人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形 综合培优训练(含答案)

人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形

综合培优训练

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定(

)

A ．形状、大小均不相同

B ．形状相同，但大小不同

C ．大小相同，但形状不同

D ．形状、大小均相同

2. 如图

1所示的图形中与图2中图形全等的是 ( )

图1 图2

3. 如图，△ABC ≌△EDF ，DF=BC ，AB=ED ，AC=15，EC=10，则CF 的长是

( )

A .5

B .8

C .10

D .15

4.

如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使

△ABC△△DEC ，不能添加的一组条件是( )

A ．BC ＝EC ，△

B ＝△E B ．B

C ＝EC ，AC ＝DC C ．BC ＝DC ，△A ＝△D

D ．△B ＝△

E ，△A ＝△D

5. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，

若4AB =，3CF =，则BD 的长是

A．0.5 B．1

C．1.5 D．2

6. 下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．

如图，已知△AOB，求作：△DEF，使△DEF＝△AOB.

作法：(1)以__△__为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；

(2)作射线EG，并以点E为圆心，__○__长为半径画弧交EG于点D；

(3)以点D为圆心，__△__长为半径画弧交前弧于点F；

(4)作__△__，则△DEF即为所求作的角．

则下列回答正确的是()

A．△表示点E B．○表示ED

C．△表示OP D．△表示射线EF

7. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是()

A．AB＝DE B．AC＝DF

C．△A＝△D D．BF＝EC

8. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()

A.3

B.-3

C.2

D.-2

9. 如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN 的长度的取值范围为()

A.PN<3

B.PN>3

C.PN≥3

D.PN≤3

10. 如图，已知在四边形ABCD中，△BCD＝90°，BD平分△ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()

A．24 B．30

C．36 D．42

11. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为()

A.6.5

B.5.5

C.8

D.13

12. 如图，∠AOB＝120°，OP平分△AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 3个以上

二、填空题（本大题共12道小题）

13. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，△1＝△2，△A＝△D，要使△ABC△△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____________(只需写出一个)．

14. 如图所示，把△ABC沿直线AC翻折，得到△ADC，则△ABC△________，AB 的对应边是________，AC的对应边是________，△BCA的对应角是________.

15. 已知△ABC的三边长分别是6，8，10，△DEF的三边长分别是6，6x－4，4x ＋2.若两个三角形全等，则x的值为________．

16. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．

17. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED 与AB相交于点G.若△ACD＝40°，则△AGD＝________°.

18. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.

19. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D

处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．

20. 如图，AB△CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则△BPD的度数为________．

21. 如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=.

22. 如图所示，已知AD△BC，则△1＝△2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC△△CBA，理由是______，则△DCA＝△BAC，理由是__________________，则AB△DC，理由是________________________________．

23. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，△A＝80°，△BDC＝120°，则△B＝________°.

24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是.

三、作图题（本大题共2道小题）

△，请根据“S 25. 尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知ABC

AS”基本事实作出DEF

△≌△．

△，使DEF ABC

26. 如图，已知△ABC.

求作:直线MN，使MN经过点A，且MN∥BC.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

四、解答题（本大题共6道小题）

27. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：△ADE△△CDF.

28. 已知:如图12-3-12,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,.

求证:.

请你补全已知和求证,并写出证明过程.

29. 如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20 m，30 m，40 m．现要把它分成面积比为2△3△4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

30. 如图，BD是△ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM△AD，PN△CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.

31. 如图，已知△C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.

(1)求△APB的度数．

(2)求证：点P在△C的平分线上．

(3)求证：△PD＝PE；△AB＝AD＋BE.

32. 如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取CG＝AB，连接AG，AD.

求证：(1)△BAD△△CGA；

(2)AD △AG .

人教版 八年级数学下册 第12章 全等三角形

综合培优训练-答案

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 【答案】D

2. 【答案】B

3. 【答案】A

[解析] ∵△ABC ≌△EDF ，AC=15，

∴EF=AC=15. ∵EC=10，

∴CF=EF -EC=15-10=5.

4. 【答案】C

5. 【答案】B

【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，

在ADE △和FCE △中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，

∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ．

6. 【答案】D

7. 【答案】C

[解析] 选项A 中添加AB ＝DE 可用“AAS”进行判定，故本选项不

符合题意；

选项B 中添加AC ＝DF 可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；

选项C 中添加△A ＝△D 不能判定△ABC△△DEF ，故本选项符合题意； 选项D 中添加BF ＝EC 可得出BC ＝EF ，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.

8. 【答案】A

[解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点 E.

∵点D 的坐标是(0，-3)， ∴OD=3.

∵AD 是△OAB 的角平分线， ∴ED=OD=3，

即点D 到AB 的距离是3.

9. 【答案】C

[解析] 作PM ⊥OB 于点M.∵OP 平分∠AOB ,PE ⊥OA ,PM ⊥OB ,∴

PM=PE=3.∴PN ≥3.

10. 【答案】B

[解析] 过点D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于点H.

∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°， ∴DH ＝CD ＝4.

∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB·DH ＋12BC·CD ＝12×6×4＋1

2×9×4＝30.

11. 【答案】A

[解析] 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分

线,DF ⊥AB ,DH ⊥AC ,

∴DF=DH.

在Rt △DFE 和Rt △DHG 中,

∴Rt △DFE ≌Rt △DHG. 在Rt △ADF 和Rt △ADH 中,

∴Rt △ADF ≌△ADH. 设△EDF 的面积为x.

由题意得,38+x=51-x ,解得x=6.5,

∴△EDF 的面积为6.5.

12. 【答案】D

【解析】如解图，①当OM 1＝2时，点N 1与点O 重合，

△PMN 是等边三角形；②当ON 2＝2时，点M 2与点O 重合，△PMN 是等边三角形；③当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PMN 是等边三角形；④当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△

OPN 4(SAS)，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PMN 是等边三角形，此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D.

二、填空题（本大题共12道小题）

13. 【答案】AB ＝DE(答案不唯一)

14. 【答案】△ADC

AD AC △DCA [解析] △ABC 与△ADC 重合，则

△ABC△△ADC.

15. 【答案】2

[解析] 由全等三角形的对应边相等可知有以下两种情况：

△4x ＋2＝10，解得x ＝2； 6x －4＝8， 解得x ＝2.

由于2＝2，所以此种情况成立． △4x ＋2＝8，解得x ＝3

2； 6x －4＝10，解得x ＝7

3.

由于32≠7

3，所以此种情况不成立． 综上所述，x 的值为2.

16. 【答案】2.5

[解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，△S △ABC ＝1

2×8·h

＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.

17. 【答案】40 [解析] 在△ABC 和△DEC 中，

⎩⎨⎧CA ＝CD ，

AB ＝DE ，BC ＝EC ，

△△ABC△△DEC(SSS)． △△A ＝△D.

又△△AFG ＝△DFC ，

△△AGD ＝△ACD ＝40°.

18. 【答案】12 [解析] 如图，连接BE.∵D 为Rt △ABC 中斜边BC 上的一点，过点D 作BC 的垂线，交AC 于点E ，∴∠A=∠BDE=90°.

在Rt △DBE 和Rt △ABE 中，

∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm ，∴DE=12 cm .

19. 【答案】17 [解析] 在△ABC 和△EDC 中，

⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，

BC ＝DC ，

∠ACB ＝∠ECD ，

∴△ABC ≌△EDC(ASA)．

∴AB ＝ED ＝17米．

20. 【答案】90° [解析] △点P 到AB ，BD ，CD 的距离相等，△BP ，DP 分别平分△ABD ，△BDC.

△AB△CD ，△△ABD ＋△BDC ＝180°.

△△PBD ＋△PDB ＝90°.故△BPD ＝90°.

21. 【答案】 9

22. 【答案】两直线平行，内错角相等

SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行

23. 【答案】20 [解析] 如图，过点D 作射线AF.

在△BAD 和△CAD 中，

⎩⎨⎧AB ＝AC ，

AD ＝AD ，BD ＝CD ，

△△BAD△△CAD(SSS)．

△△BAD ＝△CAD ，△B ＝△C.

△△BDF ＝△B ＋△BAD ，△CDF ＝△C ＋△CAD ，

△△BDF ＋△CDF ＝△B ＋△BAD ＋△C ＋△CAD ，

即△BDC ＝△B ＋△C ＋△BAC.

△△BAC ＝80°，△BDC ＝120°，

△△B ＝△C ＝20°.

24. 【答案】16 [解析] ∵BF ∥AC ，

∴∠EBF=∠EAD.

在△BFE 和△ADE 中，

∴△BFE ≌△ADE (ASA).∴BF=AD.

∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD.

∵当FD ⊥AC 时，FD 最短，此时FD=BC=5，

∴四边形FBCD 周长的最小值为5+11=16.

三、作图题（本大题共2道小题）

25. 【答案】

如图，

DEF △即为所求．

26. 【答案】

解:如图所示，作∠MAB=∠B ，则直线MN 即为所求(其他方法合理也可).

四、解答题（本大题共6道小题）

27. 【答案】

证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AD ＝CD.(2分)

又∵E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，

∴DE ＝DF.(4分)

在△ADE 和△CDF 中，

⎩⎨⎧AD ＝CD

∠ADE ＝∠CDF DE ＝DF

，

∴△ADE ≌△CDF(SAS )．(8分)

28. 【答案】

解:PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E

PD=PE

证明:∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,

∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO 和△PEO 中,

∴△PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE.

29. 【答案】

解：(答案不唯一)如图，分别作△ACB 和△ABC 的平分线，相交于点P ，连接PA ，则△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积之比为2△3△4.

理由如下：

如图，过点P 分别作PE△AB 于点E ，PF△AC 于点F ，PH△BC 于点H. △P 是△ABC 和△ACB 的平分线的交点，

△PE ＝PF ＝PH.

△S △PAB ＝12AB·PE ＝10PE ，S △PAC ＝12AC·PF ＝15PF ，S △PBC ＝12BC·PH ＝20PH ， △S △PAB △S △PAC △S △PBC ＝10△15△20＝2△3△4.

30. 【答案】

证明：△BD 是△ABC 的平分线，

△△ABD ＝△CBD.

在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，

△ABD ＝△CBD ，BD ＝BD ，

△△ABD△△CBD(SAS)．

△△ADB ＝△CDB.

△点P 在BD 上，PM△AD ，PN△CD ，

△PM ＝PN.

31. 【答案】

解：(1)△AE ，BD 是△ABC 的角平分线，

△△BAP ＝12△BAC ，△ABP ＝12△ABC.

△△BAP ＋△ABP ＝12(△BAC ＋△ABC)＝12(180°－△C)＝60°.△△APB ＝120°.

(2)证明：如图，过点P 作PF△AB ，PG△AC ，PH△BC ，垂足分别为F ，G ，H.

△AE ，BD 分别平分△BAC ，△ABC ，

△PF ＝PG ，PF ＝PH.

△PH ＝PG.

又△PG△AC ，PH△BC ，

△点P 在△C 的平分线上．

(3)证明：△△△C ＝60°，PG△AC ，PH△BC ，

△△GPH ＝120°.

△△GPE ＋△EPH ＝120°.

又△△APB ＝△DPE ＝△DPG ＋△GPE ＝120°，

△△EPH ＝△DPG.

在△PGD 和△PHE 中，

⎩⎨⎧△PGD ＝△PHE ＝90°，

PG ＝PH ，

△DPG ＝△EPH ，

△△PGD△△PHE.△PD ＝PE.

△如图，在AB 上截取AM ＝AD.

在△ADP 和△AMP 中，

⎩⎨⎧AD ＝AM ，

△DAP ＝△MAP ，AP ＝AP ，

△△ADP△△AMP.

△△APD ＝△APM ＝60°.

△△EPB ＝△MPB ＝60°.

在△EBP 和△MBP 中，

⎩⎨⎧△EPB ＝△MPB ，

BP ＝BP ，

△EBP ＝△MBP ，

△△EBP△△MBP.

△BE ＝BM.

△AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.

32. 【答案】

证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，

∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.

∴∠ABE ＝∠ACF.

在△BAD 和△CGA 中，⎩⎨⎧AB ＝GC ，

∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，

∴△BAD ≌△CGA(SAS)．

(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.

∵∠AFG ＝90°，

∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG.