(精品讲评) 2-2 函数的单调性与最值课件 新人教B版

0<a<1， ∴ 3a≥1.
1 ∴ ≤a<1. 3
答案：B
ax＋1 已知函数 f(x)＝ 在区间(－2， ＋∞)上为增函数， x＋2 则实数 a 的取值范围是________．
ax＋1 1－2a 1－2a 解析：f(x)＝ ＝a＋ ，则 g(x)＝ 在(－ x＋2 x＋2 x＋2 1 2，＋∞)上为增函数，所以 1－2a<0，则 a> . 2 1 答案：( ，＋∞) 2
1 1 解析：因为 f(x)为减函数，f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，则 |x|<1 且 x≠0，即 x∈(－1,0)∪(0,1)． 答案：C
已知单调性求参数的值或取值范围
[例 4] (文)函数 y＝2x2－(a－1)x＋3 在(－∞， 1]内递减， ) D．－1
在(1，＋∞)内递增，则 a 的值是( A．1 B．3
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 又∵x>0 时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0，即 f(x2)<f(x1)． 由定义可知 f(x)在 R 上为单调递减函数．
抽象函数的单调性
*[例 5] (理)已知函数 y＝f(x)对任意 x、y∈R，均有 f(x)
2 ＋f(y)＝f(x＋y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－ . 3 (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最值．
解析：(1)f(x)在 R 上是单调递减函数 证明如下： 令 x＝y＝0，∴f(0)＝0，令 y＝－x 可得： f(－x)＝－f(x)， 在 R 上任取 x1、x2 且 x1<x2，则 x2－x1>0，
2
减区间．
解析：y＝log1 u 为单调减函数，
2
由－x2－2x＋3>0 得－3<x<1， ∵u＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4 在(－1,1)上单调递 减， ∴y＝log1 (－x2－2x＋3)在(－1,1)上单调递增， 故填
2
(－1,1)
答案：(－1,1)
函数 f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( 3 A．(－∞， ] 2 3 C．(－1， ] 2 3 B．[ ，＋∞) 2 3 D．[ ，4) 2
x<0 (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数，则 a x≥0 ) 1 B．[ ，1) 3 2 D．(0， ] 3
的取值范围是( A．(0,1) 1 C．(0， ] 3
分析：f(x)在 R 上为减函数，故 f(x)＝ax(x≥0)为减 函数，可知 0<a<1，又由 f(x)在 R 上为减函数可知，f(x) 在 x<0 时的值恒大于 f(x)在 x≥0 时的值，从而 3a≥1. 解析：∵f(x)在 R 上单调递减，
4． 由于定义都是充要性命题， 因此若 f(x)是增(或减) 函数，则 f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(或 x1>x2)．
求函数的单调区间
[例 1] (2010· 天津模拟)函数 y＝log1 (－x2－2x＋3)
2
的单调递增区间为________． 分析： 这是对数型复合函数， 应先求出函数的定义域， 然后再结合 y＝log1 u 为减函数知须求 u＝－x2－2x＋3 的
利用单调性解证不等式及比较大小
1 y1＝0.43 1 ，y2＝0.53
[例 3] y3
1 ＝0.54
(文)(2010· 济南市模拟)设 ) B．y1<y2<y3 D．y1<y3<y2
，
，则(
A．y3<y2<y1 C．y2<y3<y1
1 1 分析：y1 与 y2 有相同指数 ，可视作幂函数 y＝x3 ， 3
1 <0.53
答案：B
(理)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 [0，＋∞)上是增函数．令
5π ftan 7 ，则( 2π 5π a＝fsin 7 ，b＝fcos 7 ，c＝
) B．c<b<a D．a<b<c
A．b<a<c C．b<c<a
当 x 取 0.4 和 0.5 时对应的两个函数值， 2 和 y3 有相同底 y 1 1 数， 可视作指数函数 y＝0.5 当 x 取 和 时的两个函数值， 3 4
x
故可用单调性求解．
1 解析：∵y＝0.5x 为减函数，∴0.53 1 ∵y＝x3 1 ∴0.43
1 <0.54
，
在第一象限内是增函数， ，∴y1<y2<y3，故选 B.
3．给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本 方法是赋值用定义讨论．如判断单调性，须创造条件判 fx1 断 f(x1)－f(x2)的符号或 与 1 的大小； 判断奇偶性须设 fx2 法产生 f(－x)与 f(x)的关系式等．判断单调性时，若关系 式中含有常数，应设法利用所给条件，把常数化为函数 值的形式．
(2)设函数 y＝f(x)在某区间 D 内可导． 如果 f ′(x)>0， 则 f(x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′(x)<0，则 f(x)在区 间 D 内为减函数． 2．函数最值的求法 (1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元 法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．
C．5
分析：二次函数的单调性由对称轴和开口方向确定，由 于开口向上，故在对称轴左侧单调递减，在右侧单调递增， 可得 a 的值． a－1 解析：由题意知 ＝1，∴a＝5. 4 答案：C
( 理 )(2011· 建 长 泰 一 中 月 考 ) 函 数 f(x) ＝ 福
－x＋3a， x a ，
(理)函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最 小值之和为 a，则 a 的值为( 1 A. 4 C．2 1 B. 2 D．4 )
解析：a>1 时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值 f(0)， 最大值 f(1)；
0<a<1 时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值 f(1)，最 大值 f(0)， 据题设有：f(0)＋f(1)＝a， 1 即 1＋a＋loga2＝a，∴a＝ . 2 答案：B
t＝g(x) 增 增 减 减
y＝f(t) 增 减 增 减
y＝f[g(x)] 增 减 减 增
二、解题技巧 1．函数单调性的证明方法 (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取 x1、x2∈D，且 x1<x2； ②作差 f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配 方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．
三、函数单调性的应用有： (1)比较函数值或自变量值的大小． (2)求某些函数的值域或最值． (3)解证不等式． (4)作函数图象．
四、函数的最大(小)值： 定义：一般地，设函数 y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存 在实数 M 满足： (1)对任意 x∈Ⅰ，都有 f(x)≤M(或 f(x)≥M)； (2)存在 x0∈Ⅰ，使得 f(x0)＝M. 称 M 是函数 y＝f(x)的最大(或最小)值．
4．y＝f[g(x)]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x) 的单调性相同，则其复合函数 f[g(x)]为增函数；若 f(x)、 g(x)的单调性相反，则其复合函数 f[g(x)]为减函数． 5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相 同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
3π 4π 2π π 3π 0< < ＝ < ， 0<sin 且 14 14 7 2 14
4π 2π 2π <sin ＝sin <tan ，而函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函 14 7 7 数，因此有 b<a<c，选 A. 答案：A
1 已知 f(x)为 R 上的减函数，那么满足 f(|x|)<f(1)的实 数 x 的取值范围是( A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1) ) B．(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
第 二 节
函数的单调与最大(小)值． 难点：①函数单调性的证明． ②求复合函数单调区间．
知识归纳 一、单调性定义 1．单调性定义：设函数 f(x)的定义域为 A，区间 M⊆ A， 若对于任意的 x1， 2∈M， x1<x2 时， x 当 都有 f(x1)__ f(x2)， < 则 f(x)为区间 M 上的增函数．对于任意的 x1，x2∈M，当 x1<x2 时，都有 f(x1)__ f(x2)，则 f(x)为区间 M 上的减函数． > 2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数 证明．
若奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5， 则 f(x)在区间[－7，－3]上是( A．增函数，且有最小值－5 B．增函数，且有最大值－5 C．减函数，且有最小值－5 D．减函数，且有最大值－5 )
解析：∵f(x)为奇函数，且在[3,7]上为增函数， ∴f(x)在[－7，－3]上为增函数， ∵f(x)在[3,7]上最大值为 5，∴f(7)＝5， ∴f(－7)＝－5. ∴f(x)在[－7，－3]上的最小值为－5. 答案：A
误区警示 1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点 (1)函数的单调性是对某一个区间而言的． f(x)在区间 A 与 B 上都是增(或减)函数，在 A∪B 上不一定单调． (2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中 的 x1，x2 在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替． 2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域 3．注意 f(x)在区间 A 上单调增与 f(x)的单调增区间 为 A 的区别．
)
解析： 4＋3x－x2>0 得， 由 函数 f(x)的定义域是(－1， 3 2 25 3 4)， u(x)＝－x ＋3x＋4＝－(x－ ) ＋ 的减区间为[ ， 4)， 2 4 2