矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文
毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系
矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系摘要：矩阵的特征值、特征向量以及它们的求解问题在代数学中具有重要的意义.本文通过对其定义和性质的深入了解，总结出了三种求解方法，分别是特征方程法、初等变换法以及只对矩阵进行行列互逆变换即可同时求出矩阵的特征值与特征向量的行列互逆变换法.这三种方法由浅入深，计算过程由繁到简，最后把求矩阵特征特征值问题转化为数的四则运算问题，避免了求高次方程根的难题,显示了其优越性.关键词：特征值；特征向量；初等变换；互逆变换.目录1 引言 (1)2 特征值与特征向量的定义及其性质 (1)2.1定义 (1)2.2性质 (1)3 特征值与特征向量的求法 (2)3.1特征方程法 (2)3.2初等变换法 (3)3.2.1 初等行变换法 (4)3.2.2 初等列变换法 (7)3.3行列互逆变换法 (9)4 总结 (13)参考文献 (14)1 引言物理学、力学、工程技术学中的许多问题在数学上都归结为求矩阵特征值和特征向量问题，由特征方程求特征值（尤其是对阶较大的矩阵）是比较困难的，而我们所掌握的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求特征值方可由方程组求特征向量.本文给出了只通过行变换和列变换即可同时求出特征值和特征向量的方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题.最后通过对矩阵特征值和特征向量进行系统归纳，给出一种只需进行行列互逆变换即可同时求出特征值与特征向量的结论，简单快捷. 2 特征值与特征向量的定义及其性质 2.1 定义设A 是n 阶方阵，如果存在实数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 是A 的对应特征值λ的特征向量. 2.2性质（1） 若i λ是A 的i r 重特征值，A 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量.（2） 若12,x x 都是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量，则当12,k k 不全为零时，1122k x k x +仍是A 的属于特征值0λ的特征向量.（3） 若n λλλ,,,21 是矩阵A 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是,,,,21n x x x 则n x x x ,,,21 线性无关. （4） 若()nn ija A ⨯=的特征值为n λλλ,,,21 则A a a a n nn n =+++=+++λλλλλλ 21221121,.（5） 实对称矩阵A 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.（6） 若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰好有i r 个线性无关的特征向量.（7） 设λ为矩阵A 的特征值，)(x P 为多项式函数，则)(λP 为矩阵多项式)(A P 的特征值（8） 设λ为方阵A 的一个特征值，且x 为对应的特征向量，则对任何正整数k ，k λ为为k A 的一个特征值且x 为对应的特征向量.一般地对于任何多项式()01a x a x a x f m m +++= ，则()λf 为方阵()E a A a A a A f m m 01+++= 的一个特征值，且x 为对应的特征向量.3 特征值与特征向量的求法 3.1特征方程法用特征方程法求解的步骤为：（1） 求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ（2） 再求出特征方程()A E f -=λλ0=在数域P 中的全部根，即A 在数域P 中的全部特征值.（3） 把所求的的每个特征值i λ逐个地带入齐次线性方程组0=-x A E i λ中，求出齐次线性方程组0=-x A E i λ的全部非零解，即一个基础解系ir i i a a a ,,,21 便是A 的属于()n i i ≤≤1λ的线性无关的特征向量.则A 的属于i λ的全部特征向量是这个解系的非零线性组合ir r i i a k a k a k +++ 2211，其中r k k k ,,,21 是不全为零的数.例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 的特征值和特征向量 解：先求A 的特征多项式A E -λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------122212221λλλ()()512-+=λλ 故A 得特征值为5,1321=-==λλλ把1-=λ代入A E -λx 0=中得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=---=---022202220222321321321x x x x x x x x x即0321=++x x x它的一个基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110,101.故矩阵A 属于1-的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11010121k k （21,k k 不全为零）. 同理将5=λ代入得：⎪⎩⎪⎨⎧==--=-+-=--042202420224321321321x x x x x x x x x它的一个基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 故属于5=λ的全部特征向量是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k . 这种求矩阵A 的特征值的方法是通过求矩阵A 的特征方程A E -λ0=的根来实现的，而在求特征方程A E -λ0=的根的时候往往有一定的难度，特别是当矩阵A 的阶数较高的时候难度更大.以下给出一种新方法，只用一种运算——矩阵运算，即在求A 的特征值时，特征矩阵()λE A -进行λ——矩阵的初等变换，这种方法计算量少，且运算规范，不易出错. 3.2 初等变换法定义2数域P 上矩阵的初等变换是指下列3种变换：第一种，以P 中一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）. 第二种，把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）.第三种，互换矩阵中两行（列）的位置.(a) 3.2.1 初等行变换法定理1 对于齐次线性方程组11m n mn O X A = （1） 其中()nm ija A ⨯=，()T i x X =，若()r A R mn =，并且 ()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−-n r n mn TP E A r -n rmO*D 一系列初等行变换（2）其中rm D 为上三角矩阵，并且()r D R rm =，则()n r n P -中的行向量()r n i i -=,,2,1 ξ是方程组（1）的一组基础解系（T A 表示A 的转置，()A R 表示A 的秩，n E 表示n 阶单位矩阵）.证明 对矩阵()n TE A 施行一系列初等行变换相当于左乘以一个可逆矩阵C ，由已知可得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-m r n rm TO D CA （3）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n r n n P CE * （4）由（4）可知，()n r n P -是行满秩，及其行向量i ξ()r n i -=,,2,1 线性无关，将（4）带入（3）得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m r n rm T n n r n O D A E P * 即()()m r n T n r n O A P --=两边同时进行转置得0=T AP由此可知P 的行向量是方程组（1）的解，且i ξ()r n i -=,,2,1 是线性无关的，所以即为方程组（1）的基础解系，证毕.定理2 对任意方阵A ，特征矩阵()()T A E F -=λλ经过行变换，可以化为上三角矩阵()λG ，且()λG 的主对角线上元素的乘积的λ多项式的根即为A 的特征值证明 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=nn n n n na a a a a a a a a F λλλλ212222111211，显然()()n F R =λ. 首先考察()λF 的第1列，若1i a ()n i ,,2,1 =不全为零，任取其一，记为()λ1d 通过行变换，将()λF 化为如下形式：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλH d 0*1；若1i a 0=()n i ,,2,1 =，则()λF 本身即具有这种形式.齐次再考察()λH 的第一列，若不全为零（若全为零，则()()n E R <λ）则可选λ次数最低的元素，记为()λ2f ，如上实施初等行变换，循环往复，()λ1f 的次数有限，最后()λH 必将化为如下形式：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλJ d 0*2，继续对()λJ 进行如上变换，则最终()λF 可化为()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλn d d d G 0*21（5）由以上可知，()λF 和()λG 等价，则()λF 和()λG 有相同的初等因子，于是该定义成立.定理1给出求解齐次线性方程组基础解系的一种方法，而定理2实际上给出了利用初等行变换求矩阵特征值的方法.下面具体给出利用初等行变换求解矩阵特征值和特征向量的一般步骤：第一步：对方阵A ，设对()()E F λ做行变换，化成()()()λλP D （6）其中()λD 为上三角矩阵，则()λD 主对角线上的元素乘积的λ多项的根即为A 的特征值i λ.第二步：对矩阵A 的任一特征值i λ代入（6），若()i D λ中非零行向量构成满秩矩阵则()i D λ 行向量中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量；否则，继续进行行变换()()i i P D λλ,−−−→−行初等变换()()[]i i P D λλ**,，使得()iD λ*中非零行向量构成满秩矩阵，则()i D λ*中零行向量所对应的()i P λ*中的行向量i ξ即为i λ的特征向量.例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111的特征值与特征向量 解：()[]4,E F λ=⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤----------10000100001000011111111111111111λλλλ−−→−↔41r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00010100001010001111111111111111λλλλ()−−−→−-+--1413121r r r r r r λ ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------10011100101010002220220020201111λλλλλλλλλλ−−→−-24r r ()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--------λλλλλλλλλ01111001010100012200220020201111−−→−-34r r()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤+----⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------111111001010100022000220020201111λλλλλλλλ 由()()0223=+--λλ得特征值.2,24321-====λλλλ 当2321===λλλ时()()[]2,2P D =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000000001111⎥⎥⎥⎥⎦⎤----3111110010101000 因()2D 的非零向量的行构成行满秩矩阵，且其最后的三个行向量是零向量，故()2P 中的最后三个行向量()T1,0,1,01-=ξ，()T1,1,0,02-=ξ ，()T 3,1,1,13--=ξ.是1λ=232==λλ的线性无关的特征向量.同理24-=λ的线性无关的特征向量是()2-P 中的最后一个向量()T 3,1,1,1--与初等行变换类似，通过对矩阵进行初等列变换也可求得其特征值和特征向量.(b) 3.2.2 初等列变换法定理3 设A 是秩为r 的m n ⨯阶矩阵，且()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯⨯⨯r m m r m r n rn m m n P O B E A *列初等变换其中B 是秩为r 的列满秩矩阵，则矩阵P 所含的r m -个列向量就是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系（证明略）.定理 4 矩阵A 的特征矩阵())(A E F -=λλ经列的初等变换可化为下三角的λ矩阵)(λB ，且)(λB 的主对角线上的元素乘积的λ多项式的根恰为A 的所有特征值（证明略）用这两个定理可以同步求解矩阵的特征值和特征向量基本步骤如下： 第一步：作如下初等变换()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-λλλP L E A E 列初等变换 （7）其中()λL 为下三角矩阵，则()λL 的主对角线上元素的乘积的λ多项式的全部根恰为A 的所有特征值i λ.第二步：将i λ代入（7）中，若()i L λ中非零列向量构成列满秩矩阵，则()i P λ中和()i L λ中零向量所对应的列向量是属于特征值i λ的特征向量；否则，继续进行变换.其过程完全类似于行变换，这里不再赘述.例3 求矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0111101111011110的特征值与特征向量 解：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4E A E λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1000010000100001111111111111λλλλ−−→−-41c c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------00010100001010001111111111110λλλλ−−→−-++141213c c c c c c λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------λλλλλλλλλ1110100001010001111101101100012−−→−-24c c ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--------11110100101010002111110100110001λλλλλλλλλ−−→−-34c c ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+-------21111100101010003111010100110001λλλλλλλλ由()()()03112=+--λλλ得特征值1,34321===-=λλλλ（三重）. 当31-=λ时()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33P B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------11111100101010000443040100410001因()()31-=B B λ的非零向量的列构成列满秩矩阵，且其最后的一个向量零向量，故()()31-=P P λ中的最后一个列向量()T1,1,1,1--是31-=λ的线性无关的特征向量.同理32λλ=14==λ的特征量是()1P 中的最后三个列向量(),1,0,1,01T =ξ()().3,1,1,1,1,1,0,032T T ---==ξξ用定理3和定理4可以同步求解矩阵的特征值和特征向量研究了初等行变换和初等列变换求解特征值后，我们发现其过程比特征方程法简便了许多，但其求解过程中仍要解带参数的行列式.那么还有没有更简洁的方法呢？下面继续探讨. 3.3 行列互逆变换法定义3 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：1． 互换j i ,两行，同时互换j i ,两列； 2． 第i 行乘非零数k ，同时第i 列乘k /1；3．第i 行k 倍加入第j 行，同时第j 列k -倍加入第i 列.定理5 A 为n 阶可对角化矩阵，并且 ()n T E A −−−−−→−一系列行列互逆变换()T P D 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n D λλ 1，,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T P ββ()in i i b b 1=β(),,,1n i =则n λλ,,1 为A 的全部特征值，T i i βα=为A 的对应i λ的特征向量.证明 由行初等变换等价于左乘初等阵，列变等价于右乘初等阵地性质及行列互逆变换的定义知，T P 为若干初等阵乘积，当然可逆，且()D P A P T T =-1， 即D D AP P T ==-1所以.PD AP = 因为,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n D λλ []n P αα 1=所以[][]n n A αααα 11=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1， 则[]n A A αα 1[]n n αλαλ 11=， 所以i i i A αλα= ()0≠i α， .,,1n i =因此，该方法求出的i λ为A 的特征值，i α为A 的对应特征值i λ的特征向量为了运算上的方便，这里约定： 1．ji kr r + 表示矩阵的第j 行k 倍加入第i 行；2．ji kr r - 表示矩阵的第j 列k -倍加入第i 列例4 求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0111101111011110A 的特征值与特征向量 解： ()=4E A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10000111010010110010110100011110 43213412r r r r r r r r ++--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001020010011100010201000011011 2442r r r r +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001020010001101111003000010011 −−→−-+-423212214141r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11001023001000143011110030000100431 −−→−+-+242321214141r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------2121212110041434141010011110030414141430001−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1111300111101001311001011130001 所以，特征值分别为3,14321-====λλλλ；特征向量分别为()T 1,1,1,31-=α，()T 1,3,1,12-=α，()T 1,1,1,13--=α，().1,1,1,14T --=α下面给出定理5的推广定理 定理6 A 为任意n 阶方阵，若()()T n TP JE A −−−−−→−一系列行列互逆变换，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=r J J J 1()n r ≤为约当矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i ii J λλ11()r i ,,1 =为约当标准形.,1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r TP P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t ir i i P ββ 1 ()r i ,,1 =；n r r r r =+++ 21，则iλ为A 的特征值；Tir i iβα=为A 的对应特征值i λ的特征向量 证明 由一般代数书中定理可知A 必相似于一约当矩阵，按定理4中化简方法，则有()J P A P Tt T =-1，即T T PJ AP J AP P ==-,1，其中()r T r T P αβαβ 1111=，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T r TTJ J J 1， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i iTi J λλ11()r i ,,1 =.所以A ()r T r T αβαβ 1111=()rT r Tαβαβ 1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T r TJ J 1，故有i i i A αλα= ()r i ,,1 =.所以i λ为A 的特征值，i α为A 的对应i λ的特征向量.例5 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312130112A 的特征值与特征向量解： ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1003110101310012023E A T1331r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1004110100311010112112r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10041011102010101232232121r r r r +-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212140011102010101233212r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111400111020101012， 所以特征值为221==λλ，43=λ，对应特征值221==λλ的特征向量()T 1,1,11-=α，()T 1,0,12-=α对应43=λ的特征向量().1,1,13T -=α行列互逆变换法求解矩阵特征值时只需对矩阵做行列互逆变换即可同步求出矩阵特征值和特征向量的方法，而且不需要考虑带参数的特征矩阵，简洁实用，能收到事半功倍的效果. 4 总结通过运用以上三种方法求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以看出，用行列互逆变换的方法求矩阵的特征值相对时比较简单的，它把求把求特征值的问题转化为数的四则运算问题，避免了求矩阵特征值时求高次方程根的难题，特别是对于求阶数较高的矩阵的特征值，更能显示其优越性.参考文献：[1]李浩，孙建东.高等代数习题与解析[M].北京：兵器工业出版社，2008.9[2]姚慕生，吴泉水.高等代数学（第二版）[M].上海：复旦大学出版社，2008.6[3]同济大学.方程数学——线性代数[M].北京：高等教育出版社，1980.[4]张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.[5]文香丹.矩阵的特征值与特征向量的同步求解方法[J].边延大学农学学报，1998.[6]汪庆丽.矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量[J].岳阳师范学院学报（自然科学版），2001[7]张贺，岳崇山.初等变换求矩阵的特征值问题[J].河北北方学院学报[8]陈泽安.矩阵特征值与特征向量的新方法[J].长沙通信职业技术学院学报，2003.[9]杨廷俊.阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报，2006.[10][英]J.R.布伦菲尔德.矩阵[M].北京：科学出版社，1986.[11]Bondy.J A,USA Murty.Graph Theroy with Applications[J].New York:Academic Press,1976.The Solutions of the Matrix Eigenvalue and Eigenvector and TheirRelationshipsAbstract: To study the matrix eigenvalue and eigenvector and the problem of its solution are very significant in algebra. This paper analysizes deeply the defination and nature of the matrix eigenvalue and eigenvector. The author gets three kings of solutions , including characteristic equation, elementary transformation, and reversible transform that only does reversible transform to the matrix can also find the matrix eigenvalue and eigenvector. These three methods implemented progressively from the complexity to the simple calculation, and finally convert matrix eigenvalue problems into the numberable arithmetic problems and avoid the problems on solving the root of high equation which shows its advantages.Keywords:eigenvalue; eigenvector; elementary transformation; reversible transform;。
特征值和特征向量的应用 数学毕业论文
河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书编号： 2013230论文（设计）题目；特征值和特征向量的应用学部：信息工程学部专业：数学与用用数学班级： 2009级2班学生姓名：学号：指导教师：职称：副教授1、论文（设计）研究目标及主要任务通过对特征向量与特征值的应用的研究，来充分利用的特征向量与特征值计算的简便解决相关问题，应用于数学解题计算中和生活实际的应用中。
主要是归纳研究出特征向量和特征值在不同类形的矩阵中，怎样帮助解决相关试题。
同时将特征值和特征向量应用到生活中的应用，如经济应用，环境污染的增长类型，莱斯利种群的相关问题。
2、论文（设计）的主要内容特征值和特征向量的相关概念，性质。
在数学中，按照分类矩阵来应用特征值与特征向量来解题。
在生活中的几个方面的应用。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线首先，明白相关的定义，如特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵等相关的概念。
其次，了解他的相关性质，并应用到解题和相关的生活中。
4、主要参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008，（91）:46—48.[3] 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报，2009,25（117）：135—138.[4] 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系[J].连云港师范高等专科学校学报，2004,（4）：75—76.[5] 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报，2009,11（3）：139—140.[6] 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006,20（3）：20—22.[7] 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题[J].大学数学，2004,20（4）：92—95.[8] 姚幕生.高等代数[M].上海:复旦大学出版社,2002[9]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报，2006，（5）：20—23.[10]奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用[J].枣庄师专学报，1991,（2）：26—30[11]郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报（自然科学版），2000,17（2）：72—75.[12]同济大学数学教研室.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1993,115—137[13]矩阵的特征值、特征向量和应用[J].临沂师专学报，1994，（5）：1—7.教研室主任:年月日河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书矩阵是数学领域中的一个重要的基本概念之一,是高等代数的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，还有在力学、信息、科技等方面都有十分广泛的应用.目前关于已经有很多专家学者在此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中，从线性空间V中的线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的概念.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中，从方阵的特征值与特征向量的性质着手，结合具体的例题阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶。
矩阵特征值、特征向量的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。
矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。
矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。
本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。
那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。
此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。
首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。
例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
矩阵多项式的性质讨论毕业论文
矩阵多项式的性质讨论摘要：本文系统总结了矩阵多项式的一些性质，且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。
其中对于已有的结论则不予证明，同时本文也给出了一些重要的结论。
关键词：矩阵多项式特征多项式最小多项式特征值秩迹Matrix to discuss the nature of polynomialAbstract: This article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against Matrix and the characteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial The application of algebra. For the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions.Key words: Matrix polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue.目录1 引言 (3)2 矩阵多项式的基本性质 (3)2.1矩阵多项式的特征值 (3)2.2矩阵多项式的秩 (5)2.3矩阵多项式可逆判定与求法总结 (7)2.4矩阵多项式的迹 (10)3 矩阵多项式性质的应用 (13)3.1矩阵多项式成为恒等式的应用 (13)3.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用 (14)参考文献 (17)谢辞.................................................................................................. 错误！未定义书签。
矩阵的特征值特征向量和特征多项式研究
矩阵的特征值\特征向量和特征多项式研究作者：赵璐来源：《读写算》2011年第12期【摘要】探究了通过对矩阵进行初等变换，同步求出矩阵特征值和特征向量的问题，并从相似矩阵具有相同的特征多项式出发，逐步改变和减弱命题中相关条件，得到几个关于矩阵特征多项式的结论。
【关键词】矩阵特征值特征向量特征多项式同步求解特征方程中有很多的学问对于解决很多自然科学，诸如物理、力学、工程技术中的许多问题都有着很大的功用，也因此矩阵的特征值才显得尤为的具有普适性和广泛性。
但是现有的高校教材和参考我资料中对于特征方程的求解还是老方法。
只是先求出特征值，然后再由方程组来求特征向量。
但是这种特征解法并不是最好的方法，有一些不科学之处，首先就是没有能够摆脱带参数行列式的计算问题．本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，并且针对这种解答的新方法进行了一系列的分析。
一、特征值所谓设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characeristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
矩阵特征值的求解方法就是Ax=mx，等价于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是单位矩阵，0为零矩阵。
|mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn。
数学上的线性变化有特征向量，这种特征向量是一个非退化的向量，所以其方向改变不会影响到特征的解法，所以特征向量可以按照比例进行缩放，这种缩放以后的特征就是特征值。
变换通常可以带来的结果是，特征值和特征向量之间完全的吻合，也就是解答的时候可以不再顾及向量的问题，这样对于解答的时候更加的能够得到特征值这一向量。
二、矩阵的特征值、特征向量和特征多项式的思路分析数学上，一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该线性变换[2]的作用下仍保持与原方向保持在同一条线上（即可能会反向，如果特征值为负），而长度则可能改变。
高代论文 矩阵的特征值与特征向量
摘要：矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高等代数中经常碰到的问题。特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础。本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法。再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.
第二步 ：求出特征多项式 的全部根，即 的全部特征值
令 ，解之得 ，为 的全部特征值。
第三步 ：求出 的全部特征向量
对 求相应线性方程组 的一个基础解系。
化简求得此方程组的一个基础解系
属于 的全部特征向量为 （k1为不等于0的实数）。
同理对 ，求相应方程组 的一个基础解系：
，
属于 的全部特征向量为 (k2,k3为不全等于0的实数）。
即
(3)
上式是以 为未知数的一元 次方程，称为方阵 的特征方程．其左端
是 的 次多项式，记作 ，称为方阵 的特征多项式．
=
显然， 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此， 阶矩阵 有 个特征值．
1.2特征值与特征向量的性质
性质1设 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量，对任意的非零常数 ，则 也是矩阵 的属于特征值 的特征向量。
二、特征值与特征向量的计算方法
2.1求解步骤
第一步 求矩阵 的全部特征值，即求特征方程 的全部跟；
第二步 求 的特征向量。
对于每一个特征值 ，求出齐次线性方程组 的一个基础解系 ，那么 就是 的属于 的全部特征向量，其中 为不全为零的任意数。
矩阵的特征值与特征向量毕业论文
矩阵的特征值与特征向量摘摘 要要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。
接下来还介绍了一类特殊矩阵——实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。
最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。
这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。
让我们的社会得到更快的发展。
让我们的社会得到更快的发展。
通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，通过阅读这篇文章，可以使读者在以后可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
的学习中对矩阵的求解更容易掌握。
关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式Matrix eigenvalue and eigenvectorZhong Y ueyuan(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)AbstractThis paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix characteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extendsto some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix -- the real symmetric matrix value and the characteristic vector,the reader of matrices have further understanding and feature vector. Finallygives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actualexample.Let us understand this study them not only because they are theacademic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practicalproblems, to make our society develop quickly. By reading this article,readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial录目 录中文摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)引言 (1)1 矩阵的特征值与特征向量 (1)1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论 (1)1.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 (4)2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (7)2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化 (7)2.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量 (9)3 矩阵的特征值与特征向量的举例应用 (10)3.1 用特征值理论求解Fibonacci数列通项 (11)3.2 在研究经济发展与环境污染中的应用 (12)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。
数学专业本科毕业论文-矩阵特征多项式及特征值的一些应用
矩阵特征多项式及特征值的一些应用xxx（xxxx大学 xx xx xxxxx）摘要在高等代数中我们学习了许多与矩阵特征多项式及特征值相关的知识，并且可以利用特征多项式及特征值来解决许多问题，而这篇论文的核心思想就是总结它在解题中的具体运用. 这篇论文中借助矩阵特征多项式及特征值详细叙述了有关矩阵零化、矩阵指数、基解矩阵以及矩阵的对角化，其中矩阵的对角化包括相似对角形与合同对角形，同时说明了实对称矩阵相似与合同之间的关系，从而形成一个与之相关的知识系统并且能够在解题中熟练地加以运用.关键词矩阵零化；基解矩阵；合同；相似；对角化；若尔当标准形The Application of Characteristic Polynomial and Characteristic Value of Matrix when Solving Mathematical Problemsxxx（xxxxuniversity xxx xxxx）Abstract: We have studied so much knowledge about characteristic polynomial and eigenvalue of matrix in the advanced algebra teaching material that we can use such knowledge to save great numbers of mathematical problems. But how to use this knowledge when saving problems? Now, let us summarize its specific use about this knowledge, which are the core ideas of this paper. In this paper，with the help of characteristic polynomial and eigenvalue of matrix，a lot of knowledgeabout zeroize matrix, the matrix index, the base solution matrix and matrix diagonalization is described in detail. Diagonalization of matrix, which includes similar diagonal form and contract diagonal form, is a very important point. So we specially illustrate the relationship between similar diagonal form and contract diagonal form of real symmetric matrix. Of course, how to form a knowledge system which involves characteristic polynomial and characteristic value of matrixand can use these knowledge skillfully when solve problems is theultimate goal of this paper.Keywords: Zeroize matrix; The base solution matrix; Similar; Jordan normal forms.目录前言 11 概念引入 12 矩阵的零化 33 矩阵指数及基解矩阵 74 对角矩阵及矩阵的对角化 104.1 矩阵的相似对角形 104.2 实对称矩阵的合同对角形 134.3 实对称矩阵合同与相似之间的关系 174.4 矩阵的若尔当标准形 19参考文献 21致谢 22前言矩阵特征多项式及其特征值可谓是高等代数的骨干级内容，在理论和应用方面都具有重要意义，大多数重要的代数知识几乎都利用到了矩阵特征多项式及其特征值中的知识和方法.在本篇论文中，首先以高等代数教材上有关矩阵特征多项式及特征值的基本定义出发来引入，然后在论文的第一部分介绍了一个有关矩阵零化的定理，哈密顿—凯莱（Hamilton—Cayley）定理，然后从这个定理出发，得到它的两个推论，其中一个涉及到矩阵指数，以此为出发点，介绍了利用矩阵特征多项式及其特征值来求线性常微分方程组基解矩阵的基本方法.论文的第二部分的主要内容是利用矩阵特征多项式及其特征值来化矩阵为对角形矩阵，包括相似对角形矩阵和与实对称矩阵合同的对角形矩阵，然后有介绍了二者的区别和联系.在这一部分的最后，又简单地说明了并不是所有的矩阵都能对角化，但可以利用特征值来化为它的若尔当标准形.本论文的主要目的是把涉及到矩阵特征多项式及特征值的众多知识联系起来，形成一个系统，从而有利于更好地学习并利用它.1 概念引入矩阵的特征多项式与特征根矩阵是高等代数中非常基本的概念，有关它的定义和一些简单的性质在许多高等代数的教材中都有所叙述，在本文的开始，我们就来先了解一下矩阵及其简单性质，详见参考文献[1]和[2].定义1.1 设是域F上的一个n阶矩阵，是一个文字，矩阵的行列式叫矩阵A的特征多项式．在内的根叫做矩阵A的特征根．的特征多项式为，它有以下性质：（1）是的阶主子式之和，特别地;（2）若有个根（例如复数根），则是的次初等对称多项式，特别地;（3）若，则，其中为的特征多项式;（4）若为上三角阵，则为的特征值;（5）若为复数域，则当且仅当其特征值（复数值）均非零.设是矩阵A的特征根，而是一个非零的列向量，使,就是说，是齐次线性方程组的一个非零解．我们称是矩阵的属于特征根的特征向量.例1 设线性变换在一组基下的矩阵为求线性变换的特征根和相应的特征向量．解：矩阵A的特征多项式为所以矩阵A的特征值为（二重）和把特征值代入齐次方程组得到它的基础解系是，因此属于的两个线性无关的特征向量就是和而属于的全部特征向量就是，，取遍数域P中不全为零的全部数对.再用特征值代入，得到它的基础解系是因此，属于的一个线性无关的特征向量就是而属于特征值的全部特征向量就是，为数域中任意不等于零的数. ▍2 矩阵的零化有关矩阵零化，最重要的一个知识就是哈密顿—凯莱定理，它利用了矩阵的特征多项式把矩阵化成一个零矩阵，下面就作一个简单地叙述，可见参考文献[1].定理2.1 哈密顿—凯莱（Hamilton—Cayley）定理设是数域上的一个阶矩阵，是的特征多项式，则=证明：设是的伴随矩阵，由行列式的性质，有（1）因为矩阵的元素是的各个代数余子式，都是的多项式，其次数不超过，因此根据矩阵的运算性质，可以写成（2）其中，，，都是数字矩阵。
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本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
谢辞 .................................................. 错误！未定义书签。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨Issues on Eigenvalue and The Characteristic Polynomial ofMatrix数学与信息工程学院数学与应用数学专业李文学指导老师: 范丽红1.引言高等代数是数学系大学生必修的一门重要基础课, 与其他一些课程的学习密切相关, 是报考数学系研究生的必考课程, 而矩阵特征值是必考的内容之一. 矩阵特征值是高等代数教学中的重点, 也是硕士研究生招生考试中高等代数课程的考试重点, 更是复杂网络以及混沌同步等研究的基础.对自然科学与工程科学的研究能力都会有所帮助.而且, 矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向. 由此可见, 在高等代数的学习当中, 使学生熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数教学中学生提出一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程的教与学质量. 然后, 对几种不同类型的矩阵, 比如正交矩阵、三角矩阵等的特征多项式做了简单的探讨.也给出了特征多项式以及特征值的求法.1.1 有关于矩阵特征值的重要结果A表示A 的转置矩阵, 1 A表示A 的逆.本文中, E 表示单位矩阵, T定理1 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.C.定理2 n 阶实矩阵A 对称正定的充分必要条件是存在n 阶实可逆矩阵C, 使得A=C T定理3 相似的矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.定理4 如果n 阶对称矩阵A 与B 合同, 即存在n 阶可逆矩阵C, 使得B ＝TC AC, 则A 与B 的正特征值、零特征值和负特征值的个数分别相等.1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题命题1.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式. 证明: 假定A ～ B, 则 B=1P AP -()11111E B E P APP P P AP P E A P P E A P E Aλλλλλλ------=-=-=-=-=-注1: 命题1 的逆是不成立的.命题1.2 若 A 与 B 为同阶方阵, 且其中至少有 一个可逆, 则 (i).A B ～ B A (ii).BA E AB E -=-λλ证明 不妨设0≠A , 则A BA A AA AB AB )()(==, 所以 A B ～ B A ,由命题1知, BA E AB E -=-λλ此处命题2的(ii )是命题 1 的结论. 事实上我们可 以将命题2中的条件“其中至少有一个可逆”去掉, 命题2的(ii )仍成立.命题1.3 若A 与B 为同阶方阵, 则)BA E AB E -=-λλ证明 设A 的特征根为,1λ2λ, …, n λ, 记其中绝对值不为零的最小者为i λ易知对任意的∈ε{0, n λ}0≠+E A ε 由命题2 的( ii) 知:()()E A B E B E A E ελελ+-=+-又由于多项式函数连续, 所以Lim ()B E A E ελ+-=Lim ()E A B E ελ+- 即BA E AB E -=-λλ若将命题3 的条件“A 与B 为同阶方阵”再行减弱为A 与B 为可乘的长方阵, 则可得以下结果.命题1.4 若A 为n ×m 阶矩阵, B 为m × n 阶矩阵, λ≠ 0 且n > m 时, 则BA E AB E m m n n -=--λλλ证明 当n > m 时, 用0 元素把A , B 分别补成n 阶方阵1A , 1B , 即BA E m m n --λλ, 由命题3 知BA E AB E m m n n -=--λλλ从相似矩阵具有相同的特征多项式出发, 逐步改变和减弱命题中相关条件, 得到了几个关于矩阵特征多项式的结论.1.3 矩阵特征值的理论及应用引入矩阵特征值及特征向量的概念对于研究线性变换, 乃至于整个线性空间、欧氏空间都是极为重要的.定理1.1 设n 阶方阵A 的特征值为i λ, i a 是A 的属于特征值i λ 的特征向量(i=1, 2, …, n),则1)kA(k 是常数)的特征值是k i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 2)2A 的特征值是2λ , 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 3)k A 的特征值是k λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 4)T A 的特征值是i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).5)A 可逆时, 1-A 的特征值是1-i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 6)A 可逆时, A 的伴随矩阵*A 的特征值是｜A ｜1-i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).7)设m m x a x a x a x f +++= 10)(, 则()A f 的特征值是()i f λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).证明 1)因为i i i A αλα=, 故(kA)i a =k(A i a )=(k i λ)i a2）因为i i i A αλα=, 2A i a =A ()i A α=A(i λi a )=i λ(A i a )=i λ(i λi a )=2i λi a 3）同理可得.4）()A E A E A E T T-=-=-λλλ从而A 与T A 具有相同的特征值.5) 因为1-A i a =i λi a , 且A 可逆, 故1-A A i a =1-A (i λi a )⇒i a =i λ (1-A i a ) 又｜A ｜=λ1λ2…λn ≠0 (A 可逆), 故λi ≠0(i=1, 2, …, n), 从而由(1)知1-A i a =i λi a .6) 因为*A =｜A ｜1-A , 再由1) 即可得结论. 7) 因为()m m A a A a E a A f +++= 10, 故有 （()m m A a A a E a A f +++= 10）i a =i m m i A a E a αα +0=i m i m i i i a a a αλαλα ++10 =()i m i m i a a a αλλ+++ 10 =f(i λ) i a例 设3 阶方阵A 的行列式｜A ｜=6, 且A 有特征值-2, 则*A 必有特征值___, *A -21-A 有特征值___, E A A A 88423+++有特征值___, E A A A 88423+++=___. 解: *A 的特征值为6×(-2)=-3, 而*A -21-A =｜A ｜1-A -21-A =4A-1又｜1-A ｜=1/6, 故*A -21-A 的特征值为 4×(-2)=-2. 故f(A)= E A A A 88423+++的特征值是f(-2)=()()()082824223=+-+-+-因为f(A)有特征值0, 所以()A f = E A A A 88423+++=0.2.一种改进的求矩阵特征值的方法在高等代数的学习过程中, 我们已经知道了初等矩阵以及初等变换, 那么, 能不能利用矩阵的初等变换来求其特征值呢？我们首先要做的一个工作就是初等变换的选择, 即如何选取一个合适的初等变换将所求矩阵变成一个上三角（或下三角）矩阵, 从而以利于我们对特征值的求解.当⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211时, 如何选取初等矩阵()s i P i ,,2,1 =把A 化为三角形式, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n c c c c c c B 22211211, 其实关键看能否把A 的主对角线元素下(或上)方的元素化为零.在换法变换和倍法变换中初等矩阵的选择比较容易, 主要讨论消法变换中初等矩阵Pi （i=1, 2, ⋯, s ）的选择.为得到初等矩阵中所用非零常数k , 只需任选矩阵A 的第i 行和第j 行（1≤i ≤j ≤n ）, 讨论jj ji ij ii a a a a ,,,这四个元素, 便可求出k 的值.对矩阵A 作成对同类型的初等行列变换, 分两种情况来看: 1)将元素ji a 化成零 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=jj ji ijii a a a a A ))((k i j +→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++ijjj ij jj ii ji ijijii ij jj ii ji ijiika a k a k a a a a ka a ka a ka a a a2)( 令)(2=--+k a k a a a ij jj ii ji ,①当ij a ≠0 时, 解得()ijjiij jj ii jj ii a a a a a a a k 242+-±-=②当ij a =0 时, 分两种情况讨论.若jj ii a a -≠0, 则iijj ji a a a k -=.若jj ii a a -=0则jj ii a a =, 此时可将A 先进行一次成对的同类型初等变换化成如①的情形, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛jiii jijiji ii iiji iiji ii ii ji ii a a a a a a a a a a a a a a然后对1A 用上法求出k 的值. 2)将元素ij a 化成零 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=jj ji ijii a a a a A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→jijj ji ji ii jj ij jiii jj ji jjij ji ii ka a a k a k a a a ka a a a ka a ka a 2 令()2k a k a a a ji ii jj ij --+ =0 ①当ji a ≠0 时, 解得()jiijji jj ii ii jj a a a a a a a k 242+-±-=②当ji a =0 时, 分两种情况讨论. 若jj ii a a -≠0, 则iijj ij a a a k -=若jj ii a a -=0, 则jj ii a a =.此时可将A 先进行一次成对的同类型初等变换化成如①的情形, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ijii ij ijij ii ijii ii ijjiii ii ijii a a a a a a a a a a a a a a a A 0 现在, 介绍这种方法的应用.对三类不同特点的矩阵分别用上文中的方法求其特征值, 来说明改进后方法对此类问题的 求解将更为简便. 类型1: 一般数字矩阵. 例2.1 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=0167121700140013A , 求矩阵A 的特征值. 解 对A 施行成对的行初等变换和列初等变换: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=0167121700140013A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→01257115000140001016712170014000101671217001400211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→11257015000140001, 所以A 的特征值为1(四重).类型2: 行元素接近矩阵.例2.2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=8156635660267155A , 求A 的特征值.解 由于A 中第1列和第4列元素在取值上比较接近, 将A 的第4列乘以(-1)加到第1列, 同 时将A 的第1行乘以(+1)加到第4 行, 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=8156635660267155A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→10006635506020715210006632506020715210006350602071521001635660267155k kkk k 令k=- 1, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→1000030060207142A , 故A 的特征值为2, - 2, 3, 1. 类型3: 对称的行(列)元素接近矩阵.例2.3 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=111111*********1A , 求矩阵A 的特征值.解 一般可直接利用A 的特征多项式进行求解, 但比较麻烦.先用初等变换化简.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→220011120020111011121112002011101111111100221111B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→1000101200201210, 由于矩阵A 与B 相似, 由此可求得 ()()()222221000112002012132+-=---=-------=-λλλλλλλλλλB E故B 的特征值为-2和2(三重), 从而A 的特征值也为-2和2(三重).总的来说, 第一, 在利用矩阵的初等变换求方阵的特征值时, 要善于观察判断该矩阵.此法对行或列比较接近的矩阵, 以及一些特殊的矩阵求特征值时会比较有效, 且计算简单便于实现.第二, 以上计算中所施行的初等变换必须是行与列同类型的初等变换, 对方阵的行与列必须配对施行, 所做变换必须是相似变换, 以保证方阵的特征值在初等变换过程中不会发生改变. 第三, 对更一般的高阶矩阵求特征值时, 如何选择有效的初等矩阵, 其方法仍是一个有待研究解决的问题.3.同时求出特征值和特征向量的一种方法如下方法, 可以同时求出特征值和特征向量. （1）. 由n 阶矩阵A , 做出一个2 n ×n 的矩阵E A Eλ-⎛⎫⎪⎝⎭, 经初等变换化成(())()i diag d λθλ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）. 求出()λi d =0 的根(0≤i ≤n), 设为k λλλ ,,21, 则k λλλ ,,21就是A 的所有不同的特征值.(3) .把j λ , 1 ≤j ≤k 代入(())()i diag d λθλ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()()λλλn d d d ,,,21 中代入j λ后为零的有()j i d λ1=0 , ()j i d λ2= 0 , ⋯, ()j i m d λ = 0 , 则Q(j λ)中第m i i i ,,,21 列构成A 的对应于特征值j λ的m 个特征向量, 且构成V λ的一组基.现在给出相关例题来说明这个方法.例: 设线性变换A 在基1,23,εεε下的矩阵是A =211211211⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 求A 的特征值与特征向量解: A =211211211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 取矩阵E A E λ-⎛⎫⎪⎝⎭, 经过一系列的初等变换, 最后可以求出特征值1231,1,4λλλ===, 其中γ=1对应的特征向量为1P →=110-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 2P →=211-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 3P →=111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.求解完毕.其实, 这种方法与课本上给出的方法有点不一样, 事实上, 在用这种方法的时候, 还需要如下3个定理.定理3.1 对任意方阵A , 矩阵λ E - A 经过一系列的初等变换可变成形1()()n d d λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的对角矩阵, 其中()λi d 是λ的非零多项式.定理3.2 对上述的()λi d 使()λi d =0的λ就是A 的特征值, 且总存在一个()n j j ≤<0, 使 ()λi d =0.定理3.3 若P(λ)(λE-A)Q(λ)=()()12,,,()n diag d d d λλλ⎡⎤⎣⎦成立, 且有()()()123*0*0(*)0*0i i i in d d d d λλλλ====, 其中12,,m i i i 是1 到n 中的m 个数,则Q(λ3) 的第12,,m i i i 列为A 的m 个线性无关的特征向量(对应于*λ) , 且Q （*λ）的第12,,m i i i 列构成A 的对应于*λ特征子空间*V λ的一组基.关于这三个定理的证明, 限于篇幅, 而且对于求解特征向量与特征值的过程也是不需要用到的, 这里就不再给出它们的证明.4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法4.1 秩为1的矩阵的特征多项式首先, 给出如下结论:定理4.1 设K 为n 阶方阵A 的特征值, x 为对应于K 的特征向量, 如果方阵A 满足方程m m A a A a A a E a +++2210=0, 那么方阵A 的特征值λ满足方20120m m a a a a λλλ+++=证明 因λ为A 的特征值, x 为对应于λ的特征向量, 所以A x = λx , 若A = E , 则显然有E x = x , 即x a Ex a 00=; 再由式(1) , 可依次得到11,,m m m m a Ax a x a A x a x λλ==, 且有x A a x A a Ax a Ex a m m ++++ 2210=2012m m a a a a λλλ+++, 即(m m A a A a A a E a +++2210 ) x =（2012m m a a a a λλλ+++）x, 由于x ≠0. 于是, 若 m m A a A a A a E a +++2210 = 0, 则2012m m a a a a λλλ+++=0即原结论成立.另一方面, 若一个n 阶方阵A = (ij a ) 的秩R (A ) = 1, 则A 中至少有一个非零元, 不妨设ki a ≠0, 且A 的各行(列) 都成比例(否则, 由行列式的性质知A 中至少有一个2 阶非零子式, 这与R (A ) = 1 矛盾) , 故A 总可以表示成如下形式A =111ki k ki ki k ki n ki a a a a a λλλλ-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()111,1,,i i n μμμμ-+, 令α=111ki k ki ki k ki n ki a a a a a λλλλ-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, Tβ=()111,1,,i i n μμμμ-+, 由此可知方阵A 总可以表示为一个非零列矩阵与一个非零行矩阵的乘积的形式.并且按照矩阵乘积的定义, 可得1111,,ki n n ki nn a a a a λμλμ==.则T βα=nn a a a ++2211根据以上论述, 来推导秩为1 的方阵的特征值的求法: 不失一般性, 设A = (ij a ) 为n 阶方阵, R (A ) = 1, 则A =αT β其中α表示一个非零列矩阵, Tβ表示一个非零行矩阵, 从而2A =αT βαT β=α(T βα) T β, 其中T βα=nn a a a ++2211 再依上述定理, 可知方阵A 的特征值满足方程20k λλ-=, 解得λ=0或λ=k.这也就是说, 秩为1的方阵A 只有零特征值和非零特征值k . 进一步提出问题: 这里的k 到底有多少个? 有多少个零特征值? 如何求k ? 根据方阵的特征值的性质111n nn a a λλ++=++故秩为1的方阵A 只有一个非零特征值k = nn a a a ++2211, 其余的n - 1个特征值都是零特征值, 即1λ=11nn a a ++, 230n λλλ====.下面通过具体的实例来说明秩为1 的方阵特征值的简便求法.例4.1 设n 阶方阵A =)0(≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a a a a , 求A 的特征值.解 显然R (A ) = 1, 则可设A =()T a a a αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a α, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 β, 则T T T T A βαβααβαβ)(2==, 而T βα=na a a a =++ , 从而naA na A T ==αβ2, A 的特征值λ满足λλna =2, 故na =λ或0=λ.以上针对秩为1 的方阵给出的一种求特征值的简便方法, 说明在求某一方阵的特征值, 包括解决其他任何实际问题时, 不要硬背理论, 死套公式, 而应根据问题的具体特点, 采取不同的解决方法.4.2 正交矩阵的特征多项式正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵, 在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用, 它具有很好的性质, 因此其特征多项式和特征根有某些独特的规律. 首先看下面的定义:定义4.1 如果一个n 阶实矩阵A 有E A A AA TT==, 即1-=A A T, 则称A 为正交矩阵. 定义4.2 设A 为n 阶矩阵, 任取1i ⋯ k i 行和1i ⋯k i 列, 位于这些行和列的交点上的2k 个元素组成一个k 阶行列式, 称为矩阵A 的k 阶主子式.引理4.1 设n 阶方阵A=（ij a ）（i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n ）的特征多项式为n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 则其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(-, 即b k =k)1(-∑≤<<≤ni i ikikiki iki ik i i i i i iki i i i i k a a a a a a a a a 11212221212111引理4.2 矩阵A 的k 阶主子式和等于A 的一切可能k 个特征根乘积之和. 引理4.3 正交矩阵的行列式的值为±1引理4.4 若A 是正交矩阵, 则A ′, *A , 1-A 都是正交矩阵. 引理4.5 正交矩阵的特征根模为1.引理4.6 若0λ是正交矩阵A 的特征根, 则10-λ也是A 的特征根 引理4.7 设U 是一个三阶正交矩阵, 且| U| = 1, 则 (i) U 有一个特征根等于1(ii) U 的特征多项式有形式1)(25-+-=λλλλt t f ( - 1 ≤t ≤3) .引理4.8 设A 为正交矩阵,(i) 若| A| = 1 , 则A 的任意k 阶子式与其代数余子式相等; (ii) 若| A| = - 1 , 则A 的任意k 阶子式与其代数余子式仅差一符号. 推论4.1 设A 为n 阶正交矩阵,（i ）若| A| = 1 , 则A 的任意k 阶主子式等于其余子式, 且k 阶主子式的余子式为A 的n -k 阶主子式;(ii) 若| A| = - 1 , 则A 的任意k 阶主子式与其余子式仅差一符号, 且k 阶主子式的余子式为A 的n - k 阶主子式.下面, 将给出正交矩阵的特征多项式 定理4.2 设A 为n 阶正交矩阵, A E f A -=λλ)( 为A 的特征多项式, 则(1) 当| A| = 1时,(i) n 为偶数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中11+--=k n k b b （k = 2 , ⋯,2n）, 1=n b . （ii ）n 为奇数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中k n k b b --=（ k = 1 ,2 , ⋯,21-n ）, n b =-1. (2) 当| A| = - 1时,(i) n 为偶数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中11+---=k n k b b （k = 2 , ⋯,2n）, n b =-1. （ii ）n 为奇数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中k n k b b -=（ k = 1 , 2 ,⋯,21-n ）, n b =1. 证 据引理1知正交矩阵A 的特征多项式为nn n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(-, 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k i i i i M 11为A 的k 阶主子式, k A 为k 阶主子式k M 的代数余子式, kn N -= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k n k n i i i i 11为k M 的余子式.（1） 当| A| = 1时, k n i i k k N A M k -+-==)(21)1( =k n N -因k M 为A 的k 阶主子式, 所以k n N -为A 的n - k 阶主子式, 故A 的一切k 阶主子式之和等于A 的一切n - k 阶主子式之和.(i) n 为偶数时, )(λf 有奇数项, 由1-k M =1+-k n N , 且1-k b 为所有1-k M 之和乘以1)1(--k , 1+-k n b 为所有1+-k n N 之和乘以1)1(+--k n , 其中1)1(--k = 1)1(+--k n ( n 为偶数) . 故11+--=k n k b b （k = 2 , ⋯, 2n）, 1)1(=-=A b n n(ii) n 为奇数, )(λf 有偶数项, 由1-k M =1+-k n N 和k n k N M -= , 且k b 为所有k 阶主子式之和乘以k )1(- , k n b -为所有n - k 阶主子式之和乘以k n --)1(, 其中k )1(-与k n --)1(相差一符号, 故k n k b b --=（ k = 1 , 2 , ⋯,21-n ）, 1)1(-=-=A b n n 所以, 若| A| = 1 , 当n 为偶数时, A 的特征多项式有奇数项, 它以n b 为中间项, 左右对称项的系数相同, 其中包括首项系数与常数项n b ; 当n 为奇数, A 的特征多项式有偶数项. 处在对称位置的左右两项系数仅差一符号, 因首项系数为1 , n b 为- 1 , 故也包括在内. （2）若| A | = 1, k M =k A -=k n k n i i N N k --+-=--)(21)1(故A 的一切k 阶主子式之和与A 的一切n-k 阶主子式之和仅差一符号.(i) n 为偶数时, )(λf 有奇数项, 1-k M =-1+-k n N , 且1-k b 为所有1-k M 之和乘以1)1(--k , 1+-k n b 为所有1+-k n N 之和乘以1)1(+--k n , 其中1)1(--k = 1)1(+--k n ( n 为偶数) . 故 1+--=k n k b b （k = 2 , ⋯,2n）, 1)1(-=-=A b n n . (ii) n 为奇数, )(λf 有偶数项, 1-k M =-1+-k n N , k n k N M --=, 且k b 为所有k 阶主子式之和乘以k )1(- , k n b -为所有n - k 阶主子式之和乘以k n --)1(, 其中k )1(-与k n --)1(相差一符号, 故k n k b b -=（k = 2 , ⋯,2n）, 1)1(=-=A b n n 所以, 若| A| = - 1 , 当n 为偶数时, A 的特征多项式有奇数项, 以2n b 为中间项, 左右两边对称项的系数相差一符号, 因首项系数为1, n b 为-1, 故也包括在内; 当n 为奇数时, A 的特征多项式有偶数项, 处在对称位置的左右两项系数相同, 因首项系数为1, n b 为1, 所以也包括在内.4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法这里用递推的方法给出一种求三对角矩阵特征多项式的算法.首先, 给出一个定理:定理4.3 若A 的特征多项式0111a a a A E n n n ++++=---λλλλA E -λ的伴随矩阵adj (A E -λ) = 1-n λ 1-nB + 2-n λ 2-n B + ⋯+ λ1B +0B , 则adj (A E -λ) 与A E -λ的系数j B , j a ( j =n -1, n -2, ⋯, 1, 0) 有如下关系:1102211121AB E a B AB E a B AB E a B E B n n n n n n nn +=+=+==----)(1)(11)(21)(00112211AB tr na AB tr n a AB tr a AB tr a n n n n -=--=-=-=---- 其中)(1-n AB tr 为矩阵1-n AB 的迹, 余类推但当矩阵A 是实三对角矩阵时, 上述结果计算量偏大. 那么, 在这里, 给出一种针对三对角矩阵特征多项式给为简便的方法. 首先, 看下面的引理:引理4.9 记⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--n n n b a c c b a c b A 1122111 , i a , i b , i c 为实数. k A 表示A 的k 阶顺序主子式, 其中11b A =, A n = A, 设k A 的特征多项式为)(λϕk , 有递推关系: ()()()()()()()()()λϕλϕλλϕλϕλϕλλϕλλϕλϕ21110111221101)(------=--=-==n n n n n n c a b c a b b由于该递推公式没有直接给出A E -λ中λ的各次幂的系数, 使用不太方便. 下面给出一种求三对角矩阵特征多项式系数的简便方法, 通过递推, 直接确定i a (i=n-1, ⋯, 1, 0).定理4.4 设A 的特征多项式0111a a a A E n n n ++++=---λλλλ ,k A 的特征多项式()()()()k k k k k k k a a a 0111++++=--λλλλϕ , 其中()()()n n n n a a a 011,,, -为011,,,a a a n -, 则()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=------------2021231110111201211022202133330313211102220211101011111011011011n n n n n n n n n n n nnn n n n n na a a c a a a ab b b a a a a ac a a a b b b a a a c a a b b a a b a这就是实三对角矩阵特征多项式的求法公式, 下面将结合一道例题对本定理进行一定说明.例4.2 若A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1134521213, 求A E -λ.解 由上述方法, 可得()310-=a ()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54102311112021a a ()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛414014303132a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011831010541 ()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111*********a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251116954103101181 所以 A E -λ=2511169234-++-λλλλ.本篇论文是在掌握对高等代数课本知识了解的基础上, 着重对以上几种特殊的矩阵进行研究, 参考借鉴了前辈学者对这一方面的研究, 不再是单一的求出某一类矩阵的特征多项式, 而是综合性地给出以上几种矩阵的求法.不过, 依然还存在着许多问题, 希望能在以后的学习和研究中得到更深的解决.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005.[2] 刘剑平, 曹宵临. 线性代数复习与解题指导[M ]. 上海: 华东理工大学出版社, 2001.[3] 许甫华.高等代数解题方法[M].北京: 清华大学出版社, 2001.[4] 张继昌.大学数学考研专题复习[M].北京: 科学出版社, 2004.[5] 钱志强. 线性代数教与学参考[M ]. 北京: 中国致公出版社, 2001.[6] 张德菊, 张晓敏. 正交矩阵的特征值及特征根[J]. 大学数学, 23(1): 152-154.[7] 周雪娟, 关于矩阵特征根与特征向量的一个简洁求法[J]. 浙江海洋学报, 1999, 18(4): 350-353.[8] 黄映雪, 关于矩阵特征多项式的几个命题[J]. 阜阳师范学院学报, 2006, 23(2): 27-28.[9] 李巍, 胡方景. 关于矩阵的特征多项式的展开式[J]. 青海师专学报, 2001, 6: 8-9.[10] 刘亚亚, 程国. 一种改进的求方阵特征值的方法[J]. 商洛学院学报, 2008, 22(2) : 15-16.[11] 陈攀峰, 矩阵特征问题的计算方法[J]. 宿州师专学报, 2003, 18(1): 75-77.[12] 何翼, 求矩阵的特征值与特征向量的新方法[J]. 铜仁学院学报, 2009, 11(3): 139.[13] 孙长春, 孙淑鸿.同时求出特征值和特征向量的一种方法[J]. 长春工业大学学报, 2003, 24 (2): 59-60.[14] 研究生入学考试试题研究组. 研究生入学考试考点解析与真题详解[M]. 电子工业出版社, 2008.[15] 张文瑾. 矩阵特征多项式的一种方法[J ]. 数学通报, 1988, 9: 28[16] 蒋尔雄, 高坤敏, 吴景琨. 线性代数[M ]. 成都: 四川大学出版社, 1985.[17] 赵立新,曾文才.利用矩阵的初等变换求方阵的特征值[J].大学数学,2004，20(3):62- 64.[18] 陈红，李信巧.矩阵的Jordan 标准形及相似变换矩阵的初等变换求法[J].高等数学研究,2003，13(2)：23- 26.[19] JENO SZIGETI. 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