2018届高考一轮复习文科数学考点通关课件+练习单元质量测试单元质量测试8
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(八)数学(文)试题
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（八）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ） A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解2．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B姓名 准考证号 考场号 座位号卷只装订不密封C ．2y =D ．122x x y =+3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ．30B ．25C ．22D ．204．若存在非零的实数a ，使得()()f x f a x =-对定义域上任意的x 恒成立，则函数()f x 可能是（ ） A ．()221f x x x =-+ B ．()21f x x =- C ．()2x f x =D ．()21f x x =+5．已知1=a ，=b ()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1BC ．12D 6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．567．函数()()2sin 3f x x ϕ=+y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ）A B C D 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 的取值范围是（ ）A B C D 10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，O 到平面ABC 的距离是（ ）A B C D 11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．100πB ．54πC ．77πD ．300π12．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，若方程()0f x kx -=（0k >）恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）ABCD第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。
2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：第八单元 数 列
第八单元 数 列教材复习课“数列”相关基础知识一课过1．数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[小题速通]1．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21的值为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A.12 B ．3 C ．－12D.23解析：选D由a1＝3，a n＋1＝a n－1a n，得a2＝a1－1a1＝23，a3＝a2－1a2＝－12，a4＝a3－1a3＝3，……，由上可得，数列{a n}是以3为周期的周期数列，故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝2 3.3．已知数列{a n}满足a n＝32n－11(n∈N*)，前n项的和为S n，则关于a n，S n的叙述正确的是()A．a n，S n都有最小值B．a n，S n都没有最小值C．a n，S n都有最大值D．a n，S n都没有最大值解析：选A①∵a n＝32n－11，∴当n≤5时，a n<0且单调递减；当n≥6时，a n>0，且单调递减．故当n＝5时，a5＝－3为a n的最小值；②由①的分析可知：当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.故可得S5为S n的最小值．综上可知，a n，S n都有最小值．4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1(n∈N*)，则a5＝________.解析：依题意得a n＋1－a n＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：25[清易错]1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成a n＝S n－S n－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．1．已知数列的通项公式为a n＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{a n}中的项B．3只是数列{a n}中的第2项C．3只是数列{a n}中的第6项D．3是数列{a n}中的第2项或第6项解析：选D令a n＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{a n}中的第2项或第6项．2．已知数列{a n}的前n项和为S n＝3＋2n，则数列{a n}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n －1＝2n －1.因为当n ＝1时，不符合a n ＝2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥21．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题速通]1．在等差数列{a n }中，已知a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，若a 4>a 2，则a 2 018＝( )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．2 015解析：选A 因为a 2与a 4是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，且a 4>a 2，所以a 2＝2，a 4＝4，则公差d ＝1，所以a 1＝1，则a 2 018＝2 018.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ∵等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＝3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3， 解得a 3＝1，∴S 5＝52(a 1＋a 5)＝5a 3＝5.3.正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＋a 10－a 27＋15＝0，则S 13＝( )A ．－39B ．5C ．39D ．65解析：选D ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 4＋a 10－a 27＋15＝0，∴a 27－2a 7－15＝0，解得a 7＝5或a 7＝－3(舍去)， ∴S 13＝132(a 1＋a 7)＝13a 7＝13×5＝65. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 3＝a 6＋4.若S 5<10，则a 2的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 3＝a 6＋4， ∴3(a 2＋d )＝a 2＋4d ＋4，可得d ＝2a 2－4.∵S 5<10，∴5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝5(2a 2＋2d )2＝5(3a 2－4)<10，解得a 2<2.∴a 2的取值范围是(－∞，2)．5．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 [清易错]1．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．(2018·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C 由a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.2．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *，有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52D.54解析：选C 由2a n ＋1＝1＋2a n ，可得a n ＋1－a n ＝12，即数列{a n }是以－2为首项，12为公差的等差数列，则a n ＝n －52，所以数列{a n }的前10项的和S 10＝10×⎝⎛⎭⎫－2＋522＝52.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)都是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题速通]1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.3．设数列{a n }是等比数列，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72解析：选A 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24(1－2)×22＝154. 4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16，则数列{a n }的前2 018项的和为( )A ．8 064B ．4C ．－4D ．0解析：选D ∵等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3＋a 5＝8，a 2a 6＝16， ∴a 3a 5＝a 2a 6＝16，∴a 3，a 5是方程x 2－8x ＋16＝0的两个根， 解得a 3＝a 5＝4， ∴4q 2＝4，∵q ≠1，∴q ＝－1，∴a 1＝a 3q 2＝4，∴数列{a n }的前2 018项的和为 S 2 018＝4[1－(－1)2 018]1－(－1)＝0.5．(2018·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0， 所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22.[清易错]1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．1．设数列{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558解析：选A 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 解析：当q ≠1时，由题意，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，即1－q 3＝3q 2－3q 3，整理得2q 3－3q 2＋1＝0，解得q ＝－12.当q ＝1时，S 3＝3a 3，显然成立． 故q ＝－12或1.答案：－12或1一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3da 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 2．(2018·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，即a 5＝－3，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 018＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 018＝a 335×6＋8＝a 8＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.13×(46－1) D.14×(45－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，对一切自然数n ，都有S n T n＝n n ＋1，则a 5b 5等于( )A.34B.56C.910D.1011解析：选C ∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5，T 9＝9(b 1＋b 9)2＝9b 5， ∴a 5b 5＝S 9T 9＝910. 7．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析：选C 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3，q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0， 解得q ＝－1或±2，当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.8．设数列{a n }是公差为d (d >0)的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C 由a 1＋a 2＋a 3＝15得3a 2＝15，解得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13， 两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .答案：a n ＝13n10．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n ＝________. 解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列， 故a n ＝2n －1.答案：2n －111．已知数列{a n }中，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，a 1＝1，则a 20＝________. 解析：由a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，得a 2n －a 2n －1＝(－1)n ， 由a 2n ＋1＝a 2n ＋n ，得a 2n ＋1－a 2n ＝n ，故a 2－a 1＝－1，a 4－a 3＝1，a 6－a 5＝－1，…，a 20－a 19＝1. a 3－a 2＝1，a 5－a 4＝2，a 7－a 6＝3，…，a 19－a 18＝9. 又a 1＝1，累加得：a 20＝46. 答案：4612．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝________.解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：1213三、解答题13．已知在等差数列{a n }中，a 3＝5，a 1＋a 19＝－18. (1)求公差d 及通项a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取得最大值时n 的值． 解：(1)∵a 3＝5，a 1＋a 19＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，2a 1＋18d ＝－18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，∴a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25， ∴n ＝5时，S n 取得最大值．14．已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，两式相减得a n 2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．又∵当n ＝1时，a 12＝1＋1，∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)∵b n ＝(－1)n a n 2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n＋1＝－2[1－(－2)n ]1－(－2)－n (－2)n ＋1＝－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋23，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.高考研究课(一) 等差数列的3考点——求项、求和及判定 [全国卷5年命题分析][典例] (1)设S n n 1S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．5C ．7D ．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.①求b 1，b 11，b 101；②求数列{b n }的前1 000项和．[解析] (1)法一：由等差数列前n 项和公式可得S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎡⎦⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36， 解得n ＝8.法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8.答案：D(2)①设数列{a n }的公差为d ， 由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. ②因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．[即时演练]1．已知数列{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 6＝4S 3，则a 10＝( ) A.172 B.192 C.910D.89解析：选B ∵S 6＝4S 3，公差d ＝1. ∴6a 1＋6×52×1＝4×⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22×1，解得a 1＝12.∴a 10＝12＋9×1＝192.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 4－S 2S 5－S 3的值为( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3解析：选D 设{a n }的公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，可得a 1＝－4d ， 所以S 4－S 2S 5－S 3＝a 3＋a 4a 4＋a 5＝－3d－d＝3. 3．(2018·大连联考)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[典例] 已知{a n 11n 2n ，且b 4＝17. (1)求证：数列{b n }是以－2为公差的等差数列； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值．[思路点拨] (1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b n }是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可． [解] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ， 则b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q ，因此数列{b n }是等差数列．又b 11＝log 2a 11＝3，b 4＝17， 所以等差数列{b n }的公差d ＝b 11－b 47＝－2， 故数列{b n }是以－2为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝25－2n ，则S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (23＋25－2n )2＝n (24－n )＝－(n －12)2＋144，于是当n ＝12时，S n 取得最大值，最大值为144. [方法技巧]等差数列判定与证明的方法1．(2016·浙江高考)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝(－2)×[1－(－2)n ]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[典例] (1)n 3610a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(2)已知数列{a n }，{b n }为等差数列，前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝3n ＋22n ，则a 7b 7＝( )A.4126 B.2314 C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.[解析] (1)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，得4a 8＝32，即a 8＝8，m ＝8.(2)因为{a n }，{b n }为等差数列，且S n T n＝3n ＋22n ，所以a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60. [答案] (1)A (2)A (3)60 [方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . [即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2018·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝5－12. 3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝________.解析：∵数列{a n }和{b n }都是等差数列，∴a 10b 9＋b 12＋a 11b 8＋b 13＝a 10＋a 11b 9＋b 12＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝7×2020＋3＝14023. 答案：14023等差数列前n 项和的最值等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[典例] 等差数列{a n n 1311n n 的值为________．[解析] 法一：用“函数法”解题 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大． 法二：用“通项变号法”解题 由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大． [答案] 7 [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，当{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选B 设数列{a n }的公差为d ， ∵a 1＝－26，a 8＋a 13＝5，∴－26＋7d －26＋12d ＝5，解得d ＝3， ∴S n ＝－26n ＋n (n －1)2×3＝32n 2－552n ＝32⎝⎛⎭⎫n －5562－3 02524， ∴{a n }的前n 项和S n 取最小值时，n ＝9.3．已知{a n }是各项不为零的等差数列，其中a 1>0，公差d <0，若S 10＝0，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n ＝________.解析：由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝0， 可得a 5＋a 6＝0，∴a 5>0，a 6<0，即数列{a n }的前5项和为最大值，∴n ＝5. 答案：51．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．(2013·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .一、选择题1．(2018·厦门一中测试)已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，则a 7＝( )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析：选D 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．3．(2018·银川一中月考)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，有下列命题：①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是S n中的最大项；③若S7>S8，则必有S8>S9；④若S7>S8，则必有S6>S9.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D对于①，若S11－S3＝4(a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，则S14＝14(a1＋a14)2＝0，所以①正确；对于②，当S3＝S11时，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是S n中的最大项，所以②正确；对于③，若S7>S8，则a8<0，那么d<0，可知a9<0，此时S9－S8<0，即S8>S9，所以③正确；对于④，若S7>S8，则a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正确．故选D.4．(2018·大同模拟)在等差数列{}a n中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290 B．300C．580 D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝20(a1＋a20)2＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为()A．18 B．19C．20 D．21解析：选D因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a5＋a n－4)2＝n 2×32＝16n ＝336，解得n ＝21. 6．设{a n }是等差数列，d 是其公差，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．当n ＝6或n ＝7时S n 取得最大值解析：选C 由S 5<S 6，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5<a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，即a 6>0.同理由S 7>S 8，得a 8<0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0，∴B 正确；∵d ＝a 7－a 6<0，∴A 正确；而C 选项，S 9>S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，可得2(a 7＋a 8)>0，由结论a 7＝0，a 8<0，知C 选项错误；∵S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，∴结合等差数列前n 项和的函数特性可知D 正确．故选C.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．|a 7|>|a 8|B ．|a 7|<|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0解析：选B 因为(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，所以(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)<0，因为{a n }为等差数列，所以a 6＋a 7＋a 8＝3a 7，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)，所以a 7(a 7＋a 8)<0，所以a 7与(a 7＋a 8)异号．又公差d >0，所以a 7<0，a 8>0，且|a 7|<|a 8|，故选B.二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________. 解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n，a 1＝2， 可得1a n ＋1－1a n＝3， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列． 所以1a n＝12＋3(n －1)，即a n ＝26n －5，所以a 20＝2115. 答案：21159．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差d ＝12的等差数列， 故a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝12n ， 即a n ＝n ·2n －1. 答案：a n ＝n ·2n －1 10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝________. 解析：当S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8时，由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，∴2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)，解得λ＝2.答案：2三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12.(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，由(1)知a n ＝2n －1，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.12．(2018·沈阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2， 故a n ＝2n －7(n ∈N *)．(2)由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3， 所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 由(1)知S n ＝n 2－6n ，所以当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T 5＝13，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 13．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝a n －1＋2n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列{a n －2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，求b n 的前n 项和S n . 解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1＋3＝a n －1＋2n －2n －1＋3， ∴a n －2n －(a n －1－2n －1)＝3. 又a 1＝4，∴a 1－2＝2，故数列{a n －2n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴a n －2n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝2n ＋3n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n ＋3n －12n ＝1＋3n －12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋⎝⎛⎭⎫1＋522＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋3n －12n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫22＋522＋…＋3n －12n ， 令T n ＝22＋522＋…＋3n －12n ，①则12T n ＝222＋523＋…＋3n －12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝1＋322＋323＋…＋32n －3n －12n ＋1， ＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－3n －12n ＋1＝52－3n ＋52n ＋1， ∴S n ＝n ＋5－3n ＋52n.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)求实数λ使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，并由此求出a n 与S n ； (3)求n 的所有取值，使S n a n∈N *，说明你的理由． 解：(1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a 2＝2×3＋22－1＝9，a 3＝2×9＋23－1＝25.(2)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1－1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)＋2n ＋1， ∴a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝1， 故λ＝－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 成等差数列，且首项为a 1－12＝1，公差d ＝1. ∴a n －12n ＝n ，即a n ＝n ·2n ＋1. ∴S n ＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2， ∴S n ＝T n ＋n ＝(n －1)·2n ＋1＋2＋n . (3)S n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋n ＋2n ·2n ＋1＝2＋n －2n ＋1n ·2n ＋1， 结合y ＝2x 及y ＝12x 的图象可知2n >n 2恒成立， ∴2n ＋1>n ，即n －2n ＋1<0，∵n ·2n ＋1>0，∴S n a n<2.当n ＝1时，S n a n ＝S 1a 1＝1∈N *； 当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S n a n <2，∴当n ≥2时，S n a n∉N *. 综上可得n ＝1.高考研究课(二)等比数列的3考点——基本运算、判定和应用[全国卷5年命题分析][典例] (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －1 (2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.①若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；②若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝52， (ⅰ)a 1q ＋a 1q 3＝54， (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)可得1＋q 2q ＋q3＝2，∴q ＝12，代入(ⅰ)得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 答案：D(2)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.(ⅰ)①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. ②由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由(ⅰ)得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由(ⅰ)得d ＝－1，则S 3＝－6.[方法技巧]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. [即时演练]1．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7解析：选A 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1. 由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝316，得⎩⎨⎧ a 1＝14q ＝－12，∴a n ＝14·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1. 由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512， 得m ＝8.2．(2017·北京高考)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 1＝1，b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.[典例] (1)n 12n ＋2n ＋1n N *，对数列{a n }有下列命题：①数列{a n }是等差数列；②数列{a n ＋1－a n }是等比数列；③当n ≥2时，a n 都是质数；④1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2，n ∈N *， 则其中正确的命题有( )A ．②B ．①②C．③④D．②④(2)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．①求a2，a3的值；②求证：数列{S n＋2}是等比数列．[解析](1)∵an＋2＝3a n＋1－2a n，∴a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝2为首项、2为公比的等比数列，∴a n－a n－1＝2n－1，a n－1－a n－2＝2n－2，…a2－a1＝21，累加得：a n－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2(1－2n－1)1－2＝2n－2，∴a n＝2n－2＋a1＝2n－1.显然①②③中，只有②正确，又∵1a n＝12n－1<12n－1(n≥2)，∴1a1＋1a2＋…＋1a n<1＋12＋122＋…＋12n－1＝1－12n1－12<2，故④正确；综上所述，①③错误，②④正确．答案：D(2)[思路点拨]①令n＝1,2,3，即可求出结论；②当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，与已知式相减，再利用a n＝S n－S n－1(n≥2)，化简整理，即可得出结论．解：①∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.②证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，(ⅰ)∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)·S n－1＋2(n－1)．(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，。
2018高考数学文科一轮复习讲义 8.7 第八板块 单元质量检测
第八板块 必修4 第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换单元质量检测第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题(本大题共11题,每小题5分,共55分) 1.已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A247 B 247- C 724 D 724-2.函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A5π B 2πC πD 2π 3. 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法判定4. 设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（ ） A a b c << B b a c << C c b a << D a c b <<5.函数)cos[2()]y x x ππ-+是（ ）A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数 C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数6.已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（ ） A1813 B 1811 C 97 D 1-7.设212tan13cos66,,21tan 13a b c ===+则有（ ）A a b c >>B a b c <<C a c b <<D b c a <<8.已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A1925 B 1625 C 1425 D 7259.函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是（ ）A 2(,3π B 5(,6π C 2(3π- D (,)3π 10.0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( ) A 16 B 8 C 4 D 211.当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（ ）A 4 B12C 2D 14第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)12.求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________13.若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+14.已知sincos22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ 15.ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，且这个最大值为三、解答题(本大题共6小题, 共79分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分12分）已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值,最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mm Hg 为标准值.设某人的血压满足函数式()11525sin160P t t π=+,其中()P t 为血压(mm Hg),t 为时间(min).,(Ⅰ)求函数()P t 的周期; (Ⅱ)此人每分钟心跳的次数;(Ⅲ)画出函数()P t 的草图; (Ⅳ)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值18.（本小题满分14分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．19.（本小题满分12分）已知函数)(),,0(2sin 22cos4)(2x f a a x xx f 且其中R ∈>+-+=ωωω的图象在y轴右侧的第一个最高的横坐标为2.（I ）求ω的值；（II ）若)(x f 在区间[8，16]上的最大值为3，求a 的值.若函数ｙ＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)，及点(tanβ，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin2（α－β）的值.21.（本小题满分14分）海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某点时的水深的近似数值;(Ⅱ)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(Ⅲ)若船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?80160第八板块 必修4 第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换单元质量检测参考答案三、解答题:16. 解析:sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-= 17.解析: (Ⅰ) 2116080T ππ==; (Ⅱ) 180f T==(次); (Ⅲ)列表如下:(Ⅳ) 此人的收缩压和舒张压在血压计上的读数为140 mm Hg 和90 mm Hg .均高于相应的x标准值.18.解析:（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x xx x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如右图所示：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的3π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 19.解析:（I ）a x x x f ++=ωωsin 2cos 2)(.)4sin(22a x ++=πω.由题意知，.8,242πωππω==+得（II ）a x x f ++=48sin(22)(ππ， ].49,45[48],16,8[ππππ∈+∴∈x x由图象可知，当,349sin 22,)(,16,4948=+==+a x f x x ππππ由最大时即 得.1=a20.解析:由条件知tan α、tan β是方程x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β） ＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β))＋［1－cos2(α－β)］＝2 21.分析：(1)考察数据,可选用正弦函数,再利用待定系数法求解; (2)在涉及三角不等式时,可利用图象求解.（用《几何画板》演示港口水位变化情况）观察问题中给出的数据可以看出，港口的水深（用《Excel 用光滑曲线连接．从曲线的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画，其中x 是时间，y 是水深，根据数据可以具体确定A ，ω，ϕ，h 的值．在得到函数解析式以后，我们计算出每一个整点时水深的近似值，或计算出水深为某个指解析: (Ⅰ)可设所求函数为()sin f x A x k ω=+,由已知数据求得2.5,5A k ==,26T ππω==, 故() 2.5sin 56f x x π=+. 在整点时的水深为: 1:00, 5:00,13:00,17:00,为6.3m; 2:00,4:00,14:00,16:00为7.2m; 7:00,11:00,19:00,23:00为3.7m; 8:00,10:00,20:00,22:00为2.8m. (Ⅱ)由2.5sin5 5.56x π+≥,得sin0.26x π≥,画出 2.5sin6y x π=的图象(如图所示),由图象可得0.4 5.6x ≤≤或12.417.6x ≤≤.故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港,在港口能呆5.2h.(Ⅲ)若224x ≤≤,x 时刻的吃水深度为()40.3(2)h x x =--, 由()() 1.5f x h x ≥+,得sin0.440.126x x π≥-.画出sin6y x π=和0.440.12y x =-的图象(如图所示),由图象可知,当 6.7x =时,即6:42时,该船必颀停止卸货,驶向较深的水域.。
2018高考数学文科一轮复习讲义 1.1 第一节 集合
第一板块必修1第一章集合与函数概念【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:集合与函数是数学中重要的基础概念之一,是学生进一步学习的高等数学的基础课程,包括极限理论、微积分学、微分方程和泛函分析等,无一不是以集合与函数作为基本概念和研究对象的.其它学科,如物理学科等,也是以集合与函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具.集合与函数的教学内容蕴含着极其丰富的辩证思想,是对进行辩证唯物主义观点教育的好素材.通过使用集合语言，有利于简洁、准确地表达数学内容，高中数学课程只将集合作为一门语言来学习，要求学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．而新课标高考中集合知识的考查主要在于集合语言与集合思想的运用, 以集合为背景的试题具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活,其必将是今年高考“出活题,考能力的一个亮点”.新课标高考中函数知识占有极其重要的地位.其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力.知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础.命题趋向:1.重思维.有关集合的高考试题.考查重点是集合与集合之间的关系，新课标试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.2.多层次. 新课标高考题中，函数题低档、中档，高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全.低档难度一般仅涉及函数本身的内容．诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其他知识的整合．或者是多种方法的渗透.状元心得:1.在集合的备考时，既要牢固掌握集合基本概念与运算，又要加强集合与其它数学知识的联系，突出集合的工具性，尤其是熟练进行集合的自然语言、图形语言、符号语言的相互转化.2.对函数有关概念，只有做到准确、深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题.3.函数一章的复习中,善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题方能够理解掌握常见题的解题方法和思路. 在此基础上需要构建思维模式，并以此为基础进行转化发展，即在造就思维依托的基础上，还要打破框框，发展能力.学科知识体系结构图:第一节 集合【考点点知】知己知彼，百战不殆集合知识点在新课标高考中均以选择填空题形式出现,一般为中档题，考查点往往是与其它章节的一些知识点交汇考查,体现了数形结合、分类讨论等数学思想方法的重要应用.考题中通过集合语言表达出的数学对象也往往是简洁和准确的，体现数学的简洁美. 考点一: 集合的概念（1）集合的定义：某些指定的对象在一起就成为一个集合.自然数集用N 表示,正整数用N *或N +表示,整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示.（2）元素与集合的关系：集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素通常用小写拉丁字母表表示，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作a A ∉（或a A ∈）.（3）集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法两种.根据元素个数，集合可分为三类：① 有限集：含有有限个元素；② 无限集：含有无限个元素；③ 空集：不含任何元素，用∅表示.考点二: 子集、全集、补集的概念（1）子集与真子集：①对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ），即集合A 是集合B 的子集.空集是任何集合的子集，∅⊆A. 任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A.②对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B 并且A ≠B ，就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊂≠B （或B ⊃≠A ）.③空集是任何非空集合的真子集.（2）全集与补集：①设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作A S ð，即{|}A x x S x A =∈∉且S ð.②如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示.考点三: 交集、并集的概念（1）交集：①由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ，即A ∩B={x |∈A,且x ∈B}②()A B A ⊆ ，()A B B ⊆ ， A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = .（2）并集：①由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A∪B, 即：A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B}.②()A B A ⊇ ，()A B B ⊇ ， A A A = ，A A ∅= ，A B B A = , (ðU A)∪A=U .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007·广东卷文科1)已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜0} B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜0} D ．{x |x ≥-1}思路透析:由已知条件可得{|10}{|1}M x x x x =+>=>-,{|10}{|1}N x x x x =->=<,∴{|1}{|1}{|11}M N x x x x x x =>-<=-<< ,故应选C.点评:取交集时要注意不等式中不等号的方向,要看清题意,应用数轴求解该类问题可以提高解题的直观性.例 2.(基础·2007宁夏卷文科1)设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ）Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-| Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<< 思路透析:由已知条件可得{|1}{|22}{|2}A B x x x x x x =>--<<=>- ,故应选A.点评:两个集合取并集时,“取其最大的范围”,少数考生选择B,需要注意的是并集运算中集合的上下界的确定是关键.例3.(综合·2007山东卷理科2文科2)已知集合{11}M =-，，11|242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = （ ） A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-， 思路透析:由112222x -+<<,x Z ∈可得112,x x Z -<+<∈∴21,x x Z -<<∈, ∴{1,0}N =-, ∴{1,1}{1,0}{1}M N =--=- ,故应选C.点评:本题以指数不等式为背景,将集合运算与不等式解法相交汇, 考查了整数集合间的交集运算,及对基础题的迅速计算的能力.本题易错点有两个,其一是指数不等式的求解,其二是集合中元素特征的错误认识,对于第二个易错点问题在本题中体现得不明显,集合N 求解错误为(2,1)N =-不影响交集运算的结果.例4.(综合·2006盐城三模)对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S ，则21S S ⨯的真子集的个数为 个.思路透析:由已知可得21S S ⨯={(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)}--,其真子集的个数为62163-=个.点评:本题考查了新定义下集合的运算性质的探究. “笛卡尔积”可以理解为有序的点坐标对为集合的元素,找出所有的元素再利用公式就可以求得真子集的个数.集合作为工具，渗透在其他知识点里面时，需认真分析其他知识，而集合仅是一种载体.例5.(创新探究·2007陕西,12）设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i,j=0,1,2,3.满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为A.4B.3C.2D.1思路透析: 本题考查新定义的认识，取特值验证，逐一研究 . {}()200,1,2,3,,S x x A A =⊕⊕=()()()()()()()00000001120,1113=0113102211022220223303320=02C A A A A A A A ⊕⊕==⊕⊕=≠⊕⊕=≠⊕⊕=≠=⊕⊕=≠=⊕⊕=≠=⊕⊕==满足；，不满足;=，不满足；；；满足，综上研究个满足,选.点评:以集合为背景将其它学科的知识交汇于命题之中,是高考集合命题的一大特色,探究解题时紧扣定义及其相互间的联系,巧妙应用特殊化思想可以使解题的思路更为简捷.例 6.(创新探究·2007北京20）已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合： {}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，． 其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．思路透析:（I ）集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．点评:本例主要是培养考生理解新概念的程度和灵活应用知识的能力,新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息,而且要能够调出已学习过的概念, 进行相互对照.此类题目难度较大，对集合的考查不是很难，关键是其他方面的知识点的问题，需认真分析，等价转化.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)根据元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征、确定性、互异性和无序性.(2)子集与真子集的区别联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为21n-.(3)全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.(4)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映，当A S ⊆时,S A ð的含义是:从集合S 中去掉集合A 的元素后,由所有剩余的元素组成的新集合.集合A 的元素补上S A ð的元素后可合成集合S .(5)两个结论:①若A B=A ，则A ⊆B ，反之也成立;②A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立. 应用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A =∅这一个特例.(6)对于交集概念的把握要注意以下三方面:①交集仍是一个集合.②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”,即若x A B ∈ ,一定有x A ∈且x B ∈. ③交集中包括了两集合的全体公共元素,即若x A ∈且x B ∈,一定有x A B ∈ .（2）对于并集的理解应注意: 若x A B ∈ ,则有三种可能①x A ∈但x B ∉; ②x B ∈但x A ∉; ③x A ∈且x B ∈.2.学以致用:(1)已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,{2,3,4,6}Q =,则()()P Q U U 痧中元素个数为 ( )A. 0B. 1C. 3D. 5(2)设全集R U =，集合},1|{},1|{2>=>=x x P x x M 则下列关系中正确的是( ) Ａ．N M = Ｂ．P M ⊆ Ｃ．M P ⊆ Ｄ．U M P =∅ ð(3)设数集M ={x |m ≤x ≤m +43}，N ={x |n －31≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ( ) A.31 B.32 C.121 D.125 (4)求集合2160{|}3a a Z Z a ∈∈-且中所有元素的和. 答案:(1) B 解析:由已知可得()(){5,6}{1,5}{5}P Q == U U 痧,该集合中的元素仅有一个,故应选B. (2)B 解析: 由2{|1}{|11}P x x x x x =>=><-或,可得P M ⊆,故应选B.(3)方法一:由已知可得0314m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩, 即104m ≤≤ ; 1031n n ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩即 113n ≤≤ .取字母m 的最小值0, 字母n 的最大值1 ,可得3[0,]4M =, 2[,1]3N = . ∴3223[0,][,1][,]4334M N == , 此时得集合M ∩N 的“长度”为3214312-= . 方法二: 从另外一个角度也可得解此题, 集合M 的长度为43、集合N 的长度为31，因M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，而{x |0≤x ≤1}的长度为1，由此得集合M ∩N 的“长度”的最小值是311()14312+-=. 故应选C.(4)解析: 问题需要从2160的约数入手思考, 找出2160的所有约数, 然后将3a -作为一个整体, 应用整体思想去求解. ∵4312160235=⨯⨯ , ∴2160的所有正约数是由2 , 3 , 5 几个基本元素构成的, 其中元素2可以构成新元素02、12、22、32、42 ;元素3可以构成新元素03、13、23、33;元素5可以构成新元素05、15, 将它们相乘即可得正约数, 则数2160的正约数共有54240⨯⨯=个 . 从而可得数2160的正、负约数共有254280⨯⨯⨯=个, 这80个数为40对互为相反的数,即集合2160{|}3a a Z Z a∈∈-且中共有80个元素. 设为1280,,,a a a ⋅⋅⋅, 则12803,3,,3a a a --⋅⋅⋅-为数2160的80个约数, 由于这80个数是40对互为相反的数,故其和为0 , 即1280(3)(3)(3)0a a a -+-+⋅⋅⋅+-= ,∴ 1280380240a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=,即集合2160{|}3a a Z Z a ∈∈-且中所有元素的和 为240 .3.易错分析:(1)解题粗心大意，不考虑元素的特征，对数集，点集理解有误；如{}{}{}222,(,)x y x y y x x y y x ===就表示完全不同的三个集合，如不注意它们的区别，很容易出错.(2)要注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别.列举法一般适用于有限集，而描述法一般适合于无限集.要注意集合{∅}与空集∅的区别与联系；{}∅⊆∅，{}∅∈∅.(3)不能准确把握子集、真子集、相等、补集等相关概念，在转化命题时往往出现错误;(4)对空集理解不正确或忽视空集在解题中的地位和作用而产生错误.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是A. 1B. 3C. 4D. 82.已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A B ð为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}3.设I 为全集，I B A B = ð，则B A 为Ａ．A Ｂ．B Ｃ． I B ð Ｄ．∅4.定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A. 0B. 6C. 12D. 185.若}{2228x A x -=∈Z ≤<，{}2R log 1B x x =∈>，则R ()A B ð的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．36.设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P ⊂≠QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q二、填空题:7.已知集合A={-1,3，2m -1}，集合B={3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m =____8.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________.9.设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ⊆M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．10.已知A ={x ∈R |x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，则p 的取值范围为 .三、解答题:11.设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值.12.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由13.设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C .(Ⅰ)A B =A B ，求a 的值；(Ⅱ)∅⊂≠A B ，且A C =∅，求a 的值； (Ⅲ)A B =A C ≠∅，求a 的值；14.已知集合222|{-+=x x x A ＜}1， B={x | x 2+4x -5>0 }, |||{m x x C -=＜1，}R m ∈.（Ⅰ）求B A ⋂;（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求m 的取值范围.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. A3. D4. D5. C6. A二、填空题:7. 1 8. a ≤1 9. 7 10. p ≥0三、解答题:11.解析:∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,b b a a ① 或⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a ②解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去）由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意， ∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.12.解析:∵B ={x |1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B =A ，则A ={x |（x －a ）（x －a 2）＜0}.（1）若a =a 2，即a =0或a =1时，此时A ={x |（x －a ）2＜0}=∅，满足A ∩B =A ， ∴a =0或a =1.（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≤≥212a a ⇒1≤a ≤2，∴1＜a ≤2. （3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≥≤122a a ⇒1≤a ≤2，∴a ∈∅. 综上所述，当1≤a ≤2或a =0时满足A ∩B =A ，即存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A 成立.13. 解析：(Ⅰ)此时当且仅当B A =，有韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立，即5=a ；(Ⅱ)由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，故只可能3A ∈.此时01032=--a a ，也即5=a 或2a =-，由(Ⅰ)可得2a =-.(Ⅲ)此时只可能2A ∈，有01522=--a a ，也即5=a 或3-=a ，由(Ⅰ)可得3-=a .14.解析：（Ⅰ）∵222|{-+=x x x A ＜1} 得2x +2 x -2 <1 ⇔ (x +4)（x -2)<0 ∴4|{-=x A ＜x ＜2} x 2+4x -5>0 ⇔ (x +5)（x -1)>0∴{|51}B x x x =<->或 ,∴{|A B x = 1＜x ＜}2（Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈,即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ .∵()A B C ⊆ , ∴11,12,11,m m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩解之得1≤m ≤2.。
2018届高考数学(文)一轮(课标通用)复习课件(高手必备+萃取高招)：专题二十一 等差数列
所以数列{bn }的前 10 项和为 1× 3+2× 2+3× 3+4× 2=24.
高手洞考 考点47 考点48
高手锻造
试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练
1.等差数列的公差 通常用字母d表示,其定义的表达式为an+1-an=d(n∈N*)或an-an* 1=d(n∈N ,n≥2). 2.等差中项 若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,其中 ������+������ A= . 2 3.等差数列的通项公式 (1)an=a1+(n-1)d. (2)将通项公式an=a1+(n-1)d变形得an=nd+(a1-d),它是关于n的一 次函数(d≠0)或常数函数(d=0).
2017 课标Ⅱ,文 17 1.高频考向:利用方 2016 课标Ⅱ,文 程思想求基本量及 17 ★★★★★ 数列通项、前 n 项 2015 课标Ⅰ,文 7 5 年 5 考 和. 2014 课标Ⅱ,文 5 2.低频考向:等差数 2014 课标Ⅰ,文 列的性质及前 n 项 17 和的最值. 3.特别关注: (1)方程思想在数列 2015 课标Ⅱ,文 5 ★★☆☆☆ 计算中的应用; 2013 课标Ⅱ,文 5 年 2 考 (2)等差数列前 n 项 17 中的结论及应用.
高手洞考
高手锻造
专题二十一
等差数列
高手洞考
高手锻造
考
点 考纲内容
高考示例
考查频度 考情分析
47.等差 数列的 概念与 运算
1.理解等差数列的 概念. 2.掌握等差数列的 通项公式与前 n 项和公式. 1.能在具体的问题 情境中识别数列 的等差关系,并能 用有关知识解决 相应的问题. 2.了解等差数列与 一次函数的关系.
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.4
考向二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型] [例 2] (2016·课标全国Ⅲ，16,5 分)已知直线 l：mx＋y＋3m － 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
a＋12＋a－3－22＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18.所以当 a ＝ 2 时 ， d 取 最 小 值 18 ＝ 3 2 ， 此 时 切 线 长 最 小 ， 为
3 22－ 22＝ 16＝4，所以选 C. 答案：C
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
4．(2017·揭阳一模)已知直线 x＋y－k＝0(k＞0)与圆 x2＋y2 ＝4 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点，且|O→A＋O→B|≥ 33|A→B |，则 k 的取值范围是( )
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两 圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长， 只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直 线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
＋1＝0 垂直，则其斜率为 1，故直线 l 的方程为 y＝x＋3.选 D. 答案：D
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．(2016·课标全国Ⅱ，4,5 分)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的 圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43 B．－34 C. 3 D．2
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.9.3
——[悟·技法]—— 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[通·一类]—— 3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x42与
直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在PM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
由①，得 3＋4k2－m2＞0， 当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)， 与已知矛盾． 当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点27，0 ∴直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx，即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有共 他公共点．
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4 ＝4xx00yy00－－4x0x－0－28y0y＋0＋28 ＝4. 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值．
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.3
法二：因为 A(0，－6)，B(1，－5)， 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为12，－121， 直线 AB 的斜率 kAB＝－51－－0－6＝1， 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 y＋121＝－x－12， 即 x＋y＋5＝0.
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值 是(2－ 3)2＝7－4 3.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 5．(2017·太原一模)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，C 为圆 心，若等边三角形 PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC|的最 大值为( ) A. 2 B．2 C．2 2 D．4
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
[变式练]——(着眼于举一反三) 3．已知点 P(x，y)在圆 x2＋(y－1)2＝1 上运动，则yx－－12的最 大值与最小值分别为________．
解析：设yx－ －12＝k，则 k 表示点 P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当
该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．
由
k|22＋k| 1＝1，解得
k＝±
3 3.
答案：
33，－
3 3
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
2018高考数学文科一轮复习讲义 13.4 第十三板块 单元质量检测
第十三板块 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元质量检测第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题(本大题共11题,每小题5分,共55分)1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为A ．2B ．3C ．5D ．72.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线 3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 4.已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN MP⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为( )A. x y 82=B. x y 82-=C. x y 42=D. x y 42-=5.设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．36.以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定7.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）．A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±8.连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1- Ｂ．32Ｃ．1+Ｄ．32+9.椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．2410.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）11.设AB 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 （ ）（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)12.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．13.若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为_______________. 14.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°,为 .15.以椭圆252x +162y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________.三、解答题(本大题共6小题, 共79分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分12分）设12,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=，求△12F PF 的面积.17.（本小题满分14分）已知椭圆22143x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称.18.（本小题满分14分）设0>a ，定点F （a ，0），直线l :x =－a 交x 轴于点H ，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于l 的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M. （I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II ）设直线BF 与曲线C 交于P ，Q 两点，证明：向量、与的夹角相等.19.（本小题满分12分）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(30)F ，，右准线l 的方程为：12x =．（1）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点1P ，2P ，3P ， 使122331PFP P FP P FP ==∠∠∠， 证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值．20.（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知点A （1，0），向量e =（0，1），点B 为直线1x =-上的动点，点C 满足2OC OA OB =+ ，点M 满足0BM e ⋅= ，0CM AB ⋅=．（Ⅰ）试求动点M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）试证直线CM 为轨迹E 的切线21.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．第十三板块 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元质量检测参考答案三、解答题:16.解析:双曲线116922=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -== 22201212122cos60F F PF PF PF PF =+-⋅，而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅= 01212164,sin 602PF PF S PF PF ⋅==⋅=17.解析:设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211,4AB y y k xx -==--而22113412,x y +=22223412,x y +=相减得222221213()4()0,x x y y -+-= 即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<即m <<．18.解析:（I ）连接MF ，依题意有|MF |=|MB |，所以动点M 的轨迹是以F （a ，0）为焦点，直线l: x =－a 为准线的抛物线， 所以C 的方程为.42ax y =（II ）设P ，Q 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 依题意直线BF 的斜率存在且不为0，设直线BF 的方程为),0)((≠-=k a x k y 将其与C 的方程联立，消去y 得0)2(222222=++-k a x k a x k . 故.221a x x =记向量1,HP HF θ 与的夹角为2,HQ HF θ与的夹角为120,,θθπ<<其中因为),0,2(),,(11a y a x =+=所以1cos HP HF HP HFθ⋅=⋅2==同理2cos θ=2a a +==因为,,0,cos cos 211πθθθθ<<=且所以,21θθ=即向量、HQ 与HF 的夹角相等.19.解析:（I ）设椭圆方程为22221x y a b +=．因焦点为(30)F ，，故半焦距3c =． 又右准线l 的方程为2a x c =，从而由已知221236a a c==，，因此6a =，b ==故所求椭圆方程为2213627x y +=． （II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3），不失一般性， 假设1203απ<≤，且2123ααπ=+，3143ααπ=+．又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率12c e a ==，从而有2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭1(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，． 解得1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (123)i =，，． 因此123111FP FP FP ++11121243cos cos cos 9233ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 而11124cos cos cos 33αααππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos cos 22ααα=--111cos 022αα-+=，故12311123FP FP FP ++=为定值． 20.解析:（Ⅰ）设B （1-，m ），C （,c c x y ），由2OC OA OB =+ ，得2(,)(1,0)(1,)c c x y m =+-，解得0c x =，2c m y =，∴(0,)2mC 为AB 中点．又0CM AB ⋅= ，故MC 为AB 的中垂线．设M （x ，y ），由0BM e CM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(1,)(0,1)0(,)(2,)02x y m m x y m +-⋅=⎧⎪⇒⎨-⋅-=⎪⎩02()02y m m x m y -=⎧⎪⇒⎨-+-=⎪⎩ 24m x y m ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 消去m 得E 的轨迹方程24y x =．所以它是顶点在原点，以（1，0）为焦点的抛物线. （Ⅱ）由题设知C 为AB 中点，MC ⊥AB ，故MC 为AB 的中垂线，MB ∥x 轴，设M （200,4y y ）， 则B （01,y -）， C （0，02y ），当00y ≠时，02MC k y =， MC 的方程0022y y x y =+， 将MC 方程与24y x =联立消x ， 整理得220020y y y y -+=，它有唯一解0y y =，即MC 与24y x =只有一个公共点， 又0MC k ≠，所以MC 为24y x =的切线． 当00y =时，显然MC 方程0x =为轨迹E 的切线 综上知，MC 为轨迹E 的切线．21.解析:（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c-，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F A OF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=，又113B O O F =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22a F A =，而22b F A a =，得22b aa =，即a=（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD QQ ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=，整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=， 于是122412kmx x k +=-+，21222212m bx x k-=+．由①式得1212()()y y kx m kx m =++ 221212()k x x km x x k =+++222222241212m b km k km m k k --=++++··2222212m b k k -=+． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k--=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即22200202b x x --=，解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD QQ ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+． 记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③第 11 页 共 11 页 由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得2220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=， 于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤由①式得00x x m y y =-． ⑥ 由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得222000()22m y y x y x b -+=，整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=， 于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得 2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.6
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 144 页]
考向一 双曲线的定义及其标准方程
[自主练透型] [例 1] (2016 天津，4,5 分)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞
0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，
故渐近线方程为 y＝±bax，又一条渐近线为 2x＋y＝0，
即 y＝－2x，∴ba＝2，即 b＝2a. 又∵该双曲线的一个焦点为( 5，0)，∴c＝ 5. 由 a2＋b2＝c2 可得 a2＋(2a)2＝5， 解得 a＝1，b＝2. [答案] 1；2
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 解决渐近线与离心率关系的问题方法
[变式练]——(着眼于举一反三) 4．设双曲线ax22－by22＝1(b＞a＞0)的半焦距为 c 且直线 l 过(a,0)
和(0，b)两点．已知原点到直线 l 的距离为 43c，则双曲线的离心
率为( )
A.2 3 2
B. 2
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
⑦_x_≥__a__或__x_≤__－_ a
⑧_y_≥__a_或___y_≤__－_ a
性
对称轴：⑨_x_轴__、__y__轴__ 对称轴：⑪_x__轴__，__y_轴__
则双曲线的方程为( A.x42－y2＝1 C.32x02－35y2＝1
) B．x2－y42＝1 D.35x2－32y02＝1
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－5
0
4
7
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15 19 23 27 31 36
156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
A．气温与热饮的销售杯数之间成正相关 B．当天气温为 2 ℃时，这天大约可以卖出 143 杯热饮 C．当天气温为 10 ℃时，这天恰卖出 124 杯热饮 ^ D．由于 x＝0 时，y 的值与调查数据不符，故气温与卖 出热饮杯数不存在线性相关性
解析 每一个数据都加上 60 时，平均数也加上 60，而 方差不变．
6．[2016· 大连双基测试]从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个， 组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于 30 的 概率是( 1 A. 5 3 C. 5 ) 2 B. 5 4 D. 5
解析 基本事件有： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43, 45,51,52,53,54，共 20 个，记“这个两位数大于 30”为事件 A，有：31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54 ，共 12 个，则 12 3 P(A )＝ ＝ . 20 5
解析
)
1 B. 3 1 D. 2
满足条件的向量 m 共有 4×3＝12(个)．由 m⊥n
得 a＝b.所以满足 m⊥n 的 m 只有(3,3)与(5,5)两个，所以所 2 1 求概率为 P＝ ＝ . 12 6
5．一组数据的平均数是 4.8，方差是 3.6 ，若将这组数 据中的每一个数据都加上 60，得到一组新数据，则所得新数 据的平均数和方差分别是( A．55.2,3.6 C．64.8,63.6 ) B．55.2,56.4 D．64.8,3.6
解析 设 5 种水果分别为 A1，A2，A3，A4，A5,4 种肉类 分别为 B1，B2，B3，B4，用 2 种食材，且水果和肉类不能 混合在一起做馅的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1， A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3， A5)，(A4，A5)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2， B4)，(B3，B4)，共 16 种，用水果做馅的共 10 种，所以做出 5 水果馅月饼的概率是 . 8
高考总复习首选用卷· 文科数学
单元质量测试(八)
时间：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷
(选择题，共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、 丙、丁 4 个人，每人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与事件 “乙分得红牌”是( A．对立事件 C．互斥事件但不是对立事件
解析 依题意， 注意到题中的相关的点均集中在某条直 线的附近，且该直线的斜率小于 1，结合各选项，故选 B.
8 ．[2016· 东北三省四市一模]在中秋节前，小雨的妈妈 买来 5 种水果，4 种肉类做月饼．要求每种馅只能用 2 种食 材，且水果和肉类不能混合在一起做馅，则小雨妈妈做出水 果馅月饼的概率是( 1 A. 3 2 C. 3 5 B. 8 7 D. 9 )
解析
∵社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，
而社区中各个家庭收入的差别明显，∴①适宜采用分层抽 样；而从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负 担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都 较小，∴②适宜采用随机抽样．
3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到 样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差 分别是( )
解析
) B．不可能事件 D．以上答案都不对
由互斥事件和对立事件的概念可判断结果．
2．要完成下列两项调查：①从某社区 125 户高收入家 庭、280 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户调 查社会购买力的某项指标；②从某中学的 15 名艺术特长生 中选出 3 名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为 ( ) A．①随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样
^ 解析 当 x＝2 时， y ＝－2×2.352＋147.767＝143.063， 即这天大约可以卖出 143 杯热饮，故 B 正确．
10．下列说法： ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常 数后，方差不变； ^ ②设有一个线性回归方程 y ＝3－5x，变量 x 增加 1 个单 位时，y 平均增加 5 个单位； ^ ^ ^ ③线性回归方程y ＝bx＋a必过( x ， y )； ④设具有相关关系的两个变量 x，y 的相关系数为 r，则 |r|越接近于 0，x 和 y 之间的线性相关程度越高；
A．46,45,56 C．47,45,56
B．46,45,53 D．45,47,53
解析 由中位数、众数、极差的定义可知选项 A 正确．
4． [2016· 山东威海模拟]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个 数 a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 b ，则向量 m＝(a，b) 与向量 n ＝(1，－1)垂直的概率为( 1 A. 6 1 C. 4
7 ．[2016· 湖北七市联考]为研究语文成绩和英语成绩之 间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散 ^ 点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ＝bx＋a 近似地 刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是 ( )
A．线性相关关系较强， b 的值为 1.25 B．线性相关关系较强，b 的值为 0.83 C．线性相关关系较强，b 的值为－0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值
9 ．[2016· 天津渤海一中质检]有一个食品商店为了调查 气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数 与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可 ^ 以得到对应的回归方程 y ＝－2.352x＋147.767 ，根据以上信 息，判断下列结论中正确的是( )
摄氏 温度 Biblioteka 饮 杯数