海南省海南中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
海南省海南中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年海南省海口市海南中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1.下列关系中正确的是A. B. C. D.2.函数的定义域是A. B.C. D.3.函数与的图象A. 关于x轴对称B. 关于y对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称4.已知命题：，，，则该命题的否定是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，5.下列各对函数中，图象完全相同的是A. 与B. 与C. 与D. 与6.设函数，则A. 37B. 26C. 19D. 137.下列命题中，不正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8.下列函数中，在区间上单调递减的是A. B. C. D.9.若，，，则A. B. C. D.10.已知，若定义在R上的函数满足对，，都有，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.若直角三角形的周长为定值2，则的面积的最大值为A. B. C. 1 D.12.正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.若幂函数的图象过点则的值为______．14.计算：______．15.某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量y与记忆天数x的函数关系式为______；并写出该函数的一个性质比如：单调性、奇偶性、最值等：______．16.已知为定义在R上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为______．三、解答题（本大题共6小题）17.设全集，集合，．求；，求．18.已知函数是定义在R上的偶函数，且时，．求时的解析式；在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性不需要证明．19.已知集合，．若集合，求此时实数m的值；已知命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．20.定义在非零实数集上的函数满足：，且在区间上单调递增．求，的值；求证：是偶函数；解不等式．21.如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中米，米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．22.已知函数是定义在上的奇函数，且．判断函数在上的单调性，并用定义证明；设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由元素与集合的关系是属于或不属于的关系，即Z表示集合中的整数集，N表示集合中的自然数集，Q表示有理数集，R表示实数集，表示正整数集，故正确，故选：C．利用R，N，Q，Z表达的集合，根据元素与集合的关系进行判断．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：要使原式有意义只需：，解得且，故函数的定义域为．故选：B．由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．3.【答案】A【解析】解：在同一平面直角坐标系中，函数与的图象如下：可知两图象关于x轴对称．故选：A．在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象，观察得出结论．本题考查指数函数的图象，图象的对称性．一般的与图象关于x轴对称．4.【答案】D【解析】解：命题：，，，为全称命题，该命题的否定是，，，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.【答案】C。
海南省海南中学2020学年高一数学下学期期中试题
海南中学2020学年第二学期期中考试高一数学试题（试题卷）（总分：150分；总时量：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝5，且21n n n a a a ++=+，则5a ＝( ) A ．13 B. 15 C ．17 D ．192、不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 3是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）． C. 22a b > D. 33a b > 4＝10，A ＝60°，则sin B ＝( )A D 5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A. 5 B. 7 C. 6、若关于x 的不等式的解集为()0,2，则实数m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1 B. 2 C .3－1 D. 38、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A. 72 B ．4 C. 92D ．5 9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤10、设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）B. 0a >C. 0a >或12a <-D.11、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n）12、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则()tan A B -的最大值为（ ）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.）13、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若a ∶b ∶c ＝3∶1∶1，则角A 的大小为____________14、不等式x ＋1x≤3的解集为__________________．15、数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-，则其前n 项和为_______________.16、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，10a <，170S <，180S >，则当n =________时，n S 取得最小值。
2020年海南省海南中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年海南省海南中学高一下学期期中数学试题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．021x ≥+的解集是（ ） A ．12,23-⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,32-⎛⎫⎪⎝⎭ C ．12,,23-⎛⎫⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．在ABC ∆中，2222sin sin 2cos cos a C c A ac A C +=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是（ ） A ．14B ．15C ．16D ．174．0x >，0y >，且260x xy y -+=，则x y +的最小值为（ ） A ．8+B ．16C ．3D ．5．已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则5a =（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．116．a≤x 、y 恒成立，则实数a 最大值是（ ）A ．1B ．2C D 17．已知等差数列a ，111a <-，且当n n =时a 的前n 项和S 有最大值，设使0n S >的n 最大值为k ，则n k =（ ） A ．1011B ．1021C ．12D ．10198．两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若231n n S n T n =+，则54a b =（ ） A ．1013B ．914C ．911D ．239．下面命题正确的个数有（ ）个 ①在ABC ∆中，若4a =，b =，6A π=，则ABC ∆有两个解.②若ABC ∆为钝角三角形，1a =，2b =3c <<.③函数2y =的最小值为2.④已知{}n a ，11a =,122n n S S -=+（2n ≥），则数列{}n a 是等比数列，公比为2. A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC∆中，若()lg sin A ，()lg sin B ，()lg sin C 成等差数列，b =则当B Ð取最大值时，sin sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．6π B ．C ．4π D ．211．在锐角三角形ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列，1b =，则a c +的取值范围（ ） A ．(]1,2B ．()0,1C ．2⎤⎦D ．(12．等比数列{}n a 满足0n a >，n ∈+N 且25253nn a a -⋅=（3n ≥），设31323log log ...log n n b a a a =+++，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ，当x ∈R 时，不等式20n kx kx S -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．()0,4第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知实数a 、x 满足0x a <<，则2a 、2x 、ax 中的最大数为______14．ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V的面积为2224a b c +-，则角C =_______.15．若不等式20ax bx c ++≥的解集是123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭，函数2()f x cxbx a =++，当x ∈R 时49()24f x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是______ 16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()2nn a =-，数列{}n b 中，11b =，1211n n n n nS S b b S ++++=+，则=n b ______三、解答题17．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b =3AB AC ⋅=u u u v u u u v，ABC S ∆=，求A 和a .18．数列{}n a 中，已知10a =，121...42n n a a a a ++++=+ （1）设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；19．（1）已知函数()23f x x ax =++，若存在x ∈R 使()f x a ≤，求实数a 的取值范围；（2）已知函数()2222f x x x a a =++-，对于任意[)2,a ∈+∞，()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围.20．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos C a B b A c +=. （1）求角C ； （2）若c =ABC ∆的周长L 的最大值21．数列{}n a 的前n 项和为=n n k kS a -，()0,1k ∈且k 为常数.（1）求证{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）设lg n n n b a a =⋅，且{}n b 是递增数列，求k 的取值范围.22．已知等差数列{}n a 公差0d ≠，123n k k k k a a a a L ,,,,为等比数列，11k =，25k =，317k =.（1）求n k ； （2）设()12n n nb k =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S参考答案1．C 【解析】 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式，解得. 【详解】 解：32021x x -≥+Q()()32210210x x x ⎧-+≥∴⎨+≠⎩解得23x ≥或21x <-，即12,,23x ⎛⎫⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U故选：C 【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的余弦公式化简可得. 【详解】解：2222sin sin 2cos cos a C c A ac A C +=Q2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos A C C A A C A C ∴+= 22sin sin sin sin cos cos C A A C A C ∴= sin 0,sin 0A C ≠≠Qcos cos sin sin 0A C C A ∴-= ()cos 0A C ∴+=即2A C π+=所以ABC ∆为直角三角形 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理及两角和的余弦公式，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】先由等差数列的性质4681012120a a a a a ++++=得8a ，再用性质求解 【详解】解：依题意，由4681012120a a a a a ++++=，得85=120a ，即8=24a 所以()()()91191197111197811112232416333333a a a a a a a a a a a -=-=++-=+==⨯= 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础 4．A 【解析】 【分析】)20(006,x x xy y y >=>-+，可得206xy x =>-，解得6x >．变形2126866x x x x y x x =∴+=+--+-+，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：260x xy y -+=Q ，0x >，0y >()26x x y ∴=-⋅26x y x ∴=- 6x ∴>212688866x y x x x x x ∴+=+=-+≥=--+当且仅当1266x x -=-，即6x =+ 故选：A【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 有21k +，*()k N ∈项．公差为d ．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得132140k a a a +=++⋯+，24232k a a a =++⋯+，分别相加相减即可得出． 【详解】解：设等差数列{}n a 有奇数项21k +，*()k N ∈．公差为d ．Q 奇数项和为40，偶数项和为32，132140k a a a +∴=++⋯+， 24232k a a a =++⋯+，∴1211(21)()72(21)2k k k a a k a ++++==+，21118k k a kd a kd a ++=-=+=，921k ∴=+，即等差数列{}n a 共9项，且()199599725a a S a+⨯===58a ∴=故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．B 【解析】 【分析】根据基本不等式即可得解. 【详解】解：依题意可知，a ≤对所有的正实数x ，y 恒成立，0,0x y >>Qx y ∴+≥x y =时取等号，()22x y ∴+≥当且仅当x y =时取等号，≥x y =时取等号，2≥当且仅当x y =时取等号，所以实数a 的最大值为2故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】根据数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可判断0d <，从而可得110a <，100a >，即可得到0n 的值，再根据前n 项和公式可得0n S >的最大n 的值. 【详解】解：因为当0n n =时{}n a 的前n 项和n S 有最大值 所以0d <11101a a <-Q所以110a <，100a >由等差数列的性质可知，当10n ≤时0n a >，当11n ≥时0n a <， 所以当010n n ==时{}n a 的前n 项和n S 有最大值111100a a a +<Q10110a a +∴<()1191910191902a a S a+⨯∴==>，()()120201011201002a a S a a +⨯==+<所以使得0n S >的n 的最大值为19k = 所以01019n k = 故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的前n 项和，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和的性质可设()220n S kn k =≠，则()31n T kn n =+，从而计算可得. 【详解】解：因为{}n a 、{}n b 为等差数列，且231n n S n T n =+ 所以设()220n S knk =≠，则()31n T kn n =+554503218a S S k k k ∴=-=-= 443523022b T T k k k ∴=-=-= 541892211a kb k ∴== 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的性质，对于等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2n S An Bn =+，属于基础题.9．A 【解析】 【分析】根据正弦定理，余弦定理及基本不等式验证可得. 【详解】解：①由正弦定理，sin sin a b A B =故sin B =，即3B π=或23π，经验证，二者均符合题意，故ABC ∆有两个解，故①正确；②由题意，b c >，故在ABC ∆中角B 和C 均有可能为钝角，若C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，故>c3c <<；若B 为钝角，则222cos 02a c b B ac+-=<，故c <由两边之和大于第三边，得1c <<③2y ==令t 则2t ≥则1y t t=+，[)2,t ∈+∞，易知函数在[)2,+∞上单调递增，min 15222y ∴=+=，故③错误；④令2n =则21224S S =+=，23a ∴=，故2132a a =≠故④错误 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质及等比数列的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得2sin sin sin B A C =，再利用正弦定理将角化边得2b ac =，利用余弦定理得到B 的范围，从而得到B 的最值，从而得解.【详解】解：因为()lg sin A ，()lg sin B ，()lg sin C 成等差数列 所以()()()2lg sin lg sin lg sin B A C =+ 所以2sin sin sin B A C = 由正弦定理得2b ac =由余弦定理2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=当且仅当a c =时取等号，()0,B π∈Q0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦所以max 3B π=此时2sin sin sin sin a b c b A B C B ++===++ 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】 首先求出3B π=，再利用正弦定理将边化角，则2sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭再根据正弦函数的性质即可解答. 【详解】解：Q A 、B 、C 成等差数列 所以2A+C =B ，又A B C π++= 所以3B π=由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====)sin sin sin sin sin sin b A b C a c A C B B ∴+=+=+()sin sin sin cos 2sin 33336A A B A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫=+--=++=+=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ABC ∆Q 是锐角三角形，所以02A π<<且2032C A ππ<=-<， 所以62A ππ<<，所以2363A πππ<+<sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2sin 26A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2a c <+≤故选：C 【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角函数的性质的应用，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】首先根据等比数列的性质求出{}n a 的通项公式，再根据对数的运算求出n b ，再用裂项相消法求出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，最后根据一元二次不等式恒成立问题解答. 【详解】解：因为等比数列{}n a 满足0n a >，n ∈+N 且25253nn a a -⋅=（3n ≥）223n n a ∴=，3n n a ∴=()()()()112231323312331log log ...log log log 333log 32n n nn n n n nb a a a a a a +⎛⎫+∴=+++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==⎪ ⎪⎝⎭K K()121n b n n ∴=+()2221111121122312231n n n n n S ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪∴⨯⨯⨯++⎝⎭L L 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+ 因为当x ∈R 时，不等式20n kx kx S -+>恒成立当0k =时，0n S >恒成立当0k ≠时，2040n k k kS >⎧⎨-<⎩解得04n k S <<12n S ≤<Q ，04k ∴<<综上可得04k ≤< 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质，裂项相消法求和以及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 13．2x 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】 解：0x a <<Q 两边同乘x 得，2x ax > 两边同乘a 得，2ax a > 所以22x ax a >>故2a 、2x 、ax 中的最大数为2x 故答案为：2x 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.14．4π 【解析】 【分析】根据三角形面积公式和余弦定理可得sin cos C C =，从而求得tan 1C =；由角的范围可确定角C 的取值. 【详解】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==Q 222sin cos 2a b c C C ab +-∴== tan 1C ∴= ()0,C π∈Q 4C π∴=故答案为：4π【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值. 15．[)1,0- 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得到5323b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再根据二次函数的性质解答.【详解】解：20ax bx c ++≥Q 的解集是123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭所以1,23x x =-=为方程20ax bx c ++=的解且0a <152********b a c aa ⎧=-+=-⎪⎪⎪∴=-⨯=-⎨⎪<⎪⎪⎩，则5323b a c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22225()1133c b f x cx bx a a x x a x x a a ⎛⎫⎛⎫∴=++=++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22533ax x =-+-， 0a <Q ，对称轴为54x =-03a∴->()min 5494942424af x f -⎛⎫∴==≥- ⎪⎝⎭，10a ∴-≤<即[)1,0a ∈- 故答案为：[)1,0- 【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方的关系，二次函数的性质，属于基础题.16．21nn b =-【解析】 【分析】首先求出n S ，从而可得122n n nS S S +++=，即121n n b b +=+利用构造法求出通项公式.【详解】解：()2nn a =-Q()()()()212221123n n nS ⎡⎤-⋅--⎣⎦⎡⎤==--⎣⎦--∴()()()()()()12122221212242332221213n n n n n nnnS S S ++++⎡⎤⎡⎤--+--∴-⋅-+-+⎣⎦⎣⎦===--⎡⎤--⎣⎦ 121n n b b +∴=+()1121n n b b +∴+=+所以{}1n b +为公比为2的等比数列()111212n n n b b -∴+=+= 21n n b ∴=-故答案为：21n - 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，构造法求数列的通项公式，属于中档题. 17．6A π=，1a =【解析】 【分析】首先根据向量的数量积及三角形面积公式求出A ，c ，再利用余弦定理计算可得. 【详解】解：b =Q 3AB AC ⋅=uu u r uuu r，2ABC S ∆=cos 31sin 2b bc A bc A ⎧⎪=⎪⎪⋅=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩Q ，()0,A π∈，26c A π=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，1a ∴=【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，向量的数量积的计算，属于基础题. 18．（1）见解析；（2）()112n n a n -=-⋅【解析】 【分析】（1）分1n =和2n ≥两步，利用作差法可得12n n b b -=，2n ≥，从而得证.（2）由（1）得2nn b =，即122n n n a a +-=，从而构造出2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出其通项公式即可得到{}n a 的通项公式. 【详解】解：（1）10a Q =，121...42n n a a a a ++++=+ 当1n =时，12142a a a +=+，22a ∴=， 12122b a a ∴=-=12142n n a a a a ++++=+Q L ，①当2n ≥时，12142n n a a a a -+++=+L ， ② ①减②得1144n n n a a a +-∴=-，()1-1222n n n n a a a a +∴-=-，12n n b b -∴=，2n ≥12b =Q ，0n b ∴≠，n ∈+N ，12n nb b +∴=，2n ≥ {}n b ∴是等比数列，公比为2，12b =（2）由（1）得2nn b =，n ∈+N ，122n n n a a +∴-=，111222n n n n a a ++∴-=，n ∈+N 2n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为12，1=02a ， ()1122n n a n ∴=-⋅， ()112n n a n -∴=-⋅.【点睛】本题考查作差法、构造法求数列的通项公式，属于中档题 19．（1）(][),62,-∞-+∞U ；（2）()2,0- 【解析】 【分析】（1）由题意即存在x ∈R 使230x ax a ++-≤，根据0∆≥得到不等式解得；（2）设()2222g a a a x x =-+++，可知()g a 在[)2,+∞上单调递减，由()0f x <恒成立，即()20g <即可解得. 【详解】解：（1）存在x ∈R 使230x ax a ++-≤，()2430a a ∴∆=--≥，解得6a ≤-或2a ≥a ∴的范围是(][),62,-∞-+∞U（2）设()2222g a a a x x =-+++，则()g a 在[)2,+∞单调递减，()0f x <Q 对[)2,a ∈+∞恒成立，()2220g x x ∴=+<，解得20x -<<，x \的范围是()2,0-【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.20．（1）3C π=；（2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】解：（1）()2cos cos cos C a B b A c +=Q由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=()2cos sin sin C A B C ∴+=，()sin sin 0A B C +=≠Q ，1cos 2C ∴=， ()0,C π∈Q ，3C π∴=（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+- 即2272cos3a b ab π=+-()23a b ab =+-()()()2223144a b a b a b ≥+-+=+a b ∴+≤L a b c ∴=++≤，当且仅当a b ==∴周长L最大值为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及基本不等式的应用，属于中档题.21．（1）证明见解析，1na k =；（2）102k ∴<<【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式；（2）由（1）可得{}n b 的通项公式，又{}n b 是递增数列，则+10n n b b ->对n ∈+N 恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围. 【详解】解：（1）=11n n k k S a k k ---Q ，① 当2n ≥时，11=11n n k k S a k k -----，② ①减②得1=11n n n k k a a a k k -∴---， 1n n a ka -∴=，2n ≥11=11k k a a k k ---Q ， 1a k ∴=，10a ≠Q ，0n a ∴≠，n ∈+N ，1nn a k a -∴=，2n ≥ {}n a ∴是首项为k ，公比为k 的等比数列，n n a k ∴=（2）n n a k =Q ，n ∈+N ，lg nn b k n k ∴=⋅，n ∈+N ，()+1+11lg lg n n n n b b k n k k n k ∴-=+-()lg 10n k k k n n =⋅+->⎡⎤⎣⎦，n ∈+N ()0,1k ∈Q ，lg 0k ∴<，0n k >，()10k n n ∴+-<，n ∈+N ，1nk n ∴<+，n ∈+N 1,112n n ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭Q，102k ∴<<【点睛】本题考查由n S 求通项公式，以及数列单调性求参数的取值范围，属于中档题. 22．（1）1231n n k -=⋅-；（2）()32114n n n S -+=【解析】 【分析】（1）由题意可得21175a a a =，从而得到12a d =，即可得到123n k k k k a a a a L ,,,,的公比，即可得解.（2）由（1）可得{}n b 的通项公式，再用错位相减法求和. 【详解】解：（1）123n k k k k a a a a Q L ,,,,为等比数列，11k =，25k =，317k =. 21175a a a ∴=，()()2111164a a d a d ∴+=+，0d ≠Q ，12a d ∴=∴公比为511143a a da a +==，答案第17页，总17页 ()n 1111132n k n a a a k a -∴=+-=⋅ 1231n n k -∴=⋅-（2）()1132n n n n b k n -=+=⋅ 0121132333...3n n S n -∴=⋅+⋅+⋅++⋅1233132333...3n n S n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅相减得：123121333...33n nn S n --=+++++-⋅13313nn n -=-⋅-()32112n n -+=- ()32114n n n S -+∴=. 【点睛】本题考查等差、等比数列的性质，错位相减法求和属于中档题.。
海南省海南中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
海南中学2019——2020学年第二学期期中考试高二数学（试题卷）一、单选题（在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2.全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是（ ） A. 45C B. 45AC. 45D. 54【答案】C 【解析】 【分析】每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，有5种选法，由乘法原理，即可求解【详解】4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，有5种不同的选法，根据乘法原理，可得不同的报名种数是455555.⨯⨯⨯= 故选：C.【点睛】本题主要考查了乘法计数原理，实际问题中的计数问题，属于容易题.3.61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（ ）A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】A 【解析】 【分析】化简得到展开式的通项为6216r rr T C x -+=⋅，令3r =，即可求得展开式的常数项.【详解】由题意，二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661()r r r r r r T C x C x x --+=⋅⋅=⋅，令3r =，可得展开式的常数项为34620T C ==.故选：A.【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.4.袋子中有四个小球，分别写有“海”“中”“加”“油”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“加”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“海”“中”“加”“油”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计，直到第二次就停止概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【解析】【分析】经随机模拟产生的20组随机数中,恰好第二次就停止包含的基本事件有5个，由此可以估计恰好第二次就停止的概率.【详解】经随机模拟产生了20组随机数中，13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34，恰好第二次就停止包含的基本事件有: 13，43, 23， 13， 13 共5个,由此可以估计，恰好第二次就停止的概率为51 ==204 P.故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.5.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A. 15B.14C.13D.12【答案】D【解析】【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C=种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102 P=-=故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )A. 恰有1件一等品B. 至少有一件一等品C. 至多有一件一等品D. 都不是一等品【解析】 【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）A. 360B. 400C. 420D. 480【答案】C【解析】【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案. 【详解】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图，分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域+⨯=种选择,有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3227⨯⨯⨯=种;则不同的涂色方案有5437420故选：C【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题，二、多选题9.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（）.A. 7()10P B =B. 9()10P A B ⋃=C. ()0P A B ⋂=D.()()P A B P C ⋃=【答案】ABC 【解析】 【分析】根据事件的关系及运算求解．【详解】解：由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以7()10P B =，2()10P A =，1()10P C =则9()10P A B ⋃=，故A 、B ，C 正确；故D 错误. 故选ABC.【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题．10.满足方程2551616C C x x x --=的x 的值可能为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7-【答案】AB 【解析】 【分析】利用组合数的性质求解 【详解】解：因为=C ,mn mn nC -所以255x x x -=-或2+55=16x x x --=1x ，或=5x ，或=7x -，或=3x=5x 时，552016x -=>，故舍去； =7x -时，55400x -=-<，故舍去；=1x 时，2550x x x -=-=； =3x 时，26,5510x x x -=-=；故选: AB【点睛】本题考查组合数性质，基础题. 11.若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A. 01220201a a a a +++⋯+=B. 20201352019132a a a a -++++⋯+=C. 2020024*******a a a a ++++⋯+=D.202012220201222a a a ++⋯+=- 【答案】B 【解析】 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，① 令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，② 令0x =，可得20020(10)1a =-=，③ 由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.12.己知2233nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是（ ）A. 展开式中的有理项是第2项和第5项B. 展开式中没有常数项C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项D. 展开式中系数最大的项是第5项 【答案】BCD 【解析】 【分析】对选项A ,展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项A 错误；对选项B ，10+403r =没有整数解，所以选项B 正确；对选项C ，展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项C 正确；对选项D ，展开式第5项的系数最大，所以选项D 正确.【详解】对选项A ,由题意可得42992n n -=，求得232n =或231n =-（舍），5n ∴=． 所以2253(3)x x +的展开式的通项公式为1043153r r rr T C x++=，(0,1,2,3,4,5)r =，所以当2r 或=5r 时，10+43r是整数， 所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项A 错误； 对选项B ，令10+450,32r r =∴=-，所以展开式中没有常数项，所以选项B 正确； 对选项C ，因为5n =，故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项C 正确； 对选项D ，第1r +项的系数为53r r C ，(0,1,2,3,4,5)r =，计算得展开式各项的系数依次为115,90,270,405,243,，所以展开式第5项的系数最大． 所以选项D 正确. 故答案为：BCD.【点睛】本题主要考查二项式定理求有理项和常数项，考查二项式定理求二项式系数最大的项和系数最大的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、填空题13.满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为________ 【答案】13 【解析】【分析】由于关于x 的方程220ax x b ++=有实数根，分两种情况：当0a =时，方程为20x b +=，此时一定有解；当0a ≠时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出1ab ，从而得到有序数对(,)a b 的个数．【详解】解：当0a =时，方程为20x b +=，此时一定有解； 此时1b =-，0，1，2；即(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2)四种； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，∴△440ab =-，则1ab ．当1a =-，1，2时，此时a ，b 的对数为(1,0)-，(1,2)-，(1,1)--，(1,1)-，(1,1)-，(1,0)，(1,1)，(2,1)-，(2,0)，共9种，关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对的个数为13种， 故答案为13．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，在解题时要注意分类讨论思想运用，是中档题． 14.41(1)(1)x x x+--的展开式中3x 的系数为__________. 【答案】11 【解析】 【分析】 由444411(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x +--=-+---，分别计算4441(1)(1)(1)x x x x x---，，的展开式中3x 的系数，再计算求解. 【详解】由444411(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+--=-+---, 则4(1)x -展开式的通项公式为：()()4414411rrr r r rr T C x C x --+=-=-. 所以4(1)x x -的展开式中3x 的系数为：()2241=6C -41(1)x x-的展开式中含3x 的项: ()0041=1C - 4(1)x -展开式中3x 的系数为：()1141=4C --41(1)(1)x x x+--的展开式中3x 的系数为:()6+14=11-- 故答案为：11【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题. 15.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36 【解析】试题分析：先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有种方法，而A 、B 可交换位置，所以有种摆法，又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.考点：排列组合，容易题.16.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______. 【答案】75512【解析】 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有34A 种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概型求概率即可.【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有64444⨯⨯⨯=种不同取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 11332145221240C C A C A ⨯=种，三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 2235342211360C C A A ⨯⨯=种， 由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240360600+=种取法， 所以恰好取6次卡片时停止的概率为: 6600754512P ==， 故答案为：75512【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17.高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31. (1)求射击一次，命中10环或9环的概率； (2)求射击一次，至少命中8环的概率； (3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．【答案】（1）P(A 10)＝0.13，P(A 9)＝0.28，P(A 8)＝0.31；（2）0.41；（3）0.59. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件概率的加法公式求解，即可得到答案； （2）利用互斥事件概率的加法公式，即可求解； （3）利用对立事件的概率计算公式，即可求解．【详解】设事件“射击一次，命中i 环”为事件A i (0≤i≤10，且i∈N)，且A i 两两互斥． 由题意知P(A 10)＝0.13，P(A 9)＝0.28，P(A 8)＝0.31.(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A ，那么P(A)＝P(A 10)＋P(A 9)＝0.13＋0.28＝0.41. (2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么P(B)＝P(A 10)＋P(A 9)＋P(A 8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C ，则C 与A 是对立事件，∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概率的计算问题，其中明确互斥事件和对立的事件的概念和互斥事件和对立时间的概率计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【答案】14.【解析】【分析】分别以,,,A B C D表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求解方程组，即可得到答案．【详解】从袋中任取一球，记事件A＝{得到红球}，事件B＝{得到黑球}，事件C＝{得到黄球}，事件D＝{得到绿球}，则有()()()() ()()()()()1,35,125,1221,3P AP B C P B P CP C D P C P DP B C D P A⎧=⎪⎪⎪⋃=+=⎪⎨⎪⋃=+=⎪⎪⎪⋃⋃=-=⎩解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.所以得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为.【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件和的概率等于概率的和，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．19.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.【答案】（1）635；（2）见解析【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果；（2）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，根据古典概型的概率公式计算出随机变量的各个取值的概率，即可得到随机变量X 的分布列.【详解】（1）从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，共有4870C =种，其中事件A 所包含的基本事件数为22222333C C C C ⋅+⋅12=，所以126()7035P A ==. （2）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，13534851(1)7014C C P X C ⋅====，225348303(2)707C C P X C ⋅====， 315348303(3)707C C P X C ⋅====，454851(4)7014C P X C ====，所以随机变量X 的分布列为:：X1234P114 37 37 11420.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 值；（2）设(13)3n a b =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值； (2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(513的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(13)(13)n +=+02233445555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=++++ 3a b =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)=+-+-+-+-+- 02233445555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=--+-． 因为*,a b ∈N ，所以5(13)3a b =-．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力. 21.袋中装着10个外形完全相同的小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，标有数字3的小球有3个，标有数字4的小球有4个.现从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的三个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量X 的分布列；（3）计算介于20分到40分之间的概率. 【答案】（1）512； （2）分布列见解析； （3）119120. 【解析】 【分析】（1）由从10个小球中取出3个小球，共有120种不同的取法，分别求得编号分别为1,2,3、1,2,4、1,3,4和2,3,4时的不同的取法，利用概率计算公式，即可求解；（2）求得随机变量X 允许的取值分别为2,3,4，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（3）由题意要使得介于20分到40分之间，则取出的最大数字是3或4，结合对立事件，即可求解.【详解】（1）由题意，从10个小球中取出3个小球，共有310120C =种不同的取法， 若取出的3个小球的编号分别为1,2,3时，共有1111236C C C =种不同的取法； 若取出的3个小球的编号分别为1,2,4时，共有1111248C C C =种不同的取法； 若取出的3个小球的编号分别为1,3,4时，共有11113412C C C =种不同的取法； 若取出的3个小球的编号分别为2,3,4时，共有11123424C C C =种不同的取法，所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为681224512012P +++==.（2）由题意，随机变量X 允许的取值分别为2,3,4， 则12123101(2)120C C P X C ===，321123333331019(3)120C C C C C P X C ++===， 32112446463101005(4)1206C C C C C P X C ++====，所以随机变量X 的分布列为：X2 3 4P1120 19120 56（3）由从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，要使得介于20分到40分之间，则取出的最大数字是3或4，其中取出的最大数字为2时，共有12121C C =种取法，记“3次取球时介于20分到40分”为事件A ，所以()()()()310111934121120P A P X P X P X C ==+==-==-=. 【点睛】本题主要考查了概率的计算，以及离散型随机变量的分布列，其中解答中认真审题，合理分类，结合概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 22.已知i ，m ，n 是正整数，且1i m n <≤<． （1）证明：i i i im n n A m A <； （2）证明：(1)(1)mnn m +<+．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式，结合不等式的性质进行证明即可；（2）根据二项式定理，结合（1）中的结论、排列数、组合数的公式进行证明即可. 【详解】（1）由排列数的公式得：(1)(2)(1)121i m i A m m m m i m m m m i m mmm m m m m m---+---+==⋅⋅， (1)(2)(1)121i n i A n n n n i n n n n i n nnn n n n nn---+---+==⋅⋅， 当1i m n <≤<，1,2,31k i =-时，()()()=0m k n k n m k m n k k m n m k n km n mn mn m n---------=<⇒<， 由不等式的性质可知：121m m m m i m m m m ---+⋅⋅<121n n n n i n n n n---+⋅⋅， 即i m i A m <i i i m ni i n i n A nm A A <⇒； （2）由二项式定理可知：0(1),(1)mnmi ini imn i i n n Cm m C ==+=⋅+=⋅∑∑，因为,!!i iiim n mn A A C C i i ==，由（1）知：i i i i m n n A m A <， 所以有i i i im n n C m C <,又因为000011111,,0i in m n m n m C n C m C n C nm m C ====>(1)i m n <≤<，所以(1)(1)n mii ii n m nmi i m C n Cm n ==⋅>⋅⇒+>+∑∑.【点睛】本题考查了排列数、组全数公式的应用，考查了二项式定理，考查了不等式的性质，考查推理论证能力和数学运算能力.。
三亚市2019年高一下学期期中数学试卷(I)卷
三亚市2019年高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·安徽期末) （）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·邹平期中) cos300°的值是（）A .B . -C .D . -3. （2分） (2018高一下·宁夏期末) 已知角终边上一点的坐标为，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·随县模拟) 若，则（）A .B .C .D .5. （2分）设向量满足：．以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）平行四边形ABCD中， =（1，2）， =（﹣1，4），则 =（）A . （﹣3，3）B . （2，﹣2）C . （﹣2，2）D . （0，6）7. （2分） (2017高二下·河北期中) 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则• 的值为（）A . ﹣C .D .8. （2分）已知A（﹣2，1），B（1，3），那么线段AB中点的坐标为（）A . (-,2)B . (2,-)C . （3，2）D . （2，3）9. （2分）函数的图象如图所示，为得到函数的图象，可将f(x)的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度10. （2分）已知，并且a是第二象限的角，那么tana的值等于（）A .C .D .11. （2分） (2018高一下·宜昌期末) 函数的最小正周期为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·仙桃期末) 函数的最小值为（）A . 1B . ﹣1C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·太谷期中) 已知| |=3，| |=5， =12，则在方向上的投影为________．14. （2分） (2018高一下·金华期末) 已知函数，则的最小正周期是________，当时，的取值范围是________．15. （1分） (2016高三上·闵行期中) 已知θ为锐角，且cos（θ+ ）= ，则cosθ=________．16. （1分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是________三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2017高一下·南京期末) 已知sinα= ，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．18. （5分） (2018高一下·龙岩期中) 已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19. （10分） (2016高一下·滕州期末) 已知向量与的夹角为60°．（1）若，都是单位向量，求|2 + |；（2）若| |=2， + 与2 ﹣5 垂足，求| |．20. （5分）(2017·东北三省模拟) 已知f（α）=cosα（Ⅰ）当α为第二象限角时，化简f（α）；（Ⅱ）当α∈（，π）时，求f（α）的最大值．21. （10分） (2016高一上·温州期末) 已知函数，（a为常数且a＞0）．（1）若函数的定义域为，值域为，求a的值；（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度为n﹣m，其中n＞m，若不等式f（x）+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．22. （5分） (2015高一下·正定开学考) 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠CPB=α，∠DPA=β．（Ⅰ）当最小时，求tan∠DPC的值；（Ⅱ）当∠DPC=β时，求的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共12 页第12 页共12 页。
海南省名校重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学综合测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列的前项之和为，若，则为（ ）A ．45B ．54C ．63D ．272． (2016高考新课标III ，理3)已知向量13(,)22BA = ,31(,),22BC = 则∠ABC= A ．30 B ．45C ．60D ．1203．函数的定义域是（ ） A ．B ．C ．D ．4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sinB 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．15．某空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥-B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥7．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（ ）A ．甲、乙两人打靶的平均环数相等B ．甲的环数的中位数比乙的大C ．甲的环数的众数比乙的大D ．甲打靶的成绩比乙的更稳定8．已知β为锐角，角α的终边过点(()23,sin αβ+=cos β=（ ） A ．12B ．624C ．624 D ．6249．数列{}n a 中，12a =，且112(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（ ） A ．40362019 B ．20191010 C ．40372019 D ．4039202010．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．411．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ） A 5 B 25C ．5-D ．2512．函数sin 2y x =-，x ∈R 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本题共4小题13．直线2230x y +-=的倾斜角为______． 14．已知函数4(1)1y x x x =+>-，则函数的最小值是___．15．设*n N ∈，用n A ，表示所有形如12222n r r r +++的正整数集合，其中120n r r r n ≤<<<≤且()*i r N i N ∈∈，n b 为集合n A 中的所有元素之和，则{}n b 的通项公式为n b =_______16．函数f （x ）＝2cos （x 3π+）﹣1的对称轴为_____，最小值为_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
海南省海南中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(扫描版)
海南中学2018—2019学年第二学期期中考试高一数学试题答案及解析（总分：150分；总时量：120分钟）第Ⅰ卷（选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上） 13. 2x 14. 4π 15.[-1,0) 16.21,nn b n N +=-∈一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）16621P -【例题（）】、32021x x -≥+的解集是（ ） A ．12(,)23- B ．1(,3)2- C ．12(,)[,)23--∞⋃+∞D ．2[,)3+∞263P -【例题】、在ABC ∆中，2222sin sin 2cos cos a C c A ac A C += ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形31342P B -【组】、在等差数列{}n a ，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -=（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．1747922P -【练习（）】、0,0,260x y x xy y >>-+=且，则x y +的最小值为（ ）A ．8+．16 C ．3 D ．51381374P P -【-B 组6、】、已知等差数列｛a n ｝的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则5a =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11540+32=n 9,840328M n n M a M M ⋅=⎧⎧∴∴=⎨⎨-==⎩⎩解：设共有项，中间项为则681P 【-练习2】、a ≤x y 、恒成立，则实数a 最大值是（ ）A ．1 B．2 C．21 713713817063P P P -【、 ；-B 组1、5、7；-12；周考《数列》12、2017-2018《海南中学学年第二学期期中考试》16】已知等差数列{}n a ,11101a a <-，且当0n n =时{}n a 的前n 项和n S 有最大值，设使0n S >的n 最大值为k ，则0n k =（ ） A ．1011 B ．1021C ．12 D.10198341378P P -【-例题2、练习2、】、两个等差数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n n S T 、，若231n n S n T n =+，则54a b =（ ） A ．1013 B ．914 C ．911 D ．239、下面命题正确的个数有（ ）个3P 【-练习2】 ①在ABC ∆中，4,,6a b A ABC π===∆若则有两个解.74P 【-例题、周考《解三角形》11】 ②若ABC ∆为钝角三角形，1,2a b ==，则3c <<.82P 【-例题3】③函数2y =的最小值为2.④已知{}n a ，11a =, 122(2)n n S S n -=+≥，则数列{}n a 是等比数列，公比为2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4103280165P 【-例题3、P -预习自测2、P -7】、在ABC ∆中，若lg(sin ),lg(sin ),lg(sin )A B C成等差数列，b =B ∠取最大值时，sin sin sin a b cA B C++=++（ ）A.6πB. 4πD. 2111045-【P 例题、例题】、在锐角三角形ABC ∆中，A B C 、、成等差数列，1b =，则a c +的取值范围（ ）A ．(1,2] B ．(0,1) C．2]D.1248142--【P 例题2（2）、周考《不等式》8、P C 组1】、等比数列{}n a 满足0,n a n N +>∈且25253(3n n a a n -⋅=≥），设31323log log ...log n n b a a a =+++， 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S . 若对任意的正整数n ，当x R ∈时，不等式20n kx kx S -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．[0,4) D. (0,4)第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上）1359-【P 预习自测2】、已知实数a x 、满足0x a <<，则22a x ax 、、中的最大数为 145114-【P 预习自测、周考《解三角形》】、ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，ABC ∆的面积为2224a b c +-，则角C = 15642-【P 例题】、若不等式20ax bx c ++≥的解集是1|23x x -⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，函数2()f x cx bx a =++，当x R ∈时49()24f x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是 解：53230b a c a a -⎧=⎪⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎪⎩2222min 25()(1)(1)33(253),0354949()()4242410c b f x cx bx a a x x a x x a a a x x a a f x f a --∴=++=++=++-=+-<--∴==≥∴-≤< 1645401--【P 例题、P 例题2】、已知{}n a 的前n 项和为n S ，(2)nn a =-，数列{}n b 中，11b =，1211n n n n nS S b b S ++++=+，则 =n b解：2q =-1221221212()()(2)()22n n n n n n n n nS S a qS S q S a a q q S S S S S +++++=+++=+++=+∴= 121n n b b +∴=+，下同40-P 例题2.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）177--P 【课堂达标验收4】（本小题满分10分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知b =3AB AC ⋅=u u u r u u u r，ABC S ∆=，求A 和a .解：cos 3,(0,)1sin 22b bc A A bc A π⎧⎪=⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅=⎪⎩Q 26c A π=⎧⎪∴⎨=⎪⎩1a ∴==181402P C -【组】（本小题满分12分）数列{}n a 中，已知10a =，121...42n n a a a a ++++=+ （1） 设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.； （2） 求数列{}n a 的通项公式； 解： （1）1211212142,0,222a a a a ab a a +=+=∴=∴=-=Q121...42n n a a a a ++++=+121...42,2n n a a a a n -+++=+≥1144n n n a a a +-∴=-1-1222n n n n a a a a +∴-=-（）12,2n n b b n -∴=≥ 120,n b b n N +=∴≠∈Q 12,2n nb n b +∴=≥ {}n b ∴是等比数列，公比为2，12b =（2）2,nn b n N +=∈ 122nn n a a +∴-=111222n n n n a a n N +++∴-=∈， 1=0222n n a a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭1是等差数列，公差为， 1(1)22n na n ∴=-⋅ 1(1)2,n n a n n N -+∴=-⋅∈19675P -【例题】（本小题满分12分）（1）已知函数2()3f x x ax =++，若存在x R ∈使()f x a ≤，求实数a 的取值范围； （2）已知函数22()22f x x x a a =++-，对于任意[2,)a ∈+∞，()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围.解：（1）存在x R ∈使230x ax a ++-≤24(3)062a a a a ⇔∆=--≥⇔≤-≥或a ∴的范围是∞∞U （-,-6][2,+) （2）设22()22g a a a x x =-+++，则()g a 在[2,)+∞单调递减. 2()0,[2,)(2)2020f x ag x x x ∴<∈+∞⇔=+<⇔-<< x ∴的范围是（-2,0）207-5P 【例题】（本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1） 求角C ； （2）若c =ABC ∆的周长L 的最大值解：（1）解法一：由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 2cos sin()sin C A B C ∴+=sin()sin 0A B C +=≠Q1cos ,(0,)2C C π∴=∈3C π∴=解法二：由射影定理：cos cos a B b A c +=得：2cos c C c ⋅=，下同解法一. （2）由余弦定理得：22222272cos 3()331()()()44a b ab a b aba b a b a b a b L a b c π=+-=+-≥+-+=+∴+≤∴=++≤等号成立a b ⇔==L ∴周长最大值为2114427169175142237201-P C P P ----【组、P 例题、、（）、P C 组1】（本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为=,(0,1)11n n k kS a k k k -∈--且k 为常数. （1） 求证{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2） 设lg n n n b a a =⋅，且{}n b 是递增数列，求k 的取值范围.解：（1）=11n n k kS a k k --- 11=,211n n k k S a n k k ---≥--11=11,2n n n n n k ka a a k k a ka n --∴---∴=≥ 111=11k ka a a k k k -∴=--Q100,n a a n N +≠∴≠∈Q1,2n n ak n a -∴=≥{}n a ∴是等比数列,公比为1,k a k =（2）,n n a k n N +=∈Q ， lg ,n n b k n k n N +∴=⋅∈+1+1-(1)lg lg lg [(1)]0,n n n n n b b k n k k n kk k k n n n N +∴=+-=⋅+->∈ (0,1)lg 0,0n k k k ∈∴<>Q (1)0,,1k n n n N n k n N n ++∴+-<∈∴<∈+ 11[,1)0122n k n ∈∴<<+Q22（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 公差0d ≠，123n k k k k a a a a ,,,...,为等比数列，123k k k =1,=5,=17.（1） 求n k ；（2） 【必考题型：错位相减】【海南中学2017—2018学年第二学期高一数学期中考试20（2）】 设(1)2n n n b k =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 解：（1）521175111(16)(4)a a a a a d a d =∴+=+Q102d a d ≠∴=Q511143a a d a a +∴==公比为 n 1111(1)32n k n a a a k a -∴=+-=⋅ 1231,n n k n N -+∴=⋅-∈（2）1(1)32n n n n b k n -=+=⋅ 0121132333...3n n S n -∴=⋅+⋅+⋅++⋅1233132333...3n n S n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅相减得：123121333...33n n n S n --=+++++-⋅133133(21)12nnn n n -=-⋅--+=- 3(21)1,4n n n S n N +-+∴=∈。
2019-2020学年海南省文昌中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年海南省文昌中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列叙述正确的是( )A. 数列{nn+1}是递增数列B. 数列0，1，2，3，…可以表示为{n}C. 数列0，0，0，1，…是常数列D. 数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列2. 已知数列2，5，10，17，26…的一个通项是( )A. n 2+nB. 2n−1C. n 2+1D. 2n3. 已知及所在平面一点，符合条件：，且，则的形状为( )A. 等腰B. 直角C. 等腰直角D. 正4. 已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，若l 上一点C 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ cosθ+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cos 2θ−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则cosθ在实数范围内的解集为( )A. ⌀B. {−1+√52,−1−√52} C. {−1}D. {−1+√52}5. 在△中，角所对的边分别为，且满足，则的最大值是( )A. B.C.D. 26. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若角A ，C ，B 成等差数列，且sin 2C =sinAsinB ，则△ABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形7. 设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 2+a 11=4，则S 12=( )A. 12B. 24C. 36D. 408. 任意四边形ABCD 内有一点O 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则O 点的位置是( ) A. 对角线的交点 B. 对边中点连线的交点 C. BD 的点D. AC 的中点9. 一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A.B.C.D.11. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知等差数列{a n }中a 2+a 3+a 7+a 8=20，则该数列前9项和S 9等于( )A. 18B. 27C. 36D. 45二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 。
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海南省海南中学2019-2020学年高一下学期期中考
试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 函数的最小正周期是( )
B．C．D．
A．
2. 已知复数，所对应的点分别是，，那么向量对
应的复数是( )
A．B．C．D．
3. 在四边形中，若，则（）
A．四边形一定是平行四边形B．四边形一定是菱形
C．四边形一定是正方形D．四边形一定是矩形
4. 已知为异面直线，平面，平面、，则
（）
A．与都相交B．与至少一条相交
C．与都不相交D．至多与中的一条相交
5. 已知两个复数，，则的值是( ) A．1 B．2 C．-2 D．3
6. 在中，，.点满足，则
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 在直角梯形中，，，，若将直角梯形绕边旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A．B．C．D．
8. 已知函数的图象的一条对称轴是，则函数
的一个初相是( ) A．B．C．D．
二、多选题
9. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，
，，则下列说法正确的是( )
A．或B．
C．
D．该三角形的面积为
10. 下列推理正确的是( )
A．，，，
B．，
C．，，，
D．，，；，，，且，，三点不共线，重合
11. 设函数，则（）
A．的最大值为2
B．在区间上单调递增
C．是偶函数
D．的图象关于点对称
12. 若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是( )
A．B．
C．D．
三、填空题
13. 复数的虚部是________.
14. 已知向量与的夹角为，，且，则实数
______.
15. 阿基米德（公元前287年——公元前212年）的墓碑上刻有“圆柱容球”（如图）这一几何图形，这是因为阿基米德在他的许许多多的科学发现中，以“圆柱容球”定理最为满意，“圆柱容球”是指圆柱的底面直径与高都等于球的直径，对圆柱与球的体积与面积而言，写出你推出的两个结论________.（指相等关系）.（注：用文字或者符号表示均可）
16. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．
四、解答题
17. 已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，且，侧
棱.
（1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）；
（2）求该三棱柱的表面积.
18. 已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且
.
（1）求；
（2）若，且，求的周长.
20. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式.
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求
的单调递增区间.
21. 如图，正方体中，，，分别在棱，，
上，且，相交于点.
（1）求证：，，三线共点.
（2）若正方体的棱长为2，且，分别是线段，的中点，求三棱锥的体积.
22. 已知在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且
.
（1）若，求的值.
（2）若是外接圆的圆心，且，求的值.。