必修1辅导—4—基本初等函数(同步教师版ok)

基本初等函数课标要求（1）二次函数：通过二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； （2）指数函数① 通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景。

② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③ 理解指数函数的概念和意义，画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。

（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；②②通过具体实例，初步理解对数函数的概念，画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③ 知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x 互为反函数（a > 0, a ≠1）。

（4）幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, , 的图象，了解它们的变化情况。

二次函数知识要点1.定义：形如f(x)=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0）的函数叫二次函数。

2. 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0）； （2）两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）※抛物线f(x)=ax 2+bx+c 与x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2+bx+c=0有实根x 1和x 2存在时，根据二次三项式的分解因式ax 2+bx+c= a(x-x 1)(x-x 2)，二次函数f(x)=ax 2+bx+c 可转化为两根式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)。

如果没有交点，则不能这样表示。

（3）顶点式：f(x)=a(x-h)2+k （a,h,k 是常数，a ≠0） 3.图象性质 a>0a<0（1）a 决定开口方向及开口大小：a>0开口向上，a<0开口向下；a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴：抛物线f(x)=ax 2+bx+c 的对称轴是直线ab x 2-=。

（3）c 决定抛物线f(x)=ax 2+bx+c 与y 轴交点的位置.※抛物线f(x)=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0）与x 轴交点情况由ax 2+bx+c=0解的情况确定；ax 2+bx+c=0根的判别式为∆=b 2-4ac ；若∆>0，则抛物线y=f(x)与x 轴有两个交点；若∆=0，则抛物线y=f(x)与x 轴有一个交点；若∆<0，则抛物线y=f(x)与x 轴没有交点。

题例方法例1：作函数f(x)=x 2-2x-3的简图，并指出函数的单调区间和最值。

解：由于f(x)=x 2-2x-3=(x-1)2 - 4，所以抛物线的对称轴是x=1，顶点是(1,- 4)又f(0)=– 3，x 2-2x-3=0的两根为– 1,3;所以抛物线与x 轴的交点为A(- 1,0);B(3,0)与y 轴的交点为C(0, – 3)。

函数的简图(略)。

由图象知函数的单调增区间是（1，+≦）；单调减区间是（ - ≦，1）； x=1时函数有最小值– 4，函数无最大值。

总结：（1）依据函数的代数特征（函数表达式或代数性质）作出函数的简图，是数学学习技能之一。

（2）作二次函数简图的四要素①开口方向；②对称轴，顶点；③与x 轴交点；④与y 轴交点。

（3）二次函数在对称轴两侧的单调性相反，单调区间由对称轴划分。

（4）求二次函数对称轴、顶点常用方法有公式法和配方法。

例2：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如图所示，则a ___0，b ___0，c ___0，ac b 42-____0。

（填>或<号）分析：依据c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,是常数，0≠a ）中常数c b a 、、的作用考虑。

解：抛物线开口向上，故0>a ；图象对称轴在y 轴右侧，故02>-ab，结合0>a 可得0<b ；由图象与y 轴正半轴相交得0)0(>=c f ；由图象与x 轴有两个交点，方程02=++c bx ax 有两不等实数根，所以042>-=∆ac b 。

故依次应填>、<、>、>。

总结：（1）能识图是数学学习的另一技能。

（2）识图也就是能由函数的图象特征（对称性、单调性、函数值特征）得出函数的代数性质。

例3:已知2)(2+-=x x x f ，分别求出x 在以下区间内取值时，)(x f 的最值。

（1）]0,1[-∈x （2）]1,0[∈x ； （3）]2,1[∈x ； （4）].2,2[-∈x分析：求二次函数的最值，应结合图象，看开口方向，再根据对称轴与所给区间的位置关系作出判断。

解：抛物线2)(2+-=x x x f 的开口向上，对称轴的方程是21=x 。

（1）]0,1[-∈x 时，2)0()(,4)1()(min max ===-=f x f f x f ； （2）]1,0[∈x 时，47)21()(,2)1()0()(min max =====f x f f f x f ； （3）]2,1[∈x 时，2)1()(,4)2()(min max ====f x f f x f ； （4）].2,2[-∈x 时， 47)21()(,8)2()(min max ===-=f x f f x f 。

总结：求二次函数在指定区间的最值（值域）时，可借助二次函数的简图直观解决。

基本步骤：①做出函数简图，②标出定义域；③确定最值（值域）例4：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的二次项系数为正数；且对R x ∈有)2()2(x f x f +=-；则)3()1()1(f f f ；；-的大小关系是______________。

解：由)2()2(x f x f +=-知抛物线c bx ax x f ++=2)(的对称轴是2=x ； 又0>a ，所以抛物线开口向上；作出题设抛物线简图，在曲线上标出相应点即可的到)3()1()1(f f f ；；-的大小关系是)1()3()1(f f f >>-经验总结：在选择填空题中，利用函数的图象对称性、单调性直观解决函数值大小比较问题是解题的常用思路。

1.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A.0,0>∆>a B.0,0<∆>a C.0,0>∆<a D.0,0<∆<a答案：D2.抛物线c bx ax y ++=2的图象如图，则下列结论：①0>abc ；②2=++c b a ； ③21>a ；④1<b ；其中正确的结论是（ ）. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 答案：B3.已知函数y ＝x 2+bx+c 且f(1+x)＝f(-x),则下列不等式中成立的是( )A.f(-2)＜f(0)＜f(2)B.f(0)＜f(-2)＜f(2)C.f(0)＜f(2)＜f(-2)D.f(2)＜f(0)＜f(-2)解1:f(-2)＝f(3)＝9+3b+c,f(0)＝c,f(2)＝4+2b+c;f(0)＝c ＝f(1)＝1+b+c ⇒b ＝-1＜0;≨f(0)＜f(2)＜f(-2). 故选C 解2：由f(1+x)＝f(-x)得函数图象的对称轴是21=x,利用图象可得f(0)＜f(2)＜f(-2) 4.函数22+--=x x y 的单调增区间是________；单调减区间是________。

答案：),21()21,(+∞---∞； 5.函数)25(,322-≤≤-+--=x x x y 的值域是 。

答案：[－12，3]指数与指数函数知识要点1.指数与幂的运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于a(n>1,且n єN +),则这个数称a 的n 次方根。

即若x n =a ，则x 称a 的n 次方根(n>1,且n єN +); 1）当n 为奇数时，a 的n 次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ；n 个3）∈=-p aapp(1Q ，4）m a a a n m nm,0(>=、∈n N * 且)1>n 。

②性质：（注:性质对r 、∈s R 均适用） 1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ）。

2.指数函数1.定义：形如)1,0(≠>=a a a y x的函数叫做指数函数。

指数函数的图象与性质如下表所示:题例方法例1．化简求值：（1）21433125.016)81(064.0++---； （2）2121212121212b a b a b a b a ba --+-+-解：(1)原式＝1021814.0)5.0()2(1)4.0(1212434313=++-=++---. （2）原式=0)())((21212121212122121212121212121=+--=---++-b a b a b a b a b a b a b a总结：一般地，进行指数运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进行计算是常用技巧，在处理n a )(-时，最好先用n n a )1(-形式然后求解。

例2：函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( ) 答案：B分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥).0()1(),0(x ax a x x 又a>1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为y ＝a ｜x ｜是偶函数，又a>1，所以当x ≥0时，y ＝a x 是增函数；x ＜0时，y ＝a -x 是减函数.≨应选B. 总结：简单复合函数性质问题，常用数形结合方法解决；要注意图象变换知识的应用。

例3：1．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( ) 答案：AA ．(0，12)B ．(12，＋≦)C ．(－≦，12)D ．(－12，12)解析：根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得a ∈(0，12)．2.求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x 的单调区间.分析：这是复合函数求单调区间的问题 可设y ＝u ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31为减函数≨u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减，当x ∈(-≦，23)时，u 为减函数，即函数的增区间为(-≦，23)当x ∈［23，+≦)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 即函数的减区间为(-≦，23) 总结：指数函数单调性与底数的关系一定要分清，简单复合函数单调性遵循“同增异减”原则。