(a,d)=1, w(a,e)=3S={a,d}第2次迭代：w(d,b)=2, w(d,f)=3, w(d,e)=3S={a,d,b}第3次迭代：w(b,c)=5, w(b,f)=2S={a,d,b,f}ag bd c e5第4次迭代：w(f,c)=1, w(f,e)=2, w(f,g)=6S={a,d,b,f,c}第5次迭代：w(c,e)=2, w(c,g)=4S={a,d,b,f,c,e}第6次迭代：w(e,g)=1S={a,d,b,f,c,e,g}结论：通过一系列迭代，可以找到a点到g点的最短路径，可以看见，对于这种比较复杂的图，通过直观的观察我们很难找到最短路径，所以通过《图论及其算法》中学过的Dijkstra算法可以大大简化，节约时间。
第三章结论通过本学期对《图论及其算法》的学习，使我深刻体会到了图论在实际生活中的广泛应用，也使从以前的定向思维上升了一个台阶，学会把抽象的变为具体，能用图、点、线来描述抽象的事物，把很多抽象的知识具体化，使得抽象的知识更容易理解、记忆。