计量经济学第三章完整课件
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计量经济学第三章多元线性回归模型
⒈零均值假定
E( i) 0 i 1,2,, n
E(U) 0
⒉同方差和无自相关假定
COV (i , j ) E(i E(i ))( j E( j ))
2 i j
E(i
j
)
0
i j
VAR(U ) E(U E(U))(U E(U))
Yˆi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki
i 1,2,, n
Yi Yˆi ei
Yˆi
ˆ j
E(Y
j
X 2i ,,
X Ki
)
注意：β1一般情况下没有明确的经济含义，但一般 总包含在回归模型中。
3.1多元线性回归模型及古典假定
二、多元线性回归模型的矩阵形式
总体回归函数描述了一个被解释变量与多个解释
变量之间的线性关系，线性是针对参数而言的。
其中， j 为偏回归系数，表示：在控制其他变量 不变的条件下，第j个解释变量的单位变动对被解释 变量平均值的影响。
j
Y X j(保持其他变量不变)
Y X j
3.1多元线性回归模型及古典假定
样本回归函数：
(XX)1 X 2ΙX(XX)1 2 (XX)1 XX(XX)1 2 (XX)1
i 1
ei 0
N
( ei2 )
i 1
ˆ2
N
2
N i 1
(Yi
ˆ1
ˆ2 X 2i
ˆK
X Ki ) X 2i
2
ei X 2i 0
偏 导
计量经济学-3章：多元线性回归模型PPT课件
YXβ ˆe
Y ˆ Xβ ˆ
4/5/2021
.
17
2 模型的假定
(1) 零均值假设。随机误差项的条件期望为零，即 E(ui)=0 ( i=1,2,…,n)
其矩阵表达形式为:E(U)=0 (2)同方差假设。随机误差项有相同的方差，即
Var(ui)E(ui2) 2 （i=1,2,…,n）
(3)无自相关假设。随机误差项彼此之间不相关，即
（i=1,2,…,n）
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j (j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
4/5/2021
.
13
(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
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.
3
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
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.
4
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E (Y i|X i)01X i
总体回归模型 Y i 01Xiui
0 0
2 0 0 2
0
0
0 0 0 2
2I n
4/5/2021
.
u1un
u2un
un2
20
(4)解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量,不是随机 变量,与随机误差项彼此之间不相关,即
Cov(Xji,ui)0 j=1,2…k , i=1,2,….,n
计量经济学庞皓课件(第三章 多元线性回归模型)
2
怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
ˆk
k
c jj
~
N (0,1)
21 21
2 未知时βˆ 的标准化变换
因 2 是未知的， 可用 ˆ 2 代替 2 去估计参数的
标准误差:
●
当为大样本时，用估计的参数标准误差对
^
β
作
标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分
布
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标 准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：
( X X )1 X 2 IX ( X X )1
2 ( X X )1
注意
βˆ 是向量
(i 1, 2,L ( j 1, 2,L
n) n)
(由无偏性)
(由OLS估计式)
(由同方差性)
其中：
ˆ ( X X )1 X Y ( X X )1 X ( Xβ + u) β ( X X )1 X u
0
两边左乘 X
X Y = X Xβˆ + X e
根据最小二乘原则 则正规方程为
Xe = 0
X Xβˆ = X Y
14
OLS估计式
怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
ˆk
k
c jj
~
N (0,1)
21 21
2 未知时βˆ 的标准化变换
因 2 是未知的， 可用 ˆ 2 代替 2 去估计参数的
标准误差:
●
当为大样本时，用估计的参数标准误差对
^
β
作
标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分
布
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标 准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：
( X X )1 X 2 IX ( X X )1
2 ( X X )1
注意
βˆ 是向量
(i 1, 2,L ( j 1, 2,L
n) n)
(由无偏性)
(由OLS估计式)
(由同方差性)
其中：
ˆ ( X X )1 X Y ( X X )1 X ( Xβ + u) β ( X X )1 X u
0
两边左乘 X
X Y = X Xβˆ + X e
根据最小二乘原则 则正规方程为
Xe = 0
X Xβˆ = X Y
14
OLS估计式
计量经济学第三章-回归模型的扩展
验的结果，或直接取成 1/|ei|、1/ei2
第二节 自相关性
一Байду номын сангаас自相关性的概念及其产生原因：
1.定义：随机误差项的各期值之间存在相关性 COV(t, s)0, ts
例：投资函数、生产函数
2.产生原因： 1)模型遗漏了自相关的解释变量； 2)模型函数形式的设定误差； 3)经济惯性； 4)随机因素影响； （注：自相关性更易产生于时序数据）
原理：辅助回归检验 命令：View\ResidualTest \SerialCorrelation LM
Test
四、自相关性的修正方法
1.利用广义差分变换消除自相关性：
步骤： 实质：GLS估计
2.的估计方法：
1）近似估计； 2）迭代估计；
3.Eviews软件的实现：
1）检验自相关性的阶数； 2）在LS命令中增加AR项；
二、异方差的影响
1.OLS估计不再是最佳估计量； 2.T检验可靠性降低； 3.增大预测误差； 三、异方差的检验 ★1.图形分析： (1)观察Y、X相关图：SCAT Y X (2)残差分析:观察回归方程的残差图
在方程窗口直接点击Residual按钮； 或：点击View\Actual,Fitted,Residual\Table
1. 调整季节波动
y a bx 1D1 2D2 3D3
2. 检验模型结构的稳定性（P141）
y a bx D XD
3. 混合回归
例8．教材P132
第五节 滞后变量模型
一、滞后效应与滞后变量的作用 1、产生滞后效应的原因：
1)心理因素：消费习惯、消费心理（如价格、利率） 2)技术原因：农民收入、农产品价格、天气条件 3)制度原因：
第二节 自相关性
一Байду номын сангаас自相关性的概念及其产生原因：
1.定义：随机误差项的各期值之间存在相关性 COV(t, s)0, ts
例：投资函数、生产函数
2.产生原因： 1)模型遗漏了自相关的解释变量； 2)模型函数形式的设定误差； 3)经济惯性； 4)随机因素影响； （注：自相关性更易产生于时序数据）
原理：辅助回归检验 命令：View\ResidualTest \SerialCorrelation LM
Test
四、自相关性的修正方法
1.利用广义差分变换消除自相关性：
步骤： 实质：GLS估计
2.的估计方法：
1）近似估计； 2）迭代估计；
3.Eviews软件的实现：
1）检验自相关性的阶数； 2）在LS命令中增加AR项；
二、异方差的影响
1.OLS估计不再是最佳估计量； 2.T检验可靠性降低； 3.增大预测误差； 三、异方差的检验 ★1.图形分析： (1)观察Y、X相关图：SCAT Y X (2)残差分析:观察回归方程的残差图
在方程窗口直接点击Residual按钮； 或：点击View\Actual,Fitted,Residual\Table
1. 调整季节波动
y a bx 1D1 2D2 3D3
2. 检验模型结构的稳定性（P141）
y a bx D XD
3. 混合回归
例8．教材P132
第五节 滞后变量模型
一、滞后效应与滞后变量的作用 1、产生滞后效应的原因：
1)心理因素：消费习惯、消费心理（如价格、利率） 2)技术原因：农民收入、农产品价格、天气条件 3)制度原因：
计量经济学-第三章-模型检验PPT课件
•23
•24
•25
•26
例子：Eviews中的计算
•27
（4）参数的的置信区间检验
•28
•29
•30
•31
•32
•6
这是因为虽然OLS保证了残差的平方和最小， 但无论对于什么的数据都可以使用OLS求得回 归方程，可这些回归方程也许没有意义，比如 下面的三个拟合图形：
•7
•8
启示：
上述三个图形中，第二个图形的拟合程度最好， 反映在数据几乎都集中在拟合直线的附近。这 也就是说，如果对于一条拟合的直线（曲线）， 数据越集中于拟合直线（曲线），拟合的程度 越好（拟合优度越好）。怎样通过一个统计数 值来反映这种集中程度呢？
判定系数检验只能说明模型对样本数据的近似 情况，但是建立计量经济模型的目的是为了描 述总体的经济关系。所谓模型的显著性检验， 就是检验模型对总体的近似程度，而且最常用 的检验方法是F检验。
•16
F检验基本思想
对于多元线性回归模型： yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+єi
假设H0: b1=b2=…=bk=0 若假设成立，则意味着：
在设定计量经济模型的时候，我们往往根据经 验理论和对所研究系统的经验认识，尽量找出 被解释变量的所有影响因素，这些初步选定的 影响因素中间很可能就有一些实际上并不重要
•21
或其影响可以由其他变量代替的变量。为了使 模型更加简单、合理，应该提出这些不重要的 变量，使模型中只保留有显著影响的变量。剔 除不显著的解释变量的方法，就是解释变量的 显著性检验——t检验。
•4
为什么要进行统计检验
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真
•24
•25
•26
例子：Eviews中的计算
•27
（4）参数的的置信区间检验
•28
•29
•30
•31
•32
•6
这是因为虽然OLS保证了残差的平方和最小， 但无论对于什么的数据都可以使用OLS求得回 归方程，可这些回归方程也许没有意义，比如 下面的三个拟合图形：
•7
•8
启示：
上述三个图形中，第二个图形的拟合程度最好， 反映在数据几乎都集中在拟合直线的附近。这 也就是说，如果对于一条拟合的直线（曲线）， 数据越集中于拟合直线（曲线），拟合的程度 越好（拟合优度越好）。怎样通过一个统计数 值来反映这种集中程度呢？
判定系数检验只能说明模型对样本数据的近似 情况，但是建立计量经济模型的目的是为了描 述总体的经济关系。所谓模型的显著性检验， 就是检验模型对总体的近似程度，而且最常用 的检验方法是F检验。
•16
F检验基本思想
对于多元线性回归模型： yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+єi
假设H0: b1=b2=…=bk=0 若假设成立，则意味着：
在设定计量经济模型的时候，我们往往根据经 验理论和对所研究系统的经验认识，尽量找出 被解释变量的所有影响因素，这些初步选定的 影响因素中间很可能就有一些实际上并不重要
•21
或其影响可以由其他变量代替的变量。为了使 模型更加简单、合理，应该提出这些不重要的 变量，使模型中只保留有显著影响的变量。剔 除不显著的解释变量的方法，就是解释变量的 显著性检验——t检验。
•4
为什么要进行统计检验
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真
计量经济学课件3
ˆ 1.924, ˆ 0.19
33
end
回归结果表明：在其他条件不变的情况下， 家庭收入每增加1000美元，平均而言，税 收将增加190美元。
大多数情况，截距没有明显的经济含义。 本例从字面上解释截距就是家庭收入为 零时的税赋，即家庭收入为零时的税赋 为-1924美元，实际上就是政府付给家庭 1924美元。
(6)
26
end
ˆ n XtYt
n
X
2 t
Xt Xt
Yt
2
X tYt nXY
X
2 t
nX
2
( X t X )(Yt Y ) ( Xt X )2
xt yt xt 2
(5)
ˆ Y ˆ X
(6)
其中：Y Yt , X Xt
n
n
xt Xt X , yt Yt Y
（4）测量与归并误差 总会出现测量与归并误差，使得任何精确的关
系不可能存在。即 Y * X * 其中Y *，X * 是
消费和收入的真实值，而实际测量的消费和收 入值为Y和X，则模型应为
Y=α+βX + u
14
end
二. 普通最小二乘法 (OLS法, Ordinary Least squares)
样本均值 离差
27
end
（5）式和（6）式称为线性回归模型 Yt = + Xt + ut 的参数 和 的普通最小二乘估 计量 (OLS estimators）。
估计值是从一组具体观测值用公式计算出 的数值。 一般说来，好的估计量所产生的估计值将 相当接近参数的真值，即好的估计值。可 以证明，对于CLR模型，普通最小二乘估 计量正是这样一个好估计量。
33
end
回归结果表明：在其他条件不变的情况下， 家庭收入每增加1000美元，平均而言，税 收将增加190美元。
大多数情况，截距没有明显的经济含义。 本例从字面上解释截距就是家庭收入为 零时的税赋，即家庭收入为零时的税赋 为-1924美元，实际上就是政府付给家庭 1924美元。
(6)
26
end
ˆ n XtYt
n
X
2 t
Xt Xt
Yt
2
X tYt nXY
X
2 t
nX
2
( X t X )(Yt Y ) ( Xt X )2
xt yt xt 2
(5)
ˆ Y ˆ X
(6)
其中：Y Yt , X Xt
n
n
xt Xt X , yt Yt Y
（4）测量与归并误差 总会出现测量与归并误差，使得任何精确的关
系不可能存在。即 Y * X * 其中Y *，X * 是
消费和收入的真实值，而实际测量的消费和收 入值为Y和X，则模型应为
Y=α+βX + u
14
end
二. 普通最小二乘法 (OLS法, Ordinary Least squares)
样本均值 离差
27
end
（5）式和（6）式称为线性回归模型 Yt = + Xt + ut 的参数 和 的普通最小二乘估 计量 (OLS estimators）。
估计值是从一组具体观测值用公式计算出 的数值。 一般说来，好的估计量所产生的估计值将 相当接近参数的真值，即好的估计值。可 以证明，对于CLR模型，普通最小二乘估 计量正是这样一个好估计量。
第10讲 (计量经济学第三章)PPT课件
Y * t0 *1 X * 1 t .. .pX * p t t
此模型为原模型的广义差分模型，随机 扰动项之间是不相关的。对此模型进行 的OLS估计，就是对原模型的广义差分估计。
问题：各自相关系数未 知，如何办？
• 广义差分法实施的过程：
Y t01 X 1 t . ..p X p tu t
• 如果随机扰动项之间仅k阶自相关
Y t01 X 1 t . ..p X p tu t t 1t 1 2t 2 . .k .t k t
t 满足随机扰动项所满足的所有假定。
1 Y t 1 1 0 1 1 X 1 t 1 . .1 .p X p 1 t 1 u t 1
t t1t
H0: =0
H1:0
对原模型进行OLS估计，用残差构造统计量。
D.W. 统计量:
T~ ~
(et et1 )2
D.W .
t2
T
~
e
t
2
t 1
显然： 0DW 4
DW与残差自相关系数的关系。
当T较大时，
T ~~
et et1
D.W. 2(1 t2 T
~2
et
)2(1~ ~ )
et ,et1
Y t1 Y t 1...kY tk(11.. . k)0 1(X 1t1X 1t 1.. . kX 1tk)... p(Xp t 1Xp 1 t.. . kXptk)(ut1ut 1.. . kutk)
Yt 1Yt1...kYtk (11...k)0 1(X1t 1X1t1...kX1tk)... p(Xpt1Xpt1...kXptk)t
• 计算DW值
• 给定，由n和参数个数的多少查DW分布表，得临界值 dL和dU
此模型为原模型的广义差分模型，随机 扰动项之间是不相关的。对此模型进行 的OLS估计，就是对原模型的广义差分估计。
问题：各自相关系数未 知，如何办？
• 广义差分法实施的过程：
Y t01 X 1 t . ..p X p tu t
• 如果随机扰动项之间仅k阶自相关
Y t01 X 1 t . ..p X p tu t t 1t 1 2t 2 . .k .t k t
t 满足随机扰动项所满足的所有假定。
1 Y t 1 1 0 1 1 X 1 t 1 . .1 .p X p 1 t 1 u t 1
t t1t
H0: =0
H1:0
对原模型进行OLS估计，用残差构造统计量。
D.W. 统计量:
T~ ~
(et et1 )2
D.W .
t2
T
~
e
t
2
t 1
显然： 0DW 4
DW与残差自相关系数的关系。
当T较大时，
T ~~
et et1
D.W. 2(1 t2 T
~2
et
)2(1~ ~ )
et ,et1
Y t1 Y t 1...kY tk(11.. . k)0 1(X 1t1X 1t 1.. . kX 1tk)... p(Xp t 1Xp 1 t.. . kXptk)(ut1ut 1.. . kutk)
Yt 1Yt1...kYtk (11...k)0 1(X1t 1X1t1...kX1tk)... p(Xpt1Xpt1...kXptk)t
• 计算DW值
• 给定，由n和参数个数的多少查DW分布表，得临界值 dL和dU
计量经济学精品PPT资料
同样地，容易得出
E b 0 E B 0 w i u i B 0 w i E u i B 0
(3) 有效性（最小方差性），即在所有线性无偏
估计量中，最小二乘法估计量b0, b1具有最小方 （差1）。先求b0与b1的方差
Varb1Var kiYi ki2Var B0B1Xi ui
ui ~ N(0, u2)
3.2—3.3 最小二乘估计量的性质
1. 系数B1, B2的OLS估计
当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的 精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需 考察参数估计量的统计性质。
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个 方面考察其优劣性：
（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性 函数；
P li m b P li m B k u 一元线性模型中，Bi (i=0，1）的置信区间
严格地说，这只是被解释变量的预测值的1 估计值，而不是预测值。1
ii
在u是正态分布的假设下，Y是正态分布，则b0 、 b1也服从正态分布，因此，
普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator, BLUE）
Cov(X, u)=0
假设3. 给定Xi，扰动项的期望或均值为零，即：
E(u|Xi)=0；
PRF : E(Y|Xi)=B1+B2Xi
扰动项ui的条件分布
假设4. ui的方差为常数，即同方差假定： Var(ui)=2
PRF : Yi=B1+B2Xi
PRF : Yi=B1+B2Xi
同方差
异方差
假设5. 无自相关假定，即： Cov(ui, uj)=0, ij
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Prob(F-statistic)
Prob. 0.0037 0.0018 0.0158 928.4946 372.6424 6.684995 6.833774 2057.271 0.000000
资料、最大或然估计
对于多元线性回归模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i
（regression coefficient）。
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样：
模型中解释变量的数目为（k+1）
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i
也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的 非随机表达式为:
E(Yi | X1i , X 2i , X ki ) 0 1 X1i 2 X 2i k X ki
S.D. dependent var
S.E. of regression Sum squared resid
26.56078 13404.02
Akaike info criterion Schwarz criterion
Log likelihood
-101.7516
F-statistic
Durbin-Watson stat 1.278500
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
2、参数估计量的性质
在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通
最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。
同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。
1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量
其中 ：
y1
x11 x21 xk1
y
y2 yn
x
x12 x1n
x22 x2n
xk2
xkn
ˆ1
βˆ
ˆ2
ˆk
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X1 ˆk X k
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
Std. Error
t-Statistic
C
120.7000
36.51036
3.305912
GDPP CONSP(-1)
0.221327 0.451507
0.060969 0.170308
3.630145 2.651125
R-squared
0.995403
Mean dependent var
Adjusted R-squared 0.994920
i=1,2…n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
其中
n
n
Q ei2 (Yi Yˆi ) 2
i 1
i 1
n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i 1
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
L* Ln(L)
nLn(
2 )
1 2 2
(Y
Xβˆ )
(Y
Xβˆ )
对对数或然函数求极大值，也就是对
(Y Xβˆ )(Y Xβˆ )
求极小值。 因此，参数的最大或然估计为
βˆ (XX)1 XY
结果与参数的普通最小二乘估计相同
资料、矩估计（Moment Method, MM）
OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正 规方程组
E(X’)=0
• 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1 个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是 IV。
• 如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构 成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。
1 X 12 Xk2
1 Y1
X 1n Y2
X kn
Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组：
βˆ (Y
Xβˆ )(Y
Xβˆ )
0
得到：
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 XY XXβˆ 0
假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不 序列相关性
E(i ) 0
Var(i ) E(i2 ) 2
Cov(i , j ) E(i j ) 0
i j i, j 1,2, , n
假设3，解释变量与随机项不相关
Cov( X ji , i ) 0
j 1,2 , k
假设4，随机项满足正态分布
一般经验认为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足
模型估计的基本要求。
模型的良好性质只有在大样本下才能得 到理论上的证明
多元线性回归模型的参数估计实例
例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居 民人均消费一元线性模型。这里我们再考 虑建立多元线性模型。
解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1)
n
,
1
)
cov(1, n ) 2
var( n )
0
0 2I
2
假设3，E(X’)=0，即
i E(i )
E
X 1i i
X
1i E(i
)
0
X Ki i X Ki E(i )
假设4，向量 有一多维正态分布，即
μ~ N(0, 2I) 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：
方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变
量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化;
或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直
接”或“净”（不含其他变量）影响。
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 Y Xβ μ
其中
1 X 11 X 1 X 12
XY XXβˆ
于是： βˆ (XX)1 XY
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
(X'X)
1 X1
1 X2
1
1 Xn
11
X 1
X 2
Xn
n Xi
Xi
X
2 i
10 21500
21500 53650000
XY
1 X1
可求得
1 X2
Y1
1 X n
Y2 Yn
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总
体回归函数中随机扰动项i的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ Xβˆ
或
Y Xβˆ e
其中：
ˆ0
βˆ
ˆ1
ˆk
e1
e
e2 en
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各 X之间互不相关（无多重共线性）。
§3.2 ols:参数的估计
估计方法：OLS、ML或者MM 一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
一、普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 (Yi , X ji ), i 1,2, , n, j 0,1,2, k
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
XY XXβˆ
于是
XXβˆ Xe XXβˆ
Xe 0
(*)
或
ei 0
(**)
X ji ei 0
i
(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一 种写法
⃟样本回归函数的离差形式
yi ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei 其矩阵形式为
i=1,2…n
y xβˆ e
(XX)βˆ XY
并对它进行求解而完成的。
该正规方程组 可以从另外一种思路来导:
求期望 :
Y Xβμ
XY XXβ Xμ
X(Y Xβ) Xμ
E(X(Y Xβ) 0
E(X(Y Xβ) 0
称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总 体回归方程所具有的内在特征。
1 X(Y Xβˆ ) 0 n
易知
Yi ~ N (Xiβ , 2 )
Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
L(βˆ , 2 ) P(Y1,Y2 , ,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1 X1i
ˆ2
X
2i
ˆk
X
ki
))2
(2
)
n 2
n
1
1 (YXβˆ )(YXβˆ )
e 2 2
(2
)
n 2
n
即为变量Y的或然函数
对数或然函数为
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得 到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2, , k 。
正规方程组的矩阵形式
n
X 1i
X 1i
X
2 1i
X ki
X ki X 1i
X X 1i
X
ki
X
2 ki
ki
ˆ 0 ˆ1
ˆ k
1 X 11 X k1
假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有 界常数，即n∞时，