【数学】数学锐角三角函数的专项培优练习题及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
【答案】(1)∠BPQ=30°;
(2)该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】
试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;
(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.
试题解析:延长PQ交直线AB于点E,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°;
(2)设PE=x米.
在直角△APE中,∠A=45°,
则AE=PE=x米;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,BE=
3
3
PE=
3
3
x米,
∵AB=AE-BE=6米,
则3
,
解得:3
则BE=(33+3)米.
在直角△BEQ中,QE=
3
3
BE=
3
3
(33+3)=(3+3)米.
∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).
答:电线杆PQ的高度约9米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
2.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20
【解析】
试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.
试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin∠CAN=,
∴
∴AC=5,
∴AB=AC=5,
设AF=x,则CF=5﹣x,
在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,
在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,
∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,
∴x=3,
∴BF2=25﹣32=16,
∴BF=4,
即点B到AC的距离为4.
考点:切线的判定
3.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,
∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE
,
∴BE=CE?cot30°=12×3=123,
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,
得DE=BE=123.
∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.
答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
4.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴与之间的函数关系式为.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=2CD?OE;
(3)若
314
cos,
53
BAD BE
∠==,求OE的长.
【答案】(1)DE为⊙O的切线,理由见解析;(2)证明见解析;(3)OE =35
6
.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角,可得出△BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,从而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中两锐角互余,从而可得∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为⊙O的切线;
(2)由已知可得OE是△ABC的中位线,从而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.
试题解析:(1)DE为⊙O的切线,理由如下:
连接OD,BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,
∴∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=AC?CD.
∴BC2=2CD?OE;
(3)解:∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=,E是BC的中点,即BC=,
∴AC=.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
考点:1、切线的判定;2、相似三角形的判定与性质;3、三角函数
6.如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连接,若,.
①求的值;
②若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以
的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点,到达点后停止运动.当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的长和点走完全程所需的时间.
【答案】(1)详见解析;(2)①②和走完全程所需时间为
【解析】
试题分析:(1)利用四边相等的四边形是菱形;(2)①构造直角三角形求;
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置,再计算运到的时间.
试题解析:解:(1)证明:四边形是矩形.
与交于点O,且关于对称
四边形是菱形.
(2)①连接,直线分别交于点,交于点
关于的对称图形为
在矩形中,为的中点,且O为AC的中点
为的中位线
同理可得:为的中点,
②过点P作交于点
由运动到所需的时间为3s
由①可得,
点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A 即:
由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图,当P运动到,即时,所用时间最短.
在中,设
解得:
和走完全程所需时间为
考点:菱形的判定方法;构造直角三角形求三角函数值;确定极值时动点的特殊位置
7.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
【答案】(1)tan∠DBC=;
(2)P(﹣,).
【解析】
试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形
的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;
(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中
的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,).
试题解析:
(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,解得 x1=﹣1,x2=4.
∴A(﹣1,0),B(4,0).
当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4,
∴D(3,4).
如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.
∵C(0,4),
∴CD//AB,
∴∠BCD=∠ABC=45°.
在直角△OBC中,∵OC=OB=4,
∴BC=4.
在直角△CDE中,CD=3.
∴CE=ED=,
∴BE=BC﹣DE=.
∴tan∠DBC=;
(2)过点P作PF⊥x轴于点F.
∵∠CBF=∠DBP=45°,
∴∠PBF=∠DBC,
∴tan∠PBF=.
设P(x,﹣x2+3x+4),则=,
解得 x1=﹣,x2=4(舍去),
∴P(﹣,).
考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数
8.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.
(1)如图1,若m=.
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【解析】
试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C (0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;
②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;
(2)解题要点有3个:
i)判定△ABD为等边三角形;
ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;
iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.
试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵点C在抛物线C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).
假设存在满足条件的a值.
∵AP=BP,
∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,
∴OP⊥BC.
如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,
则OP⊥BC,OE=a.
∵点P在直线BC上,
∴P(a,a+),PE=a+.
∵tan∠EOP=tan∠BCO=,
∴,
解得:a=.
∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+m)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2.
如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.
∵tan∠ABD=,
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.
作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE?tan30°=×=1,
∴P1(﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.
在Rt△BEP2中,P2E=BE?tan60°=?=3,
∴P2(﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,
其坐标为:P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【考点】二次函数综合题.
9.如图,MN为一电视塔,AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上,被一个人工湖隔开),某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°;沿着山坡向上行走40m到达C处,此时测得塔顶M的仰角为30°,请求出电视塔MN的高度.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,结果保留整数)
【答案】95m
【解析】
【分析】过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.在△ACE中,求AE=3m,在RT△MFC中,设MN=x m,则AN=xm.FC3xm,可得x+33 ( x-20),解方程可得答案..
【详解】解:过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.
在△ACE中,AC=40m,∠CAE=30°
∴CE=FN=20m,AE=3
设MN=x m,则AN=xm.FC3,
在RT△MFC中
MF=MN-FN=MN-CE=x-20
FC=NE=NA+AE=x+3
∵∠MCF=30°
∴FC3MF,
即x+33-20)
解得:x 403 31
=60+203≈95m
答:电视塔MN 的高度约为95m .
【点睛】本题考核知识点:解直角三角形.解题关键点:熟记解直角三角形相关知识,包括含特殊角的直角三角形性质.
10.已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35
时,求BF CF 的值;
(2)如图2,当tan ∠ABC=
1
2
时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ?的值; (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =?时,求矩形BCDE 的面积
【答案】(1)1
7
;(2)80;(3)100. 【解析】 【分析】
(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=
35得出
3
5
FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ,可求得BF =a ,故1
7
BF CF =;(2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ,得△EGA ∽△EHD ,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ,故可求出矩形的面积. 【详解】
解:(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,
∵sin ∠BEF =35,sin ∠FAK =35
, ∴
35
FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,
∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a , ∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴
1
7
BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED , ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴
EH ED
EG EA
=, ∴·EH EA EG ED ?=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC =12
, cos ∠ABC
∴BA =BC · cos ∠ABC
BK= BA·cos ∠ABC 8
= ∴EG =8,
另一方面:ED =BC =10, ∴EH ·EA =80
(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG KE AE ED
==, ∴
BF KE FG DE =,同理:FG ED
CG DT
= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG
FG CG =, ∴ED 2= KE ·DT ∴
KE ED
DE DT
= , 又∵△KEB ∽△CDT ,∴
KE CD
BE DT
=,
∴KE ·DT =BE 2, ∴BE 2=ED 2 ∴ BE =ED
∴1010100BCDE S =?=矩形
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
人教数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD ⊥BC 于D ,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据 正切的定义求出CD 的长,得到答案. 试题解析:作AD ⊥BC 于D ,∵∠EAB=30°,AE ∥BF ,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD= ,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC= ,∴CD= =, ∴BC= .故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=, 2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到
1cm)? 【答案】 【解析】 于F,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形,故有EC=AB=25cm,再再根据DC=DE+EC进行解答即可. 3.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm. (1)AE的长为 cm; (2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值; (3)求点D′到BC的距离. 【答案】(1);(2)12cm;(3)cm. 【解析】 试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案: ∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm.
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .
4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3
培优锐角三角函数之欧阳光明创编
锐角三角函数 欧阳光明(2021.03.07) 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有()A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是() A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是() A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知 sin α·cos α=81,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为() A.23B.2 3- C.43D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是()
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式() A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O , AC=6,若a ABD =∠,则下列式子正确的是() A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1,0°<α<180°,则tan α的值是( )43B.43- C.34D.34- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。 4、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE 。 (1)求证:ABE △DFA ≌△;(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值。 题型:三角函数值的计算(1) 例:计算:000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式:1、计算: 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算:0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值的计算(2)
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数: 知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义: 在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切:tanA= ,它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒:1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与 有关,与直角三角形的 无关 2、取值范围
1.已知Rt △ABC 中,,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?= ∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC . 4. 已知A ∠是锐角,17 8 sin =A ,求A cos ,A tan 的值 对应训练: (西城北)3.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB =5,则tan A 的值为 A . 55 B .255 C .12 D .2 (房山)5.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值: 1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点. DE ∶AE =1∶2. 求:sin B 、cos B 、tan B .
培优锐角三角函数
锐角三角函数 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有( )A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是( ) A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是( ) °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知sin α·cos α= 8 1 ,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为( ) A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是( ) A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式( ) A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O ,AC=6,若a ABD =∠,则 下列式子正确的是( ) A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51,0°<α<180°,则tan α的值是( )43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB tan A 的值为( ) A B C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A = 5 12 ,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A= 5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ABC 中, 90=∠C ,3cosB=2, AC=52 ,则AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长.
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则c o s ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为 3 2 ,2AC =,则s in B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .4 3 2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =, AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43 C.35 D.45 3. 如图6,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若 1tan 5 DBA ∠ = ,则AD 的长为( ) A .2 C .1 D .4. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧 圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )A . 12 B .2 C .35 D .45 5.如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则 sin α= . 6.(庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3sin 5 A =,则这个菱形的面积= cm 2 . 7. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
锐角三角函数专项复习经典例题
1、平面内,如图17,在□ABCD 中,10AB =,15AD =,4tan 3A =.点P 为AD 边上任意一点,连接PB ,将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ . (1)当10DPQ ∠=?时,求APB ∠的大小; (2)当tan :tan 3:2ABP A ∠=时,求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号); (3)若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上,直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积(结果保留π). 2、如图所示,我国两艘海监船A ,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C ,此时,B 船在A 船的正南方向5海里处,A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向,B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向,已知A 船的航速为30海里/小时,B 船的航速为25海里/小时,问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,≈1.41) 3、如图,港口B 位于港口A 的南偏东37°方向,灯塔C 恰好在AB 的中点处,一艘海轮位于港口A 的正南方向,港口B 的正西方向的D 处,它沿正北方向航行5km 到达E 处,测得灯塔C 在北偏东45°方向上,这时,E 处距离港口A 有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q
4、如图,两座建筑物的水平距离BC=30m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度. 5、一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图,在A处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A、B两点的距离为s米,则塔高为米. 6、如图,某小区①号楼与?号楼隔河相望,李明家住在①号楼,他很想知道?号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60°,然后到42米高的楼顶A处,测得C点的仰角为30°,请你帮助李明计算?号楼的高度CD. 7、某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗.小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm,在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°. (1)求甲楼的高度及彩旗的长度;(精确到0.01m) (2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°,爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°,求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离.(精确到0.01m) (cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos19°≈0.95,tan19°≈0.34,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
锐角三角函数(培优)
知识要点 1、 锐角三角函数定义? 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律: 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时,正弦(切)值随着角度的增大而增大;余弦(切)值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系:sin 2A +cos 2 A =1; 商数关系:sinA/cosA =tanA ; 倒数关系:tanA ·tan B =1; 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式? Sin (900-A )=cosA ; cos (900-A )=sin A ; tan (900 -A )=ctan A ; 一、选择题 1.在Rt △ABC 中,∠C =900 ,∠A =∠B ,则sinA 的值是( ).A . 2 1 B .22 C .23 D .1 2.在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,tanC 的值是( ). A . 2 1 B .33 C .1 D .3 3.在Rt △ABC 中,如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ,那么锐角A 的各个三角函数值( ). A .都缩小 5 1 B .都不变 C .都扩大5倍 D .仅tan A 不变 4.如图,菱形ABCD 对角线AC =6,BD =8,∠ABD =α.则下列结论正确的是( ). A .sin α= 54 B .cos α= 53 C .tan α= 34 D .tan α= 4 3 5.在Rt △ABC 中,斜边AB 是直角边AC 的3倍,下列式子正确的是( ). A .423sin = A B .3 1 cos =B C .42tan =A D .tan 4B = 6.已知ΔABC 中,∠C =90?,CD 是AB 边上的高,则CD :CB 等于( ). A .sinA B .cosA C .tanA D . 1 tan A 7.等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm ,那么底角的余弦等于( ).A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8.如图,在△EFG 中,∠EFG =90°,FH ⊥EG ,下面等式中,错误..的是( ). A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝,他们放出的线长分别为300米、250米、200米,线与地面所成的角为30°、45°、60°(风筝线是拉直的),则三人所放的风筝( ).
锐角三角函数的题型及解题技巧
锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础,它应用广泛,解题技巧性强,下面归纳出锐角三角函数的常见题型,并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 (1)已知tan 2cot 1αα-=,且α是锐角,的值。 (2)化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 (1)由已知可以求出tan α1tan cot αα=?;(2)先把平方展开,再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 (1)由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=,解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角,∴tan 2α== tan cot αα-。由tan 2α=, 得1cot 2α==tan cot αα-=13222 -=。 (2)()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-= 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??++2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+=()()222222sin cos sin cos a b αααα+++=22a b +。 说明 在化简或求值问题中,经常用到“1”的代换,即22sin cos 1αα+=,tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值,求角 例2 在△ABC 中,若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角,求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0,则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值,进而求出,A B ∠∠的值,然后就可求出C ∠的值。
锐角三角函数培优题目
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系,是数形结合的桥梁之一,有以下丰富的性质: 1.单调性; 2.互余三角函数间的关系; 3.同角三角函数间的关系. 平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tgα=ααcos sin ,ctgα=α αsin cos ; 倒数关系:tgαctgα=1. 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中,∠A 、∠B 是锐角,且sinA = 135,tanB=2,AB=29cm , 则S △ABC = . 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA= 135=AC CD ,tanB=2=BD CD ,设CD=5m ,AC =13m ,CD =2n ,BD =n ,解题的关键是求出m 、n 的值. 注:设△ABC 中,a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边,R 为△ABC 外接圆的半径,不 难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论: (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ; (2)R C c B b A a 2sin sin sin ===. 【例2】 在△ABC 中.∠ACB =90°,∠ABC =15°,BC=1,则AC=( ) A .32+ B .32- C .0.3 D .23- 思路点拨 由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化. 注:(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形. (2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换.
初三锐角三角函数知识点总结典型例题练习
三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性: 当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大, A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C
7、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示,即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东45°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西45°(西南方向), 北偏西45°(西北方向)。 :i h l =h l α
锐角三角函数-基础+培优
A B C D α A (第7题) 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义:sin αα∠= 的() ( ) cos αα∠=的()() tan α= () () 例1.在△ABC 中,∠C =90°,sinA =3 2 ,求cosA 、tanB . 例2.△ABC 中,已知∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,AC =63,BD =3. (1)求cosA (2)求BC 的长及△ABC 的面积. 例3.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AD 是∠BAC 的角平分线,与BC 相交于点D ,且AB =43,求AD 的长. 例4.如图1,已知AD 是等腰△ABC 底边上的高,且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ,满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习.1.在7,35,90==∠=AB B 中,则BC 的长为( ) (A ) 35sin 7 (B ) 35 cos 7(C ) 35cos 7 (D ). 35tan 7 2.在Rt △ABC 中,斜边AB 是直角边AC 的3倍,下列式子正确的是( ). A .423sin = A B .3 1 cos =B C .42tan =A D .2tan B = 3.已知ΔABC 中,∠C =90 ,CD 是AB 边上的高,则CD :CB 等于( ). A .sinA B .cosA C .tanA D . 1 tan A 4. Rt△ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,那么c 等于( ) A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D .若AC=5,BC=2,则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cot A = a b .则下列关系式中不成立...的是( )(A )tan A ·cot A =1 (B )sin A =tan A ·cos A (C )cos A =cot A ·sin A (D )tan 2A +cot 2A =1 7.如图,已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= . 8.如图,已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5,E 是AB 上的一点,沿CE 将ΔEBC 向上翻折,若B 点恰好落在边AD 上的F 点,则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1.如图,山坡上有一棵树AB ,树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高,点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米,从E 处测得树顶部A 的仰角为45°,树底部B 的仰角为20°,求树AB 的高度.(参考数 值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 【答案】6.4米 【解析】 解:∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米, ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF 中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长,然后求得DF 的长,进而求得GF 的长,然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长,从而求得树高 2.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】(1)120米;(2)23 5 . 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3,在Rt △ABC 中,求得DC= 3 3 AC=203,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3, 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答:从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 . 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3.如图,在△ABC 中,AB=7.5,AC=9,S △ABC = 81 4 .动点P 从A 点出发,沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动,动点Q 从C 点同时出发,以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动,当点P 运动到B 点时,P 、Q 两点同时停止运动,以PQ 为边作正△PQM
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案 一、锐角三角函数 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案. 试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°, ∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附详细答案
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
锐角三角函数经典题集
锐角三角函数经典题集
锐角三角函数好题集 解答题 1、计算:|﹣4|﹣(﹣1)0+2cos45°﹣(﹣)﹣2+= _________ . 2、计算:+(2009)0= _________ . 3、计算下列各题: (1)= _________ ;(2)= _________ .4、(2009?成都)解答下列各题: (1)计算:+2(π﹣2009)0﹣4sin45°+(﹣1)3= _________ ; (2)若x=,则x 2(3﹣x)+x(x2﹣2x)+1= _________ .5、(2005?呼和浩特)化简求值:当x=cos45°时, = _________ . 6、(2005?衢州)已知,△ABC中,∠B=90°,∠BAD=∠ACB,AB=2,BD=1,过点D作DM⊥AD交AC于点M,DM的延长线与过点C的垂线交于点P. (1)sin∠ACB的值为 _________ ; (2)MC的长为 _________ ; (3)若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动,是否存在某一时刻t,使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积;若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
7、已知直角三角形中两条直角边的差是7cm,斜边的长是13cm,角a为最小内角,则sinα=_________ ,cosα= _________,tanα=_________,cotα= _________ .(保留分数形式) 8、(2009?南宁)计算:(﹣1)2009+|﹣|﹣()﹣1﹣sin60°=_________ 9、(2009?龙岩)计算:﹣(π﹣2009)0+|﹣2|+2sin30°= _________ . 10、(2009?金华)计算:|﹣2009|﹣(﹣1)0﹣cos45°= _________ . 11、(2007?遵义)计算:+(π﹣2007)0﹣2sin45°=_________ 12、(2007?岳阳)计算:+|2﹣3|+sin245°=_________ . 13、(2007?永州)计算:|1﹣|﹣(1﹣)0+sin30°()﹣2﹣= _________ . 14、(2007?庆阳)计算:(1﹣2)0﹣2﹣1+|﹣3|﹣sin30°= _________ . 15、(2007?眉山)计算:sin45°+cos30°?tan60°﹣ = _________ . 16、(2007?龙岩)计算:﹣tan60°+﹣1)0+|1﹣ |= _________