27.2.1相似三角形的判定4
27.2.1相似三角形的判定(SSS和SAS)
网格中的相似 如何判断网格中的三角形是？ 三角形相似的两个判定： 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
网格中的相似
如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC， ②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK， 在②～⑥中，与三角形①相似的是(B )
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
网格中的相似
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格 点上． (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个 点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三 角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
∴△ABC~△A'B'C'.
判定的应用
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE.
判定的应用 提示：先把线段乘积转化为比例
判定的应用
如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． 沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（C ）
相似三角形的判定（SSS和SAS）
教学目标 理解三边成比例的两个三角形相似． 理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教学重点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
教学难点 运用三角形相似的判定证明三角形相似．
知识回顾
1．对应角_相___等___，对应边成___比__例__的两个三角形， 叫做相似三角形． 2．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例．
27.2.1相似三角形的判定(SAS)
课题：27.2.1相似三角形的判定（SAS）【教学目标】1．掌握相似三角形判定定理(SAS) ，能初步运用定理解决相关问题2．通过相似三角形判定定理(SAS)的探究归纳过程，体会类比的数学思想．【教学重点】相似三角形判定定理(SAS)的理解与应用．【教学难点】相似三角形判定定理(SAS)的证明．【教学过程】一、复习引入1．证明两个三角形全等的方法都有哪些？(SAS、ASA、AAS，SSS)2．到目前为止，我们学习过的证明两个三角形相似的方法有哪些？(定义、预备定理、SSS)【白板操作】第2页点击“心形”右边，出现已学的三种方法．二、探究相似三角形判定方法（SAS）思考：类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过两边及其夹角来判断两个三角形相似．【白板操作】第3页1．探究3（课本P44）．学生自主画图，小组讨论验证【白板操作】第4页2．学生自己写出猜想，再根据猜想的的条件和结论分别写出已知、求证、尝试自己证明。
已知：在△ABC和△A’B’C’，''''A B A CAB AC=，∠A=∠A’。
求证：△ABC∽△A’B’C’【白板操作】第5页点击图形相应位置，互相辅助线；点击“心形”右边，出现辅助线的作法；其余证明过程师生板书．3．得出定理，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．符号：在△ABC和△A’B’C’中∵''''A B A CAB AC=,∠A=∠A’简写为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．【白板操作】第6页点击“心形”右边，分别出现上述内容．三、例题例1.根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’是否相似，并说明理由．AB=7，AC=14，∠A＝60°A’B’＝6，A’C’＝3，∠A’＝60°例2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1．试判断△ADE 与△ABC 是否会相似？【白板操作】第7-8页 师生在白板上书写解答过程．四、辨析：提出问题：是否有SSA 呢？反例：''''A B A C AB AC=，∠B=∠B ’，但△ABC 与△A ’B ’D ’不相似. 【白板操作】第9页 点击“心形”右边，出现反例图形等．第10页 这里设置了屏幕遮盖．五、课堂练习1．能判定△ABC ∽△A’B’C’的条件是( ) (A)''''AB A B AC A C =,且∠A=∠A’ (B)''''AB AC A B A C = (C)''''AB AC A B A C =，且∠B=∠B’ (D)''''AB AC A B A C =，且∠C=∠C’ 2．已知△ABC 和 △A’B’C’,根据下列条件，判断它们是否相似.（1）∠A=120°，AB=7cm ，AC=14cm,∠A`=120°，A`B`=3cm ，A`C`=6cm;(2) ∠A ＝45°，AB=12cm ， AC=15cm∠A’＝45°，A’B’＝16cm ，A’C’＝20cm六、本节小结：1. 到目前为止我们所学习过的相似三角形的判定方法(定义、预备定理、SSS 、SAS)2. 证明方法小结① 化归到预备定理、构造平行、全等三角形② 类比思想【白板操作】第11页 点击“心形”右边，出现相关内容．【教学反思】。
27.2.1_相似三角形的判定(复习)
b １ B
D
四、中考透视
1、如图正方形边长是2，BE=CE，MN=1。线段MN 的两端在CD、AD上滑动，当DM为多长时，△ABE 与以D、M、N为顶点的三角形相似。
A
N
D
M
A
N
D
M
B
E
C
B
E
C
2、已知在△ABC中，∠C=90o ,AC=8cm,BC=6cm, 点P从点A出发，沿AC以3厘米/秒的速度向点C移动， 点Q从点B出发，沿BA以4厘米/秒的速度向点A移动。 如果P、Q分别从A、B 同时出发，移动时间为t秒 (0<t<2.5)。 当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角 形与△ ABC相似？
1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点 O，AO＝BO，DF＝FB 求证：DE2＝EC· EO 证明： ∵OA＝OB ∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED ∴ DE/CE ＝ EO/DE ∴DE2＝EC· EO
B
E F C
O D
明理由。
A
巩固提高：
2.如图，在□ABCD中，已知E是 AB的中点，在AD上截取AF=FD， AG EF交AC于G，求 的值.
AC
A E B G
F
D
C
1 、 在△ ABC 与△ AB C 中，有下列条 件： BC AC AB BC ① AB B C ；② ； B C ③∠ AC A＝∠ C ④∠ A C ＝∠ 。如果从中任取两个条件 组 成 一 组 ， 那 么 能 判 断 △ ABC∽△ AB C 的共有（ ）组。 A、1 B 、2 C、3 D、4
人教版九年级下册数学27.2.1 两角分别相等的两个三角形相似教案与反思
27.2.1 相似三角形的判定古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修铁山学校何逸春第4课时两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B ＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴ABDC＝BDDE，∴xx－3＝32，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】添加条件证明三角形相似如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝可以得出△ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝AEAB.方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】相似三角形与圆的综合应用如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦E 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝ 12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计 1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
27.2.1相似三角形的判定(第1课时)教学设计
课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时）一、教学目标知识技能1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这三个定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.过程与方法1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
情感态度价值观1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
二、教学重点和难点1.重点：相似三角形的三个判定定理.2.难点：得出相似三角形的三个判定定理.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：全等三角形的四个判定定理：(1)如果两个三角形三对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或SSS）.(2)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或）.(3)如果两个三角形两对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或）.(4)如果两个三角形两对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或）. （本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业）（二）创设情境，导入新课师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形.师：对两个三角形来说，形状相同是什么意思？（稍停）就是对应角相等，对应边的比也相等.所以相似三角形还有一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形. （师出示下图）师：譬如△ABC和△A ′B ′C ′，如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′（边讲边板书：如果∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′），ABBC CA A B B C C A （边讲边板书：AB BC CA A B B C C A），我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似（边讲边板书：就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似），记作△ABC ∽△A ′B ′C ′（边讲边板书：记作△ABC ∽△A ′B ′C ′）. 师：（指准板书）相似三角形的这个定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停）（三）尝试指导，讲授新课师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是SSS 、SAS 、ASA 、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家先自己想一想.（生思考，要给学生充足的思考时间）师：好了，下面我们一起来考虑这个问题.师：全等三角形判定定理SSS 是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果ABBC CA A BB C C A ，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′（边讲边作如下板书）. AB BC CA A B B C C A△ABC ∽△A ′B ′C ′师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理. 师：全等三角形判定定理SAS 是怎么说的？（稍停）如果两个三角形A /B /BC A /C两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结，夹角∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′论的意思是说，如果AB ACA B A CB′C′（边讲边作如下板书）.AB AC，∠A=∠A′A B A C△ABC∽△A′B′C′师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理.师：全等三角形判定定理ASA、AAS都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理.（师出示下面的板书）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC～△A′B′C′（边讲边作如下板书）.∠A=∠A′，∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我们就来运用判定定理. （师出示例题）例根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1)∠A=120°，AB=7，AC=14，∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6；(2)AB=4，BC=6，AC=8，A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21；(3)∠A=70°，∠B=60°，∠A ′=70°，∠C ′=50°.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，(3)题解题过程如下）(3)∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.∵∠A=∠A ′=70°，∠C=∠C ′=50°，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（四）试探练习，回授调节2.根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似.(1)∠B=100°，∠C=30°，∠A ′=50°，∠B ′=100°；(2)∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A=40°，A ′B ′=16，A ′C ′=20；(3)AB=4，BC=2，CA=3，A ′B ′=6，B ′C ′=3，C ′A ′=4.5.（五）归纳小结，布置作业师：（指板书）本节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，希望大家能够理解这三个定理，并记住它们.（作业：P 54习题2） ////BC CA B C C A 就说△ABC 和△A ′B 记作△ABC ∽△A ′B。
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
27.2.1相似三角形的判定
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
A D B
（图1）
D
“X”型
O
E
E C
B
（图2）
C
符号语言：在△ABC中
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
学以致用
1、如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地 找出图中的相似三角形，并说明理由。 O
A F E
B D
D
C
A
E
C
学以致用
7、如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值 （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
学以致用
8、如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
相似三角形判定方法
1、三组对应边的比相等且对应角相等；
AB BC CA . AB BC CA
B
C B′
C′
∴△ABC∽△A´B´C´ 2、相似三角形的性质：对应角相等,对应边的比也相等 3、相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比
AB BC AC △ABC与△A´B´C´相似比为k,即 DE EF DF k 1 k1 两三角形相似 则△A´B´C´与△ABC相似比为 k k=1 两三角形全等
如何不通过测量，运用所学知识，快速将 一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3?
A
B C BI CI DI EI FI
则
ACI
CIFI
2
D E F
3
27.2.1_相似三角形的判定AA(4)
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
A
D
B
18
4 √2 12√2
C
〈应用〉如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC=
4.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) ⊿AEF∽⊿ CEA. (2) ∠1+ ∠2= 45 °
∴△ABC∽△DEF
AB AC （4） ∵ DE DF
∠A=∠A ∴△ABC∽△DEF D E C
B
问题引入：
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相 似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它 们一定相似吗？
已知：在△ABC 和△A´B´C´中, ∠A=∠A', ∠B'=∠B 求证： Δ A'B'C'∽Δ ABC
E A D A E B B C C
将△DAE绕A点旋转
D
如何证明∠DEA＝∠
D
C B C
B
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8， 求AB
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
基础演练
A’
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
A
C
D A B
(1)
C B’ A’
C’
(2)
D
A
E
E C
B
(3)
C
新人教版九年级下册数学《两角分别相等的两个三角形相似》精品导学案
27.2.1 相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.一、知识链接学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似操作与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：问题1 度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？问题2 试证明：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′（或A′B′的延长线）上，截取A′D=AB，过点D 作DE // B′C′，交A′C′于点E，【补全证明过程】【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC ∽△A'B'C'.【典例精析】如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.【针对训练】如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.如图，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P，求证：PA ·PB=PC ·PD.证明：连接AC，DB.∵∠A 和∠D 都是弧CB 所对的圆周角，∴∠A= __ ___，同理∠C= _______，∴△PAC ∽△PDB，∴，即PA ·PB = PC ·PD.【针对训练】如图，⊙O 的弦AB，CD 交于点P，若PA=3，PB = 8，PC = 4，则PD =.【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于△BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解探究点2：判定两个直角三角形相似如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL ”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？证明 如图，在 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C=90°，∠C ′=90°，CA ACB A AB ''=''. 求证：Rt △ABC ∽ Rt △A ′B ′C ′.【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =2，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．【分析】观察得到AB 和AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论【针对训练】在 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B ′=55°： ；(2) AC=3，BC=4，A ′C ′=6，B ′C ′=8： ；(3) AB=10，AC=8，A ′B ′=25，B ′C ′=15： .二、课堂小结1. 如图，已知 AB ∥DE ，∠AFC ＝∠E ，则图中相似三角形共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D ，∠C=∠E ，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC 的长等于 ( ) A.415 B.512 C.320 D.417 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ ) 时，△ACD ∽△ABC ；4. 如图，在 Rt △ABC 中， ∠ABC = 90°，BD ⊥AC 于点D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .5.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC.6. 如图，△ABC 的高 AD ，BE 交于点 F ．求证：DF EF BF AF .7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似问题2 解：则有△A ′DE ∽△A ′B ′C ′，∠A ′DE =∠B ′.∵∠B=∠B ′，∴∠A ′DE=∠B.又∵ A ′D=AB ，∠A=∠A ′，∴△A ′DE ≌△ABC （ASA ），∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典例精析】证明：∵ 在△ ABC 中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，∴ ∠C=180 °－∠A －∠B=60 °.∵ 在△DEF 中，∠E=80 °，∠F=60 °.∴ ∠B=∠E ，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.【针对训练】 55°∠D ∠BPB PC PD PA = 【针对训练】6探究点2：判定两个直角三角形相似解：∵ ED ⊥AB ，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A ，∴ △AED ∽△ABC. ∴AB AE AC AD = .∴41058=⨯=⋅=AB AE AC AD . 证明 证明：设C A AC B A AB ''=''= k ，则AB=kA ′B ′，AC=kA ′C ′. 由勾股定理，得22AC AB BC -=，22C A B A C B ''-''=''.∴ k C B C B k C B C A k B A k C B AC AB C B BC =''''=''''-''=''-=''222222 ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A ′B ′C ′.3 或3 2解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =2，∴()6222222=+=+=CD AD AC .要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt △ABC ∽ Rt △ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC ， 即6: 2 =AB :6，解得 AB=3； (2) 当 Rt △ACB ∽ Rt △CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即6:2=AB :6，解得 AB=32．∴ 当 AB 的长为 3 或3 2时，这两个直角三角形相似．【针对训练】(1) 相似 (2)相似 (3) 相似当堂检测1. C2. A3. ACD B ADC ACB4. 42 18 1225.证明: ∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠FEC. ∴ △ADE ∽△EFC.6. 证明： ∵ △ABC 的高AD 、BE 交于点F ，∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB ，∴DFEF BF AF . 7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC ，∠DAE= ∠3+ ∠DAC ，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE ，∠DOC =∠AOE （对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC ∽△ADE.学生励志寄语： 人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
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自学互学展示课
课前探究：
巩固练习： （比一比，看谁做得好又快） 1 、填一填 ★（1）如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。 ★ （ 2 ） 如 图 4 ， 已 知 点 E 在 AC 上 ， 若 点 D 在 AB 上 ， 则 满 足 条件，就可以使△ADE与原△ABC相似。
A D E
●
AB 图 3CFra bibliotekB 图 4
C
★★2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
★★3.在△ABC和△A′B′C′中， 如果∠A＝80°， ∠C＝60°， ∠A′ ＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
4
AF EF ★★、 已知： 如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证： BF FD ．
总结反思
承德三中九年级数学学科导学案
主备人 王秀萍 梁大伟 审核人 刘玉鹏 课题 相似三角形的判定（两角和 HL） (1) 初步掌握以及“两组对应角相等的两个三角形相似”的判定方法． 学习目标 学习环节 课堂设计 学法建议 学 习 过 程 (2) 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 审批领导 课型 授课时间 编号 2706