2019-2020学年高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案(含解析)新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数模型的实际应用c c知识导图学法指导1.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型．2．在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.1.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．( ) (2)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( ) (3)若函数y ＝a sin x ＋1在x ∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a 的取值范围是[－1,1]．( )(4)已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －54π＋20，x ∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20 ℃.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2.答案：C4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C. 答案：C类型一 三角函数在物理中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．(2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T ＝2π2＝π，即经过约π s 小球往返振动一次．(4)f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次.令t ＝0解1→令h ＝±3解2→问题3即求周期T→问题4即求频率f T的倒数方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解析：列表如下，t－π6 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 0 1 0 －1 0 s4－4描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．类型二 三角函数在实际生活中的应用例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t (h)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据.t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？【解析】 (1)依题意，得T ＝12，A ＝y max －y min2＝0.5，b ＝y max ＋y min 2＝1，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝12cos π6t ＋1.(2)令y ＝12cos π6t ＋1>1，则2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，所以12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )，又因为8<t <20，所以令k ＝1，可得9<t <15, 所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.根据已知数据，借助散点图草图，确定解析式，利用三角不等式求范围，确定时间． 方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式． (2)利用y ＝60.5解t. 类型三 根据数据拟合函数例3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.t /小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】 (1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(0≤t ≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米， 由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12.①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时. 由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt＋b. 方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y ＝f (x )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0,2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24.所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15.根据表格，确立y ＝A cos ωt＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式．1.6[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150B ．50 C.1100D ．100 解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y10 0009 500则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元解析：因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即⎩⎪⎨⎪⎧sin 2ω＋φ＝0，sin ω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z .又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y ＝9 000. 答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( ) A ．2 s B ．1 s C.12 s D.14s 解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s.答案：C5．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)解析：令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7.∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )的血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T ＝80(次/分)．答案：807．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)关于时间t (单位：s)的函数解析式是s ＝A sin(ωt ＋φ)，0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________.解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34. 所以T ＝1，则ω＝2πT＝2π.因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6.答案：π68．某城市一年中12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 °C,12月份的月平均气温最低，为18 °C，则10月份的月平均气温为________ °C.解析：根据题意得28＝a ＋A,18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π612－6＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以函数y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π610－6＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.5三、解答题(每小题10分，共20分)9．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移． 解析：(1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ， 所以A ＝10 cm.设周期为T ，则T2＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的距离为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm)．5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm.10．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解析：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为1103V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[能力提升](20分钟，40分)11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 解析：由题意知，函数的周期为T ＝60，∴|ω|＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋φ.∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式可以是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋π6.又由秒针顺时针转动可知，y 的值从t ＝0开始要先逐渐减小，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6，故选C.答案：C12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O 距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．解析：过O 作水平面的垂线，垂足为Q ，如图所示由已知可得OQ ＝3，OP ＝6， 则cos∠POQ ＝12，即∠POQ ＝60°，则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒． 答案：513．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T ＝2πω，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f ＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t /min 0 1320 1160 3320 180 P (t )/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P (t )的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：时)呈周期性变化，每天t 时刻的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(2)从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ；y ＝A tan(ωt ＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解析：(1)散点图如图所示，(2)由(1)知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24， 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．。
2020版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4_178.doc
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型.梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意知，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin(2πt ＋π6).(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s).列表：t 016 512 23 111212πt ＋π6π6 π2π3π22π2π＋π66si n(2πt ＋π6) 3 6 0 －6 0 3描点画图：(2)①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692 米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于(59＋4923)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t 分钟时距地面y 米，则α＝2π18t＝π9t .由y ＝108－982－982cos π9t＝－49cos π9t ＋59(t ≥0).令－49cos π9t ＋59＝692，得cos π9t ＝12，∴π9t ＝2k π±π3， 故t ＝18k ±3，k ∈Z ，故t ＝3，15，21，33. 故当此人第四次距离地面692 米时用了33分钟.(2)由题意得－49cos π9t ＋59≥59＋4923，即cos π9t ≤－32.故不妨在第一个周期内求即可， 所以5π6≤π9t ≤7π6，解得152≤t ≤212，故212－152＝3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在ts 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0).(2)由10sinπ15t＋12≥17，得sinπ15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos⎝⎛⎭⎪⎫glt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.答案g4π2解析∵T＝2πgl＝1，∴gl＝2π，∴l＝g4π2.2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x－6) (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.答案20.5解析由题意可知A＝28－182＝5，a＝28＋182＝23，从而y＝5cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x－6)＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos⎝⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝A sin(ωt ＋π2)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝π3，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________.答案π3α＝π3sin(2t＋π2)，t∈[0，＋∞)解析∵当t＝0时，α＝π3，∴π3＝A sin π2，∴A ＝π3. 又∵周期T ＝π，∴2πω＝π，解得ω＝2.故所求的函数解析式是α＝π3sin(2t ＋π2)，t ∈[0，＋∞). 4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 答案 D解析 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D. 2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B.f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C.f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)答案 A解析 令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C.或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. ∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *).3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20] 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z 知，函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3.ω＝152π，A ＝3C.ω＝2π15，A ＝5.ω＝152π，A ＝5答案 A解析 由题目可知最大值为5，所以5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15 s ，则ω＝2π15.故选A. 5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t ) m ，则h (t )等于( )A.30sin(π12t －π2)＋30.30sin(π6t －π2)＋30C.30sin(π6t －π2)＋32.30sin(π6t －π2)答案 B解析 过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12＝π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t .设θ＝π6t ，当θ>π2时，∠BON ＝θ－π2，h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin(θ－π2)，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h ＝30＋30sin(θ－π2)＝30sin(π6t －π2)＋30.7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C.50 s D.100 s 答案 A 二、填空题8.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋π6)(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是________安.答案 5解析 由图象可知A ＝10， 周期T ＝2×(4300－1300)＝150，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝150秒时，I ＝10sin(2π＋π6)＝5(安).9.设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________. 答案 80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分).10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________________.答案 h ＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]解析 根据题图设h ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h ＝6sin(π6t －π)＝－6sin π6t ，t ∈[0，24].11.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0，60].答案 10sin πt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt 60. 12.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________.答案 34解析 取K ，L 的中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34. 三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数；(2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π6， 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6. 故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin πx 2的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( )A.5B.6C.7D.8答案 C15.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.解 (1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8， ∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8，14].。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用导学案 新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律； 2．能根据实际问题的意义，利用三角函数模型解决有关问题，为决策提供依据．1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的图象与性质 (1)图象的画法：“五点法”和变换法． (2)定义域：__. (3)值域：__________.当x ＝________(k ∈Z )时，y 取最大值A ＋b ；当x ＝________(k ∈Z )时，y 取最小值－A ＋b .(4)周期：T ＝__.(5)奇偶性：当且仅当φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是__函数；当且仅当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是__函数．(6)单调性：单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ，2k π＋π2－φω(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ，2k π＋3π2－φω(k ∈Z )．(7)对称性：函数图象与__轴的交点是对称中心，即对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0，对称轴与函数图象的交点的__坐标是函数的最值，即对称轴是直线x ＝k π＋π2－φω，其中k ∈Z .(8)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距__个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的________．【做一做1－1】 y ＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6的周期与最大值分别是( )A ．12π，7B ．12π，－7C ．12,7D ．12，－7【做一做1－2】 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝π6C ．x ＝π2D ．x ＝2π3【做一做1－3】 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (x )的解析式是__________．2．三角函数模型的应用(1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机．(2)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(3)建立三角函数模型的步骤如下：【做一做2】 某地一天从6～14时的温度变化满足y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6,14]，则最高气温和最低气温分别是( )A ．10，－10B ．20，－20C ．30,20D ．30,10答案：1．(2)R [－A ＋b ，A ＋b ] 2k π＋π2－φω 2k π－π2－φω (4)2πω (5)奇 偶(6)2k π－π2－φω 2k π＋π2－φω(7)x 纵 (8)半 四分之一【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 B【做一做1－3】 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6 由图象得A ＝2，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，则2πω＝2，解得ω＝π.则有f (x )＝2sin(πx ＋φ)，函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，即2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 又|φ|＜π2，则φ＝π6.【做一做2】 D 由6≤t ≤14，得3π2≤π8t ＋3π4≤5π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4∈[－1,1]，可得y min＝－10＋20＝10， y max ＝10＋20＝30.解三角函数应用题的步骤剖析：(1)审清题意，读懂题．三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．(3)讨论变量关系．根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，转化为讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质，从而得到所求问题的理论参考值．(4)作出结论．根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论．题型一 在生活中的应用【例1】 如图，某动物种群数量12月1日低至700,6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量作为月份t 的函数表达式； (2)估计当年3月1日动物的种群数量．分析：(1)根据曲线求出函数表达式；(2)由表达式求出当年3月1日即t ＝3时对应的函数值．反思：在生活中，呈周期变化的现象，常用三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 来描述，通过讨论其图象和性质来解决实际问题．题型二 在物理中的应用【例2】 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示． 求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 分析：(1)开始时的电压即t ＝0时电压E 的值； (2)电压值每周期重复出现一次； (3)电压的最大值可由关系式求出．反思：由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键．答案： 【例1】 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800，又周期T ＝2(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.则有y ＝100sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2.∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝3时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3－π2＋800＝800，即当年3月1日种群数量约是800.【例2】 解：(1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150秒，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏，令100πt ＋π6＝π2，解得t ＝1300.即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值．1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数解析式为s ＝π6sin 2π6t ⎛⎫+⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________s.2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝π300sin 50π3t ⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．I ＝π300sin 50π3t ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．I ＝π300sin 100π3t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．I ＝π300sin 100π3t ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__________s 往复一次．4．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝__________.5．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?答案：1．1 单摆来回摆动一次所用的时间为一个周期，即T ＝2π2π＝1(s)． 2．C 由图象得周期T ＝112150300⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝150，最大值为300，经过点1,0150⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω＝2πT＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝1300sin 100π150ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭. ∴2πsin 3ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝0，取φ＝π3.∴I ＝π300sin 100π3t ⎛⎫+⎪⎝⎭.3．0.8 由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次． 4．ππ2sin 644x ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 由题意得8,4,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4. ∴f (x )＝π2sin 64x ϕ⎛⎫++⎪⎝⎭. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝3π2sin 64ϕ⎛⎫++⎪⎝⎭. ∴3πsin 4ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝1，取φ＝π4-.∴f (x )＝ππ2sin 644x ⎛⎫-+⎪⎝⎭.5. 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝2ππ40sin 5032t ⎛⎫-+⎪⎝⎭.(2)令2ππ40sin 5032t ⎛⎫-+⎪⎝⎭＞70，∴2ππsin 32t ⎛⎫-⎪⎝⎭＞12，∴2k π＋π6＜2ππ32t -＜2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3＜2π3t ＜2k π＋4π3，∴3k ＋1＜t ＜3k ＋2.令k ＝0得1＜t ＜2.因此，共有1 min 距地面超过70 m.。
2019-2020年高一数学三角函数模型的简单应用教学设计案例 新课标 人教A版 必修4
2019-2020年高一数学三角函数模型的简单应用教学设计案例新课标人教A版必修4一、教材的地位与作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力二、教学目标分析1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
三、教学重点和难点教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质教学难点：a分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b由图象求解析式时的确定。
四、教法分析1、数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，所以要充分呈现获取知识和方法的思维过程。
本节课的特点是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后老师启发、总结、提炼、升华为分析解决问题的能力。
2、多媒体辅助教学：通过几何画板、动画等技术制作多媒体课件，直观反映生活中的三角函数例子，并用多媒体反映图形的变化过程。
五、学法分析我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用2教案新人教A版必修
2019-2020年高中数学第一章三角函数 1.6三角函数模型的简单应用2教案新人教A教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力•培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力•由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等.三维目标1. 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律•将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2. 通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力.3. 通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时第2课时导入新课思路1.通过展示上节作业引入，学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，② 智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等思路2.（复习导入）回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.推进新课新知探究提出问题①本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象•回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？②请做下题(xx浙江高考)若函数f(x)=2sin( 3 x+ $ ),x € R(其中3> 0,| $ | V )的最小正周期是n ,且f(0)=,则()A. 3 =, $ =B. 3 =, $ =C. 3 =2, $ =D. 3 =2, $ =活动：这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业.教师指导、适时设问，让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中，使学生的思维状态进入到现在的情境中.讨论结果：①略②D应用示例例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有 1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口？在港口能呆多久？⑶若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图，提醒学生注意仔细准确观察散点图，如图6.教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin( 3x+ $ )+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深，我们可以根据数据确定相应的A, 3 , $ ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深.图6根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解•注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港•这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯•在本例⑶ 中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？弓I导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型•求货船停止卸货，将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候•进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价•通过讨论或争论，最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨•解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图6).根据图象，可以考虑用函数y=Asin( 3x+ $ )+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：A= 2.5，h = 5，T = 12，$ = 0，由T== 12,得3 =.所以这个港口的水深与时间的关系可用y = 2.5sinx+5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：⑵货船需要的安全水深为4+1.5 = 5.5(米)，所以当y》5.5时就可以进港令 2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2. 由计算器可得 MODE MODESHIFTsin -10.2 □0.201 357 92 〜0.201 4.解得 X A ~ 0.384 8,x B ~ 5.615 2. 由函数的周期性易得 :x c ~ 12+0.384 8 = 12.384 8,x D ~ 12+5.615 2 = 17.615 2.因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30⑶设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x- 2)(x >2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象 ,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果 .在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为 4.3米;6.5时的水深 约为4.2米，此时货船的安全水深约为 4.1米;7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为 4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.点评：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表 ，要想如图7,在区间[0,12]因此x〜A 、B,分左右出港.每次可以在港口停留由此表直接得到函数模型是很困难的•对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解•同时需要强调,建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的•这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析•如本例中，一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释•变式训练发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数，1 A=I S in 3 t，I B=Isi n( « t+120 ° )，I ________________ c=ls in( « t+240 ° )，贝U I A+|B+|C= .答案：0例2图9,是一个单摆的振动图象，据图象回答下列问题：(1) 单摆振幅多大；(2) 振动频率多高；(3) 摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4) 摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；⑸若当g= 9.86 m/s 2J，求摆线长.活动：引导学生观察图象并思考，这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例•点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点•通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin( 3 x+ $ )来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系•解:结合函数模型和图象：(1)单摆振幅是1 cm；⑵单摆的振动频率为 1.25 HZ;(3) 单摆在0.6 S通过平衡位置时，首次具有速度的最大负值；(4) 单摆在0.4 S时处正向最大位移处，首次具有加速度最大负值；⑸由单摆振动的周期公式T=2n，可得L==0.16 m.点评：解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型，然后按数学模型处理.同时要注意检验，使所求得的结论符合问题的实际意义.变式训练1. 已知函数f(x) = sin( 3 x+$ )( 3 >0,0 w $ < n )为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.(1) 求函数f(x)的解析式；⑵若sinx+f(x) =,求sinxcosx 的值.解:⑴T f(x)为偶函数,/• f( —x) = f(x), 即sin( —3 x+ $ ) = sin( w x+ $ )..•. © =.••• f(x) = sin( w x+) = cos w x.相邻两点P(x o,1), Q(x o+, —1).由题意,|PQ| = = n +4.解得w = 1.• f(x) = cosx.(2) 由sinx+f(x) =,得sinx+cosx =.两边平方，得sinxcosx =.2. 小明在直角坐标系中，用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2cm代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为y=sinx,x € R,由于纵坐标改用了 2 cm代表一个单位长度，与原来1 cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表个单位长度了.由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y= sinx,x € R.同理,若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm代表一个单位，则横坐标被压缩到原来的，原曲线周期就由2n变为n .故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y = sin2x,x € R3. 求方程Igx = sinx实根的个数.解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y = lgx和y= sinx的图象，如图10.可知原方程的解的个数为 3.图10点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法.知能训练课本本节练习33.本题可让学生上网查一下，下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象，根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼，在什么时候应当保持体力，以利于学生的高效率学习.点评：通过解决可用三角函数模型描述的自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，体会数学应用的广泛性•课堂小结1. 让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用2. 三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意T设角建立三角式T进行三角变换T解决实际问题•在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题作业如图11, 一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至0点，由于运动员的技巧（不计阻力），在0点保持速率v o不变，并以倾角0起跳，落至B点，令OB=L，试问，当a =30°时丄的最大值为多少？当L取最大值时，B为多大？分析：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力•首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题图11s = Lcosa =Votcos v解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：｛ 1 2-h = -Lsina = v o tsin9 -- gt2.由①②,整理得V0cos 0 =,v 0sin 0 =+gt.2 2 2/•v 0 +gLsin a =g t +>2=gL.运动员从A点滑至O点,机械守恒有mgh=m『，2•••V02=2gh. /• L< v°2gh =200(m),g(1 —si na) g(1 —si n a)即L ma>=200(m).2丄2又g t ==,• t=,s=Lcos a =V0tcos 0 =2gh •• cos 0 ,得cos 0 =cos a . • 0 = a =30°.•L最大值为200米，当L最大时，起跳倾角为30°.设计感想,本节教案设计的指导思想，是让学生1. 本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念.2. 现实生活中的问题是多变的, 学生的思维是发散的, 观察的视角又是多样的挖掘并发现学生思维的闪光点, 通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能现走向创造, 走向创新.3. 学生面对枯燥的数据, 潜意识里是讨厌的, 因此教师要在有限的课堂时间里景下的三角函数的函数模型的选定, 不要把时间浪费在一些计算上., 因此课题教学中, 教师要善于, 让学生从观察走向发现, 从发, 着重解决物理背景下、地理背。
导学案2：1.6 三角函数模型的简单应用
必修四第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1．三角函数日常生活、建筑学中的应用2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．3．通过合作学习培养合作精神．学习重点：三角函数日常生活、建筑学中的应用学习难点：三角函数日常生活、建筑学中的应用学习过程1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.二.合作探讨如何理解五点法作图及根据函数的图象解题巩固练习1.给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanC A C A ++的值为__________. 3.在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.4.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.四.个人收获与问题知识：方法：我的问题：五.拓展能力：5.如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？答案：一. 巩固练习一、1.解析：其中(3）(4）正确.答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ， .32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴C A C A C A C A C A C A 故π 答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°.∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527 三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83. 五.拓展能力：5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， R R h Rk I Rk R k I Rk R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得。
高中数学 1.6三角函数模型的简单应用导学案 新人教版
1.6三角函数模型的简单应用课前预习学案一、预习目标预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用二、预习内容1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线.课内探究学案一、学习目标1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.学习重难点：重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 二、学习过程 自主探究；问题一、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式问题二、画出函数x y sin =的图象并观察其周期．问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--=ο90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬ο40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？三、当堂检测1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.θφφ-δδ太阳光课后练习与提高1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈2、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30o看正南方向的一船C 的俯角为45o，则此时两船间的距离为（ ）.A ．2hmB ．2hmC ．3hmD ．22hm3、如图表示电流 I 与时间t 的函数关系式： I =Asin(t )ω+ϕ在同一周期内的图象。
高中数学1.6三角函数的应用导学案新人教A版必修1
1.6 三角函数的应用学习方针：理解三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用（1） 函数y=Asin(ωx+φ) （A>0,ω>0）中常数的物理意义，理解振幅，周期，频率，相位，初相。
（2）熟练函数y=Asin(ωx+φ) （A>0,ω>0）的有关性质，学会由图像求解析式y=Asin(ωx+φ).例2：画出函数x y sin =的图象并观察其周期．3. 变式：作出函数y ＝|cos x |，x ∈R 的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间 对于y=sin y cos x x =与呢？试一试小组合作交流1．函数)32sin(3π+=x y 的周期，振幅分别是（ ） A ．3,4π B ．3,4-π C ．3,π D ．3,-π2．最大值为２，周期是32π，初相是6π的函数的解析式是 3．函数)32sin(2π+=x y 的最大值是 ，最小值是 。
课堂知识整合例1： 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋ϕ)(A ＞0,ω＞0,x∈R，πϕ<<0)在一个周期内的图象如图所示，求函数f(x)的解析式.例2.如图是某简谐运动的图像，试按照图像回答下列问题：（1） 这个简谐运动的振幅，最小正周期和频率各是多少？（2） 从O 点开始算起，到曲线上的哪一点，暗示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？（3） 写出这个简谐运动的函数表达式。
当堂检测评价1．函数f(x)=sin(ωx+ϕ) (ω>0)以4π为最小正周期，且能在x=2π时取得最大值，则ϕ的一个值是（ ）. A ．43π-B ．45π- C ．47π D ．4π 2. 函数)63sin(2π+=x y 的周期，振幅分别是（ ） A ．2,6π B ．2,6-π C ．3,2π D ．3,-π3.如图2-2-1，给出函数y=f(x)=Asin(ωx+ϕ)图象的一段，则f （x ）的表达式为（ ）A ．)631sin(2π+=x y B ．)63sin(2ππ+=x y C ．)6531sin(2π+=x y D ．)653sin(2ππ+=x y课后作业1. 函数f(x)=sin(ωx+ϕ) (ω>0)以2π为最小正周期，且能在x=4π时取得最大值，则ϕ的一个值是（ ） A ．43π- B ．45π- C ．47π D ．4π 2. 函数y =2sin(ωx +φ)，|φ|<2π的图象如图所示，则 ( ) (A) ω=1011,φ=6π (B) ω=1011,φ= -6π (C) ω=2,φ=6π (D) ω=2,φ= -6π 3.如图，给出函数y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)在一个周期的图象，则图象的解析式为_ ____4.已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.5.如图暗示电流 I 与时间t 的函数关系式： I =Asin(t )ω+ϕ在同一周期内的图象。
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2019-2020学年高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教
A 版必修4
【学习目标】
1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.
【重点难点】
重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 【学法指导】
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用 【知识链接】
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.
2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 【学习过程】 自主探究；
问题一、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式 问题二、画出函数x y sin =的图象并观察其周期．
问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，
那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬
40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
【基础达标】
1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
【拓展提升】
1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24
θφφ-δδ
太阳光
经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin
,[0,24]6t
y t π=+∈ B ．123sin(
),[0,24]6t
y t ππ=++∈
C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈
D ．123sin(),[0,24]122
t y t ππ
=++∈ 2、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ ）.
A ．2hm B
C
D
．
3、如图表示电流 I 与时间t 的函数关系式： I =Asin(t )ω+ϕ在同一周期内的图象。
（1）根据图象写出I =Asin(t )ω+ϕ的解析式；
（2）为了使I =Asin(t )ω+ϕ中t 在任意－段1
100秒的时间内
电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
答案：1、周期 2、π
问题二、
问题三、解：A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼
顶在地面上的投影点。
要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度的定义，有：
∠C ＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′ MC ＝
'
3426tan tan 0
0︒=h C h ＝2h 0 即盖楼时，为命使后楼不被前楼遮挡，要留出当于楼高两倍的间距。
【基础达标】：由条件可得：出厂价格函数为π
π
=-
+12sin(
)64
4
y x ,
销售价格函数为π
π
=-
+232sin()8,4
4
y x 则利润函数为: )4
sin 222(]6)44sin(28)434
sin(
2[)(12x m x x m y y m y πππππ
-=---+-
=-= 所以，当x=6时，Y=（2+22）m ，即6月份盈利最大. 【拓展提升】
1、A
2、A
3、解：（1）由图知A ＝300，
3001t 1-
=，1501
t 3=
ππ
ω100T
250
1)30011501(2)t t (2T 13==
∴=+=-=
由0t 1=+ϕω得
3t 1π
ωϕ=
-=
)3t 100sin(300I π
π+
=∴
（2）问题等价于10012T ≤，即1001T ≤
ω
π
ω100
∴，∴正整数ω的最小值为314。
≥。