湖北省荆州中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年湖北省荆州中学高一（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．82．集合A={a，b}，B={0，1，2}，从集合A到B的映射f：A→B满足f（a）+f（b）=2，则这样的映射f：A→B的个数是（）A．2 B．3 C．5 D．83．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|4．函数的单调减区间是（）A．（1，3）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]5．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[0，4]B．[2，+∞）C．[0，]D．（0，]7．已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．8．设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小9．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．610．设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）11．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则当x＜0时，有（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）f（﹣x）≤0 D．f（x）﹣f（﹣x）＞0 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f （x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上）13．已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．14．已知f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且f（5）=m，f（7）=n，即f（175）=．15．函数为区间（﹣∞，+∞）上的单调增函数，则实数a 的取值范围为．16．已知下列四个命题：①函数都是偶函数；②若函数f（x）满足f（2+x）+f（2﹣x）=2，且f（﹣1）=0，则f（5）=2；③函数f （x+2）的定义域是（﹣2，4），则f（x2﹣3）的定义域是；④设f（x）是定义域为[﹣1，1]的奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，若g（x）=|f（x）|，则对任意x1、x2∈[﹣1，1]，有，其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知U=R，集合A={x|1≤x≤4}，B={x|6﹣a≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若a=3，求A⋃B，B⋂（C U A）；（Ⅱ）若B⊆A，求a的取值范围．18．设函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的定义域为[﹣1，1]，且其最大值与最小值的差为2，求a的值．19．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足e v=（1+）2000．（e为自然对数的底）（Ⅰ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s）；（Ⅱ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s．（结果精确到个位，数据：e≈2.718，e4≈54.598，ln3≈1.099））20．设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤﹣1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（﹣2，0），又在y=f（x）的图象中，有一部分是顶点为（0，2），且过（﹣1，1）的一段抛物线．（1）试求出f（x）的表达式；（2）求出f（x）值域．21．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；（Ⅱ）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域；（Ⅲ）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．22．记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}﹣min{g（x）|x∈[1，3]}，记d（b）=min{h（a）|a∈R}．（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；（2）当a=时，求h（a）关于a的表达式；（3）试写出h（a）的表达式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．2015-2016学年湖北省荆州中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．2．集合A={a，b}，B={0，1，2}，从集合A到B的映射f：A→B满足f（a）+f（b）=2，则这样的映射f：A→B的个数是（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】映射．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义，结合f（a）+f（b）=2进行讨论即可．【解答】解：若f（a）+f（b）=2，则有三种可能：①f（a）=0，f（b）=2，②f（a）=2，f（b）=0，③f（a）=1，f（b）=1．此这样的映射共有3个，故选：B【点评】本题主要考查映射的应用，根据映射的定义是解决本题的关键．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的定义，导数符号和函数单调性的关系，反比例函数的单调性，二次函数的单调性即可找出正确选项．【解答】解：A．该函数不是奇函数，所以该选项错误；B．y′=﹣3x2≤0，所以该函数是减函数，所以该选项错误；C．该函数是反比例函数，该函数在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递增，所以在定义域{x|x=0}上不具有单调性，所以该选项错误；D．容易判断该函数是奇函数，，根据二次函数的单调性x2在[0，+∞）是增函数，﹣x2在（﹣∞，0）上是增函数，所以函数y在R上是增函数，所以该选项正确．故选D．【点评】考查奇函数的定义，y=﹣x3的单调性，反比例函数的单调性，分段函数的单调性，以及二次函数的单调性．4．函数的单调减区间是（）A．（1，3）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【考点】函数的单调性及单调区间．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出定义域，再结合复合函数的单调性规律可知的单调减区间即为y=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间．【解答】解：由函数有意义得﹣x2+2x+3＞0，解得﹣1＜x＜3．又∵y=﹣x2+2x+3对称轴为x=1，∴y=﹣x2+2x+3在（﹣1，1]单调递增，在（1，3）上单调递减，∴的单调减区间是（﹣1，1）．故选：C．【点评】本题考查了复合函数的单调性，掌握复合函数的单调性规律是关键．5．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵，∴b＞c＞a．故选A．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．6．已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[0，4]B．[2，+∞）C．[0，]D．（0，]【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】对函数求导，函数在（﹣∞，2）上单调递减，可知导数在（﹣∞，2）上导数值小于等于0，可求出a的取值范围．【解答】解：对函数求导y′=2ax﹣1，函数在（﹣∞，2）上单调递减，则导数在（﹣∞，2）上导数值小于等于0，当a=0时，y′=﹣1，恒小于0，符合题意；当a≠0时，因函导数是一次函数，故只有a＞0，且最小值为y′=2a×2﹣1≤0，∴a≤，∴a∈[0，]，故选C．【点评】本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用．属于基础题．7．已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除A、C，由x＞0时，函数值恒正，排除D．【解答】解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，故选B．【点评】本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项．排除法是解选择题常用的一种方法．8．设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若x1＜0，x1+x2＞0，即x2＞﹣x1＞0，∵f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x2）＞f（﹣x1）=f（x1），故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．9．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．10．设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．【解答】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）故选A．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．11．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则当x＜0时，有（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）f（﹣x）≤0 D．f（x）﹣f（﹣x）＞0【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】借助于函数为奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣1，求解当x＜0时，函数解析式，然后，代入各个选项，从而得到正确答案．【解答】解：∵函数为奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=x+1，∴当x＜0时，f（x）=x+1，此时，f（x）=x+1的函数值符合不定，因此排除选项A、B，∵f（x）f（﹣x）=﹣（x+1）2≤0成立，∴选项C符合题意，故选：C．【点评】本题重点考查函数为奇函数的性质，注意函数的性质的灵活运用，属于中档题．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f （x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；推理和证明．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上）13．已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是[1，2]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】先画出二次函数图象：观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，区间[0，m]的右端点必须在一定的范围之内（否则最大值会超过3或最小值达不到2），从而解决问题．【解答】解：通过画二次函数图象观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，区间[0，m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧，且在2的左侧（否则最大值会超过3）∴知m∈[1，2]．答案：[1，2]【点评】本题主要考查利用图象求闭区间上函数的最值，图象法是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．14．已知f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且f（5）=m，f（7）=n，即f（175）=2m+n．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】把x=5 y=7代入得f（5）+f（7）=f（35），从而m+n=f（35），把y=35代入得f（5）+f（35）=f（175），由此能求出f（175）=2m+n．【解答】解：∵f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且f（5）=m，f（7）=n，∴把x=5 y=7代入得f（5）+f（7）=f（35）∴m+n=f（35），把y=35代入得f（5）+f（35）=f（175），∴m+m+n=f（175），即2m+n=f（175），∴f（175）=2m+n．故答案为：2m+n．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．函数为区间（﹣∞，+∞）上的单调增函数，则实数a的取值范围为（1，2]．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）为区间（﹣∞，+∞）上的单调增函数，则，即，解得1＜a≤2，故答案为：（1，2]【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．16．已知下列四个命题：①函数都是偶函数；②若函数f（x）满足f（2+x）+f（2﹣x）=2，且f（﹣1）=0，则f（5）=2；③函数f （x+2）的定义域是（﹣2，4），则f（x2﹣3）的定义域是；④设f（x）是定义域为[﹣1，1]的奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，若g（x）=|f（x）|，则对任意x1、x2∈[﹣1，1]，有，其中正确命题的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】判定两个函数的奇偶性，可判断①；分析函数的对称性，可判断②；求出f（x2﹣3）的定义域，可判断③；分析g（x）=|f（x）|的单调性，可判断④．【解答】解：①函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故函数f（x）为奇函数；函数定义域[﹣1，1）不关于原点对称，故g（x）为非奇非偶函数，故①错误；②若函数f（x）满足f（2+x）+f（2﹣x）=2，则函数f（x）的图象关于（1，1）点对称，又由f（﹣1）=0得：f（5）=2，故②正确；③函数f（x+2）的定义域是（﹣2，4），则x+2∈（0，6），由x2﹣3∈（0，6）得：x∈（﹣3，﹣）∪（.3），故f（x2﹣3）的定义域是（﹣3，﹣）∪，故③错误；④设f（x）是定义域为[﹣1，1]的奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，则f（x）在[﹣1，0]上单调递增，若g（x）=|f（x）|，则g（x）在[﹣1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故对任意x1、x2∈[﹣1，1]，有，错误，故④错误；综上所述，正确的命题的序号为：②，故答案为：②【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称性，定义域和单调性，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知U=R，集合A={x|1≤x≤4}，B={x|6﹣a≤x≤2a﹣1}．（Ⅰ）若a=3，求A⋃B，B⋂（C U A）；（Ⅱ）若B⊆A，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；转化法；集合．【分析】（Ⅰ）根据集合的运算法则计算即可．（Ⅱ）对于集合B，讨论它是不是空集，再根据子集的定义进行求解．【解答】解：（Ⅰ）a=3，B={x|6﹣a≤x≤2a﹣1}={x|3≤x≤5}，A={x|1≤x≤4}，∴A⋃B={x|1≤x≤5}，C U A={x|x＜3，或x＞4}，B⋂（C U A）={x|x|4＜x≤5}，（Ⅱ）B⊆A，当B=∅时，满足题意，即6﹣a＞2a﹣1，解得a＜，当B≠∅时，，解得≤a≤，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，]【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．设函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的定义域为[﹣1，1]，且其最大值与最小值的差为2，求a的值．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，再分别利用指数函数的单调性列出方程，求出a的值．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x在区间[﹣1，1]是增函数，所以a﹣a﹣1=2，即a2﹣2a﹣1=0，解得a=1+或a=1﹣（舍去）；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x在区间[﹣1，1]是减函数，所以a﹣1﹣a=2，即a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1+或a=﹣1﹣（舍去）．综上得，a的值是：+1或﹣1．【点评】本题考查指数函数的单调性，以及分类讨论思想，考查运算能力．19．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足e v=（1+）2000．（e为自然对数的底）（Ⅰ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s）；（Ⅱ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s．（结果精确到个位，数据：e≈2.718，e4≈54.598，ln3≈1.099））【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据指数式与对数式的互化，表示出最大速度v的解析式，根据题意M=2m，代入求解即可得到答案；（Ⅱ）根据题意，列出=，再根据最大速度为8km/s，代入即可求得的值，从而求得答案．【解答】（Ⅰ）∵e v=（1+）2000，∴v=ln（1+）2000=2000ln（1+），∵当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，即M=2m，∴v=2000ln3≈2000×1.099=2198（m/s）；答：当燃料质量M为火箭质量m两倍时，火箭的最大速度为2198m/s．（Ⅱ）∵e v=（1+）2000，∴=，∴=﹣1=e4﹣1≈54，598﹣1≈54，答：当燃料质量M为火箭质量m的54倍时，火箭最大速度可以达到8km/s．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查了对数式与指数式的互化，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．同利用数学的方法，得到数学结果；时考查了运算能力．属于中档题．20．设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤﹣1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（﹣2，0），又在y=f（x）的图象中，有一部分是顶点为（0，2），且过（﹣1，1）的一段抛物线．（1）试求出f（x）的表达式；（2）求出f（x）值域．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知，x≤﹣1时，用点斜式求得，x≥1时用偶函数求得，﹣1＜x＜1时，用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）分别求出f（x）各段的值域，最后求并集即可．【解答】解：（1）经过点（﹣2，0），斜率为1的射线：y=x+2，（x≤﹣1）抛物线过（﹣1，1）和（0，2）由于f（x）为定义在R上的偶函数，令y=ax2+c，则有a+c=1，c=2，得y=﹣x2+2，（﹣1＜x＜1）又函数在R上是偶函数所以x≥1时，射线经过（2，0）且斜率为﹣1，即y=﹣x+2，（x≥1）所以f（x）=．（2）当x≤﹣1时，f（x）=x+2∈（﹣∞，1]，当﹣1＜x＜1时，f（x）=2﹣x2∈（1，2]，当x≥1时，f（x）=2﹣x∈（﹣∞，1]，综上可得，f（x）∈（﹣∞，2]则f（x）的值域为：（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查分段函数及函数的图象、函数奇偶性的应用、函数的值域，待定系数法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．21．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；（Ⅱ）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域；（Ⅲ）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数λ．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）为R上的奇函数，可求得k的值，即可得函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（Ⅱ）根据f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用换元法，将函数g（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；（Ⅲ）根据a=3，将f（3x）≥λ•f（x）表示出来，利用换元法和参变量分离法，将不等式转化为λ≤t2+3对t恒成立，利用二次函数的性质，求得t2+3的最小值，即可求得λ的取值范围，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ka x﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=a x2﹣a﹣x2）﹣（a x1﹣a﹣x1）=（a x2﹣a x1）（1+），∵a＞1，∴a x2＞a x1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去），则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），x∈[﹣1，1]，令t=2x﹣2﹣x，x∈[﹣1，1]，由（1）可知该函数在区间[﹣1，1]上为增函数，则t∈[﹣，]，则y=h（t）=t2﹣2t+2，t∈[﹣，]，当t=﹣时，y max=；当t=1时，y min=1，∴g（x）的值域为[1，]，（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在x∈[1，2]时恒成立令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则t，则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），x∈[1，2]恒成立，即为t（t2+3）≥λ•t，t恒成立，λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于中档题．22．记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，令h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}﹣min{g（x）|x∈[1，3]}，记d（b）=min{h（a）|a∈R}．（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；（2）当a=时，求h（a）关于a的表达式；（3）试写出h（a）的表达式，并求max{d（b）|b∈（1，3）}．【考点】函数最值的应用；函数单调性的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，可得函数g（x）的解析式，利用函数在[1，3]上单调递减，即可求a的取值范围；（2）当b=2a+1时，0＜a＜1，，确定函数的单调性，求得函数的最值，即可求h（a）关于a的表达式；（3），分类讨论，确定函数的最小值，利用函数的单调性，确定d（b）=min{h（a）|a∈R}，从而可求max{d（b）|b∈（1，3）}．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（1＜b＜3），g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]，∴（2分）由题意，∴a＜0 （4分）（2）当b=2a+1时，0＜a＜1，，显然g（x）在[1，2a+1]上单调递减，在[2a+1，3]上单调递增，又此时g（1）=g（3）=5a+1 故max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=g（3）=5a+1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（2a+1）=2a2+3a+1，（4分）从而：h（a）=﹣2a2+2a，a∈（0，1）．（6分）（3）①当a≤0时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b 此时，h（a）=﹣2a+b﹣1②当a≥1时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1此时，h（a）=2a﹣b+1 （2分）③当0＜a≤时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=a+b﹣ab﹣1④当时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=3a﹣ab故h（a）=，（4分）因h（a）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）单调递增，故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（）=，（6分）故当b=2时，得max{d（b）|b∈（1，3）}=．（8分）【点评】本题考查函数的解析式，考查函数的最值的求解，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，确定函数的单调性是解题的关键．。