九年级数学垂径定理
九年级数学上册《垂径定理》PPT
即对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对
称点A'
∴⊙O关于直线CD对称
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是它的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
·O
E
A
B
D
C
·O
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两D个半圆⌒重
归纳小结
1、圆是 轴__对__称_图形,_任__何__一__条__直_径___ 所在的 直线都是它的对称轴. 2、垂径定理:_垂__直__于_弦__的__直__径___平分弦，并 且平分弦_所__对__的_两__弧__ . 推论：平分弦（不是 _直__径__）的直径 __垂_直__于__弦，并且__平_分____弦所对的两条弧. 3、学习反思：_______________________
37m
C
A
D
7.23m
B
O
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 A表B 示主桥拱，设AB 所A在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的B垂线OC，D为垂足，
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中
点，C是 A的B 中点，CD就是拱高．
C
在图中 AB=37，CD=7.23，
AD
1 2
学习目标
1 理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理及其推论，并能应 2 用它们解决一些计算题和证明题.
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
浙教版数学九年级上册3.3垂径定理(共13张PPT)
复习
M
●
A
1、圆弧：圆上任意两点之间的部分
2、等弧：能够完全重合的圆弧
3、弦：连结圆上任意两点的线段
4、圆具有轴对称性
O
B
实验操作
1、取出课前准备的圆，折出这个圆的一条对称轴
2、请用折叠的方法在圆上找到两个对称点
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
·
E
A
B
D
几何演绎
如图,理由是：
梳理
A
C
M
└
●
B
O
D
条件
由①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
结论
③AM＝BM
⌒ ⌒
④AC＝BC
⌒ ⌒
⑤AD＝BD
归纳小结
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的弧.
如图∵ CD是直径，
CD⊥AB，
B
∴AM ＝ BM，
C
A
M└
O
●
⌒
⌒
AC ＝BC，
⌒
⌒
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
问题一：
⌒
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
E
⌒
分析:要平分AB,只要画垂
直于弦AB的直径.而这条直径应在弦A源自的垂直平分线上.A
作法:
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒
∴点E就是所求AB的中点.
B
问题二：
例2：如图已知在⊙ O 中 弦AB=16，半径0B=10，
连接OA,OB, 则OA＝OB.
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级上册数学课件24.2.2垂径定理
答：⊙O的半径为5cm.
2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
与你一起分享！！！ 答：⊙O的半径为5cm.
即
R2=18.
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
②平分弦的直线必垂直弦
你（能2）①发现线③图段中：有A②哪E=些④B等E量⑤关系平?与同分伴弦说说(你不的是想法直和理径由).的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
垂弧就直：可①于 Ａ 推弦Ｃ出④的＝其直Ｂ余径Ｃ三②平个分结，③弦论Ａ,Ｄ.⑤并＝且Ｂ平Ｄ平分弦分所的弦两所条弧对. 的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 平直分径①弦 Ｃ所Ｄ⑤对平的分两弦②条Ａ弧Ｂ③的，直并④线且经过另圆一心,并条且弧垂直. 平分弦.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
B 由 CD是直径
M
●O
九年级数学上册专题24.3 垂径定理【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
人教版九年级数学上册24.垂径定理课件
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A E
D
OA2 AD2 OD 2 ,
N B
F
即R2 3.62 (R 2.4)2.
O
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6.
DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
C
A
M
N
.1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m. 求这段弯路的半径.
C E
F
●
D
O
例3、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到小数 点后一位）。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆 的对称轴。
C
·O
E
A
B
D
Ｃ 垂径定理及其推论的内容是
什么？
Ａ
Ｏ Ｅ
垂径定理：垂直于弦的直径 Ｂ 平分弦，并且平分弦所对的
Ｄ
两条弧． ∴AE=BE,
∵ CD是直径(过圆心)
A⌒C=⌒BC,
CD⊥AB
A⌒D=B⌒D.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的
直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理 解决有关的证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等 数学思想和方法，在实验、视察、猜想、 抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维 能力和识图能力．
九年级数学圆第三节垂径定理知识梳理及典例分析
第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。
【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。
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初三数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识精讲一. 本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。
（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。
已知其中两项，可推出其余三项。
注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。
”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。
（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。
无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性。
即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BMA6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
点悟：本例的关键在于正确理解什么是O 点到AB 的距离。
解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，则OE 的长为O 点到AB 的距离，如图所示：∴==⨯=OE AB cm 1212126() 由垂径定理知：AE BE cm ==6∴△AOE 、△BOE 为等腰直角三角形 ∴∠AOB ＝90°由△AOE 是等腰直角三角形 ∴==OA AE 626， 即⊙O 的半径为62cm点拨：作出弦（AB ）的弦心距（OE ），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。
例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。
求证：AD BD a b ·=-22证明：作OE ⊥AB ，垂足为E ，连OA 、OC 则OA a OC b ==，在Rt AOE ∆中，AE OA OE 222=-在Rt COE ∆中，CE OC OE 222=-()()∴-=---AE CE OA OE OC OE 222222=-=-OA OC a b2222即()()AE CE AE CE a b +-=-22BD AC ED CE ==,AD ED AE CE AE =+=+∴ BD AC CE AE ==-即22b a BD AD -=⋅点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。
例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cmB. 6cmC. 63cmD. 123cm（2001年辽宁）解：圆的半径为6cm ，半径OC 的一半为3cm ，故弦的长度为 ()2632321632222-=-=()cm故选C 。
例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ⋂上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。
DBO解：连结AD 、OG ∠=∠=⨯︒=︒AOD AOB 121212060 OA ＝OD∴△AOD 为等边三角形∵OD ⊥AN∴NO ＝ND ＝4cm ∵OD ＝OG ＝8cm设HE x =，则()MG x MO x cm ==+24， 在Rt OMG ∆中，由MG OM OG 222+=得： ()()x x ++=42822解得：x x 121254==-，（舍去） ∴HE 的长为125cm点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。
例5. 已知，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB cm OC cm ==85，，则DC 的长为（ ） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm（2001年北京东城区）解：OD =-=54322∴=-=DC cm 532()故选C 。
常见错误：将DC 错算为OD ，即算出OD 就不再计算DC 了，从而错选A 。
这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。
例6. 在⊙O 中，AB AC ⋂=⋂2，那么（ ）A. AB AC =B. AB AC =2C. AB AC >2D. AB AC <2 解：如图所示，连结BC 。
AB AC ⋂=⋂2 ∴⋂=⋂AC BC∴=AC BC在△ABC 中，AB ＜AC ＋BC ∴AB ＜2AC 故选D 。
点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。
例7. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⋂是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ）A. 5cmB. 53cmC. 103cmD.523cmA BOC解：如图所示，OA cm =10，∠AOB ＝120° ∴∠=∠=︒AOC AOB 1260 在Rt △ACO 中，CO AO AOC cm =∠=⨯=·cos ()10125 故选A 。
点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。
例8. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 解：如图所示，连结OA 、OB∵AB ＝AC ＝10∴⋂=⋂AB AC由垂径定理的推论，得OA 垂直平分BC ，垂足为D 又∵∠BAC ＝120°∴∠ABC ＝∠ACB ＝30° ∴∠BAO ＝60°又∵OA ＝OB∴△AOB 是等边三角形 ∴半径OA ＝OB ＝AB ＝10 故选C 。
点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。
例9. 点P 为半径是5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条（2002年山东）解：选C 。
点拨：圆是中心对称图形，故与P 点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。
因此，长度为整数弦一共有4条。
例10. 如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。
求证：∠AMN ＝∠CNMD点悟：由弦AB ＝CD ，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点，如连结OM 、ON ，则有OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，故易得结论。
证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ∵AB ＝CD ∴OM ＝ON∴∠OMN ＝∠ONM∵∠AMN ＝90°－∠OMN ∠CNM ＝90°－∠ONM ∴∠AMN ＝∠CNM点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。
例11. 在⊙O 1与⊙O 2中，分别有40°的MN ⌒和M N 11⌒，那么：（1）MN ⌒与M N 11⌒相等吗？（2）∠MO N 1与∠M O N 121相等吗？错解：（1）因为MN ⌒与M N 11⌒都是40°的弧所以MN ⌒＝M N 11⌒（2）MN ⌒与M N 11⌒相等，所以∠∠M O N M O N 11121=常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。
可见它不受所对的弧相等与否来制约。
正解：（1）不一定相等。
（2）相等。
（答题时间：30分钟） 一. 选择题。
1. 下列命题中，正确的命题是（ ）A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AC BD ⌒⌒=，则AB ∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径2. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ） A. 2cmB. 3cmC. 7cmD. 27cm3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10 B. 26 C. 13 D. 54. 在直径是10cm 的⊙O 中，AB ⋂为60°，则弦AB 的弦心距是（ ）A. 103cmB.1523cmC. 53cmD.523cm 5. AB 、CD 分别为大小不同圆的弦，共AB ＝CD ，那么AB CD ⋂⋂、的关系是（ ）A. AB CD ⋂=⋂B. AB CD ⋂>⋂C. AB CD ⋂<⋂D. 不确定二. 填空题。
6. 已知AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，AC ＝6cm ，则DC ＝____________。
7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。
8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形。
9. 弦AB 把⊙O 分3：7，则∠AOB ＝___________。
10. 若⊙O 半径是4，P 在⊙O 内，PO ＝2，则过P 点的最短的弦所对劣弧是___________度。
11. ⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA ＝4cm ，OP ＝2cm ，则∠AOB ＝__________，∠ADC ＝__________，BD ⋂度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。