冀教版九年级上册《一元二次方程》课件
2
2.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、 常数项依次是（ D ） A.7x2，2x，0 B.7x2，-2x，无常数项 C.7x2，0，2x D.7x2，-2x，0
拓展练习
1.若 （m 2）x
m2 2
3 是一元二次方程，则m= -2 .
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ A.-3 B.3 C.0 D.0或3
1. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax 2 bx c 0 的形式,我们把
ax 2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次
方程的解(或根).
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？
m2
解：设正方形桌面的边长是x m，
x 2 则依题意得_________________
2
（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米.如果 花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？
(19 2 x)m xm , 解：设花一 回顾与思考 1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实 际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤 吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
2
先看是不是 整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件
(6) ax bx c 0 (7) mx 0 (m为不等于0的常数)
万变不离其宗
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式
x 2
2
x 2 0
2
x(19 2 x) 24
2 x 2 19x 24 0
A x
4 A'
C
5 3
B X B'
(4 x) (3 x) 5
2 2
2
观察思考
x 2
2
x(19 2 x) 24
？
2 2
(4 x) (3 x) 5
2
特点:
①都是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是2.
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型.
1.在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指 出其二次项系数、一次项系数和常数项. （1）2x2=1-x； （2）2x=1-x； （3）3x2=12； （4）（x-1）2=x（x+1）.
（5） 3x 2 8x 10 1
二 一元二次方程的根 问题1 判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.
x x0
2
一元二次方程的一般形式
a x 2+ b x + c = 0 a x 2 又叫二次项 (a、b、c为常数且a ≠ 0) b x叫一次项 c叫常数项
二次项系数 一次项系数 为什么要限制a≠0， b，c可以为零吗？
例题讲解
二次项、二次项系数、 一次项、一次项系数、 例题讲解 常数项都是包括符号的
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数a≠0.
火眼金睛
1 列表填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x
4x2-3x=0 (x-1)2-9=0 x2-2x-8=0
4 1
-3
0
-2 -1
-8 -6
x(x+2)=3(x+2)
x2-x-6
1
基础练习
3. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一 个根为1, 求a+b+c的值.
）
（2）如图，大小两个四边形都是矩形，且阴影 部分的面积为800.请列出关于x的方程.
（40-4x）（60-2x）=800
以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数 和常数项，请尽可能多的写出满足条件的不同的一 元二次方程.
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根). x= -1,x=2是方程的根.
基础练习
做一做：在下列各题中，括号内未知数 的值，哪些是它前面方程的根？ （ 1） x 3 x 4 0
2
( x 0，x 1，x 4)；
（2） ( x 2)( x 2) 12 （ 3） 2 y y 1 0
像这样的等号两边都是整式， 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
看谁眼力好！
下列方程是一元二次方程吗？
(1) x x 1
2
(2)x
2
1
(3)x
1
x 2 (5) x 3 (x 1)(x 2)
2 2
(4) x 3x 2y 0
x
根据题意，得________________
x(19 2 x) 24
问题情境
（3）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米.如果梯 子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动 的距离. 分析：在滑动过程中，梯子的长度保持不变， 设滑动距离为x，则 3 x 4 x A’C=_______,B’C=________ 在RtΔA’B’C中，根据勾股定理，由题意得
2
( x 1，x 4，x 4)；
1 ( y 0，y 1，y ). 2
基础练习
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ B ）
①2x2+5=0 ； ②ax2+bx+c=0 ； ③（x-1）（x+2）=x2-1 ； ④
2 ⑤ 3 x 2 0； 2 x 1 x.
一次项：－ 8x，其系数为－ 8
二次项： x 2、系数为 1
一次项： 0、系数为 0
常数项： 0
常数项为－ 10
拓广探索
通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程
的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？ （1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 时必须把方程化为一般形式才能进行.
• [例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 2 • (1) 3x( x 1) 5( x 2) (2) 解：3x 2
2
3x 5 x 10
x 0
3x 3x 5x 10 0 2 3x 8x 10 0
二次项： 3x 2，其系数为 3
5(1 x) 7.2
2
5x 10x 2.2 0
2
(4 x)2 (3 x)2 52
x x0
2
现出真身
x 2 0
2
2 x 19x 24 0
2
5x 10x 2.2 0
2
a x 2+ b x + c = 0 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
2.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、 常数项依次是（ D ） A.7x2，2x，0 B.7x2，-2x，无常数项 C.7x2，0，2x D.7x2，-2x，0
拓展练习
1.若 （m 2）x
m2 2
3 是一元二次方程，则m= -2 .
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（ A.-3 B.3 C.0 D.0或3
1. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax 2 bx c 0 的形式,我们把
ax 2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次
方程的解(或根).
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？
m2
解：设正方形桌面的边长是x m，
x 2 则依题意得_________________
2
（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米.如果 花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？
(19 2 x)m xm , 解：设花一 回顾与思考 1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实 际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤 吗?
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
2
先看是不是 整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件
(6) ax bx c 0 (7) mx 0 (m为不等于0的常数)
万变不离其宗
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式
x 2
2
x 2 0
2
x(19 2 x) 24
2 x 2 19x 24 0
A x
4 A'
C
5 3
B X B'
(4 x) (3 x) 5
2 2
2
观察思考
x 2
2
x(19 2 x) 24
？
2 2
(4 x) (3 x) 5
2
特点:
①都是整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是2.
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型.
1.在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指 出其二次项系数、一次项系数和常数项. （1）2x2=1-x； （2）2x=1-x； （3）3x2=12； （4）（x-1）2=x（x+1）.
（5） 3x 2 8x 10 1
二 一元二次方程的根 问题1 判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.
x x0
2
一元二次方程的一般形式
a x 2+ b x + c = 0 a x 2 又叫二次项 (a、b、c为常数且a ≠ 0) b x叫一次项 c叫常数项
二次项系数 一次项系数 为什么要限制a≠0， b，c可以为零吗？
例题讲解
二次项、二次项系数、 一次项、一次项系数、 例题讲解 常数项都是包括符号的
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数a≠0.
火眼金睛
1 列表填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x
4x2-3x=0 (x-1)2-9=0 x2-2x-8=0
4 1
-3
0
-2 -1
-8 -6
x(x+2)=3(x+2)
x2-x-6
1
基础练习
3. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一 个根为1, 求a+b+c的值.
）
（2）如图，大小两个四边形都是矩形，且阴影 部分的面积为800.请列出关于x的方程.
（40-4x）（60-2x）=800
以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数 和常数项，请尽可能多的写出满足条件的不同的一 元二次方程.
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根). x= -1,x=2是方程的根.
基础练习
做一做：在下列各题中，括号内未知数 的值，哪些是它前面方程的根？ （ 1） x 3 x 4 0
2
( x 0，x 1，x 4)；
（2） ( x 2)( x 2) 12 （ 3） 2 y y 1 0
像这样的等号两边都是整式， 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
看谁眼力好！
下列方程是一元二次方程吗？
(1) x x 1
2
(2)x
2
1
(3)x
1
x 2 (5) x 3 (x 1)(x 2)
2 2
(4) x 3x 2y 0
x
根据题意，得________________
x(19 2 x) 24
问题情境
（3）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米.如果梯 子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动 的距离. 分析：在滑动过程中，梯子的长度保持不变， 设滑动距离为x，则 3 x 4 x A’C=_______,B’C=________ 在RtΔA’B’C中，根据勾股定理，由题意得
2
( x 1，x 4，x 4)；
1 ( y 0，y 1，y ). 2
基础练习
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ B ）
①2x2+5=0 ； ②ax2+bx+c=0 ； ③（x-1）（x+2）=x2-1 ； ④
2 ⑤ 3 x 2 0； 2 x 1 x.
一次项：－ 8x，其系数为－ 8
二次项： x 2、系数为 1
一次项： 0、系数为 0
常数项： 0
常数项为－ 10
拓广探索
通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程
的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？ （1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 时必须把方程化为一般形式才能进行.
• [例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 2 • (1) 3x( x 1) 5( x 2) (2) 解：3x 2
2
3x 5 x 10
x 0
3x 3x 5x 10 0 2 3x 8x 10 0
二次项： 3x 2，其系数为 3
5(1 x) 7.2
2
5x 10x 2.2 0
2
(4 x)2 (3 x)2 52
x x0
2
现出真身
x 2 0
2
2 x 19x 24 0
2
5x 10x 2.2 0
2
a x 2+ b x + c = 0 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
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2一元二次方程PPT课件(冀教版)
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般情势.
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等 量关系； （2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全 部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各 个量，即列出方程.
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32-2x 32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
不是，最高项系数为1
2x2-4=(x+2)2
是
是
1 x2
10x
900
0
不是，是分式方程
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般情势
问题1 列表填空：
方程
一般情势 二次项系数 一次项系数 常数项
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等 量关系； （2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全 部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各 个量，即列出方程.
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32-2x 32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
不是，最高项系数为1
2x2-4=(x+2)2
是
是
1 x2
10x
900
0
不是，是分式方程
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般情势
问题1 列表填空：
方程
一般情势 二次项系数 一次项系数 常数项
冀教版初中数学九年级上册一元二次方程精品课件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
小试牛刀
当m取何值时，方程（m-1）x3m+2+2mx+3=0 是关于x的一元二次方程？
解：由题意得，
3m+2=2, 解得m=0，且m-1≠0 所以，当m=0时此方程是一元二次方程
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
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方
程
解（根）：使一元二次方程两边相 等的未知数的值
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展提高
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求 出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
课堂小结
一 元
定义：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数都是2的整式方程
二
次
一般形式：ax2 + bx + c =0（a≠0）
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
a 12 b 1 c 0,
即a b c 0.
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拓展提高
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
解：由题意得
a b c 0,
即a 12 b 1 c 0.
பைடு நூலகம்x 1
• （4） x 2 4 (x 2)2
?
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例题讲解
冀教版九年级数学上册24.1《一元二次方程》课件(17PPT)
叫做一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫做这个方程的根. 在问题1中我们设长方形存车处的长
〔与墙垂直的一边〕为xm，得到的方程为
想一想：存车处的长可以是10m吗？ 可以是20m吗？
做一做：在以下各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？
〔1〕x 2 3 x 4 0 (x 0 ， x 1 ， x 4 ) ；
24.1 一元二次方程
石家庄市第八中学
杨玲
探究活动1
问题1：某校要在校园内墙 边的空地上修建一个长方形的 存车处，要求存车处的一面 靠墙〔墙长22m〕，另外三面用90m的铁栅栏 围起来，如果这个存车处的面积为700m2 。 求这个长方形存车处的长和宽。
简
解法
如果设矩形存车处靠墙的一边长为xm，那么
归纳：一元二次方程满足三个条件： 〔1〕都只含一个未知数x； 〔2〕它们的最高次数都是2次； 〔3〕方程两边都是整式．
定义
只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数都是2 的整式方程,像这样的方程 叫做 一元二次方程。
以下各式是否为一元二次方程：
〔1〕2x2=9；〔 是 〕 〔2〕2x2-1=3y；〔 不是 〕
设梯子的底端在地面上滑 动的距离x m,于是得方程
102=(8-1)2+(6+x)2. 8
10
整理得x2+12x－15=0.
6
探究活动2 x2+12x－15=0；x290x14000； x245x3500.
请答复下面问题． 〔1〕上面三个整理前方程含有几个未知数？
〔2〕上面方程中未知数x的最高次数是几次？ 〔3〕方程两边都是整式吗？ 〔4〕你能类比一元一次方程的概念，给出一元二 次方程的定义吗？
解析：根据一元二次方程概念知未知数x的最高 指数是2，且二次项系数不为0，得m2-2=2， m-2≠0，解得m=-2，故填-2.
〔与墙垂直的一边〕为xm，得到的方程为
想一想：存车处的长可以是10m吗？ 可以是20m吗？
做一做：在以下各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？
〔1〕x 2 3 x 4 0 (x 0 ， x 1 ， x 4 ) ；
24.1 一元二次方程
石家庄市第八中学
杨玲
探究活动1
问题1：某校要在校园内墙 边的空地上修建一个长方形的 存车处，要求存车处的一面 靠墙〔墙长22m〕，另外三面用90m的铁栅栏 围起来，如果这个存车处的面积为700m2 。 求这个长方形存车处的长和宽。
简
解法
如果设矩形存车处靠墙的一边长为xm，那么
归纳：一元二次方程满足三个条件： 〔1〕都只含一个未知数x； 〔2〕它们的最高次数都是2次； 〔3〕方程两边都是整式．
定义
只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数都是2 的整式方程,像这样的方程 叫做 一元二次方程。
以下各式是否为一元二次方程：
〔1〕2x2=9；〔 是 〕 〔2〕2x2-1=3y；〔 不是 〕
设梯子的底端在地面上滑 动的距离x m,于是得方程
102=(8-1)2+(6+x)2. 8
10
整理得x2+12x－15=0.
6
探究活动2 x2+12x－15=0；x290x14000； x245x3500.
请答复下面问题． 〔1〕上面三个整理前方程含有几个未知数？
〔2〕上面方程中未知数x的最高次数是几次？ 〔3〕方程两边都是整式吗？ 〔4〕你能类比一元一次方程的概念，给出一元二 次方程的定义吗？
解析：根据一元二次方程概念知未知数x的最高 指数是2，且二次项系数不为0，得m2-2=2， m-2≠0，解得m=-2，故填-2.
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300(1-x)(1-2x)=144
解这个方程得： x1=0.2，x2=1.3(不合题意，舍掉) 答：第一年减少的百分率为20%，第二年减少的百分率为 40%。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
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平均增长率问题：
例1随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高， 汽车已越来越多地进入普通家庭，据某市交通部门统计，2010年 底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达 到21.6万辆。若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长 率。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
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1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每 月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元 时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每 月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
图形面积类问题：
如图，有一块长80cm，宽60cm的长方形硬纸片，在四角各剪 去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子。求剪去的小正方形的边长。
分析：设小正方形的边长为x，则长方体 盒底的长可表示为(80-2x)，宽可表示为 (60-2x)。这样我们就可以根据等量关系： 长×宽=面积列出所需方程了。
存车处
m，依题意得：
xm
x(90-2x)=700
整理得：2x2-90x+700=0
解之得：x1=35，x2=10 当x=10时，90-2x=70＞22，不合题意舍掉。
当x=35时，90-2x=20。
答：这个存车处的长为35m，宽为20m。
解这个方程得： x1=0.2，x2=1.3(不合题意，舍掉) 答：第一年减少的百分率为20%，第二年减少的百分率为 40%。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
平均增长率问题：
例1随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高， 汽车已越来越多地进入普通家庭，据某市交通部门统计，2010年 底，该市汽车保有量为15万辆，截至2012年底，汽车保有量已达 到21.6万辆。若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长 率。
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程课 件
1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每 月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元 时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每 月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
图形面积类问题：
如图，有一块长80cm，宽60cm的长方形硬纸片，在四角各剪 去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为 1500cm2的无盖的长方体盒子。求剪去的小正方形的边长。
分析：设小正方形的边长为x，则长方体 盒底的长可表示为(80-2x)，宽可表示为 (60-2x)。这样我们就可以根据等量关系： 长×宽=面积列出所需方程了。
存车处
m，依题意得：
xm
x(90-2x)=700
整理得：2x2-90x+700=0
解之得：x1=35，x2=10 当x=10时，90-2x=70＞22，不合题意舍掉。
当x=35时，90-2x=20。
答：这个存车处的长为35m，宽为20m。
冀教版九年级数学上册课件ppt《一元二次方程》
当m ≠±2 时，它是一元二次方程，当m ＝－2
时，它是
一元一次方程．
河北教育出版社 年级 | 上册
知识点二：建立一元二次方程模型 8．兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形 草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列 方程为 x(x＋10)＝200 ． 9．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为328，所列方程 正确的是( D ) A．x(x＋2)＝328 B．x(x－2)＝328 C．x(x＋1)＝328 D．x(x－2)＝328或x(x＋2)＝328
3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。我 市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面 积不断增加（如图所示）。
2003
①根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，
比2002年底增加了60 公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿
为
5y2－y－4＝0 .
15．美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，
2013年初投资2亿元，2015年初投资3亿元，设每年投资的增长率 为x，则可列出方程 2(1＋x)2＝3 .
河北教育出版社 年级 | 上册
16．根据下列提示列方程，并将其化为一元二次 方程的一般形式．
(1)已知两个数的和为7，积为6，求这两个数； (2)如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个 相同的边长为2 cm的小正方形，然后把四边折起来， 做成一个没有盖子的长方体盒子，使它的容积为32 cm2，所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？ 解：(1)设其中一个数为x，则另一个数为(7－x)，则x(7－x)＝6， 即x2－7x＋6＝0 (2)设正方形纸板的边长应是x cm，则没有 盖的长方体盒子的长，宽为(x－2×2)cm，高为2 cm.根据题意 列方程，得(x－2×2)·(x－2×2)×2＝32，即x2－8x＝0
冀教版初中数学九年级上册一元二次方程PPT精品课件
6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物 ，要立 于善于 运用想 像来刻 画他们 各自的 动作、 语言和 神态； 还要补 充一些 事实上 已经发 生却被 诗人隐 去的故 事情节 。
7.文学本 身就是 将自己 生命的 感动凝 固成文 字，去 唤醒那 沉睡的 情感， 饥渴的 灵魂， 也许已 是跨越 千年， 但那人 间的真 情却亘 古不变 ，故事 仿佛就 在昨日 一般亲 切，光 芒没有 丝毫的 暗淡减 损。
1500cm2
平均增长率问题：
例2某工厂工业废气年排放量为300万立方米。为改善城市环 境质量，决定在两年内使废气所排放量减少到144万立方米。 如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少百分率的2倍， 那么每年废气减少的百分率各是多少？
解：设第一年减少的百分率为x，根据题意得：
300(1-x)(1-2x)=144
4.开篇写 湘君眺 望洞庭 ，盼望 湘夫人 飘然而 降，却 始终不 见，因 而心中 充满愁 思。续 写沅湘 秋景， 秋风扬 波拂叶 ，画面 壮阔而 凄清。
5.以景物 衬托情 思，以 幻境刻 画心理 ，尤其 动人。 凄清、 冷落的 景色， 衬托出 人物的 惆怅、 幽怨之 情，并 为全诗 定下了 哀怨不 已的感 情基调 。
例3.建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好 途径。经过市场查发现：搭建一个面积为 x 公顷的大棚，所需建设费用(万元）与 x+2 成正比例，比例系数为0.6；内部设 备费用（万元）与x2成正比例，比例系数 为2.某农户新建了一个大棚，投入的总费 用为4.8万元。请计算该农户新建的大棚 的面积。
1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每 月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元 时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每 月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
冀教版-数学-九年级上册- 24.1一元二次方程 课件
• 一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a 0)
其中：ax2为二次项，a为二次项系数，bx为一次项， b为一次项系数，c为常数项。
注意事项：
• 1.方程是整式方程 • 2.化成“=”右边是0的形式 • 3.通常情况下按照未知数的降幂排列。
牛刀小试（一）
在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一 元二次方程的，请指出其二次项系数、一 次项系数和常数项．
2x
x
60
40
合作探究
• 在上面的问题中，我们得到方程：
x2 90x 1400 0; x2 45x 350 0; x2 40x 200 0.
思考：观察这些方程有什么共同特点？
• 请你说一说一元二次方程的概念：
• 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的 整式方程,叫做一元二次方程．
温故知新
1.下列各式是一元一次方程的有哪些？
1 x5 0 3
1 3 2 x
1 x5 2
1 x 1
5x 6 0
x 5 3 2
温故知新
2. 一元一次方程的定义和一般形式： • 含有一个未知数，并且未知数的次数为1的
整式方程，叫作一元一次方程．
• 一般形式： ax b 0(a 0)
合作探究（一）
课堂总结
• 交流一下：本节课我们有什么收获？你还 有什么不明白的地方吗？
作业
• 教材36页：A组1.3题。
(1)2x2 1 x; (2)x2 5x 0; (3)3x2 12; (4)x(x 4) x2 1.
牛刀小试（一）
方程
是否是一元 二次项系数 一次项系数 二次方程
2x2=1-x
是
2
1
常数项
ax2 bx c 0(a 0)
其中：ax2为二次项，a为二次项系数，bx为一次项， b为一次项系数，c为常数项。
注意事项：
• 1.方程是整式方程 • 2.化成“=”右边是0的形式 • 3.通常情况下按照未知数的降幂排列。
牛刀小试（一）
在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一 元二次方程的，请指出其二次项系数、一 次项系数和常数项．
2x
x
60
40
合作探究
• 在上面的问题中，我们得到方程：
x2 90x 1400 0; x2 45x 350 0; x2 40x 200 0.
思考：观察这些方程有什么共同特点？
• 请你说一说一元二次方程的概念：
• 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的 整式方程,叫做一元二次方程．
温故知新
1.下列各式是一元一次方程的有哪些？
1 x5 0 3
1 3 2 x
1 x5 2
1 x 1
5x 6 0
x 5 3 2
温故知新
2. 一元一次方程的定义和一般形式： • 含有一个未知数，并且未知数的次数为1的
整式方程，叫作一元一次方程．
• 一般形式： ax b 0(a 0)
合作探究（一）
课堂总结
• 交流一下：本节课我们有什么收获？你还 有什么不明白的地方吗？
作业
• 教材36页：A组1.3题。
(1)2x2 1 x; (2)x2 5x 0; (3)3x2 12; (4)x(x 4) x2 1.
牛刀小试（一）
方程
是否是一元 二次项系数 一次项系数 二次方程
2x2=1-x
是
2
1
常数项
冀教版数学九上24.4《一元二次方程的应用》ppt教学课件(共19张PPT)
2
? 2 ? 100 2 ? 100?海里?.
2
? 小岛D和小岛F相距100海里.
A
北
东
D
B
C
EF
例题欣赏 ?
行家看门道
? 解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
? 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
解:设甲
,乙相遇时所用时间为 x,根据题意
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
,得
乙:3x
C
整理得 :2x2-7x=0.
10
解这个方程 ,得
∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). B
7x甲:10
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7 ×3.5=24.5.
答:甲走了 24.5走,乙走了 10.5走.
动脑筋
争先赛
? 2.绿苑小区住宅设计 ,准备在每两幢楼房之间 , 开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地 ,并且
F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向 .一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从 D出发,沿
南偏西方向匀速直线航行 ,欲将一批物品送达军舰 .
A
北
? (1).小岛D与小岛F相距多少海里 ?
东
? (2).已知军舰的速度是补给船的 2
D
倍,军舰在由 B到C的途中与补给船
相遇于 E处,那么相遇时补给船航行
?老师提示:
?1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解 ,而右 边等于零 ;
?2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零 ,那么至少 有一个因式等于零 .”
? 2 ? 100 2 ? 100?海里?.
2
? 小岛D和小岛F相距100海里.
A
北
东
D
B
C
EF
例题欣赏 ?
行家看门道
? 解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
? 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
解:设甲
,乙相遇时所用时间为 x,根据题意
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
,得
乙:3x
C
整理得 :2x2-7x=0.
10
解这个方程 ,得
∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). B
7x甲:10
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7 ×3.5=24.5.
答:甲走了 24.5走,乙走了 10.5走.
动脑筋
争先赛
? 2.绿苑小区住宅设计 ,准备在每两幢楼房之间 , 开辟面积为 900平方米的一块长方形绿地 ,并且
F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向 .一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从 D出发,沿
南偏西方向匀速直线航行 ,欲将一批物品送达军舰 .
A
北
? (1).小岛D与小岛F相距多少海里 ?
东
? (2).已知军舰的速度是补给船的 2
D
倍,军舰在由 B到C的途中与补给船
相遇于 E处,那么相遇时补给船航行
?老师提示:
?1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解 ,而右 边等于零 ;
?2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零 ,那么至少 有一个因式等于零 .”
冀教版九年级数学上《一元二次方程》PPT课件
感悟新知
例 3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
知3－练
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解： －1，2.
感悟新知
归纳
知3－讲
检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个 数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否 相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值不一定只有一个．
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
如果设梯子的底端 B在地面上滑动的距离 为xm，请列出方程， 并谈谈所列方程的特征.
感悟新知
在上面的问题中，我们得到方程： x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0， x2 ＋12x－15=0.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高
次数都为2. 像这样，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方
程(quadratic equation in one variable).
＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系
正确的为( B )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
点拨：把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c，
再利用作差法比较可得．
类型 5 利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题
冀教版九年级数学上《一元二次方程的应用》PPT课件
感悟新知
知识点 1 变化率问题
知1－讲
如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则 第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数 量为a(1＋x)2，第n次增长后的数量为a(1＋x)n.
感悟新知
解答课时导入问题 知1－练
设年增长率为x，请你思考并解决下面的问题： (1) 2011年底比2010年底增加了_______万辆汽车，
感悟新知
2 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价 知1－练 由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x， 下面所列的方程中正确的是( ) A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315
1 (27－9a) ：(21－7a) 2
＝9(3－a)∶7(3－a) ＝9∶7.
感悟新知
解： 设上下边衬的宽为9x cm,左右边衬的宽 知2－练
为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
63 x1 4
3
(不合意，舍去)，x2Hale Waihona Puke =6—3 43
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题？请你试一试．
知2－练
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
依题意得
3 9x 7 x 27 21
4
解得
33 x1 2 ,
x2
33 2
(不合意，舍去)
故上下边衬的宽度为： 27 9x