全等三角形培优(含答案)课件.doc
全等三角形培优(含答案)
全等三角形培优(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D为BC中点，AD为整数，求AD。
2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F为CD中点，证明∠1=∠2.3.已知三角形ABC中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。
4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。
6.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
证明BC=AB+DC。
7.已知AB=CD，∠A=∠D，证明∠B=∠C。
8.P为∠BAC平分线上一点，AC>AB，证明PC-PB<AC-AB。
9.已知在三角形ABC中，E为AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC。
10.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D，证明AD+BC=AB。
11.如图，△ABC中，AD为∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，证明∠C=2∠B。
12.如图，AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF，证明AM是△ABC的中线。
13.已知三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，证明BE=CD。
14.在直角三角形ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥XXX于D，BE⊥XXX于E。
当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，证明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE。
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，①中的结论不成立。
15.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
证明：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF。
16.如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，不能证明AB与AC+BD相等。
17.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作CE垂直于AB交于E，证明AE=BE。
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD 在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD +∠CAD =12×180°=90°，∴顶角∠BAC =90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．3．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.4．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NO P）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．5．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明CAI?BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=∠=∠=∴CAE?BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=?∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC=，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ?的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ?=++=++=+=+= 故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，推出∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出QP ∥AB 即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS．【详解】解：连接AP①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.8．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，…若∠A=70°，则锐角∠A n的度数为______.【答案】1702n -? 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702? 同理可得：∠232A A B =2702? ∠343A A B =3702? …….以此类推：∠A n =1702n -? 故答案为：1702n -?. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..9．如图，已知30AOB ∠=?，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N ，证明△PMD ≌△PND ，进而求出DF 长度，从而求出OF 的长度.【详解】如图所示，作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP ，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND ≌△PMD ，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.10．如图，D 为ABC ?内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD 构建全等三角形是证明此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ? 和BEF ? 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ? 和BEF ? 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ? 和BEF ? 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C13．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）A．7.5°B．10°C．15°D．18°【答案】C【解析】根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据AE=AD，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，即得到∠DEC=α=15°，故选C.点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．14．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG ∥BC【答案】B【解析】试题解析：A.ABC和CDE△均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD∴==∠=∠=?，，，在ACD与BCE中，{AC BCACD BCECD CF=∠=∠=，ACD BCE∴≌，AD BE∴=，正确.B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA∠=?-?-?=?=∠，ACD BCE≌，CBE CAD∴∠=∠，在ACG和BCF中，{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠，ACG BCF∴≌，CG CH∴=，又∵∠ACG=60°∴是等边三角形，正确.CFGD.CFG是等边三角形，∴∠?=∠﹦，CFG ACB60∴正确..FG BC故选B.15．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120o；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE?△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE?△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ?△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120o；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE?△DCB(SAS)∴AE＝BD，∴①正确；∵△ACE?△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，在△ACM 和△DCN中，∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠??=??∠=∠=??∴△ACM ?△DCN （ASA ）,∴CM ＝CN ，∴②正确；∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN ∥AB ，∴③正确；∵△ACE ?△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵∠AMC=∠DMO ，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB ＝120o，∴④正确；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，在△ACG 和△DCH 中，∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=??∠=∠??=?∴△ACG ?△DCH （AAS ），∴CG =CH ，∴OC 平分∠AOB ，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.16．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( ) A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．17．如图，P 为∠AOB 内一定点，M 、N 分别是射线OA 、OB上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】A【解析】【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质求解．【详解】作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，∵PP 1关于OA 对称，∠MPN=110°∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP 1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM ，同理可得：∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ，∴△P 1OP 2是等腰三角形．∴∠OP 2N=∠OP 1M ，∴∠P 1OP 2=180°-110°=70°，∴∠AOB=35°，故选A ．【点睛】考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P 1OP 2是等腰三角形是．18．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（）（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）CH EH AC +=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ；（3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得2AB HM =；（4）结合（1）（2）的结论，BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.【详解】解：①延长AB 取BD=BE ，连接DE ，∴∠D=∠BED ，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C ∠=∠，∴∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，DAE CAE D C AE AE ∠=∠??∠=∠??=?，∴ADE ACE ≌∴AC=AD=AB+BE ，故（1）正确；②在HC 上截取HF=BH,连接AF ，∵AH BC ⊥，∴△ABF 为等腰三角形，。
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三角形培优练习题1已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2 已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D , F 是CD 中点，求证:A 3 已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC4 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C5 已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD ,且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
7 已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求DC10.如图，已知AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证：AD + BC=AB.11如图，△ ABC中，AD是/ CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B12 如图：AE BC交于点M F 点在AMk, BE// CF, BE=CF求证：人皿是厶ABC的中线。
E13已知：如图，AB=AC, BD AC, CE AB，垂足分别为D、E, BD、CE相交于点F。
求证：BE =CD.C14在厶ABC中，ACB 90 , AC BC，直线MN经过点C，且AD MN于D ,BE MN于E •⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ADC也CEB :②DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立,15 如图所示，已知AE! AB, AF丄AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF ( 2) EC丄BF请给出证明；若不成立，说明理由B C16.如图，已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗？请说明理由17.如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52 证明：连接BF 和EF。
(最新整理)培优专题全等三角形
2021/7/26
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知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
种解 方题
2.SSS；
法 中 3.SAS；
常 用
4.ASA；
不包括其它形 状的三角形
的 5.AAS.
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直角三角形 全等特有的条件：HL.
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总结：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等 （“SSS”)
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5.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB 两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线 上截取CG=AB，连结AD、AG。
求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
2021/7Biblioteka 26276.已知：如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC
2.如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，
那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB
D
∴ △EBC≌△EBD (AAS)
∴ BC=BD
在△ABC和△ABD中
AB=AB
∠1=∠2
BC=BD
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
(最新整理)培优专题全等三角形
2021/7/26
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培优专题
全等三角形
2021/7/26
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1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变 化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角 形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
全等三角形问题培优
全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。
全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。
本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。
一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。
1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。
3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。
利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。
二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。
利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。
如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。
2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。
通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。
例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。
然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。
3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。
通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。
全等三角形专题培优(带答案)
全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。
全等三角形培优讲义
全等三角形常见辅助线作法【知识导图】思维模式是全等变换中的“对折”.2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“旋转”.3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4)过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明. 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利 用三角形面积的知识解答.第二部分：例题剖析、倍长中线(线段)造全等概念三边之和大于等于第三边稳定性与三角形有关的线段中线角平分线高三角形内角和定理 三角形与三角形有关的角三角形的外角性质直角三角形判定多边形及其内角和【导学】全等三 角形第一部分：知 识点回顾—常见辅助线的作法 有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边 上的高，利用 “三线合一” 的性质解题，精准诊查已知，如图△ABC 中，AB=5, AC=3,贝忡线AD 的取值范围是 E 、F 分别在 AB AC 上, DEL DF , D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例1、（ “希望杯”试题） 例2、如图，△ ABC 中, 例3、如图，△ ABC 中, BD=DC=AC E 是DC 的中点，求证： AD 平分/ BAE.二、截长补短 1、如图, 2、如图, ABC 中,AB=2AC AD 平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD L A(B AC// BD,EA,EB 分别平分/ CAB,/ DBA CD 过点 E ,求证;AB = AC B已知在VABC 内， BAC 60 , C求证P B > P A .例2如图，在厶ABC 的边上取两点 D 、E ,且BD=CE 求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ ABC 中，/ B=60°, △ ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD2、如图,△ ABC 中,AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DE! AB 于 E, DF L AC 于 F.(1)说明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a , AC=b ,求 AE 、 BE 的长.五、旋转例1正方形ABCD 中 , E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF / EAF 的度数.FC如图,340° , P , Q例1 ADABC 的角平分线，直线MN L AD 于为MN 上一点，△ ABC 周长记为P A , △ EBC 周长记为F B .求例2如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN贝U AMN的周长为_________________ 例3设点E、F分别在正方形ABCD的边BC CD上滑动且保持/ EAF=4f,AP± EF 于点P,(1) 求证：AP=AB ( 2)若AB=5,求厶ECF的周长。
人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)
《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。
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三角形培优练习题1 已知：AB=4 ，AC=2 ，D 是BC 中点，AD 是整数，求ADAB CD2 已知：BC=DE ，∠B=∠E，∠C=∠D，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2A21B EC F D3 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACA21FCDEB4 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CA15 已知：AC 平分∠BAD ，CE⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC，BE、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD，且点 E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
7 已知：AB=CD ，∠A= ∠D，求证：∠B=∠CA DB C8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCAP DB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5 ，AC=7 ，求DCDCFAE B10．如图，已知AD∥BC，∠PA B的平分线与∠CBA 的平分线相交于E，CE 的连线交AP 于D．求证：AD +BC=AB．PCEDA B11 如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BACD B12 如图：AE、BC交于点M，F 点在AM上，BE∥C F，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
AE313 已知：如图，AB=AC，BD AC，CE AB，垂足分别为D、E，BD、CE 相交于点F。
求证：BE =CD．CDFEB A14 在△ABC 中，ACB 90 ，AC BC ，直线M N经过点 C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E .(1) 当直线M N绕点C 旋转到图1的位置时，：①ADC ≌CEB；②DE AD BE ；求证(2) 当直线M N绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，明理由.请给出证明；若不成立，说15 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFFE AMB C16．如图,已知AC∥BD，EA、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由17．如图9 所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过 C 作AD 的垂线，交AB 于点E，交AD 于点F，求证：∠ADC ＝∠BDE ．CDFA BE图95全等三角形证典（答案）明经1. 延长A D 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则A D=52证明：连接BF 和EF。
因为B C=ED,CF=DF, ∠BCF= ∠EDF。
)。
所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。
接BE。
连在三角形BEF 中,BF=EF。
所以∠EBF=∠BEF。
∠ABC= ∠AED 。
又因为所以∠ABE= ∠AEB 。
所以AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF= ∠ABE+ ∠EBF=∠AEB+ ∠BEF=∠AEF 。
所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以∠BAF= ∠EAF ( ∠1=∠2)。
3证明：于G线过E点，作EG//AC ，交AD 延长∠DEG= ∠DCA ，∠DGE= ∠2则又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE（AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC4证明：接ED在AC 上截取AE=AB ，连∵AD 平分∠BAC∴∠EAD= ∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS）∴∠AED= ∠B，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED= ∠C+∠EDC=2 ∠C∴∠B=2∠C5证明：接CF在AE 上取F，使EF＝EB，连C E⊥AB因为所以∠CEB＝∠CEF＝90°E B＝EF，CE＝CE，因为所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFAA C 平分∠BAD因为所以∠DAC ＝∠FACA C ＝AC又因为所以△ADC ≌△AFC （SAS）所以AD ＝AF所以AE＝AF＋FE＝AD ＋BE6证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE= ∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+ ∠D=180°;∠EFC=∠D;又∠EFB+∠EFC=180°,则又∠FCE=∠DCE,CE=CE, 故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.7证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E，（当AD<BC时，E 点是射线B A,CD 的交点，当AD>BC时，E 点是射线A B,DC 的交点）。
：则△AED 是等腰三角形。
所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE ( 等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角B= 角C.8 作B 关于AD 的对称点B‘，因为A D 是角BAC 的平分线，CB'在线段AC 上（在AC 中间，因为A B较短）P C<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C而, B'C=AC-AB'=AC-AB, 所因为以PC-PB<AC-ABAP DB9 作AG∥BD 交DE 延长线于GAGE 全等BDEAG=BD=5AGF ∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=210证明：线，与AP 相交于 F 点，做BE 的延长∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=18°0，又∵，AE，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+ ∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形∠FAB 的角平分线在三角形ABF 中，AE ⊥BF，且AE为∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC= ∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF 与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC11证明：在AB 上找点E，使AE=AC∵AE=AC ，∠EAD= ∠CAD ，AD=AD∴△ADE ≌△ADC 。
DE=CD ，∠AED= ∠C∵AB=AC+CD ，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B= ∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2 ∠B12证明：∵BE ‖CF∴∠E=∠CFM ，∠EBM= ∠FCM∵BE=CF∴△BEM ≌△CFM∴BM=CM∴AM 是△ABC 的中线.13证明：因为A B=AC ，所以∠EBC= ∠DCBB D⊥AC ，CE⊥AB因为所以∠BEC= ∠CDBBC=CB ( 公共边)有三角形EBC 全等于三角形DCB则所以BE＝CD14明：∵∠ACB=90°，（1）证∴∠ACD+ ∠BCE=90°，而AD ⊥MN 于D，BE⊥MN 于E，∴∠ADC= ∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD= ∠CBE．在Rt△ADC 和Rt△CEB 中，{ ∠ADC= ∠CEB∠ACD= ∠CBE AC=CB ，∴Rt△ADC ≌Rt△CEB（AAS ），∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=DC+CE=BE+AD ；明：在△ADC 和△CEB 中，{ ∠ADC= ∠CEB=90°∠ACD= ∠CBE AC=CB ，（2）不成立，证∴△ADC ≌△CEB（AAS ），∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；15（1）证A E 垂直AB明;因为所以角EAB= 角EAC+ 角CAB=90 度A F 垂直AC因为所以角CAF= 角CAB+ 角BAF=90 度所以角EAC= 角BAFA E=AB AF=AC因为所以三角形EAC 和三角形FAB 全等所以EC=BF角ECA= 角F线交于点GF B 与EC 的延长（2）延长角ECA= 角F(已证）因为所以角G=角CAF角CAF=90 度因为所以EC 垂直BF16 在AB 上取点N ,使得AN=AC∠CAE= ∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以∠ANE= ∠ACE又AC 平行BD所以∠ACE+ ∠BDE=180而∠ANE+ ∠ENB=180所以∠ENB= ∠BDE∠NBE= ∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD17证明：作CG 平分∠ACB 交AD 于G∵∠ACB=90°∴∠ACG= ∠DCG=4°5∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG= ∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+ ∠DCF=90°∵∠ACF+ ∠CAF=90°∴∠CAF= ∠DCF∵AC=CB ∠ACG= ∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG= ∠B CD=BD∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC= ∠BDE。