幂函数基础填空题(含答案)
高中试卷-专题3.3 幂函数(含答案)
专题3.3 幂函数1 幂函数的定义一般地，形如y =x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．注 (1)注意幂函数中x α的系数是1，底数是变量x ，指数α是常数；2正数的正分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：a mn=>0,m,n ∈N ∗,且n >1) 巧记“子内母外”(根号内的m 作分子，根号外的n 作为分母)(2)正数的正分数指数幂的意义：a−m n=1a m n>0,m,n ∈N ∗,且n >1)(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3幂函数图像及其性质(1) 幂函数y =x,y =x 2,y=x 3,y=x 12,y =x −1的图象．(2) 幂函数y =x,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x −1的性质y =xy =x 2y =x 3y =x 12y =x −1图象定义域R R R [0,+∞)x ≠0值域R [0,+∞)R [0,+∞)x ≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R 上递增在(−∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R 上递增在[0,+∞)上递增在(−∞,0)上递减在(0,+∞)上递减定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)(3)性质① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．一、单选题1．幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,¥+上单调递减，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-【答案】A【解析】因为22()(22)m f x m m x -=--是幂函数，故2221m m --=，解得3m =或1-，又因为幂函数在(0,)+¥上单调递减，所以需要20m -<，则 1.m =-故选：A2．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x =的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b c d a >>>，故选：D3．已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（ ）A ．12B ．1CD ．2【来源】辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】由题意，()()22abAB m m =-，a bCD m m =-，根据图象可知10b a >>>，当01m <<时，()()22abm m >，a b m m >，因为AB CD =，所以()()22a b a bab a b m m m m mm m m -=+-=-，因为0a b m m ->，可得1a b m m +=.故选：B4．已知幂函数()()()22421mm f x m x m R -+=-Î在()0,¥+上单调递减，设153a =，51log 3b =，5log 4c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f b f a f c <<【来源】广东省梅州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C 根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =，当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,¥+上单调递增，不合题意，当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,¥+上单调递减，所以2()f x x -=.因为10555551330log 1log 3log 4log 51=<=<<<=，，又155log 3log 3b -=-=，所以b c a -<<，因为()f x 在()0,¥+上单调递减，所以()()()f b f c f a ->>，又因为2()f x x -=为偶函数，所以()()f b f b -=，所以()()()f b f c f a >>.故选：C5．设0.3log 2a =，0.3log 3b =，0.33c =，30.3d =，则这四个数的大小关系是（ ）A ．a b c d<<<B ．b a d c<<<C ．b a c d<<<D ．d c a b<<<【来源】广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：∵0.30.30.3log 3log 2log 10<<=，∴0b a <<，又0.3003331,10.30.30>==>>，∴0c d >>，故b a d c <<<.故选：B.6．设21log 3a =，0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c<<【来源】广东省广雅中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】2log y x =Q 是增函数，221log log 103a \=<=，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 是减函数，0.5y x =在(0,)+¥上是增函数，0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫\=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb \<<故选：B7．已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+¥ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-¥ ⎪⎝⎭C ．(),3-¥D ．()3,+¥【答案】A【解析】设()()2g x f x =-，R x Î，则()()()()()()53533535g x x x x x x x g x -=-+-+-=-++=-，即()g x 为奇函数，容易判断()g x 在R 上单调递增（增+增），又()()214f a f a +->可化为，()()()()()22122112f a f a g a g a g a ->---Þ>--=-éùëû，所以a >1－2a ，∴ a >13．故选：A.8．幂函数()()22251m m f x m m x+-=--在区间()0,¥+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【来源】青海省西宁市大通回族土族自治县2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】由函数()()22251mm f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()6f x x -=．因为函数()f x 在()0,¥+上是单调递增函数，故()3f x x =．又0a b +>，所以a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．9．已知函数(3),(1)()7,(1)aa x x f x x x +£ì=í->î是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,9]-¥-B ．[9,3)--C ．(,3)-¥-D ．(3,0)-【答案】B【解析】因为函数(3),(1)()7,(1)aa x x f x x x +£ì=í->î是减函数，所以幂函数7,(1)a y x x =->为减函数，一次函数(3),(1)y a x x =+£为减函数，所以30360a a a +<+³-<ìïíïî，解得：93a -£<-，所以实数a 的取值范围是[9,3)--故选：B10．设()()121,1x f x x x <<=-³ïî,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【来源】第13讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】C【解析】由1³x 时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ³,则()()1f a f a ¹+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C.11．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【来源】江西省丰城中学2021-2022学年高一下学期入学考试数学试题【答案】C【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>\>，由()0,0,f x ax b =\+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->\<\<，故选C ．12．函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x Î+¥，且12x x ¹，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b ÎR ，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】由已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()3f x x =，当1m =-时，()3f x x -=，对任意的12,(0,)x x Î+¥，且12x x ¹，满足()()12120f x f x x x ->-，函数是单调增函数，所以2m =，此时()3f x x =，又0,0a b ab +><，可知,a b 异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则()()f a f b +恒大于0，故选A.13．已知()f x 是定义域为(,)-¥+¥的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A ．50-B ．0C ．2D ．50【来源】宁夏石嘴山市平罗中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】C【解析】：因为()f x 是定义域为(,)-¥+¥的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--\+=-+=-\=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-\=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.14．若幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()21f x f x éù--ëû的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．1-【答案】C【解析】设幂函数(),f x x R aa =Î，因为函数()f x 的图象过点(，所以3322733a a ===，所以12a =，故()f x =所以()()21f x f x x éù--=ëû.()0t t =³，所以21x t =+，则()()22131024y t t t t ⎛⎫=-+=---³ ⎪⎝⎭，所以当12t =时，max 34y =-. 故选：C.二、填空题15．已知幂函数()12m f x m x =在()0,¥+上单调递减，则()2f =______．【来源】河北省安新中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】14##0.25【解析】：由题意得112m =且0m <，则2m =-，()2f x x -=，故()124f =．故答案为：1416．已知幂函数()223()p p f x x p N --*=Î 的图像关于y 轴对称，且在()0+¥，上是减函数，实数a 满足()()233133pp a a -<+，则a 的取值范围是_____．【答案】14a <<【解析】Q 幂函数()()223*pp f x xp N --=Î在()0+¥，上是减函数，2230p p \--<，解得13p -<<，*p N ÎQ ，1p \=或2．当1p =时，()4f x x -=为偶函数满足条件，当2p =时，()3f x x -=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)p p a a -<+，即()11233(1)33a a -<+，()13f x x =Q 在R 上为增函数，2133a a \-<+，解得：14a <<.故答案为：14a <<.17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x Î+¥，12x x ¹且()()()12120f x f x x x -->éùëû．【答案】2x （答案不唯一）【解析】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,¥+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一）18．已知()y f x =是奇函数，当0x ³时，()()23f x x m m =+ÎR ，则()8f -=______．【来源】山东省济宁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】-4【解析】因为()y f x =是奇函数，当0x ³时，()()23f x x m m =+ÎR ，所以23(0)00f m =+=，得0m =，所以()23f x x =，0x ³，因为()y f x =是奇函数所以()2238(8)824f f -=-=-=-=-，故答案为：4-19．已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________.【答案】()23,1,32⎛⎫-¥- ⎪⎝⎭U 【解析】幂函数()223m m y xm N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32⎛⎫-¥- ⎪⎝⎭U 20．若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-£的实数a 的取值范围是______【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】(],2-¥【解析】由题意，不妨设()f x x a=，因为幂函数()f x 过点()2,8，则(2)28f a ==，解得3a =，故()3f x x =为定义在R 上的奇函数，且()f x 为增函数，因为()()310f a f a -+-£，则()()31(1)f a f a f a -£--=-，故31a a -£-，解得2a £，从而实数a 的取值范围是(],2-¥.-¥.故答案为：(],2。
高中数学幂函数的定义练习及答案
高中数学幂函数的定义练习及答案题型一：幂函数的定义【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．【答案】B【例2】 11．函数的定义域是 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】【例3】 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】典例分析【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x =【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例6】 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D【例7】 函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无 【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2【例8】 求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【答案】{|0,3}x x x >≠且【例9】 函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞ Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--+ 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<．解得1m >．故选（Ｂ） 【答案】Ｂ【例10】 讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U (3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【答案】(1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U(3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【例11】 已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴ 6020m m -<⎧⎨-<⎩，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =.【答案】4m =【例12】 幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.【答案】25()f x x =或85()f x x =.【例13】 已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈ 的图形与x 轴对称，y 轴无交点，且关于y 轴对称，试确定的解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由()22230232m m m m n n N m Z ⎧--≤⎪--∈∈⎨⎪∈⎩得113m =-，， 1m =-和3时解析式为()0f x x =，1m =是解析式为()4f x x -=【答案】()4f x x -=题型二：幂函数的性质与应用【例14】 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例15】 下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（ ）A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x-=【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数．【答案】C【例16】 942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】5；【例17】 比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）∵函数611y x =在(0,)+∞上是增函数且00.60.7<<<+∞∴6611110.60.7<（2）函数53y x =在(0,)+∞上增函数且89.088.00<< ∵55330.880.89<∴55330.880.89->-，即5533(0.88)(0.89).-<-【答案】（1）6611110.60.7<（2）5533(0.88)(0.89).-<-【例18】 幂函数(1)knmy x-=（,,*,,m n k N m n ∈互质）图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】k m ,为奇数，n 是偶数；【例19】 求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无 【解析】【答案】显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-， 其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数.【例20】 设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例21】 比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】>,≤, <,【例22】 （1）若0a <，比较12,(),0.22aa a 的大小；（2）若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 （1）当0a <时，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调减，∵10.222<<，∴12()0.22a a a <<． （2）当10a -<<时，13330,0,0aa a ><<， 指数函数()x y a =-在(0,)+∞上单调减，∵133>，∴1330()()a a <-<-，∴ 1330a a >>， ∴ 1333a a a >>【答案】（1）12()0.22aa a <<（2）1333a a a >>【例23】 函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1- C ．4D ．4-【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 函数2y x -=在区间1[,2]2上单调减，当12x =时，max 4y =．【答案】C【例24】 函数2422-+=x x y 的单调递减区间是【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 由22240x x +-≥得：46x x ≥≤-或，∵ 函数12y t =在[0,)+∞上为增函数，函数2224t x x =+-在(,6]-∞上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6]-∞-．【答案】(,6]-∞-【例25】 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例26】 已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【答案】R 上单调递增【例27】 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】A【例28】 已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a yb b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <.由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >.综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决..【答案】()()aa a a a a a a >>【例29】 已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值， 且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<； 当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <-综上可知a的取值范围为23 (,1)(,)32 -∞-⋃.【答案】23(,1)(,)32-∞-⋃.【例30】若11(1)(32)m m--+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（分类讨论）：（1）10320132mmm m+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm<<；（2）10320132mmm m+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320mm+<⎧⎨->⎩，，，解得1m<-．综上可得23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞．【答案】23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞【例31】若33(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（利用单调性）：由于函数3y x=在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m+<-，解得23m<．【答案】23m<【例32】若1122(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由图3，10320321mmm m+⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得213m-<≤．【答案】213m-<≤【例33】若44(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】作出幂函数4y x=的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+U，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x=．于是有44(1)(32)m m+<-，即44132m m+<-．.又∵幂函数4y x=在(0)+，∞上单调递增，∴132m m+<-，解得23m<，或m＞4．【答案】23m<，或m＞4【例34】已知函数2()f x x=，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x=-+-+，问是否存在实数(0)q q<，使得()g x在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】∵2()f x x=，则42()(21)1g x qx q x=-+-+．假设存在实数(0)q q<，使得()g x满足题设条件，设12x x<，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x-=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.． 从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>． 要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4-∞-，上是减函数，且在(40)-，上是增函数．【答案】存在，130q =-【例35】 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A (110x+)， 现在卖出个数为110bx B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，现在售货金额为111110101010x bx x bx A B AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应交税款为11101010x bx a AB ⎛⎫⎛⎫+-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，剩余款为21111111010101010010x bx a a b b y AB AB x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=--++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以5(1)b x b -=时y 最大 要使y 最大，x 的值为5(1)b x b-=.【答案】5(1)b x b-=题型三：幂函数的图像【例36】 函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例37】 函数43y x =的图象是（ ）【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例38】 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A ．101n m -<<<<B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <-> 【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【答案】B.【例39】 【答案】如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<【考点】幂函数的图像 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】D【例40】 下图为幂函数y x α=在第一象限的图象，则1234,,,αααα按由小到大的顺序排列为 。
2020年高中数学人教A版必修第一册课时作业 3.3《幂函数》 (含答案)
2020年高中数学人教A 版必修第一册课时作业3.3 幂函数一、选择题1.下列函数是幂函数的是( )A.y=7xB.y=x 7C.y=5xD.y=(x ＋2)32.已知函数y=x a ，y=x b ，y=x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.下列结论中，正确的是( )A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3，0.5时，幂函数y=x α是增函数D.当幂指数α=－1时，幂函数y=x α在定义域上是减函数4.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则f(x)的增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞)5.已知幂函数f(x)=x a ，当x ＞1时，恒有f(x)＜x ，则a 的取值范围是( )A.0＜a ＜1B.a ＜1C.a ＞0D.a ＜06.已知幂函数f(x)=(2n 2-n)x n ＋1，若在其定义域上为增函数，则n 等于( )A.1，-B.1C.-D.-1，1212127.幂函数f(x)=x 3m-5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(-x)=f(x)，则m 可能等于()A.0 B.1 C.2 D.38.若幂函数y=(m 2-3m ＋3)x m-2的图象关于原点对称，则m 的取值范围为( )A.1≤m ≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=1二、填空题9.若幂函数y=x α的图像经过点(8，4)，则函数y=x α的值域是________.10.下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限；②当α=0时，函数y=x α的图象是一条直线；③当α>0时，幂函数y=x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y=x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小.其中正确的序号为________.11.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=3f(2)，则f(0.5)的值等于________.12.幂函数f(x)=x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)=f(x)，则m等于________.三、解答题13.函数f(x)=(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数，且函数f(x)为偶函数，求m的值.14.已知幂函数f(x)=x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.求函数f(x)的解析式.15.已知幂函数y=f(x)=x－2m 2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0.求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域.16.已知函数，满足f(2)<f(3).(1)求k的值与f(x)的解析式.(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在m，使得函数g(x)=f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.参考答案1.答案为：B ；2.答案为：A ；解析：由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.3.答案为：C ；解析：当幂指数α=－1时，幂函数y=x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y=x α(α∈R )，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；当α=－1时，y=x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D 不正确.4.答案为：C ；5.答案为：B ；6.答案为：C ；7.答案为：B ；解析：幂函数f(x)=x 3m-5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m-5＜0，即m ＜.又m ∈N ，∴m=0,1.53∵f(-x)=f(x)，∴函数f(x)是偶函数.当m=0时，f(x)=x -5是奇函数；当m=1时，f(x)=x -2是偶函数.∴m=1.8.答案为：D9.答案为：[0，＋∞)；10.答案为：①④；11.答案为：；1312.答案为：1；解析：因为幂函数f(x)=x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m<，又m ∈N ，53所以m=0，1，因为f(－x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当m=0时，f(x)=x －5，是奇函数；当m=1时，f(x)=x －2，是偶函数.所以m=1.13.解：因为f(x)=(m 2－3m ＋3)x m ＋2是幂函数，所以m 2－3m ＋3=1，即m 2－3m ＋2=0.所以m=1，或m=2.当m=1时，f(x)=x 3为奇函数，不符合题意.当m=2时，f(x)=x4为偶函数，满足题目要求.所以m=2.14.解：∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m=0,1,2，而m=0,2时，f(x)=x3不是偶函数，m=1时，f(x)=x4是偶函数，∴f(x)=x4.15.解：因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m=－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0，即f(－x)=－f(x)，所以f(x)是奇函数.当m=－1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②；当m=1时，f(x)=x0，条件①、②都不满足.当m=0时，f(x)=x3，条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27].16.解：(1)由f(2)<f(3)，得－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2，又k∈N，则k=0，1.所以当k=0，1时，f(x)=x2.(2)由已知得g(x)=x2－2x＋m=(x－1)2＋m－1，当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，由已知值域为[2，3]，得m=3.故存在满足条件的m，且m=3.。
幂函数的概念、解析式、定义域、值域-高中数学知识点讲解(含答案)
幂函数的概念、解析式、定义域、值域（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2018秋•丰台区期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)4，则此幂函数的解析式为( )A ．2()f x x -=B ．2()f x x =C ．()2x f x =D ．()2x f x -=2．（2017秋•海淀区期末）若幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)-，则在定义域内( ) A ．为增函数B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值3．（2018•西城区模拟）如果幂函数()f x x α=的图象经过点1(3,)9，则(α= )A ．2-B ．2C ．12-D ．124．（2017秋•昌平区校级月考）若幂函数()f x 的图象经过点(2,4)，则1()(2f = )A ．4B ．2C ．12D ．145．（2012秋•西城区期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则()y f x =的解析式为( )A ．2x y =B ．2y x =C ．yD ．2y x =二．填空题（共3小题）6．（2017秋•丰台区期中）已知幂函数的图象经过点1(2,)8，则函数的解析式()f x = ．7．（2015秋•昌平区期末）已知函数()a f x x =的图象经过点1(3,)27，那么实数a 的值等于 ． 8．（2016秋•东城区校级期中）已知幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则f （8）= ．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2018秋•丰台区期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)4，则此幂函数的解析式为( )A ．2()f x x -=B ．2()f x x =C ．()2x f x =D ．()2x f x -=【分析】由幂函数()y f x x α==的图象经过点1(2,)4，得到124α=，求出2α=-，由此能求出此幂函数的解析式．【解答】解：幂函数()y f x x α==的图象经过点1(2,)4，124α∴=， 解得2α=-，∴此幂函数的解析式为2()f x x -=．故选：A ．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2017秋•海淀区期末）若幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)-，则在定义域内( ) A ．为增函数B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可． 【解答】解：设幂函数()f x x α=， 由(2)4f -=，得2(2)4(2)α-==-， 在2α=， 即2()f x x =，则在定义域内有最小值0， 故选：C ．【点评】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键． 3．（2018•西城区模拟）如果幂函数()f x x α=的图象经过点1(3,)9，则(α= )A ．2-B ．2C ．12-D ．12【分析】把点的坐标代入幂函数()f x 的解析式，解方程求出α的值． 【解答】解：幂函数()f x x α=的图象经过点1(3,)9，则139α=，解得2α=-．故选：A ．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 4．（2017秋•昌平区校级月考）若幂函数()f x 的图象经过点(2,4)，则1()(2f = )A ．4B ．2C ．12D ．14【分析】利用待定系数法求出函数()y f x =的解析式， 再计算1()2f 的值．【解答】解：设幂函数()(y f x x αα==为实数）， 根据()f x 的图象经点(2,4)， 得24α=， 解得2α=，2()f x x ∴=， 11()24f ∴=．故选：D ．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5．（2012秋•西城区期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则()y f x =的解析式为( )A ．2x y =B ．2y x =C ．yD ．2y x =【分析】设出幂函数()f x ，将点的坐标代入，即可求出函数的解析式． 【解答】解：()f x 是幂函数，设()f x x α= 图象经过点(2,4)42α∴=2α∴=2()f x x ∴= 故选：B ．【点评】本题考查利用待定系数法求知函数模型的解析式． 二．填空题（共3小题）6．（2017秋•丰台区期中）已知幂函数的图象经过点1(2,)8，则函数的解析式()f x = 3x - ．【分析】幂函数的一般形式是()f x x α=，再利用图象经过点1(2,)8，得1(2)8f =，可以求出α，问题解决．【解答】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点1(2,)8∴31(2)28f -==，从而3α=-函数的解析式3()f x x -= 故答案为3x -【点评】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．值得提醒的是准确把握幂函数的表达式的形式和理解函数图象经过某点的意义是解决本题的关键．7．（2015秋•昌平区期末）已知函数()a f x x =的图象经过点1(3,)27，那么实数a 的值等于 3- ． 【分析】据幂函数()a f x x =的图象经过点1(3,)27，结合指数的运算性质，可得答案． 【解答】解：：幂函数()a f x x =的图象经过点1(3,)27， 313327a -∴==， 解得：3a =-， 故答案为：3-【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．8．（2016秋•东城区校级期中）已知幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则f （8）=4． 【分析】设幂函数()a f x x =，由图象经过点1(4,)2求出()f x 的解析式，再求f （8）的值．【解答】解：设幂函数()a f x x =，图象经过点1(4,)2，142α∴=， 解得12α=-，12()f x x -∴=；f ∴（8）128-==． 【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．。
幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32， 所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
幂函数的性质-高中数学知识点讲解(含答案)
幂函数的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2016春•西城区期末）函数12y x =的图象是( )A ．B ．C ．D ．2．（2012秋•西城区期中）下列是23y x =的图象的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2019•西城区模拟）函数2y x -=在区间上1[2，2]的最大值是( )A ．14B ．1-C ．4D ．4-二．填空题（共5小题）4．（2011•顺庆区校级模拟）如图，给出幂函数n y x =在第一象限内的图象，n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为 ．5．（2019秋•海淀区校级期末）函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为偶函数，则实数m 的值是 ． 6．（2019秋•丰台区期末）已知{1α∈-，12，1，2，3}，若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上单调递减，则α= ． 7．（2015秋•北京期末）当(0,)x ∈+∞时，幂函数253(1)m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为 ． 8．（2012秋•西城区期中） 2.31.5与 3.21.5的大小关系是 2.31.5 3.21.5 （用“<”或“>”表示）． 三．解答题（共1小题）9．（2014•海淀区校级模拟）已知幂函数223*()mm y x m N --=∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的值．幂函数的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2016春•西城区期末）函数12y x=的图象是()A．B．C．D．【分析】本题可利用排除法进行判定，根据函数定义域排除A、C，再根据图象恒过的定点(4,2)再排除B，得到正确答案．【解答】解：函数12y x=的定义域为[0，)+∞∴所求图象在第一象限，可排除A、C，再根据函数12y x=的图象横过(4,2)，可排除B，故选：D．【点评】本题主要考查了幂函数的图象，以及图象恒过的特殊点，属于基础题．2．（2012秋•西城区期中）下列是23y x=的图象的是()A．B．C．D．【分析】本题可利用排除法进行判定，根据函数定义域排除C、D，再根据图象恒过的定点(8,4)再排除A，得到正确答案．【解答】解：函数23y x =的定义域为R ，∴所求图象在第一、二象限，可排除C 、D ，再根据函数23y x =的图象恒过(8,4)，可排除A ， 故选：B ．【点评】本题主要考查了幂函数的图象，以及图象恒过的特殊点，属于基础题． 3．（2019•西城区模拟）函数2y x -=在区间上1[2，2]的最大值是( )A ．14B ．1-C ．4D ．4-【分析】先判断函数2y x -=在区间上1[2，2]的单调性，再求函数2y x -=在区间上1[2，2]的最大值．【解答】解：函数2y x -=在第一象限是减函数，∴函数2y x -=在区间1[2，2]上的最大值是211()()422f -==．故选：C ．【点评】本题考查函数的性质的应用，解题时要注意幂函数单调性的应用． 二．填空题（共5小题）4．（2011•顺庆区校级模拟）如图，给出幂函数n y x =在第一象限内的图象，n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为 112,,,222-- ．【分析】做直线2x =，与四个函数图象从上到下的交点依次记为A 、B 、C 、D ，再求出2x =时四个函数值的大小，即可选出．【解答】解：做直线2x =，与四个函数图象从上到下的交点依次记为A 、B 、C 、D 而1122222222-->>>，从而相应于曲线1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为112,,,222--故答案为：112,,,222--【点评】本题考查幂函数的图象问题，属基本题．5．（2019秋•海淀区校级期末）函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为偶函数，则实数m 的值是 3 ．【分析】由函数()f x 是幂函数，且为偶函数，列方程求出m 的值． 【解答】解：由函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数， 得251m m --=，即260m m --=， 解得2m =-或3m =；又()f x 为偶函数，即1m +为偶数， 所以实数m 的值是3． 故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 6．（2019秋•丰台区期末）已知{1α∈-，12，1，2，3}，若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上单调递减，则α= 1- ． 【分析】利用幂函数的单调性求解．【解答】解：幂函数()f x x α=在(0,)+∞上单调递减，0α∴<， 1α∴=-，故答案为：1-．【点评】本题主要考查了幂函数的单调性，是基础题．7．（2015秋•北京期末）当(0,)x ∈+∞时，幂函数253(1)m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为 2 ． 【分析】根据幂函数的定义得211m m --=解出m ，又因为函数为减函数舍去一个m 即可得到． 【解答】解：利用幂函数的定义得211m m --=，解得2m =，1m =-； 则幂函数解析式为13y x -=为减函数和2y x =为增函数，所以2m = 故答案为2【点评】考查学生利用幂函数的性质的能力．8．（2012秋•西城区期中） 2.31.5与 3.21.5的大小关系是 2.31.5 < 3.21.5 （用“<”或“>”表示）． 【分析】本题中要比较的是两个同底的指数式，依据指数函数单调性验证大小即可． 【解答】解：对于 2.31.5与 3.21.5，考察指数函数 1.5x y =性质，它在R 是增函数， 由于2.3 3.2<， 知 2.3 3.21.5 1.5<， 故答案为：<．【点评】本题的考点是指数函数单调性的应用，考查用函数的单调性比较大小，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用． 三．解答题（共1小题）9．（2014•海淀区校级模拟）已知幂函数223*()mm y x m N --=∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的值．【分析】由幂函数223*()mm y x m N --=∈在(0,)+∞上是减函数，知2230m m --<，由此能求出实数m 的值．【解答】解：幂函数223*()mm y x m N --=∈在(0,)+∞上是减函数，2230m m ∴--<，13m ∴-<<，又*m N ∈，0m ∴=，1，2， 又图象关于y 轴对称，当0m =时，3y x -=是奇函数，图象关于原点对称，故0m =不成立； 当1m =时，4y x -=是偶函数，图象关于y 轴对称，故1m =成立； 当2m =时，3y x -=是奇函数，图象关于原点对称，故2m =不成立； 1m ∴=．【点评】本题考查幂函数的图象及其与指数的关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。
幂函数练习(含答案详解)
3.3 幂函数练习一、单选题1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．32D ．22、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝31x3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )4、幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-5、若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )A ．⎣⎡⎭⎫2，167B ．(0，2]C ．⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝()12255a a a x---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )A ．1B ．6C ．2D ．－17、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a >>>8、已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（ CD ）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞11、已知幂函数f (x )＝()2231mm m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足2121)()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能12．若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）A ．1-B ．1C ．2D ．3三、填空题13．若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()21221112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2__________.16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题17．已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得139α=，解得2α=-，故()2f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；其函数图象如下所示：数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R)为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x－4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.19、已知幂函数f (x )＝21()mm x-+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21()m m x-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－12()12m m +-，即122＝2()12mm +-，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝12x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．20、19．已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.解：(1)因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+212t x -=，11,0123,032x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，(2max 31()(3)33122g t g === 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为1312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
幂函数经典例题(答案解析)
幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq(|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x pq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x pq的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x75是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x25是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x85或t＝－1且f(x)＝x25.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978， 从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23；(2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3， 当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意． 当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A 4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B 5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x －2D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x (x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
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3.3幂函数基础填空题一．填空题（共30小题）1．（2016•衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为．2．（2016•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为．3．（2016春•沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．4．（2016春•淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=．5．（2015•株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是．6．（2015•涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．7．（2015•揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为．8．（2015•张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，则α=．9．（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=．10．（2015秋•承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．11．（2015秋•福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则m=．12．（2015秋•庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则m的值为．13．（2015秋•北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为．的解集是．15．（2014秋•薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为．16．（2015秋•余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是．17．（2015秋•齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．18．（2015秋•宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为．19．（2015秋•宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是．20．（2015秋•吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为．21．（2015秋•枣阳市校级期中）给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．正确的有．22．（2015春•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=；函数的定义域为．23．（2015秋•合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=．24．（2015秋•衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．25．（2015秋•青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．26．（2015秋•南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有个．27．（2015秋•邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k•x a的图象过点，则k+a=．28．（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是．29．（2015秋•亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=．30．（2015秋•抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=．3.3幂函数基础填空题参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2016•衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为a＜0且a为偶数．【分析】根据减函数以及偶函数的性质结合幂函数的定义求出a的范围即可．【解答】解：∵函数为减函数，∴a＜0，∵函数为偶函数，∴a为偶数，故答案为：a＜0且a为偶数．【点评】本题考查偶函数的定义，幂函数定义，是一道基础题．2．（2016•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为m=1或m=2．【分析】由幂函数的图象不过原点，知，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴，解得m=1或m=2．故答案为：m=1或m=2．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（2016春•沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．【分析】根据幂函数f（x）的图象经过点（4，8），列出方程，求出a的值．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（4，8），∴4a=8；解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．4．（2016春•淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=0．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2=1，得m=0，或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m=0时，2＞0成立，当m=2时，4﹣8+2=﹣2＞0，不成立，故答案为：0．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义求出m的值是解决本题的关键．5．（2015•株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是（，）．【分析】先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据矩形ABCD得出=，利用向量坐标运算求出点D的坐标．【解答】解：由题意可得，A、B、C点坐标分别为（，2），（4，2），（4，），设D（m，n），再由矩形的性质可得=，故（m﹣，n﹣2）=（0，﹣2），∴m﹣=0，n﹣2=﹣．解得m=，n=，故点D的坐标为（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题．6．（2015•涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．【分析】由题意得，由此能求出m=2．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．7．（2015•揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为1．【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．【解答】解：设f（x）=xα，则f（3）=3α=，解得α=﹣1，则f（x）=x﹣1，f（2）=，则log f（2）=log=1，故答案为：1；【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．8．（2015•张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，则α=﹣2．【分析】由幂函数y=xα为（0，+∞）上递减，推知α＜0，又通过函数为偶函数，推知α为偶数，进而推知α只能是﹣2．【解答】解：∵y=xα在（O，+∞）上是单调递减∴α＜0，又∵，∴，又函数y=xα为偶函数，知α为偶数，∴α=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了幂函数单调性和奇偶性．要理解好幂函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．9．（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=3．【分析】根据f（9）=2建立等式，利用对数与指数的互化建立等式，解之即可求出所求．【解答】解：由f（9）=2得f（9）=log a9=2即a2=9，而a＞0所以a=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了对数函数与指数函数的互化，同时考查了运算求解的能力，属于容易题．10．（2015秋•承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则m=2，则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查对数函数的性质，是一道基础题．11．（2015秋•福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则m=2．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．【解答】解：若幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则由m2﹣3m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f（x）=x，是增函数，m=1时，f（x）=1，是常函数，故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．12．（2015秋•庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则m的值为1．【分析】根据幂函数的定义、图象与性质，列出方程组，即可求出m的值．【解答】解：幂函数的图象与坐标轴没有公共点，∴，解得，即m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．13．（2015秋•北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1解出m，又因为函数为减函数舍去一个m即可得到．【解答】解：利用幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1，解得m=2，m=﹣1；则幂函数解析式为y=x﹣13为减函数和y=x2为增函数，所以m=2故答案为2【点评】考查学生利用幂函数的性质的能力．的解集是[﹣4，4]．【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，则，∴α=，∴不等式f（|x|）≤2等价于，∴|x|≤4∴﹣4≤x≤4∴不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，4]故答案为[﹣4，4]．【点评】本题考查幂函数解析式的求法，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（2014秋•薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为2．【分析】利用幂函数的定义及其性质可得：m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，∴m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．16．（2015秋•余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是[1，）．【分析】根据幂函数y的图象求出的解析式，再利用幂函数的性质把不等式f（2﹣a）＞f （a﹣1）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；其图象过点，∴2α=，解得α=，∴f（x）==；∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）可化为＞，即，解得1≤a＜，∴实数a的取值范围是[1，）．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．（2015秋•齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为3．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，以及函数在x∈（0，+∞）上为增函数，列出不等式组求解即可．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数．18．（2015秋•宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为[﹣1，）．【分析】运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．【解答】解：由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3＜0，符合题意，当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，不符合题意则m=2，∵，∴＜，∴，解得﹣1≤a＜，故实数a的取值范围为[﹣1，），故答案为：[﹣1，），【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．19．（2015秋•宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．20．（2015秋•吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．【分析】分别验证a=1，﹣1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是（0，+∞），不合题意；当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．21．（2015秋•枣阳市校级期中）给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．正确的有①④．【分析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间有两个：[﹣1，0]和[1，+∞）故③错误；若，则f（x）在R上是增函数，故④正确；的单调减区间有两个：（﹣∞，0）和（0，+∞），但函数在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具备单调性，故⑤错误；故答案为：①④【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象的性质，奇函数的定义，单调性的定义，单调区间的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键．22．（2015春•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=3；函数的定义域为[﹣3，1]．【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果，再根据二次根式，得到3﹣2x﹣x2≥0，解得即可．【解答】解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点，∴=（）α，解得α=2，∴k+α=3，∴f（x）=x2，∵，∴3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，所以函数的定义域为为[﹣3，1]．故答案为：3；[﹣3，1]．【点评】本题考查了幂函数的图象和性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．23．（2015秋•合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=3．【分析】利用幂函数的定义，求出a的值，利用幂函数的性质判断结果即可．【解答】解：函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9是幂函数，可得a2﹣9a+19=1，解得a=3或a=6．当a=3时，2a﹣9＜0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，成立．当a=6时，2a﹣9＞0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒过原点，不成立．故答案为：3．【点评】本题考查幂函数的图象与性质的应用，考查计算能力．24．（2015秋•衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为2．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m ﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数25．（2015秋•青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．【分析】由题意求出点P的坐标，代入f（x）求函数解析式【解答】解：根据题意：令2x﹣3=1，∴x=2，此时y=，∴P（2，）∵P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）=xα∴=2α，∴α=﹣，∴f（x）=，故答案为：【点评】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．26．（2015秋•南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．【分析】根据α的取值，逐个验证幂函数y=xα的图象是否关于原点对称即可．【解答】解：α=﹣1时，幂函数y=x﹣1的图象关于原点对称，α=1时，幂函数y=x的图象关于原点对称，α=3时，幂函数y=x3的图象关于原点对称；α=时，幂函数y=x（x≥0）的图象不关于原点对称，α=2时，幂函数y=x2的图象关于y轴对称，不关于原点对称；综上，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．27．（2015秋•邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k•x a的图象过点，则k+a=．【分析】根据幂函数的定义，以及函数值，即可求出．【解答】解：幂函数f（x）=k•x a的图象过点，∴k=1，=3a，∴a=﹣，∴k+a=，故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．28．（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是2．【分析】根据幂函数的定义求出m，利用幂函数的性质即可确定m的值．【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∵当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣3，在x∈（0，+∞）上单调递减，不满足条件；当m=2时，幂函数f（x）=x3，在x∈（0，+∞）上单调递减增，满足条件；m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质．29．（2015秋•亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=1．【分析】利用幂函数的性质可得3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数，解出即可．【解答】解：由题意可得：3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数．解得m＜，∴m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．30．（2015秋•抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=4．【分析】利用幂函数的定义即可得出．【解答】解：∵函数是幂函数，∴m2﹣m﹣11=1，≠0，m+3≠0，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。