北师版数学高一课时作业 1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差- 4.2 标准差
北师大版数学高一作业 第一章 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差_4.2标准差
§4数据的数字特征4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A.85,85,85B.87,85,86C.87,85,85D.87,85,90解析从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.答案 C2.某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数A.0,1.1B.0,1C.4,1D.0.5,2解析数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.因此次品数的平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.由频率知，次品数的众数为0.答案 A3.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据.则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数B.平均数C.中位数D.标准差解析 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2. 答案 D4.已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，方差是4，则xy ＝________. 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y ＝5×10，15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2]＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝7，所以xy ＝91.答案 915.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.解析 由茎叶图可知，甲的平均数为(9＋8＋20)＋(1＋3＋2＋100)＋(1＋1＋5＋90)10＝24，乙的平均数为(9＋7＋1＋30)＋(1＋4＋2＋4＋80)＋(2＋90)10＝23.答案 24 236.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解 (1)x －甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x －乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.7.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.解 (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些. (2)s 2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172， s 2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.能力提升8.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x－甲，x－乙，则下列结论正确的是()A.x－甲＜x－乙；乙比甲成绩稳定B.x－甲＞x－乙；甲比乙成绩稳定C.x－甲＞x－乙；乙比甲成绩稳定D.x－甲＜x－乙；甲比乙成绩稳定解析甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，所以x－甲＝15×(78＋77＋72＋86＋92)＝81，x－乙＝15×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8.所以x－甲＜x－乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定.答案 A9.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x－A和x－B，样本标准差分别为s A和s B，则()A.x －A ＞x －B ，s A ＞s B B.x －A ＜x －B ，s A ＞s B C.x －A ＞x －B ，s A ＜s BD.x －A ＜x －B ，s A ＜s B解析 由题图知，A 组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254，x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x －A ＜x －B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A ＞s B . 答案 B10.若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________.解析 设这40个数据为x i (i ＝1,2，…，40)，平均数为x －. 则s 2＝140×[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 40－x －)2]＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40x －2－2x － (x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22 ＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12 ＝0.9. ∴s ＝0.9＝910＝31010.答案 0.9 3101011.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_________. 解析 设样本数据为：x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 平均数x －＝(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)÷5＝7；方差s 2＝[(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7) 2＋(x 5－7)2]÷5＝4. 从而有x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝35，①(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7) 2＋(x 5－7)2＝20.②若样本数据中的最大值为11，不妨设x 5＝11，则②式变为：(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7) 2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的； 若样本数据为4,6,7,8,10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10. 答案 1012.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别如下： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况.解 (1)由题意，知x －甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x －乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，得s 2甲＝3，s 2乙＝1.2.(3)x －甲＝x －乙，说明甲、乙两名战士射击的平均水平相当.s2甲＞s2乙，说明甲战士的射击情况波动大.因此乙战士比甲战士的射击情况稳定.13.(选做题)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：(1)甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议. 解(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游.但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.。
1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差 1.4.2标准差 教案(高中数学北师大版必修3)
4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差●三维目标1．知识与技能(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．2．过程与方法通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用，从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的信息的能力．●重点难点重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差．难点：方差、标准差在实际问题中的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识之后，是在初中学习过平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目的．●教学流程创设问题情境，引出问题⇒引导学生结合初中学过的众数、中位数、平均数、极差、方差的概念感受这五个数字特征⇒教师通过多媒体展示这五个数字特征，通过分组讨论总结求法⇒通过例1的展示及变式训练的强化使学生进一步体会这三个数字特征通过例2及变式训练使学生掌握求方差及标准差的方法，体会方差的应用⇒归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正初中已学过众数、中位数、平均数的概念，你能完成以下填空吗？(1)已知数据a ，a ，b ，c ，d ，b ，c ，c ，且a ＜b ＜c ＜d ，则这组数据的众数为________，中位数为________，平均数为________．(2)某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：则该班学生右眼视力的众数为________，中位数为________．【提示】 (1)c b ＋c 2 2a ＋2b ＋3c ＋d8(2)1.2 0.8刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数．平均数：n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么它们的平均数为x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称为中位数．众数：一组数据中，出现次数最多的数．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,51．甲、乙两战士命中环数的平均数x 甲、x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7环；x 乙＝7环． 2．由x 甲，x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于x 甲＝x 乙，故无法判断．3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？【提示】 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差．极差：把一组数据中最大值与最小值的差叫作这组数据的极差．极差对极值非常敏感，一定程度上表明了该组数据的分散程度．方差：设一组数据为x 1，x 2，x 3，…，x n ，其平均数为x ，则方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其单位是原始观测数据单位的平方．标准差：它是方差的正的平方根，s ＝s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其单位与原始测量单位相同.(1)(2)第(1)问中计算出来的平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？ 【思路探究】 平均数的计算应为总工资除以总人员，由表可知总工资为 2 200×1＋250×6＋220×5＋200×10＋100×1＝6 900(元)，总人数为1＋6＋5＋10＋1＝23.【自主解答】 (1)由上表可知：周工资的众数为200元，中位数为220元，平均数为6 90023＝300(元)．(2)不能．虽然工厂人员的周平均工资为300元，但由表格中所列出的数据可知，只有经理的周工资在300元以上，其余人的周工资都在300元以下，故用平均数不能客观地反映该工厂人员的工资水平．1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大，这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此题谈谈你的看法．【解】 (1)平均数为x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033≈2 091(元)．中位数为1 500元，众数为1 500元． (2)平均数为x ′＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033≈3 288(元)．中位数为1 500元，众数为1 500元．(3)在此问题上，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为该公司少数职工的月工资与大多数职工的月工资差距太大，故平均数不能反映该公司员工的工资水平．甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．【思路探究】 求x 甲、x 乙→求s 2甲，s 2乙→比较x 甲与x 乙，s 2甲与s 2乙→作出分析【自主解答】 (1)x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)．x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)法一 由方差公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．法二 由方差公式s 2＝1n [(x ′21＋x ′22＋…＋x ′2n )－n x ′2]计算s 2甲，s 2乙，求得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．(3)∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴乙战士的射击成绩较稳定．1．准确运用公式计算是本题的难点和关键，本题中两组数据的平均数相同，需比较它们的方差说明它们的波动大小．2．计算方差(标准差)时，由于计算量较大，计算时需保证准确性．一般地，方差(标准差)越小，该组数据波动越小，越稳定．一机床加工直径为100 mm 的零件，该机床在一小时内生产了6件产品并进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,102,99,100,100.计算上述数据的方差和标准差．【解】 x ＝100＋16(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100(mm)．∵x i －x (i ＝1,2，…，6)得数据分别为－1,0,2，－1,0,0. ∴(x i －x )2(i ＝1,2，…，6)得数据分别为1,0,4,1,0,0.所以s 2＝16×(1＋0＋4＋1＋0＋0)＝1(mm 2)，s ＝1(mm).对茎叶图结构理解错误致误(2011·北京高考改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四位同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示图1－4－1如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差．【错解】 当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为8,8,9,0，所以平均数为x ＝8＋8＋9＋04＝254，方差为：s 2＝14[(8－254)2＋(8－254)2＋(9－254)2＋(0－254)2]＝21116【错因分析】 1.看不懂茎叶图，当X ＝8时，认为乙组同学的植树棵数为8,8,9,0. 2．对方差公式的应用不熟练，出现计算错误．【防范措施】 1.明确茎叶图的结构特征，分清茎上的数字及叶上的数字代表的几何意义．2．熟记公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]提高运算求解的能力．【正解】 当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为8,8,9,10，所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝354，方差为：s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.1．平均数、中位数及众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．1．已知一组数据为10,20,30,40,40,40,50,60,70，其中平均数、中位数、众数的大小关系为( )A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．中位数＝众数＝平均数【解析】 中位数、众数、平均数均为40. 【答案】 D 2．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 【解析】 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】 D图1－4－2A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4【解析】 由题意知平均分x ＝84＋84＋84＋86＋875＝85，s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝15×8＝1.6.【答案】 C 4．对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：【解】 他们的平均速度为x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)．他们的平均速度相同，再看方差：s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2] ＝473(m 2/s 2)， s 2乙＝16[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383(m 2/s 2)． 则s 2甲>s 2乙， 即s 甲>s 乙，故乙的成绩比甲稳定． 所以，选乙参加该项重大比赛更合适.一、选择题1．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( )A ．21B ．22C ．20D ．23【解析】 ∵x ＋232＝22，∴x ＝21.【答案】 A2．运动员参加体操比赛，当评委亮分后，其成绩往往是先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( )。
高中数学第一章统计14第6课时平均数中位数众数极差方差作业课件北师大版必修3
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差
分别为( B )
A．92,2
B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
解析：平均值＝90＋90＋953＋94＋93＝92.s2＝15[(90－92)2＋(90 －92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.
解：(1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是 每颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的 20 颗手榴弹的杀伤半径； 样本容量是 20.
(2)在 20 个数据中，10 出现了 6 次，次数最多，所以众数是 10(米).20 个数据从小到大排列，第 10 个和第 11 个数据是最中间的 两个数，分别为 9(米)和 10(米)，所以中位数是12(9＋10)＝9.5(米)．样 本平均数为 x ＝210(7×1＋8×5＋9×4＋10×6＋11×3＋12×1)＝ 9.4(米)．
其众数、中位数、平均数分别是( D )
A．6,11,11
B．11,12,10 C．11,11,9 D．11,11,10
解析：观察七局的得分可知众数是 11，按从小到大的顺序排
列为 6,7,10,11,11,12,13，中位数是 11，－x ＝17×(6＋7＋10＋11＋11
＋12＋13)＝10.
7．若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则 3x1＋
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 2 .
解析：－x 甲＝87＋91＋950＋89＋93＝90， －x 乙＝89＋90＋951＋88＋92＝90， 故 s甲2 ＝87－902＋91－5 902＋90－902 ＋89－902＋5 93－902＝4， s乙2 ＝89－902＋90－5 902＋91－902 ＋88－902＋5 92－902＝2.
北师大版必修3 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差课时提升作业精编版
平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差一、选择题(每小题3分,共18分)1.在一次数学测验中,某小组14名学生的成绩分别与全班的平均分85分的差是:2,3,-3,-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是( )A.97.2B.87.29C.92.32D.82.86【解析】选B.平均分=85+(2+3-3-5+12+12+8+2-1+4-10-2+5+5)÷14=87.29.2.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( )A.92,2B.92,2.8C.93,2D.93,2.8【解析】选B.平均值==92.s2=[(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=2.8.3.有50个数,它们的平均数是45,若将其中的两个数32和58舍去,则余下数的平均数是( )A.40.5B.47C.45D.52【解析】选C.设50个数的平均数为,48个数的平均数为,则=[50·-(32+58)]÷48=45.4.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示:平均环数从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是( )A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选C.由表可知,乙、丙的成绩最好,平均环数都为8.9,但乙的方差大,说明乙的波动性大,所以丙为最佳人选.5.(2013·安徽高考)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【解析】选C.因为=×(86+94+88+92+90)=×450=90,=×(88+93+93+88+93)=×455=91,所以=×[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]==8,=×[(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]==6,所以>,故选C. 【误区警示】计算平均值时因数字较大易出错,可采用简便方法.6.(2014·天津高一检测)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.依题意,可得⇒⇒或所以|x-y|=4.二、填空题(每小题4分,共12分)7.学校篮球队五名队员的年龄分别为15,13,15,14,13.其方差为0.8,则三年后这五名队员年龄的方差为__________.【解析】由题意知,新数据是在原来每个数上加上3得到,原来的平均数为,则新平均数变为+3,则每个数都加了3,原来的方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2]=0.8,现在的方差=[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+(x n+3--3)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2]=0.8,方差不变.故三年后这五名队员年龄的方差不变,仍是0.8.答案:0.88.(2014·上海高一检测)一组数据的方差为s2,将这一组数据中的每个数都乘2,所得到的一组新数据的方差为__________.【解析】每个数都乘以2,则′=2,s′2=[(2x1-2)2+…+(2x n-2)2]=[(x1-)2+…+(x n-)2]=4s2.答案:4s2【知识拓展】统计量的性质(1)若x1,x2,…,x n的平均数是,那么mx1+a,mx2+a,…,mx n+a的平均数是m+a.(2)数据x1,x2,…,x n与数据x1+a,x2+a,…,x n+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,x n的方差为s2,那么ax1,ax2,…,ax n的方差为a2s2.9.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是________,________.【解析】平均数增加60为62.8,方差不变,仍为3.6.答案:62.8 3.6【拓展提升】关于方差与平均数的公式数据a1,a2,a3,…,a n的方差为σ2,平均数为μ,则数据ka1+b,ka2+b,ka3+b,…,ka n+b(kb≠0)的标准差为kσ,平均数为kμ+b.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·西安高一检测)某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示(虚线为高一年级,实线为高二年级).(1)请把上边的表格填写完整.(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些?【解析】(1)高一年级众数是80,高二年级众数是85.(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.11.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少?【解题指南】围绕相同数据和两个不同数据代入公式进行计算.【解析】设没统计错的数据为x1,x2,…,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,…,x48,t49=115,t50=65,那么,所以(x1+x2+…+x48)=90-,所以=(x1+x2+…+x48+t49+t50)=(x1+x2+…+x48)+×(115+65)=90-+=90.由=[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2].=[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2]得:-=×(252+252-52-52)=×1200=24,所以=+24=52+24=49,所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·青岛高一检测)期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M∶N为( )A. B.1 C. D.2【解析】选B.M=,N===M,所以M∶N=1.2.(2014·长沙高一检测)甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标准差为3;乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为0.3,下列说法正确的有( )①甲队的技术比乙队好;②乙队发挥比甲队稳定;③乙队几乎每场都进球;④甲队的表现时好时坏A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】标准差确定稳定性,平均值说明水平高低,两个方面结合决定哪个队的好坏. 【解析】选D.s甲>s乙,说明乙队发挥比甲队稳定,>,说明甲队平均进球多于乙队,但乙队平均进球数为1.8,标准差仅有0.3,说明乙队的确很少不进球.3.在一次国际乒乓球单项锦标赛中,我国一年轻运动员,在先输三局的情况下,连扳4局,反败为胜,终以4∶3淘汰一外国名将,这七局的比分依次是:6∶11,10∶12,7∶11,11∶8,13∶11,12∶10,11∶6,我国运动员七局得分分别为6,10,7,11,13,12,11,其众数、中位数、平均数分别是( )A.6,11,11B.11,12,10C.11,11,9D.11,11,10【解析】选D.观察七局的得分可知众数是11,按从小到大的顺序排列为6,7,10,11,11,12,13,中位数是11,=×(6+7+10+11+11+12+13)=10.【举一反三】本题的条件不变,则众数、中位数、平均数的大小关系如何?【解析】由原题可知,众数是11,中位数是11,平均数是10,因为11=11>10,所以本题中的众数=中位数>平均数.4.(2014·芜湖高一检测)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如表所示:s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )A.s3>s1>s2B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3D.s2>s3>s1【解析】选B.将已知数据代入求平均数、标准差的公式即可解决问题.设甲、乙、丙三人的平均成绩分别为,,,经计算可得===8.5,=[(7-8.5)2×5+(8-8.5)2×5+(9-8.5)2×5+(10-8.5)2×5]=,s1=;=[(7-8.5)2×6+(8-8.5)2×4+(9-8.5)2×4+(10-8.5)2×6]=,s2=;=[(7-8.5)2×4+(8-8.5)2×6+(9-8.5)2×6+(10-8.5)2×4]=,s3=.所以s2>s1>s3,故选B.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.【解题指南】利用平均数公式与方差公式求解.【解析】==90,==90,故==4,==2.答案:26.(2014·淮北高一检测)若样本x1+2,x2+2,…,x n+2的平均值为10,则样本2x1+3,2x2+3,…,2x n+3的平均值为__________.【解题指南】由x1+2,x2+2,…,x n+2的平均值为10,可算出x1,x2,…,x n的平均值为8,从而得出所求平均值.【解析】因为x1+2,x2+2,…,x n+2的平均值为10,所以x1,x2,…,x n的平均值为8,所以2x1+3,2x2+3,…,2x n+3的平均值为2×8+3=19.答案:19三、解答题(每小题12分,共24分)7.某市对上、下班时的交通情况做抽样调查,在上、下班时间各抽取了12辆机动车,行驶时速如下(单位:km/h):用茎叶图表示上面的样本数据,并求出样本数据的中位数、平均数及众数.【解析】根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图,如图所示:由图可知,上班时间的中位数为=28(km/h),下班时间的中位数为=28(km/h).上班时间的众数为28km/h,下班时间的众数为29km/h和30km/h.上班时间的平均数为≈28.2(km/h),下班时间的平均数为=26 (km/h).【拓展延伸】众数、中位数与平均数的异同(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系.(3)众数考察各数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时其众数往往更能反映问题.(4)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.8.(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差.(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图.(3)求这20名工人年龄的方差.【解题指南】第(1)问众数和极差可根据概念直接从表里得出,第(2)问茎叶图也容易画出,第(3)问先求平均数,再利用公式求方差.【解析】(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21.(2)这20名工人年龄的茎叶图为:(3)年龄的平均数==30,故方差s2=[(-11)2+3×(-2)2+3×(-1)2+5×02+4×12+3×22+102]=12.6.【变式训练】对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的数据如下:问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡? 【解析】=×(60+80+70+90+70)=74,=×(80+60+70+80+75)=73,=×(142+62+42+162+42)=104,=×(72+132+32+72+22)=56,因为>,>,所以甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.。
北师大版高中数学必修3课件1.4平均数、中位数、众数、极差、方差课件(数学北师大必修3)
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
Байду номын сангаас
解：（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销 售额分布主要在茎叶图的上方且相对较散，而 乙城市的销售额分布则相对集中在茎叶图的中
部.由此，我们可以估计：甲城市销售额的平均
数比乙城市的小，而方差比乙城市的大.
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据平均水平
课堂探究
思考2.什么叫中位数？有什么意义？ 提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数（或中 间两个数的平均数）称为这组数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的， 反映了数据的集中趋势.
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
课堂探究
思考3.什么叫众数？有什么意义？ 提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中 的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势. 思考4.什么叫极差？有什么意义？
值和方差分别为 x 和s2， 若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位 员工下月工资的均值和方差分别为（ D） A. x，s2+1002 B. x +100, s2+1002
C.
x ,s2
D.
x +100, s2
北京师范大学出版社 高二 | 必修3
课堂训练2. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五 名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为
86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
（C ) A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这种抽样方法是一种系统抽样
高中数学第一章统计1.4.1_1.4.2平均数中位数众数极差方差标准差课时素养评价含解析北师大版必
学习资料课时素养评价五平均数、中位数、众数、极差、方差标准差（20分钟·35分)1.近几年,我国农村电子商务发展迅速，使得农副产品能够有效地减少流通环节，降低流通成本，直接提高了农民的收益。
某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A。
46。
5，48,60 B.47,48，60C。
46.5，48,55 D。
46.5，51,60【解析】选A.由题中茎叶图共有30个数据，所以中位数为=46.5,茎叶图中出现次数最多的数是48,故众数是48，图中最大的数是72，最小的是12，可得极差为72-12=60。
2。
在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84，84,86，86，86，88，88，88,88。
若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( ）A。
众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差【解析】选D。
只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.3.如图是某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A。
84，4。
84 B。
84，1.6C.85,1.6 D。
85,4【解析】选C.由题意知平均分==85，s2=［（84—85）2+（84-85）2+(84—85）2+（86—85)2+(87—85）2］=×8=1.6。
4。
某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛,现将他们最近集训的10次成绩（单位:秒）的平均数与方差制成如下表格,根据表中数据，应选________选手参加全省的比赛（）甲乙丙丁平均数59 57 59 57方差12 12 10 10A.甲B.乙C。
丙 D.丁【解析】选D.结合表格数据判断，四人中用时最短，波动性最小的是丁。
5.已知一组数据x1，x2,…,x n的方差为2,若数据ax1+b，ax2+b,…，ax n+b（a>0)的方差为8，则a的值为________。
高中数学《平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差》导学案
1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差1.4.2标准差[航向标·学习目标]1．理解平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的概念．2．会计算数据的平均数、标准差．3．体会用统计量表达样本数据，提高学生的学习兴趣．[读教材·自主学习]1．平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，x n，我们把□011n(x1＋x2＋…＋x n)叫作这n个数的算术平均数，简称平均数．2．中位数：一般地，将n个数据按大小顺序排列，处于□02最中间的一个数(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．3．众数：一组数据中□03出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数．4．极差：极差是数据的□04最大值与□05最小值的差．5．标准差：各个数据与平均数□06之差的平方的平均数，称为这组数据的方差，方差的□07算术平方根称为这组数据的标准差．[看名师·疑难剖析]1．平均数、中位数、众数刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息．平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量．2．方差、标准差n 个数据x 1，x 2，…，x 3，我们把x 1＋x 2＋…＋x n n记为x －，则方差可以用s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]来表示，将方差的算术平方根s ＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]称为标准差． 刻画一组数据离散趋势的统计量有方差、标准差等．对方差和标准差的理解还要注意以下几方面：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动大小．标准差、方差越大，数据离散程度越大，稳定性越差；标准差、方差越小，数据离散程度越小，稳定性越好；(2)因方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据分散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差；(3)标准差与方差的取值范围是[0，＋∞)．考点一 平均数、众数、中位数的计算例1 求下列一组数据的平均数、中位数、众数：10,20,80,40,30,90,50,40,50,40. [分析] 明确各概念，利用定义解题．[解] 这组数据的平均数为(10＋20＋80＋40＋30＋90＋50＋40＋50＋40)÷10＝45.将这组数据按从小到大的顺序排列，得10,20,30,40,40,40,50,50,80,90，所以中位数为(40＋40)÷2＝40.又因为40出现3次，出现次数最多，所以众数为40.类题通法求平均数必须先将所有数据求和，再把和除以数据的个数.求中位数时，必须将所有数据按从小到大的顺序排列后，把中间的数或中间两项的平均数称为这组数据的中位数.而众数则是出现次数最多的数据.在解答本类问题时，一定要审清题意，明确各数据出现的次数，认真计算，以防计算失误.[变式训练1] (1)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.(2)在如下图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.答案(1)2423(2)4546解析(1)由茎叶图可知甲的平均数为(9＋8＋20)＋(1＋3＋2＋100)＋(1＋1＋5＋90)＝24，乙的平均数为10(9＋7＋1＋30)＋(1＋4＋2＋4＋80)＋(2＋90)＝23.10(2)甲组数据从小到大排序后，最中间的数是45，即甲组数据的中位数为45；乙组数据从小到大排序后，最中间的数是46，即乙组数据的中位数是46.考点二平均数、众数、中位数的应用例2个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有工作人员8月份的工资表：李某大厨二厨采购员杂工服务生会计3000元450元350元400元320元320元410元(1)计算所有员工8月份的平均工资；(2)由(1)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资，这能代表打工人员当月的收入水平吗？(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？[解] (1)这7个人的8月份平均工资是x －1＝17(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)计算出的平均工资不能反映打工人员的当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值——李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．(3)去掉李某的工资后的平均工资x －2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，该平均工资能代表打工人员的当月收入的一般水平．(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．类题通法本题充分说明了平均数在具体问题中的意义.[变式训练2] 据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．解 (1)平均数是x －＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元． (2)平均数是x －′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．考点三 方差与标准差的计算例3 一个样本数据的方差是s 2＝120[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋(x 3－3)2＋…＋(x 20－3)2]．(1)求样本的容量n 及平均数x －；(2)如果样本数据的平方和为200，求样本的方差．[分析] 本题主要用方差的公式进行变形求解，我们要熟练掌握公式的变形． [解] (1)由样本数据方差公式可以得到样本容量n ＝20，平均数x －＝3. (2)由s 2＝120[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 20－3)2]＝120[(x 21＋x 22＋…＋x 220)－6(x 1＋x 2＋…＋x 20)＋20×9]＝120(200－360＋180)＝1.类题通法解决此类问题一定要熟记公式.[变式训练3] 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) A ．s 3>s 1>s 2 B ．s 2>s 1>s 3 C ．s 1>s 2>s 3 D ．s 2>s 3>s 1 答案 B解析 x －甲＝(7＋8＋9＋10)×520＝8.5，s 21＝5×[(7－8.5)2＋(8－8.5)2＋(9－8.5)2＋(10－8.5)2]20 ＝1.25，x －乙＝(7＋10)×6＋(8＋9)×420＝8.5，s 22＝6×[(7－8.5)2＋(10－8.5)2]＋4×[(8－8.5)2＋(9－8.5)2]20＝1.45，x －丙＝(7＋10)×4＋(8＋9)×620＝8.5，s 23＝4×[(7－8.5)2＋(10－8.5)2]＋6×[(8－8.5)2＋(9－8.5)2]20＝1.05，由s 22>s 21>s 23得s 2>s 1>s 3.故选B.考点四 数据的数字特征的应用例4 一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已经计算得到两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，并说明理由．[分析]优次之分的标准是通过数据的各数字特征来反映．[解](1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些；(2)s2甲＝150×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172(分2)．s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256(分2)．因为s2甲<s2乙，所以甲组的成绩比乙组的成绩好．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩高于90分(含90分)的人数为14＋6＝20(人)，乙组的成绩高于90分(含90分)的人数为12＋12＝24(人)，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度来看，乙组的成绩较好．类题通法用数据的数字特征来反映该组数据的特点，本例就是从众数、中位数、方差、高分段以及满分的人数等数字特征全方位进行综合分析、比较，并作出判断.[变式训练4]有一组数据：x1，x2，…，x n(x1<x2<…<x n)的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9，若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.(1)求出第一个数x 1关于n 的表达式及第n 个数x n 关于n 的表达式； (2)若x 1，x 2，…，x n 都是正整数，试求第n 个数x n 的最大值，并举出满足题目要求且x n 取到最大值的一组数据．解 (1)依条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n ， ①x 1＋x 2＋…＋x n －1＝9(n －1)，②x 2＋x 3＋…＋x n ＝11(n －1)， ③由①－②得x n ＝n ＋9. 又由①－③得x 1＝11－n .(2)由于x 1是正整数．故x 1＝11－n ≥1⇒1≤n ≤10， 故x n ＝n ＋9≤19.当n ＝10时，x 1＝1，x 10＝19，x 2＋x 3＋…＋x 9＝80.此时，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8，x 5＝9，x 6＝11，x 7＝12，x 8＝13，x 9＝14.[例] (12分)某酒厂有甲、乙两条生产线生产同一种型号的白酒，产品在自动传输带上包装传送，每15分钟抽一瓶测定其质量是否合格，分别记录抽查的数据如下(单位：毫升)：甲生产线：508,504,496,510,492,496 乙生产线：515,520,480,485,497,503 问：(1)这种抽样是何种抽样方法？(2)分别计算甲、乙两条生产线的平均值与标准差，并说明哪条生产线的产品较稳定．(一)精妙思路点拨(二)分层规范细解(1)根据题意知，抽样是每15分钟抽一瓶，是等距抽样，所以这种抽样是系统抽样.4分(2)根据已知抽样数据可计算：x －甲＝16×(508＋504＋496＋510＋492＋496)＝501①，6分∴s 2甲＝16×[(508－501)2＋(504－501)2＋(496－501)2＋(510－501)2＋(492－501)2＋(496－501)2]＝45①，∴s 甲＝35≈6.708.8分x －乙＝16×(515＋520＋480＋485＋497＋503)＝500①，∴s 2乙＝16×[(515－500)2＋(520－500)2＋(480－500)2＋(485－500)2＋(497－500)2＋(503－500)2]≈211.3①10分∴s 乙≈14.536.∴s 甲<s 乙，甲生产线的产品较稳定②.12分 (三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)(四)类题练笔掌握从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？解 (1)x －甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) ＝110×300＝30(cm)，x －乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)，∵x－甲<x－乙，∴乙种玉米的苗长得高．(2)s2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110×1042＝104.2(cm2)，s2乙＝110×[(27－31)2×2＋(16－31)2×3＋(44－31)2×2＋(40－31)2×3]＝110×1288＝128.8(cm2)．∵s2甲<s2乙，∴甲种玉米的苗长得齐．(五)解题设问(1)本题中样本数据的个数是多少？________.(2)需用样本数据的哪些数字特征？需要求出样本数据的________，用来衡量玉米的高度；求出样本数据的________(或________)用来衡量玉米长得是否齐．答案(1)有10个(2)平均数方差标准差1．已知某班8名学生的身高(单位：m)分别为：1.74,1.68,1.72,1.80,1.64,1.69,1.75,1.82，则这8名学生的平均身高为()A．1.60 m B．1.82 mC．1.73 m D．1.64 m答案 C解析求平均数．2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9．48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为() A．9.40.484 B．9.40.016C．9.50.04 D．9.50.016答案 D解析 去掉最高分9.9和最低分8.4，余下的数为9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，其平均数x －＝3×9.4＋9.6＋9.75＝9.5，s 2＝15×(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)＝0.016.3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85、85、85B ．87、85、86C ．87、85、85D ．87、85、90答案 C4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．答案 a ＝10.5，b ＝10.5解析 依题意及中位数定义可知：a ＝10.5，b ＝10.5.5．甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸(单位：mm)分别如下．甲：10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1 乙：10.3,10.4,9.6,9.9,10.1,10.9,8.9,9.7,10.2,10分别计算上面两个样本的平均数和方差．如果图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看，用哪台机床加工这种零件较合适？(要求利用公式笔算)解 x －甲＝110×(10.2＋10.1＋…＋10.1)＝110×100＝10， x －乙＝110×(10.3＋10.4＋…＋10)＝110×100＝10.所以s 2甲＝110×[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋…＋(10.1－10)2]＝0.03(mm 2)， 所以s 2乙＝110×[(10.3－10)2＋(10.4－10)2＋…＋(10－10)2]＝0.06(mm 2)． 所以s 2甲<s 2乙.所以甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适．一、选择题1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )89⎪⎪⎪ 9 73 1 6 4 0 2A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92答案 A解析 中位数为12(91＋92)＝91.5；平均数为18(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.2．某校高一有四个班，1～4班的人数分别为N 1，N 2，N 3，N 4，总人数为N ，英语成绩的平均分分别为M 1，M 2，M 3，M 4，则该校高一英语的平均分是( )A ．M 1，M 2，M 3，M 4的平均数B ．M 1，M 2，M 3，M 4的中位数C ．M 1N 1，M 2N 2，M 3N 3，M 4N 4的平均数D ．M 1N 1，M 2N 2，M 3N 3，M 4N 4的和与1N 的乘积 答案 D3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65 B.65 C. 2 D ．2答案 D解析 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D. 4．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如下图所示，则下列说法正确的是( )A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高B ．甲的平均成绩比乙的平均成绩低C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大D ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小 答案 C解析 x －甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107， x －乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107.s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8，s 2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.所以排除A 、B 、D ，选C.5．如下图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s BD.x －A <x －B ，s A <s B 答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5，7.5，2.5,10， B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10， 所以x －A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56， x －B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x －A <x －B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B ，故选B.6．某次考试，班长算出了全班40人的数学成绩的平均分M ，如果把M 当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( )A ．40∶41B ．41∶40C ．2∶1D ．1∶1答案 D解析 由题意知全班40个同学的总分为40M ，则N ＝40M ＋M41，整理，得M ＝N .二、填空题7．若40个数据的平方和是48，平均数是12，则这组数据的方差是________． 答案 1920解析 由题可得x 21＋x 22＋…＋x 240＝48，x －＝12. 所以s 2＝140[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 40－x －)2] ＝140[(x 21＋x 22＋…＋x 240)＋40x －2－2x －(x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋40×14－2×12×12×40＝1920.8．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10； 乙：4,6,6,6,8,9,12,13； 丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数，众数，中位数中的哪一种集中趋势的特征数．甲：________，乙：________，丙：________. 答案 众数 平均数 中位数9．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.答案 3.2解析本题主要考查统计知识——方差的计算.5个数据的平均数x－＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.三、解答题10．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．解甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理，乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班27人，占54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．如果记85分以上为优秀，甲班有20人，优秀率为40%；乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．11．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况．有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数234 5户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解根据平均数和标准差的公式计算即可．(1)平均数x －＝150(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7. (2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s 2＝150[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97.所以标准差s ≈0.985.12．两台机床同时生产直径为10毫米的零件，为了检验产品质量，检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下(单位：毫米)：如果你是检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件更符合要求？解 先计算平均直径：x －甲＝14×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10(毫米)．x －乙＝14×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10(毫米)．由于x －甲＝x －乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的优劣．再计算方差：s 2甲＝14×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02(毫米2)，s 2乙＝14×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005(毫米2)． 由于s 2乙<s 2甲，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件更符合要求．13．近几届冬奥会男、女1500米速滑的冠军成绩分别如下表所示：(1)分别求出男、女1500米速滑的冠军成绩的平均数和中位数；(2)分别求出男、女1500米速滑的冠军成绩的标准差；(3)通过(1)(2)的计算，请用自己的语言描述近几届冬奥会男、女1500米速滑的冠军成绩分别有什么特点．解(1)近几届冬奥会男子1500米速滑冠军成绩的平均数和中位数分别是1′54.17″，1′54.81″；女子的平均数和中位数分别是2′05.32″，2′03.42″.(2)近几届冬奥会男、女1500米速滑冠军成绩的标准差分别是3.7637″，6.0194″.(3)从上面的计算结果我们不难看出：近几届冬奥会男子速滑的冠军成绩相比女子成绩优异而且比较稳定.。
高中数学 第一章 统计 1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 1.4.2 标准差学案 北师大
1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 1.4.2 标准差1．会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点) 2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 平均数、中位数、众数阅读教材P 25～P 26“4.2标准差”以上部分，完成下列问题． 1．众数的定义一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．2．中位数的定义及求法把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．3．平均数的定义如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x nn，叫作这n 个数的平均数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变．( ) (2)一组样本数据的众数只有一个．( ) (3)样本的中位数可以有两个值．( ) 【解析】 (1)×，根据平均数的定义可知错误． (2)×，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个． (3)×，由中位数的定义可知错误． 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 极差、方差、标准差阅读教材P 26“4.2标准差”以下至P 28“例3”以上部分，完成下列问题． 1．标准差、方差 (1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].(2)方差的求法：标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本均值． (3)方差的简化计算公式：s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2.2．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 3．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (2)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (3)样本的标准差和方差都是正数．( )【解析】 (1)√，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度． (2)×，平均数与数据的波动性无关． (3)√，根据标准差与方差的公式可知． 【答案】 (1)√ (2)× (2)√[小组合作型]平均数、中位数、众数的计算据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【精彩点拨】首先根据众数、中位数、平均数的概念进行求解，然后再根据众数、中位数、平均数反映的数字特征来进行讨论．【自主解答】(1)平均数是x＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是x′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．中位数、众数、平均数的应用要点：中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.1求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势.2确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势.3平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据比其他数据大很多或小很多的数据的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体.[再练一题]1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90人数2323411 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．【解】在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.方差、标准差的计算甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：【导学号：63580009】甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】 (1)分别利用求平均数和求方差的公式求解． (2)从平均数与方差两方面比较．【自主解答】 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．1．计算标准差的五个步骤： (1)算出样本数据的平均数x .(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1,2,3，…，n )． (3)算出(2)中x i －x (i ＝1,2,3，…，n )的平方． (4)算出(3)中n 个平方数的平均数，即为样本方差． (5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差． 2．标准差(方差)的两个作用：(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．[再练一题]2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀． 【解】 x 甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝1986＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝946，s 甲＝946≈3.96， x 乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33， s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝766，s 乙＝766≈3.56. 由以上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s ，甲的标准差为3.96 m/s ，乙的标准差为3.56 m/s ，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．[探究共研型]数据的数字特征的综合应用探究1 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高收入达到了100万，他们年收入的平均数是3.5万”．如果你希望获得年薪2.5万元，你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？【提示】 这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各类岗位收入的离散情况．探究2 极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？【提示】 方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定，数值越小，离散程度就越小，越稳定．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组25101314 6 乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【精彩点拨】解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析．【自主解答】(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80(分)，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80(分)．s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲＜s2乙，∴甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.[再练一题]3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图141所示：图141(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？【解】(1)由图可知，甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是( )A ．平均数＞中位数＞众数B ．平均数＜中位数＜众数C ．中位数＜众数＜平均数D ．众数＝中位数＝平均数【解析】 可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50. 【答案】 D2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A.65 B.65C. 2 D ．2 【解析】 ∵样本的平均数为1，即15×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1，∴样本方差s 2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】 D3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图如图142所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )图142A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92【解析】 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5，中位数为91＋922＝91.5.【答案】 A4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.【解析】 该组数据的平均数为10＋6＋8＋5＋65＝7，方差s 2＝10－72＋6－72＋8－72＋5－72＋6－725＝165. 【答案】1655．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．【解】 (1)x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)．x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)由方差公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0(环)，s 2乙＝1.2(环)．(3)∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴乙战士的射击成绩较稳定．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2标准差
一、选择题
1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为()
A．21 B.22
C．20 D.23
2．下列说法正确的是()
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，标准差则反映数据离平均值的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有()
①甲队的技术比乙队好；
②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；
④甲队的表现时好时坏
A．1个 B.2个
C．3个 D.4个
4．在一次歌声大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.48.49.49.99.69.49.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()
A．9.40.484 B.9.40.016
C．9.50.04 D.9.50.016
5．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()
A．a>b>c B.a>c>b
C．c>a>b D.c>b>a
6．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是() A．众数 B.平均数
C．中位数 D.标准差
二、填空题
7．若样本x1＋2，x2＋2，…，x n＋2的平均值为10，则样本2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均值为________．
8．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a－b＝________.
甲乙
798078 5
579111 3
346220
2310
140
三、解答题
9.高一·三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
10.某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74；
乙班：90,76,86,81,84,87,86,82,85,83.
(1)求两个样本的平均数x甲和x乙；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)比较两组数据的平均数，并估计哪个班的平均分较高；
(4)比较两组数据的标准差，并估计哪个班的数学成绩比较整齐．
参考答案
1.【解析】由x ＋23
2＝22得x ＝21.
【答案】A
2.【解析】平均数、中位数、众数都是反映一组数据的“集中趋势”的统计量，方差、标准差、极差都是反映数据的离散程度的统计量，故选B. 【答案】B
3.【解析】s 甲>s 乙，说明乙队发挥比甲队稳定，x 甲>x 乙，说明甲队平均进球多于乙队，但乙队平均进球数为1.8，标准差仅有0.3，说明乙队的确很少不进球． 【答案】D
4.【解析】去掉一个最高分和一个最低分后剩余分数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7. 其平均数为x ＝3×9.4＋9.6＋9.7
5＝9.5.
方差s 2＝1
5(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)
＝15×0.08＝0.016. 【答案】D
5.【解析】由题意得a ＝11＋13＋15×2＋16×2＋17＋18×3
10＝15.7
中位数b ＝16，众数为c ＝18. 故c >b >a .选D. 【答案】D
6.【解析】本题考查样本的数字特征． A 的众数88，B 则为88＋2＝90.
“各样本都加2”后，平均数显然不同．A 的中位数86＋862＝86，B 的中位数88＋88
2＝88，而
由标准差公式s ＝1n
[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －
)2]知D 正确． 【答案】D
7.【解析】∵x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2的平均值为10， ∴x 1，x 2，…，x n 的平均值为8，
∴2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均值为2×8＋3＝19. 【答案】19
8.【解析】由茎叶图知a ＝19，b ＝11，∴a －b ＝8. 【答案】8
9.解 (1)利用平均数计算公式x －＝1
48
(82×27＋80×21)≈81.13(分)．
(2)∵男同学的中位数是75，
∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80，
∴至少有11人得分不超过80分．
∴全班至少有25人得分低于80分．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明得分男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
10.解(1)x甲＝1
10(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2(分)，
x乙＝1
10(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84(分)．
(2)s2甲＝1
10[(82－83.2)
2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋
(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36(分)，
s2乙＝1
10[(90－84)
2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋
(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2(分)，
所以s甲＝26.36≈5.13(分)，
s乙＝13.2≈3.63(分)．
(3)因为x甲<x乙，所以据此估计乙班的平均分较高．
(4)因为s甲>s乙，所以据此估计乙班的数学成绩比甲班整齐.。