2017年北京市通州区高考数学一模试卷与解析PDF(理科)

2017年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，那么集合∁U A等于（）A．{x|﹣2≤x≤3}B．{x|x＜﹣2或x＞3}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|﹣2＜x ＜3}2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．124 B．126 C．128 D．1303．（5分）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=4，那么（2）•等于（）A．﹣4 B．0 C．4 D．124．（5分）某几何体三视图如图所示，它的体积是（）A．14 B．16 C．18 D．205．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A．6 B．24 C．60 D．1206．（5分）如果函数的图象关于点（，0）成中心对称，那么函数f（x）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π7．（5分）已知实数a，b，c满足c＜b＜a，那么“ac＜0”是“ab＞ac”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线．张某想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车．”司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车．”司机丙说：“2号路线堵车，3号路线不堵车．”如果每位司机的两个判断至少有一个是正确的，那么张某最应该选择的路线是（）A．1号路线B．2号路线C．3号路线D．1号路线或者2号路线二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）已知复数z1=a+i（a∈R），z2=3﹣i，如果z1•z2为实数，那么a=．10．（5分）在直角坐标系xOy中，如果抛物线y2=4x的焦点与双曲线（a ＞0）的右顶点重合，那么双曲线的离心率e=．11．（5分）已知等差数列{a n}中，如果a1=2，a2+a6+a10=36，那么数列{a n}的前6项和等于．12．（5分）直线（t为参数）与曲线（α为参数）交于A，B 两点，则|AB|=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），C（2，1），点P（x，y）为△ABC内的点（包括边界），则点P坐标满足的线性约束条件为（用不等式组表示）；若该区域内有且仅有一点到直线y=k（x﹣2）﹣1的距离最小，则k的取值范围是．（规定：若点在直线上，点到直线的距离为零．）14．（5分）已知函数f（x）=e|x|﹣2x2，给出下列命题：①函数f（x）为偶函数；②函数f（x）有四个零点；③函数f（x）有极小值无极大值．其中所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）如图，在四边形ABCD 中，，BD=14，，，．（Ⅰ）求△ABD的面积；（Ⅱ）求边BC的长．16．（13分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了节约用水，制定节水措施，对该市100户居民某月的月生活用水量（单位：立方米）进行抽样调查，所得数据如表：（Ⅰ）样本中月生活用水量在（7，8]的有多少户？（Ⅱ）从样本中月生活用水量在（7，8]和（8，9]的所有户中选出3户做进一步调查，求这3户至少有一户来自（8，9]的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的户均生活用水量．17．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD中点，把△ABE沿BE翻折到A'BE的位置，使得A'C=，如图2．（Ⅰ）若P为A'C的中点，求证：DP∥平面A'BE；（Ⅱ）求证：平面A'BE⊥平面BCDE；（Ⅲ）求二面角C﹣A'B﹣E的余弦值．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+a），直线y=x+1是曲线y=f（x）的切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对于任意的x＞1，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．19．（13分）已知点A（﹣2，0）为椭圆C：的左顶点，C的右焦点为F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点F互相垂直的直线l1和l2分别交直线x=4于点P和Q，直线AP和AQ 分别交椭圆C于M和N，求证：点M，F，N共线．20．（14分）设集合I={1，2，3，…，n}（n=1，2，3，…），若非空集合A满足：①A⊆I；②Card（A）≤min（A）（其中Card（A）表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集．记a n为I的所有好子集的个数．例如，a5表示集合I={1，2，3，4，5}的所有好子集的个数．（Ⅰ）写出集合{1，2，3，4}的所有好子集；（Ⅱ）若A是I的一个好子集，且A中至少有3个元素，求证：2∉A；（Ⅲ）请猜想a n+2，a n+1，a n之间的关系，并证明你的猜想．2017年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，那么集合∁U A等于（）A．{x|﹣2≤x≤3}B．{x|x＜﹣2或x＞3}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|﹣2＜x ＜3}【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＜﹣2或x＞3}，那么集合∁U A={x|﹣2≤x≤3}，故选：A．2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．124 B．126 C．128 D．130【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=0，执行循环体，n=1，S=21=2不满足条件S＞100，执行循环体，n=2，S=21+22=6不满足条件S＞100，执行循环体，n=3，S=21+22+23=14不满足条件S＞100，执行循环体，n=4，S=21+22+23+24=30不满足条件S＞100，执行循环体，n=5，S=21+22+23+24+25=62不满足条件S＞100，执行循环体，n=5，S=21+22+23+24+25+26=126此时，满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为126．故选：B．3．（5分）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=4，那么（2）•等于（）A．﹣4 B．0 C．4 D．12【解答】解：向量和的夹角为120°，且||=2，||=4，∴（2）•=2﹣•=2×22﹣4×2×cos120°=12．故选：D．4．（5分）某几何体三视图如图所示，它的体积是（）A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的棱柱，底面面积S=（1+1）×（2+1+2）﹣1×1=9，高h=2，故体积V=Sh=18，故选：C5．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）A．6 B．24 C．60 D．120【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有A33=6种分法，则有4×6=24种不同的分法；故选：B．6．（5分）如果函数的图象关于点（，0）成中心对称，那么函数f（x）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【解答】解：函数的图象关于点（，0）成中心对称，可得：，k∈Z．∵|ω|＜3，∴ω=﹣1．则函数f（x）的最小正周期T==2π．故选：D．7．（5分）已知实数a，b，c满足c＜b＜a，那么“ac＜0”是“ab＞ac”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵实数a，b，c满足c＜b＜a，若“ac＜0”，则a＞0，“ab＞ac”成立，若“ab＞ac”，则a＞0，但“ac＜0”不一定成立，故“ac＜0”是“ab＞ac”成立的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线．张某想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车．”司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车．”司机丙说：“2号路线堵车，3号路线不堵车．”如果每位司机的两个判断至少有一个是正确的，那么张某最应该选择的路线是（）A．1号路线B．2号路线C．3号路线D．1号路线或者2号路线【解答】解：①若三条路线均不堵车，则满足条件；②若三条路线堵一条，不妨令1堵，则满足条件；③若三条路线堵一条，不妨令2堵，则满足条件；④若三条路线堵一条，不妨令3堵，则司机丙说：“2号路线堵车，3号路线不堵车．”不满足条件；⑤若三条路线堵两条，不妨令1，2堵，则司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车．”不满足条件；⑥若三条路线堵两条，不妨令1，3堵，则司机丙说：“2号路线堵车，3号路线不堵车．”不满足条件；⑦若三条路线堵一条，不妨令2，3堵，则司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车．”不满足条件；⑧若三条路线堵一条，则不满足条件；故三条路线均不堵车，或3一定畅通，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）已知复数z1=a+i（a∈R），z2=3﹣i，如果z1•z2为实数，那么a=3．【解答】解：∵z1=a+i（a∈R），z2=3﹣i，∴z1•z2=（a+i）（3﹣i）=1+3a+（3﹣a）i，又∵z1•z2为实数，∴3﹣a=0，即a=3．故答案为：3．10．（5分）在直角坐标系xOy中，如果抛物线y2=4x的焦点与双曲线（a＞0）的右顶点重合，那么双曲线的离心率e=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），双曲线（a＞0）的右顶点为（a，0），由题意可得a=1，则双曲线x2﹣=1的a=1，b=，c==，可得e==．故答案为：．11．（5分）已知等差数列{a n}中，如果a1=2，a2+a6+a10=36，那么数列{a n}的前6项和等于42．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=2，a2+a6+a10=36，∴2+d+2+5d+2+9d=36，解得d=2，∴数列{a n}的前6项和S6=6a1+=6×2+30=42．故答案为：42．12．（5分）直线（t为参数）与曲线（α为参数）交于A，B两点，则|AB|=．【解答】解：∵直线（t为参数），∴直线的普通方程为x+y﹣1=0．∵曲线（α为参数），∴曲线的普通方程为x2+y2=1，曲线是以O（0，0）为圆心，以r=1为半径的圆，圆心O（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离d==，∴|AB|=2=2=．故答案为：．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），C（2，1），点P （x，y）为△ABC内的点（包括边界），则点P坐标满足的线性约束条件为（用不等式组表示）；若该区域内有且仅有一点到直线y=k（x﹣2）﹣1的距离最小，则k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1] ．（规定：若点在直线上，点到直线的距离为零．）【解答】解：直线AB的方程为y=0，直线AC的方程为：x﹣y﹣1=0，直线BC的方程为：x+y﹣3=0，若点P（x，y）为△ABC内的点（包括边界），则点P坐标满足的线性约束条件为，直线y=k（x﹣2）﹣1恒过（2，﹣1）点，当k∈[﹣1，1]且k≠0时，满足可行域内有且仅有一点到直线y=k（x﹣2）﹣1的距离最小，故k∈[﹣1，0）∪（0，1]故答案为：，[﹣1，0）∪（0，1]14．（5分）已知函数f（x）=e|x|﹣2x2，给出下列命题：①函数f（x）为偶函数；②函数f（x）有四个零点；③函数f（x）有极小值无极大值．其中所有正确命题的序号是①②．【解答】解：∵函数f（x）=e|x|﹣2x2，∴f（﹣x）=e|﹣x|﹣2（﹣x）2=e|x|﹣2x2=f（x），即函数f（x）为偶函数，故①正确；当x≥0时，f（x）=e x﹣2x2，由f（1）＞0，f（2）＜0，f（3）＞0得：函数在（1，2），（2，3）上各有一个零点，由①中函数为偶函数得，函数在（﹣3，﹣2），（﹣2，﹣1）也上各有一个零点，故函数f（x）有四个零点，故②正确；由①②得：函数f（x）有极小值，而当x=0时，函数取极大值，故③错误；故答案为：①②．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）如图，在四边形ABCD中，，BD=14，，，．（Ⅰ）求△ABD的面积；（Ⅱ）求边BC的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意sin∠DBA=sin（）=，∴△ABD的面积S=AB•BDsin∠DBA=26；（Ⅱ）在△BCD中，，则sin∠CBD=正弦定理：可得：CD=6．由余弦定理：cosC=，可得：BC=1016．（13分）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了节约用水，制定节水措施，对该市100户居民某月的月生活用水量（单位：立方米）进行抽样调查，所得数据如表：（Ⅰ）样本中月生活用水量在（7，8]的有多少户？（Ⅱ）从样本中月生活用水量在（7，8]和（8，9]的所有户中选出3户做进一步调查，求这3户至少有一户来自（8，9]的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的户均生活用水量．【解答】解：（Ⅰ）由题意得样本中月生活用水量在（7，8]的频率为：1﹣0.04﹣0.08﹣0.15﹣0.22﹣0.25﹣0.14﹣0.06﹣0.02=0.04，∴样本中月生活用水量在（7，8]的有：100×0.04=4户．（Ⅱ）样本中月生活用水量在（7，8]的有4户，（8，9]的有：100×0.02=2户，从样本中月生活用水量在（7，8]和（8，9]的所有户中选出3户做进一步调查，基本事件总数n==20，这3户至少有一户来自（8，9]的对立事件为这3户都来自（7，8]，∴这3户至少有一户来自（8，9]的概率：p=1﹣=．（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的户均生活用水量为：1×0.04+2×0.08+3×0.15+4×0.22+5×0.25+6×0.14+7×0.06+8×0.04+9×0.02=4.54立方米．17．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD中点，把△ABE沿BE翻折到A'BE的位置，使得A'C=，如图2．（Ⅰ）若P为A'C的中点，求证：DP∥平面A'BE；（Ⅱ）求证：平面A'BE⊥平面BCDE；（Ⅲ）求二面角C﹣A'B﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC中点F，连接DF，PF，∵P为A'C的中点，∴PF∥A′B，又DF∥BE，PF∩DF=F，∴面PFD∥面A°BE，∵DP⊂面PFD，∴PD∥面A'BE．（Ⅱ）在图1中，AE=AB=DE=CD=1，∴∠AEB=∠DEC=90°，∠BEC=90°，即CE⊥BE，又∵∴A′C2=A′E2+EC2，∴CE⊥A′E，且BE∩A′E=E，∴CE⊥平面A'BE，且CE⊂平面A'BE，∴平面A'BE⊥平面BCDE；（Ⅲ）由（Ⅱ）得，∴∠CA′E就是二面角C﹣A'B﹣E的平面角．在直角三角形A′EC中，cos∴二面角C﹣A'B﹣E的余弦值为．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+a），直线y=x+1是曲线y=f（x）的切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对于任意的x＞1，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设切点是（m，ln（m+a）），f′（x）=，则f′（m）=，故切线方程是：y=x+ln（m+a）﹣=x+1，故，解得：a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=ln（x+1），对于任意的x＞1，关于x的不等式恒成立，即k＞x﹣xln（x+1），（x＞1）恒成立，令h（x）=x﹣xln（x+1），x＞1，h′（x）=﹣ln（x+1），显然h′（x）在（1，+∞）递减，故h′（x）＜h（1）=﹣ln2＜0，故h（x）在（1，+∞）递减，h（x）＜h（1）=1﹣ln2，故k≥1﹣ln2．19．（13分）已知点A（﹣2，0）为椭圆C：的左顶点，C的右焦点为F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点F互相垂直的直线l1和l2分别交直线x=4于点P和Q，直线AP和AQ 分别交椭圆C于M和N，求证：点M，F，N共线．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（﹣2，0）为椭圆C：的左顶点，C的右焦点为F（1，0）故a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为，证明：（Ⅱ）不妨设直线l1和l2的方程分别为：x=my+1和x=y+1，则P点坐标为：（4，），Q点坐标为：（4，﹣3m），则直线AP和AQ的方程分别为：y=（x+2）和y=（x+2），即x=2my﹣2和x=﹣y﹣2，分别代入得：（4+12m2）y2﹣24my=0，和（4+）y2+y=0，可得y M=，y N=﹣，则x M=﹣2=，x N=﹣2=，即有M（，），N（，﹣），F（1，0），可得k FM==，k FN==，即有k FM=k FN，则点M，F，N共线．20．（14分）设集合I={1，2，3，…，n}（n=1，2，3，…），若非空集合A满足：①A⊆I；②Card（A）≤min（A）（其中Card（A）表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集．记a n为I的所有好子集的个数．例如，a5表示集合I={1，2，3，4，5}的所有好子集的个数．（Ⅰ）写出集合{1，2，3，4}的所有好子集；（Ⅱ）若A是I的一个好子集，且A中至少有3个元素，求证：2∉A；（Ⅲ）请猜想a n+2，a n+1，a n之间的关系，并证明你的猜想．【解答】解：（I）集合{1，2，3，4}的好子集有：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，证明：（Ⅱ）若A是I的一个好子集，且A中至少有3个元素，若2∈A，则min（A）≤2，Card（A）≤min（A）≤2，这与A中至少有3个元素，矛盾，故2∉A；（Ⅲ）a n+2=a n+1+a n+1，证明如下：集合I={1，2，3，…，n}中：若n为奇数，一个元素的集合有个，二个元素的集合有：，三个元素的集合有：，…个元素的集合有：个元素的集合有：此时，=+++…++，若n为偶数，一个元素的集合有个，二个元素的集合有：，三个元素的集合有：，…个元素的集合有，此时，=+++…+，故n为奇数时，a n+a n+1=（）+（++…+）+1，+1==a n+2n为偶数时，a n+1+a n+1=（）+（++…+），+1==a n+2=a n+1+a n+1．综上可得：a n+2赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。