高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.1向量加法运算及其几何意义》导学案
2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
人教版A版高中数学必修4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义(13)
E
O
F1+F2=F
F为F1与F2为邻边所形成平行四边形 的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
向 量
任意给出两个向量a与b.
如何求a+ b.
加
法
的 法
a
b
则
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
B
C
B
C
A
O
O
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之间有联系吗?
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 法
a
b
则
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
B
C
b
C
B
b
b
A
O
a
O
a
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
课堂练习:
1:已知向量a,b求作向量a+b
b a
三角形法则: a
b
平行四边形法则: a
b
方法巩固:
向量和三角形作法:
1.将向量平移使得它们首尾顺次相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
a b ≤ a b ≤ a b 何时取得等号?
实数满足加法交换律: 3+4=4+3 实数满足加法结合律: (3+4)+5=3+(4+5)
交换律： a + b = b + a 结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )
学以致用
例１.化简
人教A版数学必修四教案：2.2.1向量加法运算及其几何意义
§2.2 平面向量的线性运算教材分析本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。
类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。
教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。
平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。
其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。
向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。
由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。
类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。
因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。
向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.1向量加法运算及其几何意义》课件2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ → → ∵MA＋MB＝MN， ∴四边形 MANB 为菱形． 则∠AMN＝60° ，∴△AMN 为等边三角形． → → → 在△MNB 中，|BN|＝|MN|＝|MB|＝10， ∴∠BMN＝60° ，而∠CMN＝30° ，∴∠CMB＝30° ， 所以小船要由 M 直达码头 N，其航向应为北偏西 30° .
→ → BE＝GE； → → → → → → → → → → → ②EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝ → → EA＋AE＝0.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
题型二
利用向量证明几何问题
【例 2】 已知四边形 ABCD 的对角线 → → → → AC 与 BD 相交于点 O，且AO＝OC，DO＝OB. 用向量法证明：四边形 ABCD 是平行四边形． → → [思路探索] 证明四边形 ABCD 为平行四边形，只需证AB＝DC. 解 → → → → → → AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC.
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ → [规范解答] 设AB， 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35° BC 的方向 飞行 800 km， 从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km， → → 则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|； → → ＝ → . 两次飞行的位移的和指的是 AB＋BC AC → → 依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)， 又 α＝35° ，β＝55° ，∠ABC＝35° ＋55° ＝90° ， → 所以|AC|＝ → 2 → 2 ＝ 8002＋8002＝800 2(km) |AB| ＋|BC| (6 分) (8 分)
人教A版高中数学必修4 2.2.1向量加法运算及其几何意义 ( 导学案)
2.2.1《向量加法运算及其几何意义》导学案（学生版）必修四P80-83 2.2.1向量加法运算及其几何意义(例2除外）内容要求：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算(重、难点).3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性(难点)．自学--知识点1 向量的加法1．定义：求两个向量和的运算．2．运算法则：3．规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0＝0+a＝a．【预习评价】思考三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？自学--知识点2向量加法的运算律1．交换律：a＋b＝b＋a．2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则O，A，B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线上的向量OC→＝a＋b题型一 向量的加法法则【例1】 (1)如图①所示，求作向量和a ＋b ； (2)如图②所示，求作向量和a ＋b ＋c ．．【训练1】 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，指出与下列向量相等的向量：(1)OA →＋OC →= (2)BC →＋FE →= (3)OA →＋FE →=题型二 向量的加法及运算律【例2】 化简：(1)BC →＋AB →= (2)DB →＋CD →＋BC →=(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →=【训练2】 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________．自学达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( )A ．AB →＋BC →＝CA → B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2 23．化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A ．AB → B ．BA →C ．0D ．AC → 4．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →．(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，求：(1)|a ＋b |；(2)指出向量a ＋b 的方向．6．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 为( )A ．矩形B ． 正方形C ．平行四边形D ．菱形7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →8．在边长为1的等边三角形ABC 中，|AB →＋BC →|＝________，|AB →＋AC →|＝________．9．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中错误的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →10．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →11．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______ ．12．(思考题)如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．自学反思：课外练习： P84 1. 2. 3. 4. 课外作业： P91 1. 4.。
高一数学人教A版必修4课件2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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预习导引
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பைடு நூலகம்
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1.向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
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2.向量加法的三角形法则 已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作 ������������ =a,������������ =b,则向量 ������������ 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= ������������ + ������������ = ������������ ,这种求向量和 的方法,称为向量加法的三角形法则.
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3.向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线
������������就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
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4.向量加法的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
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预习交流 任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行? 提示:不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、向量加法运算 1.向量的和及其物理背景 两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运算,是物理学中位 移、力的合成等在数学运算中的抽象概括. 2.三角形法则和平行四边形法则
人教A版高中数学必修四2-2-1 向量加法运算及其几何意义
[解析]
如图，设
→ OA
表示小船垂直于河岸行驶的速度，
O→B表示水流的速度，以O→A、O→B为邻边作▱OACB，则O→C就是
小船实际航行的速度．
在Rt△OBC中，
|
→ BC
|＝|v1|＝2
3
，|
→ OB
|＝|v2|＝2.0，所以|
→ OC
|＝
|OB―→|2＋|BC―→|2
＝ 2 32＋2.02＝4.
3．向量加法的结合律 如图，作A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，由向量加法的定义，知 A→C＝A→B＋B→C＝a＋b， B→D＝B→C＋C→D＝b＋c， 所以A→D＝A→C＋C→D＝(a＋b)＋c，A→D＝A→B＋B→D＝a＋(b＋ c)．
从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律．
在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°. 则|O→A|＝|O→C|cos30°＝300× 23＝150 3(N)， |A→C|＝|O→C|sin30°＝300×12＝150(N)， 即|O→B|＝|A→C|＝150(N)． 则可得与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3N，与铅垂 线成 60°角的绳子的拉力是 150N.
[解析] 如下图中(1)、(2)所示， 首先作O→A＝a，然后作A→B＝b，则O→B＝a＋b.
(1)如图，已知a、b，求作a＋b. (2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.
[解析] (1)
①A→C＝a＋b
②A→C＝a＋b
(2)[分析] 本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应 作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然 后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角 形法则或平行四边形法则．
人教A版数学必修四2.向量的加法运算及其几何意义PPT课件
合作探究：
人教A 版数学必修四2 . 向量的加法运算及其几何意义P P T 课件
a b c a bc 2、加法结合律（ ） ()
C
abca(bc)
c
ocab B
O
a
b
A
人教A 版数学必修四2 . 向量的加法运算及其几何意义P P T 课件
目标检测：
(1)a+d=__D__A________ (2)c+b=__C__B________
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
B
AB BC AC
合作探究
人教A 版数学必修四2 . 向量的加法运算及其几何意义P P T 课件
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B 改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向
量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
D
d O
a
C
c
b
A
B
目标检测：
１.化简 (1) AB C D B C __A_D_____
(2) M A B N AC C B _M__N_____
(3) AB B D C A D C ___0_____
２.根据图示填空
E eD
gf
d
c
A
bC
a
B
(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
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人教A 版数学必修四2 . 向量的加法运算及其几何意义P P T 课件
[教案精品]新课标高中数学人教a版必修四全册教案221向量加法运算及其几何意义.doc
a 与b 的和，记作a+ b ,即a+ b = AB + BC = AC ,规定: a + 0 一二0 + a2.2. 1向量的加法运算及其几何意义教学目标：•掌握向量的加法运算，并理解其儿何意义；•会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：•一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置••情景设置：•(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和：AB-}-BC = AC(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和：AB-^-BC = AC(3)某车从A到B,再从B改变方向到C,则两次的位移和：AB + BC = AC1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2、三角形法则(“首尾相接，首尾连”)如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A,作BC = b ,则向量疋叫做探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量；（2）当向量：与b不共线时，丨2 +和〈|：| + |&|；什么时候|： +初二|：| + 口|,什么时候\a^b\ = \a\ — \b\f当向量G与b不共线时，a+b的方向不同向，且\a^b\<\a\^\b\；当d与&同向时,则。
+庁、a > &同向,且I d+& | = | a | + | & |,当Q与/?反向时，若\a\>\b\,贝i]a + b的方向与a相同，且若\ a\< \ b |,则a + b 的方向与Z?相同,且\ a+b\ = \ b \-\ a\.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加6.由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二(P83—84)略变式1、一艘船从A 点出发以Z^kmlh 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航 行速度的大小为4km/h,求水流的速度.变式2、一艘船从A 点出发以比的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2,船的实际航行的速度的大小为4kmlh ,方向与水流间的夹角是60。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.1向量的加法运算及其几何意义
2.2.1
问题 2
想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
|a|＋|b| a, b 同向， 当 a 与 b 同向共线时， a＋b 与____ 且|a＋b|＝_______.
本 课 时 栏 目 开 关
a 的方向相同， 当 a 与 b 反向共线时，若|a|>|b|，则 a＋b 与__
|a|－|b| ；若|a|<|b|，则 a＋b 与__ b 的方向相同，且 且|a＋b|＝_______ |b|－|a| |a＋b|＝_______.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
1．向量的加法法则
本 课 时 栏 目 开 关
(1)三角形法则 如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取
→ → → AC 一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做 a 与 b 的和(或
→ → → a ＋ b 和向量)， 记作_____， 即 a＋b＝AB＋BC＝_____. AC 上述求两个 向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
本 课 时 栏 目 开 关
2.2.1
2.2.1
【学习要求】
向量加法运算及其几何意义
本 1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何 课 时 意义． 栏 目 开 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 关
用这两个法则作两个向量的加法运算．
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加 法运算律的合理性．
a a ＝__. 0 ＋__ 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
(2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作 → → OA＝a，OB＝b，则 O、A、B 三点不共线，
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§2.2.1向量的加法运算及其
几何意义
1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义。
2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
（预习教材P80—P84）
1、复习：向量的定义以及有关概念。
2、引入：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.
二、新课导学
※ 探索新知
问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？
1、向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）：
已知非零向量 ,a b ，在平面内任取一点A ，作== ,AB a BC b ，则向量__________叫做 a
与 b 的和，记作___________，即+ a b =_______=________。
这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O
两个向量 a ， b （→==
,OA a OB b ）为邻边
作四边形OACB ，则以O 为起点对角线___________，就是 a 与 b 的和。
这个法则就叫做两
个向量求和的平行四边形法则。
问题2：想想两个法则有没有共同的地方？
3、对于零向量与任一向量 a ，我们规定 a + o =___________=_______.
O
A a
a a
b b b
探究二：向量加法的交换律和结合律
问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？
4、对于任意向量 a ， b ，向量加法的
交换律是：_____________；
结合律是：_____________。
※ 典型例题 例1、已知向量a 、b ，求作向量a b .
思考：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
小结1：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 与第一个向量的 重合.
小结2：
（1）两相向量的和仍是 ；
（2）当向量与不共线时，+的方向 ，且|+| ||+||；
（3）当与同向时，则+、、 ，
且|+| ||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+| ||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b| ||-||.
例2、一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
例3、教材P83例2.
三、小结反思
1、向量加法的几何意义；
2、交换律和结合律；
3、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1、化简 ++=++=+++=++= __________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA ++=+++=++=
__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA
2、若C 是线段AB 的中点，则+ AC BC =（ ） A 、 AB B 、 BA C 、 O D 、0
3、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++
32AB BC CA =（ ） A 、 AD B 、
3AB C 、 O D 、 2AD
4、已知正方形ABCD 的边长为1，===
,, AB a AC c BC b ，则++ ||a b c 为（ ）
A ．0
B ．3
C
D ． 5、在矩形ABCD ，== ||
4,||2AB BC ，则向量++
AB AD AC 的长度等于（ ）
A ． B
． C ．12 D ．6
1、已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围？
2、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EF →＝NM →.。