高中数学 第二章 参数方程单元检测 北师大版
(新)高中数学第二章参数方程单元检测北师大版选修4-41
第二章参数方程单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线4,5xy⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t为参数)上与点P(4,5)的点的坐标是( )．A．(－4,5) B．(3,6)C．(3,6)或(5,4) D．(－4,5)或(0,1)2．设r＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r与圆cos,sinx ry rϕϕ=⎧⎨=⎩(φ是参数)的位置关系是( )．A．相交 B．相切C．相离 D．视r的大小而定3．已知直线l的参数方程为1,2xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，则直线l的斜率为( )．A．1 B．－1 C．2 D．2-4．直线12,2x ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )．A．125B．5C5．当t∈R时，参数方程2228,444txttyt-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t为参数)表示的图形是( )．A．双曲线B．椭圆(除去下顶点) C．抛物线D．圆6．双曲线tan,2cosxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的渐近线方程为( )．A．y＝±x B．1 =2 y x±C．y＝±2x D．y＝±3x7．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )．A．π B．2πC．12π D．14π8．已知圆的渐开线3cos sin 3sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)，则渐开线对应的基圆的面积为( )．A ．πB ．3πC ．4πD ．9π9．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋πsin()4θ+＝0(θ为参数)．那么圆心的轨迹是( )．A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．参数方程22sin ,1cos2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数)化成普通方程是( )．A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．12．已知椭圆C ：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)经过点1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，则m ＝__________，离心率e ＝__________.13．在平面直角坐标系中，已知圆C ：5cos 1,5sin 2x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)和直线l ：46,32x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)，则圆C 的普通方程为__________，直线l 与圆C 位置关系为__________．14．椭圆5cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数)的长轴长为________．15．已知圆C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知参数方程1sin ,1cos x t t y t t θθ⎧=(+)⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示曲线是什么？(2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示曲线是什么？ 17．(15分)(2010·课标全国卷，理23)已知直线C 1：1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆C2：cos,sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)当π3α=时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．参考答案1．答案：C=3t⇒±，将t代入原方程，得3,6xy=⎧⎨=⎩或5,4,xy=⎧⎨=⎩所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)．2．答案：B 易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．3．答案：B 直线l可化为31cosπ,432sinπ,4x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴斜率k＝3tanπ4＝－1.4．答案：B 由122x ty t=+⎧⎨=+⎩12xy⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩把直线方程代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，即5t2＋8t－4＝0，∴|t1－t2|125.12t-.5．答案：B 原方程可化为2284814txtyt-⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②①除以②，得1xy+＝－t.③将③代入②得24x＋y2＝1(y≠－1)，表示的图形是椭圆(除去下顶点)．6．答案：C 将参数方程化为普通方程为24y－x2＝1.故渐近线方程为y＝±2x.7．答案：C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为22sin,22cosxyϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把y＝0代入可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝2φ－2sin φ＝4kπ.根据选项可知选C.8．答案：D9．答案：D圆心坐标为sin2π,24θθ⎛⎫-(+)⎪⎝⎭，设圆心为(x ，y )．则sin2,2π4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩(θ为参数)．化为普通方程为24y ＝1＋2x ，即y 2＝8x ＋4.又∵sin2=2x θ11,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴y 2＝8x ＋114()22x -≤≤，表示抛物线的一部分．10．答案：D ∵x ＝2＋sin 2θ＝5cos222θ-，cos 2 θ＝y ＋1，∴51=22y x +-，即2x ＋y －4＝0.又∵0≤sin 2θ≤1，∴x ∈[2,3]．故选D. 11．答案：5将直线l 1的参数方程化成普通方程为y ＝3x －2，又l 2：y ＝3x ＋4，故l 1∥l 2，在l 1上取一点(0，－2)，其到l 2：3x －y ＋4＝0的距离就是l 1与l 2的距离，即5d . 12．答案：椭圆的参数方程化为普通方程为x 2＋24y ＝1.把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得m 2＋144＝1，得=m ±又∵a ＝2，b ＝1，c∴==2c e a . 13．答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝25 相交 圆C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25.l 的普通方程为：3x ＋4y －10＝0.圆心到直线的距离()31421051555d ⨯-+⨯-===<.故圆和直线相交．14．答案：10 原方程消去参数θ，得普通方程为22=1259x y +，它是焦点在x 轴上的椭圆，故长轴长为10.15．答案：(－1,1)，(1,1) ρsin θ＝1⇒y ＝1，圆方程为x 2＋(y －1)2＝1，联立，得到所求交点为(－1,1)，(1,1)．16．答案：分析：(1)以θ为参数，进行转化，注意符号． (2)以t 为参数，进行讨论．解：(1)当t ≠±1时，2222111x y t t t t+=(+)(-).表示中心在原点，长轴长为12|+|t t ，短轴长为12||t t-，焦点在x 轴上的椭圆． 当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ∈[－2,2]，它表示x 轴上[－2,2]上的线段．(2)当π2k θ≠(k ∈Z )时，2222=14sin 4cos x y θθ-是双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，表示y 轴． 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，∴1=x t t ⎛⎫±+ ⎪⎝⎭，表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线．17．答案：解：(1)当π3α=时，C 1的普通方程为1)y x －．C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221,1,y x x y ⎧=-)⎪⎨+=⎪⎩解得C 1与C 2的交点为(1,0)，1,22⎛- ⎝⎭. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.过原点O 作C 1的垂线，则垂线的方程为x cos α＋y sin α＝0. 由sin cos sin =0cos sin =0x y x y ααααα--⎧⎨+⎩，得2=sin =sin cos .x y ααα⎧⎨-⎩， 故点A 的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，点P 的坐标为211sin sin cos 22ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故当α变化时，点P 的轨迹的参数方程为21=sin ,21=sin cos 2x y ααα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(α为参数)． 由x ＝12sin 2α，得x ＝121cos211=cos 2244αα-⋅-.∴14cos 2α＝14－x .由1sin cos 2y αα-＝， 得y ＝14-sin 2α.∴2211+=416x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.即点P 的轨迹的普通方程为2211()+=416x y -.故点P 的轨迹是圆心为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，半径为14的圆．。
北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测题(含答案解析)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1B C D ．22．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．2+3．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--4．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]5．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（）A B ．C D ．±6．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ）A ．(3,4)B ．2⎛ ⎝C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 7．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A．⎡⎢⎣⎦B．1,1⎡+⎢⎣⎦C．1,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) ABCD10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ （t 为参数）和22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈二、填空题13．在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.14．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；15．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______ 16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,)3B π．设M 为曲线C 上的动点，过点M 作一条与直线AB 夹角为30︒的直线l 交直线AB 于点N ，则MN 的最大值是_________．18．P 是直线l ：40x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，PQ 的最小值是______.19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．20．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θx cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。
北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）ABCD2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC∆的面积最大时，tan α=( )A．3B．2CD ．73．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0B ．()1,π-C ．()1,πD ．()1,2π6．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．⎡⎢⎣⎦B ．1,1⎡+⎢⎣⎦C ．1,1⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=化为直角坐标方程后为( )A ．()2239x y +-=B ．()2239x y ++= C ．()2239x y ++= D ．()2239x y -+=8．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．214C ．2D ．229．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心10．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:515x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 11．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x tl y t b=⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ） A 2B ．2-C ．0D ．2±12．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B 6C 362D ．26二、填空题13．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 14．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.15．直线122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长为_________.16．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.17．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________. 19．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．20．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆2212x y +=两个不同的动点，且满足1122x y x y ⋅+⋅=2212x x +的值是_____． 三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ （1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.23．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值. 24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B 【分析】将直线84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩可得：4120x y+-=根据点到直线距离公式，可得C上的点到直线l的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 2．D解析：D【分析】先将直线直线l与曲线C转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC∆的面积最大，即要ACB∠为直角，从而求解出tanα．【详解】解：因为曲线C的方程为4cos02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边同时乘以ρ，可得24cosρρθ=，所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y-+=，曲线C是以(2,0)C为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线l的参数方程为1cossinx ty tαα=-+⎧⎨=⎩，（t为参数），所以直线l的普通方程为tan tan0x yαα-+=，因为1sin2sin2ABCS CA CB ACB ACB∆，所以当ACB∠为直角时ABC∆的面积最大，此时C到直线l的距离2ABd===，因为直线l 与x 轴交于()1,0D -， 所以3CD =，于是7DE =， 所以214tan 77α==， 故选D ． 【点睛】本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想．3．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=， ∵曲线C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴()42sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22，圆心为()2,2，圆心到直线的距离为224222d -+==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.4．D解析：D 【解析】 分析：化参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.详解：方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数得到212,y x =-将四个点代入验证只有D满足方程. 故选D.点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题5．C解析：C 【解析】分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）． 详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．6．C解析：C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩22211x y ∴-+-=（）（），其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+， 令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，303ACB k ∠=︒⇒=，由图形知，k 的取值范围是[0．则1y x x +-的取值范围是1,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．7．A解析：A 【解析】6sin ρθ=22226(3)9x y y x y ⇒+=⇒+-= ，选A. 8．D解析：D 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d =，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =. 9．A解析：A 【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．已知直线l的参数方程为2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x tl y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）ABCD4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A．2BC ．1D ．25．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．46．直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2212x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]39，C． D．7．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．()621-B ．()621+C ．125D ．2458．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-9．参数方程22sin {12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈10．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．过圆心D ．相交不过圆心11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ） A ．5B ．52C ．7D ．72二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________． 14．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.15．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 16．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q为直线:0l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．17．已知直线l ：32,54.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则||MN 的最大值为_____．18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．19．已知(,)P x y 是椭圆22143x y+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．20．已知抛物线的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．22．已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点(3,0)A ．（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求||||⋅AP AQ 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的参数方程为1x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.26．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 是参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若12,C C 交于,A B 两点，P 点坐标为()2,2--，求11PA PB+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．D解析：D 【分析】根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m 的值，将直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得2220t t --=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案； 【详解】解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，则其标准方程为221124x y +=，其左焦点为(-，直线l过点(-，其参数方程为(x m ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则m =-将直线l 的参数方程22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=， 则12||||||2FA FB t t ==． 故选：D本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．3．B解析：B【分析】将直线84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】84:1x tly t=+⎧⎨=-⎩可得：4120x y+-=根据点到直线距离公式，可得C上的点到直线l的距离为=≤=【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 4．B解析：B【分析】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C上的点到直线l的距离的最小值.【详解】设曲线C上任意一点的坐标为),sinθθ，所以，曲线C上的一点到直线l的距离为d==42sinπθ⎛⎫-+⎪=当()232k k Zππθπ+=+∈时，d取最小值，且mind== B.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题. 5．A解析：A【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ++=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ++=+ (其中tan ϕ=),故2x y +≤2x y +A. 【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标. 6．B解析：B 【解析】分析：求出A （﹣3，0），B （0，﹣3），=P （α，α），点P 到直线x+y+2=0的距离：=，∈，由此能求出△ABP 面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A （﹣3，0），B （0，﹣3），=，∵点P 在圆（x ﹣1）2+y 2=2上，∴设P （αα）， ∴点P 到直线x+y+3=0的距离：=，∵sin ()4πα+∈[﹣1，1]，∴， ∴△ABP面积的最小值为13,2⨯= △ABP面积的最大值为19,2⨯= 故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P （αα），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.7．B解析：B 【解析】分析：根据椭圆的方程算出A （4，0）、B （0，3），从而得到|AB|=5且直线AB ：3x+4y ﹣12=0．设点P （4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P 到直线AB 距离为d=125()4πθ+﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max =1251），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB 面积的最大值．详解：由题得椭圆C 方程为：221169x y +=，∴椭圆与x 正半轴交于点A （4，0），与y 正半轴的交于点B （0，3）， ∵P 是椭圆上任一个动点，设点P （4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]） ∴点P 到直线AB ：3x+4y ﹣12=0的距离为=125()4πθ+﹣1|， 由此可得：当θ=54π时，d max =1251）∴△PAB 面积的最大值为S=12|AB|×d max =61）. 点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于()4πθ+﹣1|，不是sin ()4πθ+=1时，整个函数取最大值，而应该是sin ()4πθ+=-1，要看后面的“-1”.8．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()322x t t y t 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(33)160,16,t t t t -++==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．9．D解析：D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.10．A解析：A 【解析】试题分析：即3x-4y-36="0;"即，由圆心到直线的距离，所以，直线与圆相离，选A 。
北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1B ．10 C ．310 D ．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为：222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．5．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．56．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)227．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．31,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭9．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的3，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=10．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条线段 D ．一条射线 11．已知x ，y 为实数，且满足3x 2＋2y 2≤6，则2x ＋y 的最大值为（ ）A ．6B ．6C ．11D ．1112．在极坐标系中，已知A （3，3π），B(4，23π), O 为极点，则AOB ∆的面积为（ ） A ．3B ．23C ．33D ．2二、填空题13．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 14．设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C ：15,25x y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．15．已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 16．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 17．已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q为直线:0l x y +=-上的动点，则PQ 的最小值为________．18．设点(),x y 是曲线C 2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx的最大值为________． 19．已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ .20．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，则直线l 与圆C 的公共点的直角坐标为 ．三、解答题21．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点()0,2M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||MA MB +=，求sin α的值. 23．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值.24．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过动点20000()(),P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若2PA PB ⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离．25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴105d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．A解析：A 【分析】本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出21212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入21212t t t t -=中，通过计算即可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin2cos 0a a ρθθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程得：()2116402t t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，则()122t t +=，()122164t t a =+，因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以21212t t t t -=，即212125t t t t =+，()()2442210164aa +=+，解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（ ） A．2B．C．D．2+3．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个5．直线l ：30x y ++=被圆C ：1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（ ）A．B．C．D ．86．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．577．直线1sin 702cos70x t y t ⎧=+⎨=+⎩（t 为参数）的倾斜角为( )A ．70B ．20C ．160D ．1108．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 的距离等于2的点的坐标是( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,59．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．210．A ，B 分别在曲线1C ：cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）和2C ：1ρ=上，则AB 最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ）A ．5B ．52C ．7D ．7212．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B ．6C ．362D ．26二、填空题13．已知点M 在直线223324x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________.14．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为2cos 4s 0()in ρθθρ≥＝，直线l 的参数方程为31x ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||||AF BF 的值为________．15．直线被圆所截得的弦长为 ．16．已知直线l ：32,54.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则||MN 的最大值为_____．17．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．18．已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,曲线1C 、曲线2C 的交点为,,A B 则弦AB 的长为______.19．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______． 三、解答题21．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,2sin x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos21ρθ=．（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C ，求PQ 的最小值．23．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程；（2）已知点()1,0M ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB -的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．26．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 是参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若12,C C 交于,A B 两点，P 点坐标为()2,2--，求11PA PB+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -. 【详解】 将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-= ，圆心C 为(1,1) ，半径2r.已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为d r ==> ，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为2d r -=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.3．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--===⋅⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=，∵曲线C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()42sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22，圆心为()2,2， 圆心到直线的距离为224222d -+==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.5．B解析：B 【解析】分析：圆1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，求出圆心到直线的距离d ，即可得出直线被圆截得的弦长． 详解：圆1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去参数化为：()()22+1216x y +-=，圆心到直线的距离d ==∴直线被圆截得的弦长== B.点睛：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，， 圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．B解析：B 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为θ，直线的参数方程为170270x tsin y tcos ⎧=+⎨=+⎩，则直线的普通方程为：y−2=tan20∘(x−1)，则有tanθ=tan20∘,且0∘⩽θ<180∘，则直线的倾斜角为20∘， 本题选择B 选项.8．D解析：D 【详解】因为直线3(4x tt y t=-⎧⎨=+⎩为参数）， 所以设直线上到点(3,4)P 的距离等于2的点的坐标是(3,4)t t --，则22(3)(4)2t t -+-=，解得1t =±，代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.9．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程 的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.10．B解析：B 【分析】把极坐标与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程，利用两点之间的距离公式求出圆心之间的距离，即可得出. 【详解】 曲线1C ：cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）消去参数可得：22(4)1x y +-=，可得圆心为1(0,4)C ，半径1R =，曲线2C ：1ρ=，可化为221x y +=，圆心为2(0,0)C ，半径1r =，2212044C C ∴=+=，根据圆的几何性质可知，min ||42AB R r ∴=--=,故选：B 【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程化为普通方程，直角坐标方程，圆的几何性质，最值，属于中档题.11．D解析：D 【分析】利用直线参数方程参数的几何意义求解即可. 【详解】曲线1C 的直角坐标方程为2225x y +=，2C的参数方程为4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 设这两条曲线的交点为,A B ，其对应的参数为,A B t t将4232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2225x y +=中，整理得20t += 0A t ∴=，B t =-则A B t AB t =-=故选：D 【点睛】本题主要考查了直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先将直线sin()6πρθ+=A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()6πρθ+=1cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭0x +-=. 又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A0x +-=的距离为：d ==≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.二、填空题13．【分析】先求出直线的普通方程再求出点到直线的距离再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值【详解】由题得直线方程为由题意点到直线的距离∴故答案为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化考查点到直线【分析】先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为430x y -+=， 由题意，点N到直线的距离d ===，∴minMN =【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14．【解析】【分析】得出抛物线的直角坐标方程为直线的方程为联立方程组利用根与系数的关系求得利用抛物线的定义即可求解得到答案【详解】由抛物线的极坐标方程为直线的参数方程为（为参数）可得抛物线的直角坐标方程 解析：163【解析】 【分析】得出抛物线C 的直角坐标方程为24x y =，直线l 的方程为()31x y =-，联立方程组，利用根与系数的关系，求得12103y y +=，利用抛物线的定义，即可求解，得到答案． 【详解】由抛物线C 的极坐标方程为()2cos 4sin 0ρθθρ≥＝，直线l 的参数方程为31x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），可得抛物线C 的直角坐标方程为24x y =，直线l 的方程为()31x y =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，则由()2431x y x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得12103y y +=，又直线过抛物线的焦点()0,1F ， 所以12101611233AF BF y y +=+++=+=. 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及抛物线的定义应用，其中解答中把根据互化公式，化简得到抛物线和直线的直角坐标方程，再利用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【解析】试题分析：由题意得直线与圆的普通方程分别为与则弦心距则弦长为考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系的判定与应用其中 解析：．【解析】试题分析：由题意，得直线与圆的普通方程分别为与，则弦心距，则弦长为．考点：曲线的参数方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系的判定与应用，其中把曲线的参数方程化为普通方程和牢记直线与圆的弦长公式是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及推理、运算能力，属于基础题，本题的解答中，先把直线与圆的参数化为普通方程与，利用直线与圆的弦长公式，即可求解． 16．【分析】由直线的参数为直线的普通方程求得再由圆的方程求得圆心坐标为半径利用两点间的距离公式求得进而得到的最大值【详解】由直线可得直线的普通方程令则即直线与x 轴的交点坐标又由圆的圆心坐标为半径则所以的解析：2【分析】由直线的参数为直线的普通方程4380x y +-=，求得(2,0)M ，再由圆的方程，求得圆心坐标为(0,2)C ，半径2R =，利用两点间的距离公式，求得MC =MN 的最大值.【详解】 由直线325:45x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线的普通方程4380x y +-=， 令0y =，则2x =，即直线与x 轴的交点坐标(2,0)M ，又由圆2240x y y +-=的圆心坐标为(0,2)C ，半径2R =，则MC ==MN的最大值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中解答中把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离d R ±求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力. 17．【解析】分析：在曲线上任取一点则点到直线的距离为从而可得结果详解：在曲线上任取一点则点到直线的距离为所以曲线上的点到直线的最大距离为故答案为点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形【解析】分析：在曲线上任取一点()4cos ,2A sin θθ，则点A到直线20x y +=的距离为≤=. 详解：在曲线上任取一点()4cos ,2A sin θθ，则点A到直线20x y +=的距离为=≤=， 所以，曲线42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=. 点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x b y c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值 . 18．【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线的直角坐标方程联立方程组求得点的坐标利用两点间的距离公式即可求解的长详解：由将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:即故为圆心为半径为的圆:即表解析：【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线12,C C 的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解AB 的长.详解：由222x y ρ=+,tan =y x θ,将曲线1C 与2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为 1C :226x y x +=,即()2239x y -+=,故1C 为圆心为(3,0),半径为3的圆,2C :=4πθ,即y x =,表示过原点倾斜角为4π的直线， 因为226y x x y x =⎧⎨+=⎩的解为1100x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩，所以AB = 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.19．【解析】曲线C ：(t 为参数)的普通方程为表示圆心为半径的圆直线：(t 为参数)的普通方程为∴圆心到直线的距离为∴答案：解析：5【解析】曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(t 为参数)的普通方程为22(2)1x y -+=，表示圆心为(2,0)，半径1r =的圆．直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)的普通方程为43100x y +-=． ∴圆心(2,0)到直线l的距离为25d ==，∴AB ===．答案：2215 20．【分析】先消去参数得到曲线的普通方程再利用直角坐标与极坐标的互化公式得到直线的直角坐标方程利用点到直线的距离公式结合图象即可求解【详解】将曲线的参数方程为化为直角坐标方程可得曲线表示圆心在原点半径为 解析：12b ≤<【分析】先消去参数θ得到曲线的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式，得到直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合图象，即可求解.【详解】将曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[]0,πθ∈， 化为直角坐标方程，可得221x y +=，曲线1C 表示圆心在原点，半径为1的上半圆，（如图所示）曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos b ρθθ=-，即sin cos b ρθρθ-=， 可得曲线2C 的直角坐标方程为0x y b -+=，由圆心到直线的距离得：12bd ==，解得2b =±，结合图象，可得实数b 的取值范围是12b ≤<. 故答案为：12b ≤<.【点睛】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题213【分析】将极坐标方程转化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线的直角坐标方程，求出圆心到直线l 的距离d ，从而求出弦长即可．【详解】由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以2220x y x +-=，所以圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)C ，半径1r =，又2212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，得直线l方程为：20x -=，所以圆心到直线l的距离12d ==， 所以直线l 被圆C截得的弦长为：=【点睛】本题考查了圆的极坐标方程和普通方程的转化，考查直线的参数方程和普通方程的转化以及求弦长问题，是一道常规题．22．（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2221x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=；（21．【分析】（1）消去参数t 可得1C 的普通方程；利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得2C 的直角坐标方程； （2）求出圆心到曲线2C （双曲线）上点的距离，结合二次函数性质得最小值，减去圆半径即得结论．【详解】解：（1）曲线1C 的参数方程中消去参数t ，可得曲线1C 的直角坐标方程为()2221x y +-=；曲线2C 的极坐标方程可化为()222cos sin 1ρθθ-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，可得曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=．（2）将曲线1C 的直角坐标方程整理后可得()2221x y +-=，可知曲线1C 是以点()0,2M 为圆心，1为半径的圆，可得min min 1PQ MQ =-．设点Q 的坐标为(),a b ，有221a b -=，则MQ ====≥（当且仅当1b =时取等号）．故PQ 1．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查圆上的点到双曲线上点的距离的最小值，圆上的点一般转化为利用圆心求解．23．（1）10x y --=，4cos ρθ=．（2【分析】（1）消去参数方程中的参数，求得直线l 与圆C 的普通方程，根据直角坐标方程和极坐标方程的转化公式，求得圆C 的极坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入圆的普通方程，化简后写出根与系数关系，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得MA MB -的值．【详解】（1）由122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减并化简得直线l 的普通方程为：10x y --=，由22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，消去参数α，得 圆C 的普通方程为：()2224x y -+=2240x y x ⇒+-=，所以圆C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）把直线的参数方程1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）带入到圆C 的普通方程：()2224x y -+=中化简可得：230t -=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t， 则12t t +=123t t =-，∵1t ，2t 异号，∴1212MA MB t t t t -=-=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查直线参数方程中参数的几何意义的运用，属于中档题. 24．（1）2214x y +=（2）85【分析】（1）由伸缩变换公式得到变换后的参数方程，消去参数即可得到所求普通方程；（2）写出直线l 的参数方程，代入椭圆方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可知122t t MN +=，利用韦达定理得到MN ，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）将曲线C 按照伸缩变换公式变换可得：2cos sin x y αα=''⎧⎨=⎩（α为参数）， 2214x y ''∴+=，E ∴的普通方程为：2214x y +=. （2）（2）直线l 过()0,2M -，倾斜角为4π，则其参数方程为：222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入2214x y +=得：25240t -+=， 则12,t t 为,A B 对应的参数，N 对应的参数为122t t +，1225t t MN +∴==，118sin 2242525OMN S MN OM π∴=⋅=⨯⨯=△. 【点睛】 本题考查参数方程化普通方程、曲线的伸缩变换和直线参数方程中参数几何意义的应用等知识；关键是能够熟练应用直线参数方程，根据参数几何意义，结合韦达定理求得长度. 25．（1）圆C 的普通方程为()()22611x y +++=；直线l 的直角坐标方程为20x y -+=；（2）12-． 【分析】（1）在圆C 的参数方程中消去参数t ，可得出圆C 的普通方程，将直线l 的极坐标方程变形为cos sin 20ρθρθ-+=，进而可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+，利用点到直线的距离公式以及正弦函数的有界性可求出结果．【详解】（1）由6cos 1sin x t y t=-+⎧⎨=-+⎩消去参数t ，得()()22611x y +++=，所以圆C 的普通方程为()()22611x y +++=．由sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+，则点P 到直线l的距离为d ==sin 4t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当sin 14t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d取最小值，min 12d =-． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型． 26．（1）1C 的普通方程为：4320x y -+=；2C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=（2）12【分析】（1）消去参数t 即可得到1C 的普通方程；先对极坐标方程两边同乘ρ,再根据222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩求解即可； （2）将1C 的标准参数方程代入到2C 的直角坐标方程得28160t t -+=,利用韦达定理,则1212121111t t PA PB t t t t ++=+=,进而求解即可. 【详解】（1）消去参数t 可得1C 的普通方程为:4320x y -+=；对cos ρθ=4两边同乘ρ,可得24cos ρρθ=,则224x y x +=,整理可得2C 的直角坐标方程为()2224x y -+= （2）由（1）将1C 的标准参数方程代入到2C 的直角坐标方程得28160t t -+=, 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ,则12128,16t t t t +==, 所以121212111112t t PA PB t t t t ++=+== 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查利用参数的几何意义求线段问题.。
北师大版高中数学选修4-4第二章参数方程单元检测.docx
数学北师版选修4—4第二章参数方程单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线43,53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t为参数)上与点P(4,5)的距离等于2的点的坐标是( )．A．(－4,5) B．(3,6)C．(3,6)或(5,4) D．(－4,5)或(0,1)2．设r＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r与圆cos,sinx ry rϕϕ=⎧⎨=⎩(φ是参数)的位置关系是( )．A．相交 B．相切C．相离 D．视r的大小而定3．已知直线l 的参数方程为21,2222x ty t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，则直线l的斜率为( )．A．1 B．－1 C ．22D ．22-4．直线12,2x ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )．A．125B ．1255C ．955D ．91055．当t∈R时，参数方程2228,444txttyt-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t为参数)表示的图形是( )．A．双曲线B．椭圆(除去下顶点)C ．抛物线D ．圆6．双曲线tan ,2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的渐近线方程为( )．A ．y ＝±xB ．1=2y x ±C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x7．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )． A ．π B ．2π C ．12π D ．14π 8．已知圆的渐开线3cos sin 3sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)，则渐开线对应的基圆的面积为( )．A ．πB ．3πC ．4πD ．9π9．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋π42sin()4y θ+＝0(θ为参数)．那么圆心的轨迹是( )．A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．参数方程22sin ,1cos2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数)化成普通方程是( )．A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．设直线l 1的参数方程为1,13x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．12．已知椭圆C ：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)经过点1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，则m ＝__________，离心率e ＝__________.13．在平面直角坐标系中，已知圆C ：5cos 1,5sin 2x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)和直线l ：46,32x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)，则圆C 的普通方程为__________，直线l 与圆C 位置关系为__________．14．椭圆5cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数)的长轴长为________．15．已知圆C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知参数方程1sin,1cosx tty ttθθ⎧=(+)⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩(t≠0)．(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示曲线是什么？(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示曲线是什么？17．(15分)(2010·课标全国卷，理23)已知直线C1：1cos,sinx ty tαα=+⎧⎨=⎩(t为参数)，圆C2：cos,sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)当π3α=时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．参考答案1．答案：C 由题意，可得22333||=2=3t t (-)+()⇒±，将t 代入原方程，得3,6x y =⎧⎨=⎩或5,4,x y =⎧⎨=⎩所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)．2．答案：B 易知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0,0)到直线的距离为d ＝22|00|cos sin r θθ+-+＝r ，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．3．答案：B 直线l 可化为31cos π,432sin π,4x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴斜率k ＝3tan π4＝－1.4．答案：B 由122x t y t =+⎧⎨=+⎩215,5125,5x t y t ⎧=+⨯⎪⎪⇒⎨⎪=+⨯⎪⎩把直线方程代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9， 即5t 2＋8t －4＝0，∴|t 1－t 2|＝212124t t t t (+)-281612==555⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∴弦长为12125||=55t t -.5．答案：B 原方程可化为228 481 4t x t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②①除以②，得1xy +＝－t .③将③代入②得24x ＋y 2＝1(y ≠－1)，表示的图形是椭圆(除去下顶点)．6．答案：C 将参数方程化为普通方程为24y －x 2＝1.故渐近线方程为y ＝±2x .7．答案：C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为22sin ,22cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把y ＝0代入可得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝2φ－2sin φ＝4k π.根据选项可知选C.8．答案：D9．答案：D 圆心坐标为sin2π,22sin 24θθ⎛⎫-(+)⎪⎝⎭，设圆心为(x ，y )．则sin2,2π22sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩(θ为参数)．化为普通方程为24y ＝1＋2x ，即y 2＝8x ＋4.又∵sin2=2x θ11,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴y 2＝8x ＋114()22x -≤≤，表示抛物线的一部分．10．答案：D ∵x ＝2＋sin 2θ＝5cos222θ-，cos 2 θ＝y ＋1，∴51=22y x +-，即2x ＋y －4＝0.又∵0≤sin 2θ≤1，∴x ∈[2,3]．故选D. 11．答案：3105将直线l 1的参数方程化成普通方程为y ＝3x －2，又l 2：y ＝3x ＋4，故l 1∥l 2，在l 1上取一点(0，－2)，其到l 2：3x －y ＋4＝0的距离就是l 1与l 2的距离，即|024|310==510d ++. 12．答案：154± 32 椭圆的参数方程化为普通方程为x 2＋24y ＝1.把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得m 2＋144＝1，得15=4m ±.又∵a ＝2，b ＝1，22=21=3c -， ∴3==2c e a . 13．答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝25 相交 圆C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25.l 的普通方程为：3x ＋4y －10＝0.圆心到直线的距离()31421051555d ⨯-+⨯-===<.故圆和直线相交．14．答案：10 原方程消去参数θ，得普通方程为22=1259x y +，它是焦点在x 轴上的椭圆，故长轴长为10.15．答案：(－1,1)，(1,1) ρsin θ＝1⇒y ＝1，圆方程为x 2＋(y －1)2＝1，联立，得到所求交点为(－1,1)，(1,1)．16．答案：分析：(1)以θ为参数，进行转化，注意符号． (2)以t 为参数，进行讨论．解：(1)当t ≠±1时，2222111x y t t t t+=(+)(-).表示中心在原点，长轴长为12|+|t t ，短轴长为12||t t-，焦点在x 轴上的椭圆． 当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ∈[－2,2]，它表示x 轴上[－2,2]上的线段．(2)当π2k θ≠(k ∈Z )时，2222=14sin 4cos x y θθ-是双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，表示y 轴． 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，∴1=x t t ⎛⎫±+ ⎪⎝⎭，表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线．17．答案：解：(1)当π3α=时，C 1的普通方程为3(1)y x ＝－．C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组2231,1,y x x y ⎧=(-)⎪⎨+=⎪⎩解得C 1与C 2的交点为(1,0)，13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.过原点O 作C 1的垂线，则垂线的方程为x cos α＋y sin α＝0. 由sin cos sin =0cos sin =0x y x y ααααα--⎧⎨+⎩，得2=sin =sin cos .x y ααα⎧⎨-⎩， 故点A 的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，点P 的坐标为211sin sin cos 22ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故当α变化时，点P 的轨迹的参数方程为21=sin ,21=sin cos 2x y ααα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(α为参数)． 由x ＝12sin 2α，得x ＝121cos211=cos 2244αα-⋅-.∴14cos 2α＝14－x .由1sin cos 2y αα-＝， 得y ＝14-sin 2α.∴2211+=416x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.即点P 的轨迹的普通方程为2211()+=416x y -.故点P 的轨迹是圆心为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，半径为14的圆．。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(答案解析)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ） A．B．CD3．已知22451x y +=，则2x 的最大值是（ ） AB ．1C ．3D ．94．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．47．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A．)61B．)61C ．125D ．2458．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．579．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．410．直线34x ty t =-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 的距离等于2的点的坐标是( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,5 11．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b二、填空题13．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；14．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.15．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．17．圆1212x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的弦长为__________．18．若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）上，则y x 的最小值是__________．19．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是__________________．20．已知直线1:(2x l t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线:(x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）交于,A B 两点，则点()1,2M -与,A B 两点的距离之积MA MB ⋅=______.三、解答题21．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数).将曲线C上的点按坐标变换x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A 点的极坐标为3,22π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲C '极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，求||||AM AN ⋅的值. 23．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．24．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）过动点20000()(),P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若2PA PB ⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离．25．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.26．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 2313co -s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y 的最大值为133+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 2sin 5x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 4．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．A解析：A 【分析】设点,sin )P αα，求得点P 到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y 是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点， 设点,sin )P αα，则点P 到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离d A.【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．A解析：A【解析】 【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ++=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164xy +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ++=+ (其中tan ϕ=),故2x y +≤2x y +A. 【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标. 7．B解析：B 【解析】分析：根据椭圆的方程算出A （4，0）、B （0，3），从而得到|AB|=5且直线AB ：3x+4y ﹣12=0．设点P （4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P 到直线AB 距离为d=125()4πθ+﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max =1251），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB 面积的最大值．详解：由题得椭圆C 方程为：221169x y +=，∴椭圆与x 正半轴交于点A （4，0），与y 正半轴的交于点B （0，3）， ∵P 是椭圆上任一个动点，设点P （4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]） ∴点P 到直线AB ：3x+4y ﹣12=0的距离为=125()4πθ+﹣1|， 由此可得：当θ=54π时，d max =1251）∴△PAB 面积的最大值为S=12|AB|×d max =61）. 点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于()4πθ+﹣1|，不是sin ()4πθ+=1时，整个函数取最大值，而应该是sin ()4πθ+=-1，要看后面的“-1”.8．C解析：C 【解析】【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()222C r -，，＝圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．9．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t ⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．10．D解析：D 【详解】因为直线3(4x tt y t =-⎧⎨=+⎩为参数）， 所以设直线上到点(3,4)P 的距离等于2的点的坐标是(3,4)t t --，则22(3)(4)2t t -+-=，解得1t =±，代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.11．A解析：A 【解析】试题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程为，，，直线与轴的交点为（1,0），与的交点为（，），所以这三条曲线围成图形为顶点为（0,0），（，），（1,0）的三角形，其的面积为=，故选A.考点：极坐标方程与直角坐标方程互化；两直线的交点；三角形面积公式12．A解析：A 【分析】用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值. 【详解】记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，222()4sin 2sin 44(sin )444b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值244b +； 若144bb >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b . 故选：A 【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.二、填空题13．；【分析】令可将化为根据三角函数值域可求得结果【详解】可令本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解解析：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 【分析】令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1sin 22θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】221x y += ∴可令cos x θ=，sin y θ=1cos sin sin 22xy θθθ∴==[]sin21,1θ∈- 11,22xy ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.14．【分析】先计算出交点的坐标设出点的参数形式利用向量的数量积运算将其表示为关于的函数再求函数的最大值即可【详解】因为曲线与直线交于点故令又因为解得故可得则点的坐标为设点则其中又因为故则故故答案为：【点2【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可. 【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅= ⎝⎭()θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()2maxOP OQ ⋅=.. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.15．【分析】由题意设利用两点之间的距离公式表示出进而可得结论【详解】由题意得圆的参数方程为（为参数）设则∴其中当时有最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式圆的参数方程的应用属于基础题 解析：36【分析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论. 【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++，则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++，()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36.故答案为：36. 【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.16．【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系再根据三角函数有界性求最值【详解】曲线上的点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性考查基本分析求解能力属中档题解析：【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.【详解】曲线C上的点到直线l的距离为|2sin()4|42sin()ππφφ+--+==≤=故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 17．2【解析】分析：首先将圆的参数方程化为普通方程求出圆心到直线的距离根据圆心到直线的距离弦的一半以及圆的半径构成直角三角形可得结论详解：圆（为参数）的一般方程为圆心坐标为半径为圆心到直线的距离故圆被直解析：2【解析】分析：首先将圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线0y=的距离，根据圆心到直线的距离，弦的一半以及圆的半径构成直角三角形可得结论.详解：圆11xyθθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）的一般方程为()()22112x y++-=，圆心坐标为()1,1-()1,1-到直线0y=的距离1d=，故圆被直线截得的弦长为2=，故答案为2.点睛：本题主要考查了将圆的参数方程化为普通方程，以及直线与圆相交求所得弦长，属于基础题.18．【解析】分析：由（为参数）可得：因此可以看作与圆：上的点的连线的直线的斜率的取值范围利用点到直线的距离公式即可得出详解：由（为参数）可得：因此可以看作与圆：上的点的连线的直线的斜率的取值范围设过点的解析：【解析】分析：由2x cosy sinθθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，Rθ∈）可得：2y sinkx cosθθ==-．因此k可以看作20P（，）与圆：221x y+=上的点的连线的直线的斜率的取值范围．利用点到直线的距离公式即可得出．详解：由2x cosy sinθθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，Rθ∈）可得：2y sinkx cosθθ==-．因此k可以看作20P（，）与圆：221x y+=上的点的连线的直线的斜率的取值范围．设过点P 的直线方程为：2y k x =-（），化为20kx y k --=，2211k k -≤+，解得213k ≤．解得k ≤≤．∴y x 的最小值是- 故答案为： 点睛：本题考查了圆的参数方程、斜率计算公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．【解析】设点的坐标为则点到直线的由∴当时取得最大值为故答案为 解析：(max 1225d =【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，，则点P 到直线3424x y-=的2445d πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==丨丨丨丨，由1cos 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴当cos 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时， d 取得最大值为(max 1225d =， 故答案为(1225+. 20．【分析】参数方程互为普通方程极坐标方程化为直角坐标方程直线与椭圆方程联立利用弦长公式韦达定理即可得结果【详解】直线的方程①曲线的方程②易知点在直线上把①式代入②式得故答案为【点睛】参数方程主要通过代 解析：83【分析】参数方程互为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线与椭圆方程联立，利用弦长公式韦达定理，即可得结果. 【详解】直线l 的方程10x y +-=，①曲线C 的方程2212y x +=，②易知，点()1,2M -在直线l 上， 把①式代入②式，得23210x x --=，21M AB MA x x k =-+ 21M AB MB x x k =-+，()()()2111A B AB MA MB x x k ⋅=+++()()211A B A B AB x x x x k =++++⎡⎤⎣⎦12821333⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，故答案为83.【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．三、解答题21．（1）曲线C 的直角坐标方程为()2214x y -+=，直线l 的参数方程为2121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）AB =3PA PB ⋅=. 【分析】（1）利用222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线的参数方程可得出直线l 的参数方程；（2）设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角方程联立，可得出关于t 的一元二次方程，列出韦达定理，利用t 的几何意义可求得AB 及PA PB ⋅的值．【详解】（1）由222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩可得出曲线C 的直角坐标方程为2223x y x +=+，即()2214x y -+=.由于直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，则直线l的参数方程为112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C的直角方程联立可得230t -=，140∆=>，由韦达定理可得12t t +=123t t =-， 所以，12AB t t =-==123PA PB t t ⋅==.【点睛】方法点睛：利用直线的参数方程解决直线与圆、圆锥曲线的弦长，方法是：（1）将直线的参数方程与圆、圆锥曲线的普通方程联立，可得出关于参数t 的一元二次方程；（2）利用韦达定理得出12t t +、12t t ； （3）利用弦长公式可得出12AB t t =-=.22．（1）1ρ=；（2）5||||4AM AN ⋅=. 【分析】（1）把曲线C 的参数方程化为普通方程，然后利用变换得出C '的普通方程，再化为极坐标方程；（2）把A 点极坐标化为直角坐标，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线C '的直角坐标方程中，求出12t t 即可．【详解】（1）曲线C 的普通方程为2212x y +=，由22x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，得到2x x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程得到()()221x y ''+= C '的极坐极方程为1ρ=（2）点A 的直角坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为123322x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22:1C x y +='中，可得246350t t ++=5||||4AM AN ⋅=． 【点睛】结论点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，（1）公式cos sin x y ρθρθ==可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过000(,)P x y 的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则0t P P =．从0P 向上的点对应0t >，向下的点对应参数0t <． 23．14【分析】由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长. 【详解】解：直线l 的参数方程(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝＝22． 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2＝．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 24．（1）直线l ：20x y -+=；曲线C ：2y x =；（2． 【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角差的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程；（2）设出过P 且平行于l 的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值． 【详解】（1）直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos )ρθρθ-=， 即sin cos 2ρθρθ-=，可得2y x -=，即20x y -+=；曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即为22sin cos ρθρθ=， 可得2y x =；（2）设过点20000()(),P x y y x <且平行于l的直线的参数方程设为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入抛物线方程2y x =，可得20002102t y x t +-=⎭+， 设,PA PB 对应的参数分别为12,t t ，可得212002()t t y x =-， 又2PA PB ⋅=，即有200|1|y x -=， 由200y x <，可得2001y x =-，即2001x y =+，P 到直线20l x y -+=:的距离：20111224d y ⎡⎤⎛⎫===-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当012y =，054x =时，动点P 到直线l的最近距离为8．【点睛】本题主要考查的是直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于中档题. 25．（1）24y x =；（2【分析】（1）把曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，即可求出曲线C 的极坐标方程；（2）由已知直接写出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=，两边同时乘以ρ，得222cos 4cos 0ρρθρθ--=，把互化公式代入可得：22240x y x x +--=，即24y x =，所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x.（2）设直线l 的倾斜角为α()0α≠，可得参数方程为：22x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入抛物线方程可得：()22sin 4sin 4cos 40t t ααα+--=，则12244cos sin t t sin ααα-+=，1224t t sin α=-＜0， ∴1212cos sin PA PB t t PA PBt t αα-+==-⋅4πα⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当34πα=时，等号成立， ∴PA PB PA PB-⋅【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；2.经过点()00,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为1t ，2t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： （1）1202t t t +=； （2）1202t t PM t +==； （3）21AB t t =-； （4）12PA PB t t =.26．（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2212xy +=．（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB =，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围． 【详解】 解：（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线l 的倾斜角为4π，且经过原点，故直线的直角坐标方程为y x =，曲线C 的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=．（2）设点0(M x ，0)y 及过点M的直线为010:2x x l y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=，8||||3MA MB =， 2200228332x y +-∴=，即：220026x y +=，∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．取y x m =+代入22x得：2234220x mx m ++-=由0∆解得33m故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x = 【点睛】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A ．22B ．2C ．1D ．22．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．3．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．14．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7 B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)621B ．)621C ．125D ．2457．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) ABCD8．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l的参数方程为1 2x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )AB ．2C．D ．109．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A．6+B ．16C ．8D．6-10．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°11．动点1293cos 4sin 1,cos sin 2(55M θθθθθ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭为参数）的轨迹的普通方程为（ ）A ．22(1)(2)1259x y +-+=B ．22(1)(2)1259x y -++=C ．22(1)(2)1925x y +-+=D ．22(1)(2)1925x y -++=12．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t=⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4πρθ-=直线l被曲线C 截得的线段长为_______15．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 16．已知直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．19．已知圆心是直线(1x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）与x 轴的交点，且与直线340x y c -+=相切的圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=，则c = .20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．曲线1C ：2121x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称. （1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数).将曲线C上的点按坐标变换x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A 点的极坐标为3,22π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲C '极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，求||||AM AN ⋅的值.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.24．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长．25．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB的长度为l 的普通方程．26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 120ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1． B 解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为()3cos ,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为()3cos ,sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l 的距离为2sin 43cos sin 4322d πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==42sin 32πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d 取最小值，且min 4222d -==，故选：B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测(有答案解析)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1B C D ．22．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）A ．B ．CD 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--4．已知22451x y +=，则2x 的最大值是（ ）A B ．1C ．3D ．95．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A ．BC ．D 6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个7．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A B C D ．58．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r10．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．211．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b二、填空题13．过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为______. 14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P 是曲线3(x cos C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．15．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ24⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．16．直线1{2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θθ==（θ为参数）的交点个数是_______．17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 18．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），转化成普通方程为_______．19．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．20．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．三、解答题21．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值． 22．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为4π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值． 23．曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的方程为102cos sin ρθθ=+．（1）求出直角坐标系中l 的方程和曲线C 的普通方程；（2）曲线C 上有一个动点M ，求M 到l 的最小距离及此时M 的坐标．24．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？25．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+=（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线θ＝()6R πρ∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜｜OP ｜｜OQ|＝10，求t 的值．26．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴d ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213x y +=，设3x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设3x α=，sin y α=， 可得313sin 12(sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.4．A解析：A 【分析】设1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则25cos sin 24x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值. 【详解】22451x y +=，则设1cos 25sin 5x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则25cos sin 2sin 4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即241010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时有最大值为2 故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25sin 5x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 5．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴()271114302BC =+-⋅+⨯=，故选B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=，∵曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为，圆心为()2,2，圆心到直线的距离为d ==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.7．A解析：A 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以所以e ＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=8．D解析：D 【分析】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案． 【详解】设椭圆221164x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ）则点P 到直线220x y +-=的距离d=422442455sin cos sin πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=， 422105max d --==，故选D ．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．9．D解析：D 【解析】分别出圆ρ=r 的直角坐标方程222x y r += 和圆ρ=-2r sin （θ+4π）（r ＞0）直角坐标方程222()x y r x y +=-+ ，从而求出两圆的公共弦所在直线的方程22()2()r x y r x y r -+=⇒+=-．再化为极坐标方程为 2ρ（sin θ+cos θ）=-r ，选D. 10．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程 的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.11．A解析：A 【解析】试题分析：把各个点的坐标代入圆的方程进行检验，因为，所以选项中的点在圆上；因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上；故答案选．考点：圆的极坐标方程．12．A解析：A 【分析】用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值. 【详解】记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，222()4sin 2sin 44(sin )444b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值244b +； 若144bb >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b . 故选：A 【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.二、填空题13．【分析】椭圆为参数）的普通方程为利用特殊位置进行求解即可【详解】椭圆为参数）的普通方程为当直线的斜率不存在时直线代入可得故答案为：【点睛】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化考查转化与化归思想考查逻辑解析：43【分析】椭圆2cos :(3x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的普通方程为22143x y +=，利用特殊位置进行求解即可． 【详解】椭圆2cos :(x C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的普通方程为22143x y +=， 当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =，代入22143x y +=，可得32y =±32m n ∴==， ∴1143m n +=． 故答案为：43【点睛】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用特殊化进行求解，可简化解题过程．14．【解析】【分析】根据曲线的参数方程设再由点到直线的距离以及三角函数的性质即可求解【详解】由题意设则到直线的距离故答案为【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程的应用其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐解析：2【解析】 【分析】根据曲线的参数方程，设,sin )P αα，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解． 【详解】由题意，设,sin )P αα， 则P 到直线l的距离d ==≤=，【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F 到直线l 的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F 抛物线直角坐标方程为直线l 的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F 到直线l【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离． 【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρθθ⎫∴-=⎪⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=， ∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【解析】直线的普通方程：x+y=1曲线的普通方程：再消去y 得所以两个交点答案：2 解析：2【解析】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：22194x y +=，再消去y ，得21318270x x --=，0>，所以两个交点。
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第二章参数方程单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线4,5xy⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t为参数)上与点P(4,5)( )．A．(－4,5) B．(3,6)C．(3,6)或(5,4) D．(－4,5)或(0,1)2．设r＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r与圆cos,sinx ry rϕϕ=⎧⎨=⎩(φ是参数)的位置关系是( )．A．相交 B．相切C．相离 D．视r的大小而定3．已知直线l的参数方程为1,22xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，则直线l的斜率为( )．A．1 B．－1 C．4．直线12,2x ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )．A．125BC5．当t∈R时，参数方程2228,444txttyt-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t为参数)表示的图形是( )．A．双曲线B．椭圆(除去下顶点) C．抛物线D．圆6．双曲线tan,2cosxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的渐近线方程为( )．A．y＝±x B．1 =2 y x±C．y＝±2x D．y＝±3x7．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )．A．π B．2πC．12π D．14π8．已知圆的渐开线3cos sin 3sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)，则渐开线对应的基圆的面积为( )．A ．πB ．3πC ．4πD ．9π9．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋πsin()4θ+＝0(θ为参数)．那么圆心的轨迹是( )．A ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．参数方程22sin ,1cos2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数)化成普通方程是( )．A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．12．已知椭圆C ：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)经过点1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭，则m ＝__________，离心率e ＝__________.13．在平面直角坐标系中，已知圆C ：5cos 1,5sin 2x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)和直线l ：46,32x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)，则圆C 的普通方程为__________，直线l 与圆C 位置关系为__________．14．椭圆5cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ是参数)的长轴长为________．15．已知圆C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知参数方程1sin ,1cos x t t y t t θθ⎧=(+)⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示曲线是什么？(2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示曲线是什么？ 17．(15分)(2010·课标全国卷，理23)已知直线C 1：1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆C2：cos,sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)当π3α=时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．参考答案1．答案：C=t，将t代入原方程，得3,6xy=⎧⎨=⎩或5,4,xy=⎧⎨=⎩所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)．2．答案：B 易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．3．答案：B 直线l可化为31cosπ,432sinπ,4x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴斜率k＝3tanπ4＝－1.4．答案：B 由122x ty t=+⎧⎨=+⎩12xy⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩把直线方程代入x2＋y2＝9得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，即5t2＋8t－4＝0，∴|t1－t2|125.12t-.5．答案：B 原方程可化为2284814txtyt-⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②①除以②，得1xy+＝－t.③将③代入②得24x＋y2＝1(y≠－1)，表示的图形是椭圆(除去下顶点)．6．答案：C 将参数方程化为普通方程为24y－x2＝1.故渐近线方程为y＝±2x.7．答案：C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为22sin,22cosxyϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把y＝0代入可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝2φ－2sin φ＝4kπ.根据选项可知选C.8．答案：D9．答案：D圆心坐标为sin2π,24θθ⎛⎫-(+)⎪⎝⎭，设圆心为(x ，y )．则sin2,2π4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩(θ为参数)．化为普通方程为24y ＝1＋2x ，即y 2＝8x ＋4.又∵sin2=2x θ11,22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴y 2＝8x ＋114()22x -≤≤，表示抛物线的一部分．10．答案：D ∵x ＝2＋sin 2θ＝5cos222θ-，cos 2 θ＝y ＋1，∴51=22y x +-，即2x ＋y －4＝0.又∵0≤sin 2θ≤1，∴x ∈[2,3]．故选D. 11．将直线l 1的参数方程化成普通方程为y ＝3x －2，又l 2：y ＝3x ＋4，故l 1∥l 2，在l 1上取一点(0，－2)，其到l 2：3x －y ＋4＝0的距离就是l 1与l 2的距离，即5d . 12．答案：椭圆的参数方程化为普通方程为x 2＋24y ＝1.把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得m 2＋144＝1，得=4m ±.又∵a ＝2，b ＝1，c∴=c e a 13．答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝25 相交 圆C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25.l 的普通方程为：3x ＋4y －10＝0.圆心到直线的距离()31421051555d ⨯-+⨯-===<.故圆和直线相交．14．答案：10 原方程消去参数θ，得普通方程为22=1259x y +，它是焦点在x 轴上的椭圆，故长轴长为10.15．答案：(－1,1)，(1,1) ρsin θ＝1⇒y ＝1，圆方程为x 2＋(y －1)2＝1，联立，得到所求交点为(－1,1)，(1,1)．16．答案：分析：(1)以θ为参数，进行转化，注意符号． (2)以t 为参数，进行讨论．解：(1)当t ≠±1时，2222111x y t t t t+=(+)(-).表示中心在原点，长轴长为12|+|t t ，短轴长为12||t t-，焦点在x 轴上的椭圆． 当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ∈[－2,2]，它表示x 轴上[－2,2]上的线段．(2)当π2k θ≠(k ∈Z )时，2222=14sin 4cos x y θθ-是双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，表示y 轴． 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，∴1=x t t ⎛⎫±+ ⎪⎝⎭，表示x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线．17．答案：解：(1)当π3α=时，C 1的普通方程为1)y x －．C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221,1,y x x y ⎧=-)⎪⎨+=⎪⎩解得C 1与C 2的交点为(1,0)，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.过原点O 作C 1的垂线，则垂线的方程为x cos α＋y sin α＝0. 由sin cos sin =0cos sin =0x y x y ααααα--⎧⎨+⎩，得2=sin =sin cos .x y ααα⎧⎨-⎩， 故点A 的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，点P 的坐标为211sin sin cos 22ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故当α变化时，点P 的轨迹的参数方程为21=sin ,21=sin cos 2x y ααα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩(α为参数)． 由x ＝12sin 2α，得x ＝121cos211=cos 2244αα-⋅-. ∴14cos 2α＝14－x .由1sin cos 2y αα-＝， 得y ＝14-sin 2α.∴2211+=416x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.即点P 的轨迹的普通方程为2211()+=416x y -.故点P 的轨迹是圆心为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，半径为14的圆．。