(完整word版)全等三角形之三垂直模型
三垂直模型
—线三等角模型—・一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K形图S “三垂直S “弦图”等，以下称为“一线三等角二•一线三等角的分类全等篇同侧锐角异侧相似篇D同侧锐角直角钝角异侧三、”一线三等角■的性质1•一般情况下，如图3-1,由Z1=Z2=Z3,易得△AECs^BDE.2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如图3-1,若CE=ED,则厶AEC^ABDE.图3-1 图3-23.中点型“一线三等角”如图 3-2,当Z1=Z2=Z3,且 D 是 BC 中点时，△BDEsACEDs^DFE. 4•“中点型一线三等角“的变式（了解）ZBOC = 90。
+丄ABAC 这是内心的性质，反之未必是内心.2在图3-4 （右图）中，如果延长BE 与CF,交于点P,则点D 是APEF 的旁心.图3_5其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题/?如图3-3,当“Z2且 — 9。
+存AC 时，点°是2的内心.可以考虎构造“一线三等角”.图 3-3图 3-44-'如图3-4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，四、“一线三等角”的应用1•“一线三等角”应用的三种情况.乩图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题； C.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角 或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”來解题.2•在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的 张角问题，在x 轴或y 轴（也可以是平行于x 轴或y 轴的直线）上构造一 线三等角解决问题更是重要的手段・3•构造一线三等角的步骤：找角.定线.构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C. D 两点作宜线1的垂线是必不可少的。
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形之垂直模型(含答案)
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形之垂直模型（含答案）1.三垂直模型（1）如图，已知矩形中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，，且ABCD EF EC ⊥，，矩形的周长为32cm ，求AE 的长．EF EC =4DE cm =ABCD EF DCBA【答案】6cm ．（2）已知：如图，在ABC 中，，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，V 90ACB ∠=︒CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB =FC．【答案】易证，所以．Rt CEF Rt BCA ∆∆≌AB CF =（3）如图，在中，,，CF 交AB 于点E ，，Rt ABC △AC BC =90ACB ∠=︒BD CF ⊥，若，，求CF 的长.AF CF ⊥5DF =3AF =【答案】易证：，∴，．Rt ACF Rt BCD ∆∆≌3CD AF ==8CF CD DF =+=2.在中，，，直线经过点，且于，ABC △90ACB ∠=︒AC BC =MN C AD MN ⊥D 于．BE MN ⊥E （1）当绕点旋转到图1的位置时，请你探究线段、、之间的数量关系；MN C DE AD BE （2）当绕点旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明；（3）当绕点旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明．图1NMABCDE图2MNABCDE图3NMAC D E 【答案】（1）三垂直模型，易得，所以有；ACD CBE ≅△△DE AD BE =+（2）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE AD BE =-（3）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE BE AD =-3.已知等腰中，为直角，为的中点，于点G ．求证：Rt ABC △C ∠M BC CD AM ⊥．∠=∠AMC DMBB EB BC【答案】如图，过作，交延长线于．⊥CD E三垂直模型，易证：，≌∆∆Rt CBE Rt ACMM BC=∵为的中点，∴，．∠=∠=AMC ECM BM BE∠=∠∵，而，∴．∠=︒EBD MBDMBD∠+∠=︒4590MBD EBD≌E DMB AMC∆∆BD BED BMD又为公共边，∴，∴．∠=∠=∠4.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且．∠=∠=∠BEC CFAα（1）如图1，若∠BCA=60°，时，线段BE和CF大小关系如何，猜想线段α∠=︒120BE、AF、和EF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，若时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明．∠=︒-180BCAα【答案】（1），；（2）成立．BE CF =EF BE AF =-5.（1）如图1，在中，，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有ABC △AB AC =，其中α为任意锐角或钝角，请证明DE 、BD 、CE 三条线段的BDA AEC BAC α∠=∠=∠=数量关系．（2）在（1）的基础上，D 、E 是直线m 上两个动点（D 、A 、E 三点不重合），点F 是的平分线上一点，且、均为等边三角形，连接DF 、EF ，判断BAC ∠ABF △ACF △的形状，并证明．DEF △图1图2【答案】（1）∵，，易证,BDA AEC BAC α∠=∠=∠=AB AC =ADB CEA ≅△△∴，． BD AE AD CE ==，DE BD CE =+（2）是等边三角形．由（1）知：DEF △，∴，ADB CEA ≅△△ BD EA DBA CAE =∠=∠， 又∵、均为等边三角形，∴，ABF △ACF △60ABF CAF ∠=∠=︒，FBD FAE ∠=∠∴,，，∴，等边．DBF EAF ≅△△DF EF =BFD AFE ∠=∠60DFE ∠=︒DEF △6.如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交 于Rt ABC ∆AD BC BE ABC ∠AD BE ，于，求证：．O EF AD ⊥F AF OD =【答案】如图，过作．O OG AB ⊥∵，，∴．12∠=∠OD BC ⊥OG OD =∵，，∴．190AEO ∠+∠=︒290BOD ∠+∠=︒AEO BOD ∠=∠而，∴，∴．BOD AOE ∠=∠AEO AOE ∠=∠AE AO =∵，∴．EF DC ∥AEF C ∠=∠∵，，90C CAD ∠+∠=︒90GAO CAD ∠+∠=︒∴，故．C GAO ∠=∠AEF GAO ∠=∠∴，，∴．Rt AEF Rt OAG ∆∆≌OG AF =AF OD =（也可以过E 作BC 的垂线，按照模型来证明．）7.如图1，在中，，，垂足为D ．AF 平分，交Rt ABC △90ACB ∠=︒CD AB ⊥CAB ∠CD 于点E ，交CB 于点F ．图1 图2（1）求证：．CE CF =（2）将图1中的沿AB 向右平移到的位置，使点落在BC 边上，其它ADE △'''A D E △'E 条件不变，如图2所示．试猜想：与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．'BE 【答案】（1）在中，；在中，Rt AED △90EAD AED ∠+∠=︒Rt ACF △；90CAF AFC ∠+∠=︒又有，∴，则有．CAF EAD ∠=∠AFC AED CEF ∠=∠=∠CE CF =（2）如图，过点E 作于G ，易证：，∴，EG AC ⊥''CEG BE D ≅△△'CE BE =由（1）中的结论，可得：．'CF BE =E‘图2G A ′FE CBA8.如图1，已知ABC 是等边三角形，点D 是边BC 的中点，∠ADE =60°，且DE 与V ∠ACB 的外角平分线CE 相交于点E ．过点作交于点，则有D DF AC ∥AB F ，易证：ADE 是等边三角形．那么请问：ADF EDC ≅△△V （1）若D 是线段BC 上(B 、C 点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），试判断ADE 的形状，并说明理由．V （2）若D 是BC 的延长线上（C 点除外）的任意一点，其他条件不变（如图3），那么（1）的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图2 图3【答案】（1）等边三角形；（2）成立，过点作交的延长线于点，则有，即证．D DF AC∥AB F AFD DCE≌∆∆9.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点VD，BE⊥MN于点E，AD=5，BE=2，求线段DE的长．【答案】;710.如图，已知中，AC=BC，D是BC的中点，，垂足为Rt ABCV90ACB∠=o CE AD⊥E．，交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．BF ACPABC DEF 【答案】∵，，∴，．90ACB ∠=oBF AC P 90ACD CBF ∠=∠=o90ADC CAD ∠+∠=o∵，∴，∴．CE AD ⊥90FCB ADC ∠+∠=oCAD FCB ∠=∠又∵AC =CB ，∴，∴DC =FB ．ADC CFB ≅V V ∵D 是BC 的中点，∴BC =2BF ，即AC =2BF ．11.如图，中，，，D 是AB 上任意一点， 交CDABC △AC BC =90ACB ∠=︒AE CD ⊥延长线于E ，于F ．求证：．BF CD ⊥EF BF AE =-F E D CBA【答案】三垂直模型，易证：，则CE =BF ，AE =CF ，∴EF =CE -CF =BF -AE ．ACE CBF ≅V V 12.（1）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且ABC △AB AC =D E F AB BC AC ，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．BD CE =DEF B ∠=∠BDE △FEDCBA(2)如图，在等边ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠ADE =60°，DE 交∠C 的外角平分线于V E ，则ADE 是____________三角形．V 【答案】（1）；（2）等边．CEF 13.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，∠ABC 的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，M 是CG 上一点且满足CM =DG . 求证：EM //AB .【答案】提示：过点作的垂线．G BC 14.八年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下：(1)如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM =AN ，连接BN 、CM ，发现BN =CM ，当M 、N 改变位置且保持BM =AN 时，∠NOC 保持不变，请猜测∠NOC 的度数：∠NOC =______度．(2)如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、DM ，那么AN =DM ，且∠DON =_______度．(3)如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、EM ，那么AN =EM ，且∠EON =________度．(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________________.【答案】(1); (2) ；(3)；(4)以上所求的角正好等于正边形的内角60︒90︒108︒n ()2180n n-︒。
三垂直模型
三垂直模型知识导航三垂直模型是经典的全等三角形模型之一，综合性较强。
解题方法通常是根据三垂直倒角来证明题目中有一对边相等的两个全等三角形。
一线三等角是三垂直模型的变式，包括一线三等锐角、一线三直角、一线三等钝角，这类型题型通常是利用三垂直模型原理进行倒角，证明两个三角形全等。
【核心考点】三垂直模型1. 如图，AC CE =，90ACE ∠=︒，AB BD ⊥，ED BD ⊥，6AB cm =，2DE cm =，则BD等于( )A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【解答】 解：AB BD ⊥，ED BD ⊥，90B D ACE ∴∠=∠=∠=︒，90BAC ACB ∴∠+∠=︒，90ACB ECD ∠+∠=︒， BAC ECD ∴∠=∠，在Rt ABC ∆与Rt CDE ∆中， B D BAC DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， Rt ABC Rt CDE(AAS)∴∆≅∆，2BC DE cm ∴==，6CD AB cm ==， 268BD BC CD cm ∴=+=+=，故选：B ．2. 如图，已知ABC CDE ∆≅∆，90B D ∠=∠=︒，且B ，C ，D 三点在同一条直线．（1）试说明：BD AB ED =+．（2）试判定ACE ∆的形状， 并说明理由 ．【解答】证明：（1）Rt ABC Rt CDE ∆≅∆，BC DE ∴=，AB CD =， BD CD CB =+， BD AB ED ∴=+．（2）结论：ACE ∆是等腰直角三角形 ． 理由：Rt ABC Rt CDE ∆≅∆，90B D ∠=∠=︒，ACB CED ∴∠=∠，BAC ECD ∠=∠，AC EC =， 90BAC ACB ∠+∠=︒， 90ECD ACB ∴∠+∠=︒， 90ACB ∴∠=︒，ACE ∴∆是等腰直角三角形 ．3. 已知在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，90ACB ∠=︒，AC BC =．如图，当(0,2)A -，(1,0)C ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为_______．【解答】解：作BD x ⊥轴，90ACO CAO ∠+∠=︒，90ACO BCD ∠+∠=︒， CAO BCD ∴∠=∠，在AOC ∆和CDB ∆中， 90AOC CDB CAO BCDAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOC CDB AAS ∴∆≅∆，1DB OC ∴==，2CD AO ==， 3OD ∴=，∴点B 的坐标为(3,1)-．故答案为(3,1)-．4. 如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为2，3，m ，A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则正方形CNHM 的边长m 是多少？【解答】解：四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，90CNB ENH ∴∠+∠=︒，又90ENH NHE ∠+∠=︒，CNB EHN ∴∠=∠，在CBN ∆和NEH ∆中， CBN NEH CNB NHE CN NH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CBN NEH ∴∆≅∆， HE BN b ∴==，故在Rt CBN ∆中，222BC BN CN +=， 又2a =，3b =，m ∴=则正方形CNHM 的边长m5. 已知：在平面直角坐标系中，等腰直角ABC ∆顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，且90ACB ∠=︒，AC BC =．（1）如图1，当(0,2)A -，(1,0)C ，点B 在第四象限时，先写出点B 的坐标，并说明理由． （2）如图2，当点C 在x 轴正半轴上运动，点(0,)A a 在y 轴正半轴上运动，点(,)B m n 在 第四象限时，作BD y ⊥轴于点D ，试判断a ，m ，n 之间的关系，请证明你的结论．【解答】解：（1）点B 的坐标为(3,1)-． 理由如下：作BD x ⊥轴于D ，90BOC BDC ∴∠=︒=∠， 90OAC ACO ∴∠+∠=︒， 90ACB ∠=︒，AC BC =， 90ACO BCD ∴∠+∠=︒， OAC BCD ∴∠=∠，在AOC ∆和CDB ∆中，90OAC BCDAOC CDB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOC CDB AAS ∴∆≅∆，AO CD ∴=，OC BD =，(0,2)A -，(1,0)C ，2AO CD ∴==，1OC BD ==，3OD ∴=，B 在第四象限，∴点B 的坐标为(3,1)-；（2）0a m n ++=． 证明：作BE x ⊥轴于E ，90BEC AOC ∴∠=∠=︒， 1290∴∠+∠=︒， 90ACB ∠=︒， 1390∴∠+∠=︒， 23∴∠=∠，在CEB ∆和AOC ∆中，23BEC AOC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CEB AOC AAS ∴∆≅∆，AO CE a ∴==，BE CO =， BE x ⊥轴于E ，//BE y ∴轴，BD y ⊥轴于点D ，EO y ⊥轴于点O ，EO BD m ∴==， BE n ∴=-，a m n ∴+=-，0a m n ∴++=．6. 如图1，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，分别过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，求证：DE BD CE =+；（1）将直线l 绕点A 逆时针旋转到直线l 与BC 相交，且45BAD ∠<︒（如图2)时，其它条件不变，请你探索DE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明之；（2）继续旋转，使4590BAE ︒<∠<︒（如图3)，其它条件不变，此时（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，DE ，BD ，CE 之间又怎样的数量关系？（不需证明）．【解答】证明：如图1，BD l ⊥，CE l ⊥，90BDA CEA ∴∠=∠=︒， 90ABD DAB ∴∠+∠=︒． 90BAC ∠=︒， 90DAB CAE ∴∠+∠=︒， ABD CAE ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中 BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，BD AE =．DE AD AE =+， DE CE BD ∴=+；（1）DE CE BD =-理由：如图2，BD l ⊥，CE l ⊥，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90ABD DAB ∴∠+∠=︒． 90BAC ∠=︒， 90DAB CAE ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中 BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，BD AE =DE AD AE =-， DE CE BD ∴=-；（2）DE BD CE =-．理由：如图3，BD l ⊥，CE l ⊥，90BDA CEA ∴∠=∠=︒， 90ABD DAB ∴∠+∠=︒． 90BAC ∠=︒， 90DAB CAE ∴∠+∠=︒， ABD CAE ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中 BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，BD AE =DE AE AD =-， DE BD CE ∴=-．7. 如图所示，已知ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线1l 、2l 、3l 上，且115∠=︒，则2∠=_________度．【解答】解：123////l l l ，13∴∠=∠，24∠=∠， 1234∴∠+∠=∠+∠． 90ABC ∠=︒，AB BC =， 45BAC BCA ∴∠=∠=︒． 34BAC ∠+∠=∠， 3445∴∠+∠=︒， 1245∴∠+∠=︒． 115∠=︒， 230∴∠=︒．故答案为：30．8.问题背景：（1）如图①，已知ABC∠=︒，AB AC=，直线m经过点A，BAC∆中，90=+．BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE BD CE拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E∆中，AB AC 三点都在直线m上，并且有BDA AEC BAC∠=∠=∠请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图③，在ACB-，=，点C的坐标为(2,0)∆中，90∠=︒，AC BCACB点A的坐标为(6,3)-，请直接写出B点的坐标．【解答】（1）证明：BD AD ⊥，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，90CAE BAD ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，90ABD CAEADB CEA AB CA∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆AE BD ∴=，AD CE =，DE AD AE BD CE ∴=+=+；（2）解：DE BD CE =+，理由如下：在ABD ∆中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠， 180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠， ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，ABD CAEBDA AEC AB CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆AE BD ∴=，AD CE =，DE AD AE BD CE ∴=+=+；（3）解：如图③，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ， 由（1）可知，AEC CFB ∆≅∆，3CF AE ∴==，4BF CE OE OC ==-=， 1OF CF OC ∴=-=，∴点B 的坐标为(1,4)．。
初中数学常见模型之三垂直全等模型
模型实例
例1.如图， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AE ⊥ DE ， AE=DE 求证： AB+CD=BC
例2.如图，∠ ACB-90 °,AC=BC,BE ⊥ CE 于点 D, AD=2.5cm ,BE=0.8cm 求 DE 的长
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt △ ABC 有两个顶点在坐标轴上 求第三个顶点的坐标
典例精选
1.如图，正方形 ABCD ， BE=CF 。 求证：（ 1 ） AE=BF ；（ 2 ） AE ⊥ BF
2.直线 上有三个正方形 a 、b 、 c ,若 a 、 c 的面积分别是 5 和 11,则 b AB=AC ，点 P 为 BC 上一动点（ B P<CP ）， 分别过 B 、 C 作 BE ⊥ AP 于点 E 、 CF ⊥ AP 于点 F
（ 1 ）当α=45°时，求△ EAD 的面积；
（ 2 ）当α=30°时，求△ EAD 的面积；
（ 3 ）当0°<α<90°时，猜想△ EAD 的面积与大小有无关系？若有关，写出△ EAD 的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论。
5.如图，向△ ABC 的外侧作正方形 ABDE 、正方形 ACFG ， 过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， AH 的反向延长线与 EG 交于点 P 求证： BC=2AP
初中数学常见模型
三垂直全等模型
模型：三垂直全等模型
如图，∠ D= ∠ BCA= ∠ E=90 °， BC=AC 。 结论： Rt △ BCD ≌ Rt △ CAE
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有 举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从 弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两 种弦图。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型
（原创实用版）
目录
1.全等三角形的定义与性质
2.全等三角形的八大基本模型
1.手拉手模型
2.一线三垂直模型
3.一线三等角模型
4.等腰三角形中边边角模型
5.背对背模型
6.半角旋转模型
7.角分线模型
8.正方形手拉手模型
正文
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。
在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，以及掌握一些常用的模型。
本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。
1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个端点分别与另外两个三角形的顶点相连。
2.一线三垂直模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应边互相垂直。
3.一线三等角模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应角相等。
4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，且两个等腰三角形的底角相等。
5.背对背模型：两个三角形的一组对应边互相垂直，且另外一组对应边互相平行。
6.半角旋转模型：一个三角形通过某个顶点旋转 180 度后与另一个三角形重合。
7.角分线模型：两个三角形的一组对应角相等，且另一组对应边的延长线相交于一点，这个点将延长线分成的两段长度相等。
8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的一边与另一个正方形的一边相连，另外两个正方形的边也分别相连。
以上就是全等三角形的八大基本模型，这些模型在解决全等三角形问题时非常实用。
全等三角形经典模型总结解析
全等三角形相關模型總結一、角平分線模型(一）角平分線の性質模型輔助線：過點G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現A、例題輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F .求證：1()2BE AC AB=-.例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交ADの延長線於M. 求證：1()2AM AB AC=+.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC .A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由.B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC .2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D，求證：AD＋BD＝BC .3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D，求證：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點の旋轉全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM ≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等：操作過程：連結AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF ≌△ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間の數量關係.2、兩個全等の含有30°，60°角の直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BDの中點M，連接ME、MC.試判斷△EMCの形狀，並證明你の結論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMONの面積如何變化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：A、例題應用1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD於點E，交BC於F，連接DF .求證：∠ADB＝∠CDF .變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM於E，交BC於F，連接NF .求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .變式2、在變式1の基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交於點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .Fpg四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結論：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需構造等邊三角形證明）Fpg 例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CMの值最小，則稱點M為△ABCの費爾馬點．若點M為△ABCの費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMAの度數；（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法：如圖②，分別以△ABC のAB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M 即為△ABCの費爾馬點．試說明這種作法の依據．2、△ABD 和△ACE 均為等腰直角三角形結論：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形結論：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .變式1、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形，AS ⊥BC 交FD 於T ，求證：（1）T 為FD 中點；（2）ABC ADF SS .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，求證：AS⊥BC .4、如圖，以△ABCの邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型條件：1,+=1802αββθβ=︒且，兩邊相等.思路：1、旋轉輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線結論：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND .2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN於點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM .變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DCの延長線上移動，AH⊥MN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間の數量關係；（2）求證：AB＝AH例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且滿足EF＝BE＋DF，求證：12EAF BAD ∠=∠.變式：在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且12EAF BAD∠=∠，求證：EF＝BE＋DF .。
第7讲 三垂直模型(word版)
“三垂直”模型知识目标模块一 三垂直基本模型知识导航一、三垂直模型的构成 等腰直角△ABC过直角顶点A 的直线l过两底角顶点B 、C 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、N题型一 三垂直模型基本应用 例1过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 作直线l ，过A 、B 分别作AD ⊥l 于D ，BE ⊥l 于E ，已知AD ＝5，BE ＝3，求DE 的长．CBACBA练习已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上 ，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明．模型二 三垂直模型与“婆罗摩笈多”例2如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ．练习 如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ． （1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹） （2）求点C 的坐标；（3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度．CBAEDCBANMEDCBA模型三 三垂直模型与“八字”全等综合例3（1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ．（2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系．练习等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ．（1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求CPBM的值．FEDCBA DABCEF（2）P 点在CB 延长线上，且CP ＝nBP ，M 、N 分别在AB 边和AB 边的延长线上，求AMBM．真题演练（2016年江岸区八上期末第23题） 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE （1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于点D ，求证：CE ＋CD ＝DF ； （2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，若AGCG＝3，求证：E 为BC 中点； （3）当E 点在射线CB 上，连接BF 交直线AC 于点G ，若43BC BE =，则AGCG＝ ．N MQPCBAMNPQCB A图1FEDCBA图2GFECBA模块二 三垂直模型与坐标系综合知识导航三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标 情况一如下图：直角顶点在坐标轴上情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上例4（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．（2）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求B 点坐标．B（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．练习如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．真题演练如图，已知A（－2，0），（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，P A为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H 点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．例5在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度数．练习如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足1 b=（1）求点A的坐标；（2）若点F（1，0），C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO＋∠FCO的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．例6（2015年粮道街八上期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，8），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为．练习在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为面积最小的等腰直角三角形，求点C的坐标以及面积的最小值．挑战压轴题如图1，已知A（a，0），点B（0，b）且a、b满足2(4)40a b-+-=（1）求A、B两点的坐标；（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：F A＝FC；（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交x轴于点G，求S△BOG．第7讲 本讲课后作业○A 基础巩固 1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的坐标为（﹣5，2），求点D 的坐标．2、在平面直角坐标系中，点A （2，0），B （0，4），以AB 为斜边作一个等腰直角三角形ABC ，则点C 的坐标为 ．3、已知，△ABC 是等腰直角三角形，BC ＝AB ，A 点在x 轴负半轴上，直角顶点B 在y 轴上，点C 在x 轴上方．（1）如图1所示，若A 的坐标是（﹣3，0），点B 的坐标是（0，1），求点C 的坐标； （2）如图2，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，请直接写出线段OA 、OD 、CD 之间等量关系；（3）如图3，若x 轴恰好平分∠BAC ，BC 与x 轴交于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，问C F 与AE 有怎样的数量关系？并说明理由．图1○B 综合练习 4、如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ． （1）求C 点坐标；（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值；（3）如图3，已知点F 坐标为（﹣2，﹣2），当点G 在y 轴负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m －n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．x。
三垂直模型及练习题
全等证明专题三 三垂直模型 姓名：一、教材母题：P56 9如图，90=∠ACB ，AC =BC ，CE AD ⊥,CE BE ⊥,垂足分别为D ，E ，AD =2.5cm ,DE =1.7cm .求BE 的长.二、模型提炼：三垂直模型 （三垂直加线段相等可得三角形全等）模型已知：如图，已知线段AB ，OB 且OA ⊥OB ，OA =OB ．模型构造：如图，过点O 做水平直线l ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，分别交该直线于点C 、D ． 模型结论：△ACO ≌△ODB 模型证明：模型变形1：模型已知：如图，已知线段OA ，OB ，OE 且OA =OB ，OA ⊥OB ． 模型结论：△ACO ≌△ODB ． 模型证明：模型的变形2：模型已知：如图，已知线段OA ，OB ，OE ，OF 且OA =OB ，OA ⊥OB ，OE ⊥OF ． 模型结论：△ACO ≌△ODB 模型证明：模型变形3：模型已知：如图，已知线段AO ，OB ，BC ，CD ，AB 且AB =CD ，AO ⊥OB ，BC ⊥OB ，CD ⊥AB ．模型结论：△AOB ≌△CDB 模型证明：ED CBA三、模型例题例 1 .如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F.(1)求证：BE-CF=EF；(2) 若D在BC的延长线上 (如图 (2))，(1) 中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明.变式：如图：RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D在 BC的延长线上，过B 作BE⊥AD于点E，交AC 于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F.直接写出图中的全等三角形，以及线段AB，CF，CG之间的数量关系.例2 ：等腰 Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。
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全等三角形之三垂直模型
模块一：三垂直模型
1.已知：如图(1)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于E，CD⊥BD，求证：ED AE CD
=-2.已知：如图(2)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求证：EC AB CD
=-
3. 已知：如图(3)，AB =EC ，AE ⊥ED ，BE ⊥AB ，CD ⊥CE ，求证：BC AB CD =+
4. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E ∠=∠=︒，则下列结论正确的个数有（ ） ①CD =AE ；②12∠=∠；③34∠=∠；④AD =BE .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 如图所示，AB BC ⊥，CD BC ⊥，垂足分别为B 、C ，AB =BC ，E 为BC 中点，AE BD ⊥于F ，若CD =4cm ，则AB 的长度为（ ）
A. 4cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
6. 如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ，BF AC ，交CE 的延长线于点F ，求证：AC =2BF .
7. 如图，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ，AB =BC ，E 是AB 的中点，CE BD ⊥.求证：AE =AD .
模块二：勾股定理的证明
如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=.
以毕达哥拉斯内弦图为例：
22222
222
1
()4()
2
22a b ab c a ab b ab c a b c +=⋅+++=++=等面积法
8. 如图，直线l 过等腰直角三角形ABC 顶点B ， A 、C 两点到直线l 的距离分别是3和4，则AB 的长是 .
9. 如图，直线123l l l ，，分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、B 、D ，且相互平行，若12l l ，之间的距离为1，23l l ，的距离为1，则正方形ABCD 的面积是 .
10. 如图，AE AB ⊥且AE =AB ，BC CD ⊥且BC =CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 .
A. 50
B. 62
C. 65
D. 68。